文档文本内容
2020-2021 学年七年级数学下册全程单元提优测评卷（人教版）
第9 章 不等式与不等式组
考试时间：120 分钟 试卷满分：100 分
1. ( 2 分 ) （2020 七上·大兴期末）已知锐角α，钝角β，赵，钱，孙，李四位同学分别计算 1
4 (α + β) 的结
果，分别为68.5°，22°，51.5°，72°，其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（ ）
A. 68.5° B. 22° C. 51.5° D. 72°
【答案】 C
解：∵锐角是大于0°小于90°的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，
0
∴＜α＜90°，90°＜β＜180°，
22.5°
∴
＜ 1
4 (α + β) ＜67.5°，
∴满足题意的角只有51.5°，
故答案为：C．
【分析】根据锐角和钝角的概念进行解答，求出1
4 (α + β)范围，然后做出正确判断。
2. ( 2 分 ) （2020 七上·绍兴月考）已知关于x 的方程 5
2
x﹣a＝3x
14
﹣
，若a 为正整数时，方程的解也为正
整数，则a 的最大值是（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】 B
解： 5
2
x
a
﹣＝3x
14
﹣
，
5
2
x-3x=a-14,
-1
2
x=a-14,
x=-2(a-14),
∴
a-14<0
∴
，
a<14,
∴
a
∵为正整数，
a
∴的最大值为：13；
故答案为：B.
【分析】解含有字母的一元一次方程，再根据方程的解为正整数得出a 的范围，结合a 为正整数，即可得
出a 的最大值.
3. ( 2 分 ) （2020 七上·庆云月考）已知a、b 为有理数，且a<0，b>0， |a| > |b| ，则（ ）．
A. a<-b<b<-a B. -b<a<b<-a C. -a<b<-b<a D. -b<b<-a<a
【答案】 A
解：∵a<0，b>0
∴ −a>0 ， −b<0
∴ |a|=−a ， |b|=b ， a<−a ， b>−b
∵ |a|>|b|
∴ −a>b
∴ a<−b
∴ a<−b<b<−a
故答案为：A．
【分析】根据绝对值和不等式的性质，经计算，即可得到答案．
4. ( 2 分 ) （2020 七下·富县期末）下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A. 同位角相等
B. 0.01 是 0.1 的一个平方根
C. 若点 P( x , y) 在坐标轴上，则 xy =0 D. 若 a<b ，则
2a>2b
【答案】 C
解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项是假命题，不符合题意；
B、 0.01 是 0.1 的平方，故本选项是假命题，不符合题意；
C、若点 P( x , y) 在坐标轴上，则x=0 或y=0，所以 xy =0 ，故本选项是真命题，符合题意；
D、若 a<b ，则 2a<2b ，故本选项是假命题，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别根据平行线的性质、平方根的定义、坐标轴上点的坐标特点和不等式的性质逐项判断，进而
可得答案.
5. ( 2 分 ) （2020 七下·张家港期末）不等式x
2≤0
﹣
的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
解：由x
2≤0
﹣
，得x≤2，
把不等式的解集在数轴上表示出来为：
，
故答案为：B.
【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案.
6. ( 2 分 ) （2020 七下·海勃湾期末）若关于 x 的不等式组 {
x−2<0
3 x + 4>a−x
恰好只有 2 个整数解，则所有
满足条件的整数 a 的值之和是（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 1
【答案】 C
解：对不等式组 {
x−2<0 ①
3 x + 4>a−x ②
，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得 x> a−4
4
，
∵不等式组只有2 个整数解，
∴这两个整数解只能是1，0，
∴ −1≤a−4
4
<0 ，解得： 0≤a<4 ，
则整数a 的值是0，1，2，3，和为6．
故答案为：C．
【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后由不等式组有2 个整数解可得关于a 的不等式组，解不等式
组即可求得a 的取值范围，进而可确定a 的整数值，进一步即可求出答案．
7. ( 2 分 ) （2020 七下·陇县期末）老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了
两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条 a+b
2
元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是
（ ）
A. a＞b B. a＜b C. a＝b D. 与a 和b 的大小无关
【答案】 A
解：由题意得：3a+2b>5×a+b
2
,
6a+4b>5a+5b,
∴
a>b.
∴
故答案为：A.
【分析】先求出用平均每条a 元买三条鱼和平均每条b 元买两条鱼的金额总和，再求出以每条 a+b
2
元的价格把鱼全部卖出的金额总和，根据赔钱的结果再列不等式，最后将不等式化简整理即可得出结果.
8. ( 2 分 ) 运行程序如图所示，从“输入实数 x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入 x 后程序操
作仅进行了三次就停止，那么 x 的取值范围是（ ）
A. x ≥32
9
B. 32
9 ≤x ≤14
3
C. 32
9 < x ≤14
3
D. x ≤14
3
【答案】 C
解：根据题意得出{
3 x−6≤18
3(3 x−6)−6≤18
3[3(3 x−6)−6]−6>18)
解得:32
9 < x ≤14
3
.
故答案为：32
9 < x ≤14
3
【分析】根据计算程序由输入 x 后程序操作仅进行了三次就停止 ，第一次输入的数就是x，第二次输入的
数是3x-6,第三次输入的数是3（3x-6）列出三个不等式组成的不等式组，求解即可.
9. ( 2 分 ) （2019 七下·万州期中）已知整数k 使得关于x、y 的二元一次方程组 {kx −y =12
3 x−y =3 的解为正整
数，且关于x 的不等式组 {
3 x−k ≥0
1
2 x−2<1
有且仅有四个整数解，则所有满足条件的k 的和为（ ）
A. 4 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】 C
解：解方程组 {kx −y =12
3 x−y =3 得 {
x =
9
k −3
y = −3k +36
k −3
，
∵方程组的解为正整数，且k 为整数，k-3 为9 的正因数，
∴ {
k −3>0
−3k +36>0 ，
k
∴＝4，6；
解不等式组 {
3 x−k ≥0
1
2 x−2<1 得， {x ≥k
3
x<6
，
∵不等式组 {
3 x−k ≥0
1
2 x−2<1 有且仅有四个整数解，
∴ 1<k
3 ⩽2 ，
3
∴＜k≤6，
k
∴＝4，5，6，
∴所有满足条件的k 的和＝4+6＝10，
故答案为：C.
【分析】把k 作为常数，解出方程组，根据方程组的解为正整数，且k 为整数，故k-3 为9 的正因数，进
而列出关于k 的不等式组，求解得出其正整数解；然后将k 作为常数，解出不等式组的解集，根据不等式
组有且仅有四个整数解 ，即可列出关于k 的不等式组，求出其正整数解即可，然后取出同时满足所有条件
的k 的正整数解，再算出其和即可。
10. ( 2 分 ) 已知关于x 的不等式组 {
2 x +5
3
−x>5 (1)
x +3
2
−t < x (2)
恰有5 个整数解，则t 的取值范围是（
）
A. 9<t ＜19
2
B. 9≤t ＜19
2
C. 9<t≤
19
2
D. 9≤t≤19
2
【答案】 C
由（1）得x<-10，由（2）x>3-2t，所以3-2t<x<-10，由已知此范围内由5 个整数解，则 -16≤3-2t<-15,即
9<t≤19
2
．
【分析】解一元一次不等式的基本步骤为去分母，去括号，移项，合并同类项，化为ax>b 形式，求出解集，
再求出两个不等式解集的公共部分，由5 个整数解，求出t 范围.
11. ( 2 分 ) （2020 七下·大石桥期末）去年大石桥市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（ 365
）之比达到 60 % ，如果明年（ 365 天）这样的比值要超过 75 % ，那么明年空气质量良好的天数比去
年至少要增加________天.
【答案】 55
解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加x 天，
依题意，得：365×60%+x＞365×75%，
解得：x＞54.75.
x
∵为整数，
x
∴的最小值为55.
故答案为：55.
【分析】设明年空气质量良好的天数比去年要增加x 天，由去年该市空气质量良好（二级以上）的天数与
全年天数（365）之比达到60%且明年（365 天）这样的比值要超过75%，即可得出关于x 的一元一次不等
式，解之取其中的最小整数值即可得出结论.
12. ( 2 分 ) （2020 七下·张家港期末）不等式组 {
x +5
2
>1
4−x ≥1
的解集是________.
【答案】 −3< x ≤3
解：不等式组 {
x +5
2
>1 ①
4−x ≥1 ②
解不等式①得：
x＞-3，
解不等式②得：
x≤3，
∴不等式组的解集为： −3< x ≤3 .
故答案为： −3< x ≤3 .
【分析】分别解两个不等式，再找到这两个不等式解集的公共部分即可.
13. ( 2 分 ) （2020 七下·淮阳期末）不等式 {2 x +6≥−x
2 x−4<0
的解集为________.
【答案】 −2≤x<2
解： {2 x +6⩾−x ①
2 x−4<0 ②
，
由①得：x≥
2
﹣，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2.
故答案为：﹣2≤x＜2.
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.
14. ( 2 分 ) （2020 七下·岑溪期末）今年六一节期间，蓓蕾幼儿园的康老师准备用250 元钱购买甲乙两种盒
装牛奶共48 盒分发给本班的48 为小朋友，已知甲种牛奶每盒6 元，乙种牛奶每盒4.5 元，请你帮老师算一
算，在不增加经费的情况下，最多能购买甲种牛奶________盒.
【答案】 22
解：设购买甲种牛奶x 盒，
由题意可得：6x＋4.5（48−x）≤250，
解得：x≤ 68
3
，
x
∵为正整数，
x
∴的最大值为22，
∴最多能购买甲种牛奶22 盒，
故答案为：22.
【分析】设购买甲种牛奶x 盒，由甲种牛奶的费用＋乙种牛奶的费用不超过250 元，列出不等式，即可求
解.
15. ( 2 分 ) （2020 七下·大化期末）已知关于 x 的不等式组 { x−m≥0
5−2 x>1
只有 3 个整数解，则实数 m
的取值范围是________
【答案】 −2<m≤−1
解：解不等式x-m≥0 得：x≥m，
解不等式5-2x＞1 得：x＜2，
∵此不等式组有3 个整数解，
∴这3 个整数解为-1，0，1，
m
∴
的取值范围是-2＜m＜-1，
∵当m=-2 时，不等式组的解集为-2≤x＜2，此时有4 个整数解，舍去，
当m=-1 时，不等式组的解集为-1≤x＜2，此时有3 个整数解，符合要求.
∴实数m 的取值范围是-2＜m≤-1.
故答案为：-2＜m≤-1.
【分析】此题需要首先解不等式，根据解的情况确定a 的取值范围.特别是要注意不等号中等号的取舍.
16. ( 2 分 ) （2020 七下·陇县期末）若关于x 的不等式组 {
2 x +5
3
> x−5
x +3
2
< x +a
只有5 个整数解，则a 的取值范
围________
【答案】 −6<a≤- 11
2
解：由2 x +5
3
> x−5得x<20,
由x +3
2
< x +a得x>3-2a,
∵不等式有解，
3-2a<x<20,
∴
∵有5 个整数解，
∴这5 个整数解为：15,16,17,18,19，
14<3-2a<15,
∴
解得： −6<a≤- 11
2
.
故答案为： −6<a≤- 11
2
.
【分析】分别解不等式，再求出不等式组的解为3-2a<x<20,，然后把这5 个整数解表示出来，从而可得3-
2a 的范围，最后求出a 的范围即可.
17. ( 2 分 ) （2019 七下·陆川期末）一元一次不等式组 {2 x−1<5
x−a>0
有5 个整数解，则a 的取值范围是
________。
【答案】 -3≤a＜-2
解：由2x-1<5,
得x<3,
由x-a>0，
得x>a,
当a>3 时，不等式无解，
a<3,
∴
∴不等式的解为a<x<3,
由于不等式有5 个整数解，则这5 个整数分别为-2,-1,0，1，2；
a
∴的取值范围为：-3≤a<-2
【分析】首先分别解每个不等式，然后根据不等式有5 个整数解，得出这几个整数解，进而得出关于a 的
不等式，求得a 的范围。
18. ( 2 分 ) （2019 七下·涡阳期末）已知分式方程 2 x +a
x−1
=1 的解为非负数，则a 的取值范围是________．
【答案】 a≤-1 且a≠-2
解：分式方程转化为整式方程得，2x+a=x-1
移项得，x=-a-1，
解为非负数则-a-1≥0，
又∵x≠1，
a≠-2
∴
a≤-1
∴
且a≠-2，
故答案为：a≤-1 且a≠-2．
【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a 的代数式表示的x，根据x 的取值求a 的范围．
19. ( 2 分 ) （2020 七下·顺义期末）有4 人携带会议材料乘坐电梯，这4 人的体重共300 千克，每捆材料重
20 千克，电梯最大负荷为1050 千克，则该电梯在此4 人乘坐的情况下最多还能搭载________ 捆材料．
【答案】 37
解：设还能搭载x 捆材料，根据题意可得：
300+20x≤1050，
解得：x≤37.5，
答：该电梯在此4 人乘坐的情况下最多还能搭载37 捆材料．
故答案为：37．
【分析】设还能搭载x 捆材料，利用总重量小于等于1050 千克，进而得出不等式求出答案．
20. ( 2 分 ) （2020 七下·北京期末）端午节期间超市销售某品牌粽子，购买1 袋大包装粽子和2 袋小包装粽
子共用 24 元， 买2 袋大包装粽子和3 袋小包装粽子共用44 元，小聪快速计算出1 袋小包装粽子________
元； 他想用不超过110 元购买大包装粽子和小包装粽子共计20 袋（两种都购买）， 他可以有________种
购买方案．
【答案】 4；2
解：设大包装粽子每袋x 元，小包装粽子每袋y 元，
依题意有： { x +2 y =24
2 x +3 y = 44
解得 {x =16
y = 4
，
故1 袋小包装粽子4 元；
设可以买大包装粽子a 袋，小包装粽子（20-a）袋，
依题意有：16a+4（20-a）≤110，
整理得：12a≤30，
即a≤ 5
2
，
a
∵为正整数，
即a=1 时，则b=20-1=19，
a=2 时，即b=20-2=18，
故有2 种购买方案；
故答案为：4；2．
【分析】设大包装粽子每袋x 元，小包装粽子每袋y 元，根据题意得到方程 { x +2 y =24
2 x +3 y = 44
，求解即可；
设可以买大包装粽子a 袋，小包装粽子（20-a）袋，根据题意列出不等式16a+4（20-a）≤110，求解即可．
21. ( 3 分 ) （2020 七下·淮阳期末）解不等式组： {2 x +5−3( x +2)≤0
3 x−5<1
【答案】 解： {2 x +5−3( x +2)≤0 ①
3 x−5<1 ②
解不等式①，得： x ≥−1
解不等式②，得： x<2
所以不等式组的解集为： −1≤x<2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.
22. ( 5 分 ) （2020 七下·张家港期末）解不等式： 2 x−1
3
−9 x +2
6
≥1 ，并把解集表示在数轴上.
【答案】 解：去分母得： 2(2 x−1)−(9 x +2)≥6 ；
去括号得： 4 x−2−9 x−2≥6;
移项及合并得： 5 x ≤−10;
系数化为1 得：
不等式的解集为x≤－2，在数轴上表示如图所示：
【分析】不等式的两边同时乘以6 ，去分母得： 2(2 x−1)−(9 x +2)≥6 ；去括号得：
4 x−2−9 x−2≥6; 移项得： 5 x ≤−10; 系数化为1 得： x ≤−2 解集在数轴上表示见解析.
23. ( 5 分 ) （2020 七下·许昌期末）阅读理解题
先阅读理解下面的问题，再按要求完成下列问题
例：解不等式 ( x−2)( x +1)>0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有① {x−2>0
x +1>0
或② {x−2<0
x +1<0
解不等式组①，得 x>2
解不等式组②，得 x<−1
所以不等式 ( x−2)( x +1)>0 的解集为 x>2 或 x<−1
解不等式： 5 x +1
2 x−3 <0
【答案】 解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”有① {5 x +1>0
2 x−3<0
或② {5 x +1<0
2 x−3>0
，
解不等式组①得： −1
5 < x< 3
2
，
解不等式组②得：不等式组无解，
所以原不等式的解集为 −1
5 < x< 3
2
.
【分析】先根据有理数的除法法则“两数相除，异号得负”可得两个一元一次不等式组，再求出两个不等
式组的解集即可得.
24. ( 5 分 ) （2020 七下·黄陵期末）某冷饮店用200 元购进两种水果，并将所购进的水果全部混合制成50
杯果汁，要使售完后所获利润不低于购进价的50%，则每杯果汁的售价至少为多少元？
【答案】 解：解：设每杯果汁的售价为x 元，
根据题意得50x
200≥200×50%
﹣
，
解得：x≥6，
答：每杯果汁的售价至少为6 元.
【分析】设每杯果汁的售价至少为x 元，根据“ 利润不低于购进价的50%， ”列不等式即可得到结论.
25. ( 5 分 ) （2020 七下·阳信期末）“六一”期间，各商场举行“六一欢乐购”的促销活动，其中甲、乙两
商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场一次性购物超过100 元，超
过部分8 折优惠；在乙商场一次性购物超过50 元，超过部分9 折优惠，顾客到那家商场购物花费少？
【答案】 解：设购物为x 元，(1)当x≤50 时，在甲、乙都不享受优惠，因此到两商场购物花费一样。(2)当
50<x≤100 时，享受乙商场的优惠，不享受甲商场的优惠，因此到乙商场购物花费少。(3)当x>100 时，
若到甲商场购物花费少，则
100+0.8(x-100)<50+0.9(x-50)解得，x>150
这就是说，累计购物超过150 元时，甲商场购物花费少
若到乙商场购物花费少，则
50+0.9(x-50)<100+0.8(x-100)
解得，x<150
这就是说，累计购物超过100 而不超过150 元时，乙商场购物花费少
若到甲、乙商场购物花费一样，则
100+0.8(x-100)=50+0.9(x-50)
解得x=150
这就是说，累计购物150 元时，甲、乙商场购物花费一样
【分析】 设购物为x 元， 分三种情况讨论：（1）当x≤50 时，在甲、乙都不享受优惠，因此到两商场购
物花费一样；（2）当50<x≤100 时，享受乙商场的优惠，不享受甲商场的优惠，因此到乙商场购物花费少
；（3）当x>100 时， 若到甲商场购物花费少， 列出不等式，求出不等式的解，即可求出累计购物超过
150 元时，甲商场购物花费少 ； 若到乙商场购物花费少， 列出不等式，求出不等式的解，即可求出累计
购物超过100 而不超过150 元时 ，甲商场购物花费少 ； 若到甲、乙商场购物花费一样， 列出方程，求
出方程的解，即可求出累计购物150 元时，甲、乙商场购物花费一样 .
26. ( 5 分 ) （2020 七下·思明月考）厦门是全国著名的旅游城市，“厦门蓝”已经成为厦门一张亮丽的城市
名片．去年厦门市空气质量在全国74 个主要城市空气排名中，创下历史新高，排名第二，其中优（一级以
上）的天数是202 天．如果今年优的天数要超过全年天数（366 天）的60％，那么今年空气质量优的天数
至少要比去年增加多少？
【答案】 解：设今年空气质量优的天数要比去年增加x，依题意得：
202+x＞366×60%，
解得：x＞17.6，
由x 应为正整数，得：
x≥18．
答：今年空气质量优的天数至少要比去年增加18．
【解析】【分析】设今年空气质量优的天数要比去年增加x，根据去年优（一级以上）的天数是202 天和
今年优的天数要超过全年天数（366 天）的60%，列出不等式，再进行求解即可．
27. ( 10 分 ) （2021 七上·高台期末）某社区要进行十九届五中全会会议精神宣讲，需要印刷宣传材料。有
两个文印部前来联系业务，他们的报价相同，甲的优惠条件是：按每份定价6 元的八折收费，另收500 元
制版费；乙的优惠条件是：每份定价6 元的价格不变，而500 元的制版费四折优惠.
问：
（1）这个社区印制多少份宣传材料时两个文印部费用是相同的？
（2）若让你去负责印制，你有哪些方案？如何选择费用较少？说明理由？
【答案】 （1）解：设这个区要印制x 份秩序册时费用是相同的，根据题意得，
500＋6×0.8x＝6x＋500×0.4，
解得x＝250，
答：要印制250 份秩序册时费用是相同的
（2）解：当甲厂费用＞乙厂费用时，则500＋6×0.8x＞6x＋500×0.4，
解得x＜250，
故当印刷数量小于250 份时，选乙印刷厂所付费用较少.
当甲厂费用＜乙厂费用时，则500＋6×0.8x＜6x＋500×0.4，
解得x＞250，
故当印刷数量大于250 份时，选甲印刷厂所付费用较少.
综上所述，当印刷数量大于250 份时，选甲费用较少，小于250 份选乙费用较少 ，等于250 份甲、乙都可
以
【分析】（1） 设这个区要印制x 份秩序册时费用是相同的，可得甲厂收费为(500＋6×0.8x)元，乙厂收费
为（ 6x＋500×0.4 ）元，由此得出方程，求解即可；
（2） 分别求出甲厂费用＞乙厂费用时的数量，甲厂费用＜乙厂费用时的数量，即得结论.
28. ( 10 分 ) （2020 七上·苏州月考）某电器超市销售每台进价分别200 元，170 元的 A ， B 两种型号的
电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A 种型
号
B 种型
号
第一周
3 台
5 台
1800 元
第二周
4 台
10 台
3100 元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
（1）求 A ， B 两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共30 台，求 A 种型号的电风扇最多
能采购多少台；
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30 台电风扇能否实现利润为1400 元的目标？若能，请给出相应的
采购方案；若不能，请说明理由.
【答案】 （1）解：设A、B 两种型号的电风扇销售单价分别为 x 元、 y 元.
{¿ 3 x +5 y =1800
4 x +10 y =3100
解得： {x =250
y =210
答：A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250 元，210 元.
（2）解：设采购A 种型号电风扇 a 台.
200 a +170（30- a ）≤5400 解得： a ≤10
答：A 型号电风扇最多能采购10 台.
（3）解：依题意解（250-200） a +（210-170）（30- a ）＝1400
解得： a ＝20
∵a ≤10
∴在（2）的条件下，超市不能实现利润为1400 元的目标.
【分析】（1） 设A、B 两种型号的电风扇销售单价分别为 x 元、 y 元 ，根据“3 台A 型5 台B 型
售价1800 和4 台A 型10 台B 型售价3100”可列方程组，求解即可；（2） 设采购A 种型号电风扇 a 台
，则采购B 型（30-a）台，根据 准备用不多于5400 元的金额再采购 可列不等式，求解即可；（3）根据
（2）可得利润，比较即可。
29. ( 6 分 ) （2021 七上·甘州期末）列方程解应用题：
七年级1 班计划购买一批书包和词典作为“迎新知识竞赛”活动奖品，了解到每个书包价格比每本词典多
8 元，用124 元恰好可以买到3 个书包和2 本词典.
（1）求每个书包和每本词典的价格；
（2）若该班计划用900 元购买40 份（即书包、词典的总数量）奖品，设其中购买了 m 个书包，请写出余
下的钱的代数式，当余下的钱为最小值时，问该班购买书包和词典的数量各是多少？
【答案】 （1）解：设每个书包价格为 x 元，则每本词典价格为 ( x−8) 元，
根据题意得 3 x +2( x−8)=124 ，
解得 x =28 ，
则 28−8=20 （元 ) ，
答：每个书包价格为28 元，每本词典价格为20 元
（2）解：设购买书包 m 个，则购买词典 (40−m) 个，
余下的钱为 900−[28m+20(40−m)]
=100−8m ，
由题意知 100−8m ⩾0 ，即 m≤12.5 ，
当 m=12 时， 100−8m 为最小的正整数4，
答：购买方案为购买书包12 个，词典28 本.
【分析】 (1) 设每个书包价格为元, 则每本词典价格为(x-8)元，根据用124 元恰好可以买到3 个书包和2 本
词典, 列方程求解；
(2) 设购买书包m 个，则购买词典( 40-m)个, 根据"余下的钱最少"列不等式求解即可.
30. ( 6 分 ) （2020 七下·富县期末）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行
改造，根据预算，改造2 个甲种型号大棚比1 个乙种型号大棚多需资金6 万元，改造1 个甲种型号大棚和2
个乙种型号大棚共需资金48 万元.
（1）改造1 个甲种型号和1 个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造1 个甲种型号大棚的时间是5 天，改造1 个乙种型号大概的时间是3 天，该基地计划改造甲、
乙两种蔬菜大棚共8 个，改造资金最多能投入128 万元，要求改造时间不超过35 天，请问有几种改造方案？
哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
【答案】 （1）解：设改造1 个甲种型号大棚需要x 万元，改造1 个乙种型号大棚需要y 万元，
依题意，得： { 2 x−y =6
x +2 y = 48
，
解得： {x =12
y =18
.
答：改造1 个甲种型号大棚需要12 万元，改造1 个乙种型号大棚需要18 万元.
（2）解：设改造m 个甲种型号大棚，则改造（8
m
﹣）个乙种型号大棚，
依题意，得： { 5m+3(8−m)⩽35
12m+18(8−m)⩽128 ，
解得： 8
3
≤m≤ 11
2
.
m
∵
为整数，
m
∴＝3，4，5，
∴共有3 种改造方案，方案1：改造3 个甲种型号大棚，5 个乙种型号大棚；方案2：改造4 个甲种型号大
棚，4 个乙种型号大棚；方案3：改造5 个甲种型号大棚，3 个乙种型号大棚.
方案1 所需费用12×3+18×5＝126（万元）；
方案2 所需费用12×4+18×4＝120（万元）；
方案3 所需费用12×5+18×3＝114（万元）.
114
∵
＜120＜126，
∴方案3 改造5 个甲种型号大棚，3 个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114 万元.
【分析】（1）设改造1 个甲种型号大棚需要x 万元，改造1 个乙种型号大棚需要y 万元，根据“改造2 个
甲种型号大棚比1 个乙种型号大棚多需资金6 万元，改造1 个甲种型号大棚和2 个乙种型号大棚共需资金
48 万元”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设改造m 个甲种型号大棚，
则改造（8-m）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35 天且改造费用不超过128 万元，即可得出关于m
的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为整数即可得出各改造方案，再利用总价=单
价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论.
