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5.1 三角函数的定义（精练）
1．（2023 春·江西赣州）把快了10 分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分针旋转为顺时针，但快了10 分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为周角的六分之一，
所以该手表分针转过的角为：
.故选：B.
2．（2023·福建）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与
轴的非负半轴重合，那么，下列各角
与
角终边相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为与
角终边相同的角的集合为
，当
时，得到
，
又
，所以易知BCD 均不符合题意.故选：A.
3．（2023 春·天津）下列命题中正确的是（ ）
A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系
B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角
C．终边相同的角的弧度制表示相差
D．终边相同的角的弧度都相同
【答案】A
【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的
关系，故A 正确，B 错误，终边相同的角的弧度制表示相差
的整数倍，故C 错误，D 错误；故选：A
4．（2023 春·云南）下列说法正确的有几个（ ）
（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于
小于
的角；
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【解析】第一象限角的集合为
，
1
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锐角是大于
小于
的角，锐角的集合为
所以（1）错误，（2）正确，（3）正确故选：
C.
5．（2023 春·山东）已知点A 在以原点为圆心的圆周上，从x 轴正半轴，沿着逆时针方向作匀速圆周运动，
速度为每分钟转
角.若点A 在2 分钟时落在第三象限，18 分钟时回到出发位置，则
大小
是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】由题意得，
，故
，
因为
，所以
，
，因为18 分钟时回到出发位置，所以
，
故
，可得
，所以
，
因为
，所以
或
，
或
，即
或
.故选：C.
6．（2023·山东济南·统考三模）在平面直角坐标系
中，如图所示，将一个半径为1 的圆盘固定在平面
上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头
（开始时与圆盘上点
重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为
，细绳的粗细忽略不计，当
时，点
与点
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
2
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【解析】展开过程中：
,
,故选：D.
7．（2023·辽宁·校联考一模）已知角
的终边上一点的坐标为
，则
的最小正值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
而
，
所以角
的终边上点的坐标可写为：
，
所以
，因此
的最小正值为
.故选：D
8．（2023·山东菏泽）已知角
的终边过点
，若
，则实数m 的值为（ ）
A．
B．4
C．
或3
D．
或4
【答案】D
【解析】因为
，所以
，所以
，解得
．故选：D．
9．（2023 秋·山西长治·高三校联考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三
体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.
如图所示，水滴是由线段
和圆的优弧
围成，其中
恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径
为1，点
到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，
设圆弧所在圆的圆心为
，连接
，依题意得
，
且
，则
，所以
，
所以该封闭图形的面积为
.故选：A.
10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知
为角
终边上的一点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题易知，
，则
．故选：D．
11．（2023 春·北京）设
是第二象限角，则
的终边在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
【答案】D
4
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【解析】因为
是第二象限角，所以
，
，
当
时，
，在第一象限；当
时，
，在第二象限；
当
时，
，在第四象限；故选：D
12．（2023 春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知直线
与圆
交于不同的两
点A，B，若弧
的长度为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】圆
的圆心
的坐标为
，半径
，
因为弧
的长度为
，所以
，又
，所以
为等边三角形，
所以顶点
到边
的距离为
，所以
，所以
，故选：A.
13．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，角
的顶点在坐标原点，始边与
的
非负半轴重合，将角
的终边按逆时针旋转
后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题设
，由
.
故选：A
5
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14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知锐角
终边上一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由锐角
终边上一点
，
所以
，所以
，
所以
，故选：B.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
时，
，
，所以
，
又
，所以
故选：D
16．（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系
中，已知点
，将线段
绕原点顺时针旋转
得到线段
，则点B 的横坐标为____________.
【答案】
【解析】易知
在单位圆上，记终边在射线
上的角为
，如下图所示：
6
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根据三角函数定义可知，
；
绕原点顺时针旋转
得到线段
，则终边在射线
上的角为
，
所以点B 的横坐标为
.
故答案为：
17．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的
天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点
之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，
所在圆的圆
心O 在线段AB 上，若
，
，则扇形OAC 的面积为___．
【答案】
【解析】
7
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如图，过点
作
，设
所在圆的半径为
，则
，
在
中，
，
，
所以
，
，
所以，
.
在
中，有
，
即
，
整理可得，
.
因为
，所以
，
所以，扇形OAC 的面积为
.
故答案为：
.
18．（2023·湖北·校联考模拟预测）葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其枝密集繁茂，象征着儿
孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚大，代表着心胸开阔、
和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体
，其中
的下半部分是半径为
的球
的一部分，
的上半部分是半径为3 的球
的一部分，且
，则过直线
的平面截
所得截面的面积为__________．
8
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【答案】
【解析】设N 是两球面的一个公共点，且位于截面上，
由
，得
，
故
，从而
．
所以截面面积为
．
故答案为：
19．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知
，将
绕原点
沿顺时针方向旋转
45°到
的位置，则
点的坐标为______.
【答案】
【解析】由向量
，可得
，
设
，可得
，
将
绕原点
沿顺时针方向旋转
到
的位置，可得
，
可得
，
，
设
，可得
，即
.
9
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故答案为：
.
20．（2023·河北·校联考模拟预测）在平面直角坐标系
中，角
的顶点为
，始边与
轴的非负半轴重
合，终边与圆
相交于点
，则
___________.
【答案】
【解析】因为角
的终边与圆
相交于点
，
则
，
所以
.
故答案为：
.
21．（2023·全国·高三专题练习）在
内，使
成立的
的取值范围是____
【答案】
【解析】根据三角函数线，角度终边落在直线
右下方时，满足
，
10
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又当
在
时，
成立的
的取值范围是
，
如下图所示，当角度终边落在阴影部分时（不含边界），满足
，
又当
在
时，
成立的
的取值范围是
综上所述，所求范围为
.
11
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故答案为：
.
22．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）在平面直角坐标系
中，将点
绕原点
逆时针
旋转
到点
，那么点
坐标为__________，若直线
的倾斜角为
，则其斜率为__________．
【答案】
【解析】设点
为角
终边上一点，如图所示，
．
由三角函数的定义可知：
，
，
则
，则直线
的倾斜角为
，
将点
绕原点
逆时针旋转
到点
，
得直线
的倾斜角为
，
且点
在
角的终边上，由三角函数定义可得点
的坐标为
，
即
，且
，则
．
故答案为：
．
1．（2023·全国·模拟预测）用一个圆心角为
，面积为
的扇形
（
为圆心）围成一个圆锥（点
恰好重合），该圆锥顶点为
，底面圆的直径为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
12
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【解析】设圆锥的母线长为
，底面半径为
，高为
．
∵扇形的圆心角为
∴
，∴
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长∴
，∴
∴
∴
∴
．故选：
A．
2．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知
，则
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令函数
，则
恒成立，故函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，则
，于是
，即
；
当
时，
，则
，所以
，
而
，于是
，即
；综上：
.故选：C
3．（2023 春·云南昆明·高三校考阶段练习）（多选）如图，A，B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，
质点A 在（1，0）处，质点B 在第一象限，且
.质点A 以
的角速度按顺时针方向运动，
质点B 同时以
的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
13
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A．经过1 后，扇形AOB 的面积为
B．经过2 后，劣弧
的长为
C．经过6 后，质点B 的坐标为
D．经过
后，质点A，B 在单位圆上第一次相即
【答案】BD
【解析】对于
，由题意可知：经过1 后，
，
所以此时扇形AOB 的面积为
，故选项
错误；
对于
，经过2 后，
，
所以此时劣弧
的长为
，故选项
正确；
对于
，经过6 后，质点
转过的角度为
，结合题意，此时质点
为角
的终边与单位
圆的交点，所以质点B 的坐标为
，故选项
错误；
对于
，经过
后，质点
转过的角度为
，质点
转过的角度为
，因为
，所以经过
后，质点
，
在单位圆上第一次相遇，故选项
正确，
故选：
.
14
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4．（2023·全国·模拟预测）已知角
为锐角，角
、2
、
的始边均与x 轴的非负半轴重
合，角
的终边经过点
，且角
的终边与角
的终边关于角
的终边对称，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【解析】∵角
的终边经过点
，∴
．
由
，解得
或
．
∵
，∴
，∴
，即
（舍），故
．
∵角
的终边与角
的终边关于角
的终边对称，
∴
，解得
．
∴
.
故选：A．
5．（2023 春·辽宁大连·高一育明高中校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．角
终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过4 小时，时针转了
D．若角
和角
的终边关于
对称，则有
，
【答案】C
15
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【解析】对于A，因为角
终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点
的横坐标和纵坐标异号，故
；
因为
，所以
或
，
故角
终边上点坐标
对应为：
或
即
或
，所以角
终边在第二
象限或第四象限，
综上，角
终边在第二象限或第四象限的充要条件是
，故A 正确；
对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，
所以弦所对的圆心角为
，故B 正确；
对于C，钟表上的时针旋转一周是
，其中每小时旋转
，
所以经过4 小时应旋转
，故C 错误；
对于D，角
和角
的终边关于直线
对称，则
，
，故D 正确.
故选：C
6．（2023·陕西汉中·统考二模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某
校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1 的线段AB，作一个等边三角
形ABC，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D（第一段圆弧），再以点
C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆
弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11 段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
16
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知：每段圆弧的圆心角为
，
设第
段圆弧的半径为
，则可得
，
故数列
是以首项
，公差
的等差数列，则
，
则“蚊香”的长度为
.
故选：D.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先证明：当0＜x＜
时，
如图，角x 终边为OP，其中点P 为角x 的终边与单位圆的交点，PM⊥x 轴，交x 轴与点M，
A 点为单位圆与x 轴的正半轴的交点，AT⊥x 轴，交角x 终边于点T，
则有向线段MP 为角x 的正弦线，有向线段AT 为角x 的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S△OAP＜S 扇形OAP＜S△OAT，
即
所以
＜
＜
，即
所以
17
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又由函数
在
上单调递增，所以
又由函数
在
上单调递减，则
所以
所以
，即
故选：C．
8．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）（多选）如图所示，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点
，以x 轴非负半轴为始边作锐角
，
，
，它们的终边分别与单位圆相交于点
，
，P，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．扇形
的面积为
18
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C．
D．当
时，四边形
的面积为
【答案】AD
【解析】由题意圆的半径
选项A：由题意得
所以
所以
，故A 正确；
选项B：因为
，
所以扇形
的面积
，
故B 错误；
选项C，
19
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故C 错误；
选项D：
因为
，
所以
故D 正确故选：AD.
9．（2022·全国·高三专题练习）函数
的值域是（ ）
20
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知：角
的终边不能落在坐标轴上，
当角
终边在第一象限时，
当角
终边在第二象限时，
当角
终边在第三象限时，
当角
终边在第四象限时，
因此函数的值域为
，故选C.
10．（2023·全国·高三对口高考）点
从
出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点
，记
，则
__________；若以
为斜边，作等腰
，则直线
的斜率为__________.
【答案】
或
【解析】由题意得，
，
，
，
所以
；
由题意，
或
，
当
时，
，
当
时，
，
所以直线
的斜率为
或.
21
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故答案为：
；
或.
22
