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平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C18】
（1 ）
（2 ）
1. 数学课上，张老师出示了问题：如图，四边形
是正方形，点
是边
的中点．
，且
交正方形外角
的平分线
于点
，求证：
．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取
的中点
，连接
，则
，易证
≌
，所以
．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
图
小颖提出：如图，如果把“点
是边
的中点”改为“点
是边
上（除
，
外）的任
意一点”，其它条件不变，那么结论“
”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如
果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
图
小华提出：如图，点
是
的延长线上（除
点外）的任意一点，其他条件不变，结论“
”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，
请说明理由．
图
【答案】（1 ）正确．
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
（2 ）正确．
正确．
证明：在
上截取
，连接
．
∴
为等腰直角三角形，
，
，
∴
，
∴
，
．
又∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
．
又∵
，
，
∴
，
∴在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
正确．
证明：延长
至
，使
，
，
，
∴
．
又∵
，
，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
又∵
平分
，
3
【标注】
，
∴
，
∴在
和
中，
∴
≌
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
1
2
（2 ）
2. 已知正方形
，点
，
分别在射线
，射线
上，
，
与
交于点
．
如图，当点
，
分别在线段
，
上时，则线段
与
的数量关系是 ，位置
关系是 ．
如图，当点
在线段
延长线上时，将线段
沿
进行平移至
，连接
．
依题意将图补全．
在点
运动的过程中，线段
，
，
的长度始终有一个成立的等量关系．请猜
想该等量关系_________，并证明这个关系．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
;
画图见解析．
．
4
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
在
和
∴
≌
∴
，
∴
，
∵
，
∴
∴
．
补全如图：
连接
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
5
【标注】
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
图
（1 ）
（2 ）
3. 正方形
中，点
是对角线
的中点，
是对角线
上一动点，过点
作
于点
．
如图，当点
与点
重合时，显然有
．
图
如图，若点
在线段
上（不与点
、
重合），
且
交
于点
．求证：
．
如图所示建立直角坐标系，且正方形
的边长为．若点
在线段
上（不与点
、
重合），
，且
交直线
于点
，请在图中作出示意图，并且求出当
是
一个等腰三角形时，
点的坐标为 （直接写出答案）．
6
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
如图，连接
，
∵四边形
是正方形，
平分
，
，
≌
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
点坐标为
，
过点
作
轴，
轴，
∵四边形
是正方形，
为对角线，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
设
，则
，
7
【标注】
，
∵
，
∵
为钝角，
∴
为等腰三角形时，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
点坐标为
．
【知识点】正方形与平面直角坐标系综合
