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第十八章 分式
知识点一 分式的概念及基本性质
1. 分式概念
（1）定义：形如
𝐴
𝐵（𝐴,𝐵 均为整式，𝐵 中含有字母，𝐵≠0）的式子叫做分式；𝐴 为分子，𝐵 为分母。
（2）三类取值要求
① 分式有意义：分母 ______________；
② 分式无意义：分母 ______________；
③ 分式值为0：分子 ______________ 且 分母 ______________，二者缺一不可。
（3）区分整式与分式：关键看分母是否含字母，分母不含字母为整式，含字母为分式。
2. 分式基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0 的整式，分式的值不变。
公式：
𝐴
𝐵= ______________ = ______________ (𝑀≠0，𝑀为整式)
3. 衍生运用
• 约分：依据基本性质，约去分子分母公因式，化为最简分式（分子分母无公因式）；
• 通分：找各分母最简公分母，统一分母，用于分式加减运算；
• 符号法则：
―𝐴
𝐵= ______________ = ______________，任意改变两处符号，分式值不变。
知识点二 分式的运算
1. 乘法法则
分式乘分式，分子相乘作分子，分母相乘作分母：
𝑎
𝑏⋅𝑐
𝑑= ______________
计算前可先约分再相乘，简化运算。
2. 除法法则
除以一个分式等于乘它的倒数：
𝑎
𝑏÷ 𝑐
𝑑= ______________ = ______________
3. 乘方运算
分子、分母分别乘方：
𝑎
𝑏
𝑛
= ______________ (𝑛为正整数)
4. 加减运算
（1）同分母分式相加减：分母不变，分子相加减：
𝑎
𝑐± 𝑏
𝑐= ______________
（2）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再计算：
𝑎
𝑏± 𝑐
𝑑= ______________
5. 混合运算顺序
先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内；结果必须化为最简分式或整式。
知识点三 整数指数幂
1. 正整数指数幂基础公式
𝑎𝑚⋅𝑎𝑛= ______________
(𝑎𝑚)𝑛= ______________
(𝑎𝑏)𝑛= ______________
𝑎𝑚÷ 𝑎𝑛= ______________ (𝑎≠0)
2. 零指数幂
任意非零数的0 次幂等于1：𝑎0 = ______________ (𝑎≠0)；00 无意义。
3. 负整数指数幂
𝑎―𝑝= ______________ (𝑎≠0，𝑝为正整数)
4. 拓展应用
可用于极小数字用科学记数法表示：𝑎× 10―𝑛（1 ≤|𝑎| < 10）。
知识点四 分式方程定义及解法
1. 定义
______________中含有未知数的方程，叫做分式方程。
2. 解题完整步骤
① 去分母：方程两边同乘____________________________，消去分母，转化为____________________________；
② 解整式方程：求出整式方程的未知数解；
③ 检验（必不可少）：把解代入最简公分母
- 若公分母 ≠0：是原分式方程的解；
- 若公分母 = 0：该解是______________，原分式方程无解。
3. 增根含义
去分母过程中，整式方程的解让原分式分母为0，使原方程无意义，这个根就是增根。
知识点五 分式方程的实际应用
解题通用步骤
审题意 → 设未知数 → 找等量关系 → 列分式方程 → 解方程 → 检验（双重检验） → 作答
双重检验要求
1.
数学检验：检验是否为分式方程的根，排除______________；
2.
实际意义检验：结果要符合生活实际（人数、路程、速度、时间不能为负数，小数不合理情况舍
去）。
常考题型
工程问题（工作总量、______________、______________）、行程问题（______________、______________、
______________）、销售利润问题、工作量调配问题。
易错点1 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围
易错提醒
易错点总结
1. 只考虑分子分母同号/异号，漏掉分式分母≠0 这个前提条件，最终取值范围包含让分母为0 的无效数
值；
2. 列不等式组时分情况讨论不全，只写一种符号搭配，遗漏另一组；
3. 不等式求解过程不等号方向出错；
4. 最终不会取两个不等式组解集的并集。
注意事项总结
1. 分式值大于0：分子分母同正或同负，列两组不等式组；
分式值小于0：分子分母一正一负，列两组不等式组；
2. 全程硬性约束：分母不等于0，最后解集必须剔除使分母为0 的数；
3. 分别解完两组不等式，结果取并集。
【对点训练】1．分式
2
6
2x
x
-
的值为正数的条件是（ ）
A．
3
x <
B．
3
x <
且
0
x ¹
C．0
3
x
<
<
D．
3
x >
易错点2 求使分式值为整数时未知数的整数值
易错提醒
易错点总结
1. 不会变形拆分整式+真分式，直接盲目试数，效率低易漏解、多解；
2. 只考虑正约数，忘记负约数，整数解找不全；
3. 求出数值后，忘记检验分母不能等于0，带入无效根；
4. 约数列举杂乱，出现重复数字。
注意事项总结
1. 通用方法：将分式拆分，写成整式+分子为常数的分式形式；
2. 常数分子的所有正负约数全部列举，令分母等于每一个约数，算出未知数；
3. 每一个解都要验证：代入分母，分母≠0 才符合要求；
4. 最后把所有有效整数从小到大整理。
【对点训练】2．若x 是整数，分式
2
6
7
20
2
1
x
x
x
+
-
-
的值也是整数，则满足条件的x 的个数是（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．8 个
易错点3 分式方程无解与增根问题
易错提醒
易错点总结
1. 混淆增根和无解：误以为增根=无解，忽略两种情况；
2. 找不出增根：不会依据最简公分母=0 算出增根；
3. 含参数方程无解只算整式方程无解，漏掉整式方程有解但解全是增根的情况；
4. 把增根带入整式方程计算参数时符号计算错误。
注意事项总结
1. 增根定义：去分母后整式方程的根，但让原分式分母为0，不是原方程的解；
2. 分式方程无解分两类：
① 去分母得到的整式方程本身无解；
② 整式方程有解，但所有解都是增根；
3. 步骤：先求增根→代入整式方程求参数；两类情况都要逐一讨论。
【对点训练】3．对于关于x 的分式方程2
2
1
3
m
x
x
x
+
- =
-
，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是
0
x =
或
3
x =
B．若分式方程有增根，则
3
2
m = -
C．若分式方程无解，则
1
2
m
-
=
或
3
2
m = -
D．分式方程的增根是
3
x =
易错点4 已知方程的根的情况求参数的取值范围
易错提醒
易错点总结
1. 求出整式方程的解后，只限定正负，忘记排除增根；
2. 不等式边界分不清能否取等号；
3. 含多个参数讨论不全面；
4. 系数含字母时，忽略整式方程一次项系数不为0 的限制。
注意事项总结
1. 先去分母化为一元一次整式方程，用参数表示出方程的解；
2. 根据根大于0、小于0、非负数等条件列不等式；
3. 额外附加条件：解≠增根，剔除会造成分母为0 的取值；
4. 一次项系数含参数时，要保证一次项系数≠0，方程才有唯一解。
【对点训练】4．已知关于x 的分式方程
2
1
1
1
m
x
x
-
=
-
-
的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）
A．
1
m >
B．
1
m ³
C．
1
m ³ 且
2
m ¹
D．
1
m > 且
2
m ¹
易错点5 分式的化简求值问题
易错提醒
易错点总结
1. 通分、约分时常数项、符号出错，括号前是负号去括号不变号；
2. 乘除运算未颠倒除式分子分母就直接相乘；
3. 化简完毕代入数值时，选取了使原式分母为0 的数字；
4. 运算顺序混乱，先代入数字再化简，计算繁琐易错；
5. 整体代入题型执着求单个字母值，不会整体替换。
注意事项总结
1. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内；
2. 分式除法必须转化为乘以倒数；
3. 自选数字代入题：所选数字必须让原式所有分母、除式均不为0；
4. 一定先彻底化简，再代入求值；优先整体代入简化计算。
【对点训练】5．先化简再求值：
15
4
(
1
)
1
1
x
x
x
x
-
+ -
¸
-
-
，且
2017
x =
．
易错点6 分式方程的实际应用
易错提醒
易错点总结
1. 审题找不到等量关系，行程、工程、利润类等量关系式列错；
2. 单位不统一、速度时间工作量对应关系颠倒；
3. 列出分式方程求解后，只检验计算对错，忘记双重检验；
4. 解出负数、不符合现实意义的正数不会舍去。
注意事项总结
1. 三类常用等量关系：
工程：工作总量=效率×时间；行程：路程=速度×时间；
2. 解完方程两步检验：
①检验是否为分式方程的根；
②检验结果符合实际生活意义（时间、速度、人数不能为负）；
3. 作答完整，不要遗漏单位。
【对点训练】6．【问题背景】
某品牌坚果有桶装
1000 g 和袋装
400 g 两种规格，每件袋装坚果的价格是每件桶装坚果价格的3
5 ，且用
600 元购买袋装坚果的数量比用600 元购买桶装坚果的数量多10 件．
【问题解决】
(1)求该品牌桶装坚果和袋装坚果的单价；
(2)小赵计划购买该品牌桶装坚果和袋装坚果用于销售，已知每件桶装坚果的利润为15 元，每件袋装坚果的
利润为9 元，全部销售完他希望总利润不少于1500 元，且购买的袋装坚果数量比桶装坚果数量的2 倍还多
6 件，那么小赵至少需要购买多少件桶装坚果？
易错点7 与分式及分式运算有关的新定义型问题
易错提醒
易错点总结
1. 固守原有分式运算法则，不按题目自定义规则计算；
2. 前后字母顺序颠倒，代入位置错乱；
3. 多层嵌套新运算不会分步计算；
4. 化简结束忽略分式分母不为0 的隐含条件。
注意事项总结
1. 严格照搬题干给出的新运算公式，不得自创运算法则；
2. 分清前后两项对应位置，顺序不可调换；
3. 多层运算由内向外分步计算；
4. 求解参数、取值范围时，始终兼顾分式有意义条件：分母不为0。
【对点训练】7．【定义新运算】对正实数,a b ，定义运算“Ä”，满足
ab
a
b
a
b
Ä
=
+
．
例如：当
0
a >
时，
2
1
2
2
1
2
1
2
1
a
a
a
a
a
×
Ä =
=
+
+ ．
(1)当
0
a >
时，请计算：
2
2
a
a
Ä
= __________．
【探究运算律】
对正实数,a b 运算“Ä”是否满足交换律a
b
b
a
Ä
=
Ä
？
,
ab
ba
a
b
b
a
a
b
b
a
Ä
=
Ä
=
+
+
Q
，
a
b
b
a
\ Ä
=
Ä
．
∴运算“Ä”满足交换律a
b
b
a
Ä
=
Ä
．
(2)对正实数, ,
a b c ，运算“Ä”是否满足结合律
a
b
c
a
b
c
Ä
Ä
=
Ä
Ä
？请说明理由．
一、单选题
1．定义一种“Ä”运算：
b
a
b
a
b
a
b
Ä
=
¹
-
，例如：
3
3
1
3
1 3
2
Ä
=
= -
-
，则方程
1
2
1
2
x
x
Ä
=
+
-
的解是
（ ）．
A．
2
x =
B．
3
2
x =
C．
1
2
x =
D．
1
x = -
2．如果a，b，c 是正数，且满足
9
a
b
c
+
+
=
，
1
1
1
10
9
a
b
b
c
c
a
+
+
=
+
+
+
，那么
a
b
c
b
c
c
a
a
b
+
+
+
+
+
的值为
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
3．若关于x 的分式方程
2
2
3
2
4
2
m
x
x
x
+
=
-
-
+
有增根，则m 的值为（ ）
A．8
- 或12
B．8或12
-
C．8或12
D．8
- 或12
-
4．若关于x 的分式方程
2
1
3
2
2
2
4
m
x
x
x
+
=
+
-
-
无解，则m 的值为（ ）
A．2
±
B．6
±
C．2
- 或6
D．2 或6
-
5．若数a 使关于x 的不等式组
1
1
1
1
3
2
2
3 1
x
x
x
a
x
ì
- £
-
ïí
ï
-
£
-
î
有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程
3
12
1
2
2
y
a
y
y
+
+
=
-
-
有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ）
A．10
-
B．12
-
C．16
-
D．18
-
二、填空题
6．若分式
2
2
2
1
x
x
-
-
的值为整数，满足条件的整数x 的个数为 _______ ．
7．金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B 两种手机，并将A、B 两种手机分别按利润率50%和80%定价
销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的30%和50%，此时，A、B 两种手机的营业额之比为3:5．为
迎接店庆十周年，商店决定将B 种手机降价销售，A 种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B 两种手机
的总利润之比为20: 21，则B 种手机在降价销售时的利润率为_______．
8．用面积都为2、3 的长方形纸片①、②围成长方形ABCD ，如图所示，其中四边形MNPQ 也是长方
形．设AE
x
=
，DE
y
=
，且x
y
>
．
（1）AB = ______；
（2）若
2
2
3
7
2
0
x
xy
y
-
+
=
，则
ABCD
MNPQ
S
S
=
长方形
长方形
______．
9．若关于x 的方程
1
1
2
3
3
x
nx
x
x
-
-
-
=
-
-
的解为正数，则n 的取值范围为__________．
10．方程
10
16
12
14
11
17
13
15
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
+
=
+
-
-
-
-
的解是_______.
三、解答题
11．定义
1
2
a
b
a
b
Ä
=
+
．根据定义，解答下列问题：
(1) 2
( 1)
Ä -
= ________；
(2)计算
1
1
(
)
(
)
Ä
+
-
Ä
-
-
+
x
y
x
y
x
y
x
y
；
(3)求方程2
(
2)
1
(4
2 )
Ä
-
= Ä
-
x
x 的解．
12．化简求值：已知：
2
3
4
0
m
m
+
-
=
，求代数式
2
5
2
2
2
3
m
m
m
m
m
+
æ
ö
-
+
×
ç
÷
+
-
è
ø
的值．
13．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：
2
2
2
1
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
æ
ö
-
-
+
¸
ç
÷
+
+
+
è
ø
2
2
1
1
(
1)
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
é
ù
+
=
-
×
ê
ú
+
+
-
+
ë
û
L第一步
2
2
2
1
(
1)
1
1
1
x
x
x
x
x
x
-
-
+
=
×
+
-
+
L 第二步
2
1
(
1)
1
1
1
x
x
x
x
-
+
=
×
+
-
+
L第三步
1
1
x
= - L第四步
(1)任务一：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
(2)任务二：请写出正确的化简过程，再从1
- ，0 ，1三个数中选一个恰当的数作为x 的值代入求值；
(3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提
一条建议： ．
14．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规
定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，
现收集到如下信息：
信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21 秒；甲飞行3 个航段总用时与乙飞行4 个航段总用时相
等．
信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10 米，甲飞行200 米所用的航段数与乙飞行
160 米所用的航段数相等．
(1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间．
(2)求乙无人机单个航段距离．
(3)由于配送环境限制，在一次长度为480 米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、
乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10 秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒．
15．给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例
如，
2
2
2
2
4
2
4
2
2
2
x
x
x
x
x
x
+
+
=
=
-
+
-
-
，则
2
2
4
4
x
x
+
-
是“好看分式”．根据上述定义，解决问题．
(1)分式
2
1
1
x
x
+
- 、
2
1
1
x
x
+
+ ，其中是“好看分式”的是________．
(2)①若分式
2
2
4
x
m
x
x
+
+
（m 为常数且
0
m ¹
）是一个“好看分式”，求m 的值；
②若分式
2
1
2
x
x
mx
-
+
+
（m 为常数且
0
m ¹
）是一个“好看分式”，求m 的值；
(3)若分式
2
4
x
m
x
x
n
+
+
+
（m 、n 为常数且
0
mn ¹
）是一个“好看分式”，且m 、n 都是正整数
．．．，直接写出m 的
所有可能结果．
