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圆锥曲线
一、弦长、面积最值
1.
已知椭圆
的离心率为
，且经过点
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若一条直线与椭圆恰有一个公共点，则定义该直线为椭圆的切线，这个公共点称为切点．
以椭圆
（
，且
）上
为切点的切线方程是
（
，且
）．
（ⅰ）过椭圆
外一点
作椭圆的两条切线，切点分别为
，
．若点
在定直线
上
运动，求证：直线
恒过定点，并求出该定点坐标；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，设
为坐标原点，求
面积的最大值．
2.
已知动点
到定点
的距离和它到定直线
距离的比是常数
．
(1)求动点
的轨迹
；
(2)已知不过原点的直线与曲线
交于
、
两点，若直线
，直线，直线
的斜率
成等比数列．
①求直线的斜率
；
②记以
为直径的圆的面积分别为
，试探究
是否为定值，若是，求出此
值；若不是，说明理由．
3.
已知动圆
与直线
相切且与圆
外切.
(1)求圆心
的轨迹
的方程;
(2)若过定点
的两条相互垂直的直线
交曲线
于A，C，B，D 四点，求四边形
面积的最小值.
4.
已知动点
与两个顶点
，
的距离之比为
，动点
的轨迹为曲线
.
(1)求
的轨迹方程；
(2)已知
，过直线
上的动点
（
）分别作圆的两条切线
，
（
，
为切点），
与
交于点
.
（i）证明直线
的方程为
，并判断直线
是否过定点；
（ii）是否存在点
，使
的面积最大？若存在，求出点
坐标和
面积最大值；
若不存在，请说明理由.
5.
已知椭圆
的离心率为
，且过点
，其左、右顶点分别为
，
为椭圆
上异于
的两点．
(1)求椭圆
的方程．
(2)设直线
的斜率分别为
，且直线
过定点
．
①设
和
的面积分别为
，求
的最大值；
②证明
为定值，并求出该定值．
二、定值问题
6.
椭圆
的离心率为
，左右顶点分别为
，
，上下顶点分别为
，
，四边形
是边长为
的菱形．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知A 是椭圆C 在第一象限上的点，B 与A 关于原点对称，
为椭圆C 的右焦点，连接
与
，并延长交椭圆C 于D，E 两点，若直线AB 的斜率为
，直线DE 的斜率为
，
试探究
是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由．
7.
已知双曲线
：
的焦距为
，且左右顶点分别为
,
，过点
的
直线与双曲线
的右支交于
,
两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
的斜率为1，求弦长
；
(3)记直线
,
的斜率分别为
,
,证明：
是定值.
8.
设
，
两点的坐标分别为
，
，直线
与
相交于点
，且它们的斜率之
积为
.设点
的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)过原点的直线与
交于
，
两点（与
不重合），证明：直线
与直线
的斜率
之积为定值，并求出该定值.
9.
已知以
为焦点的抛物线
的顶点为原点，点
是抛物线
的准线上任意一点，过点
作抛物线
的两条切线
、
，其中
、
为切点，设直线
、
的斜率分别是
和
．
(1)求抛物线
的标准方程及其准线方程．
(2)求证：
为定值．
(3)求证：直线
过定点，并求出该定点．
10. 已知椭圆
：
的离心率为
，
，
分别为
的左、右焦点，
，
分别为
的左、右顶点，椭圆
的右顶点到右焦点的距离为1，
为坐标原点.椭圆
上
一点
在第一象限，点
与点
关于原点对称，连接
，并延长与椭圆
交于点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
，
的斜率分别为
，
，求证：
为定值.
三、定点问题
11.
已知椭圆
上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心
率为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)A,B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，设
,连接DB 交椭圆于另一点E，证明直线AE
恒过x 轴上的定点P.
12. 已知椭圆
的上顶点为
，四个顶点组成的四边形面积为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的动直线与椭圆
交于两点
，点
关于
轴的对称点为点
，求证：
直线
恒过定点，并求出定点坐标
13. 已知椭圆
，点P 为C 的上顶点．
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)求椭圆上动点T 到点P 的距离的最大值；
(3)设与两坐标轴均不垂直的直线l 与椭圆C 交于异于P 的两点A 和B，设直线PA、PB 的斜
率分别为
、
．当
时，判断直线l 是否经过定点？若是，请求出这一定点；
若不是，请说明理由．
14. 如图，已知直线与抛物线
交于
两点，且
.
(1)求证：直线
恒过定点，并求此定点；
(2)若
交
于点
，点
的坐标为
，请你求出
的值；
(3)在第（2）问的基础上，若
是抛物线上的任一点，
为抛物线的焦点，求
的最小值及此时点
的坐标.
15. 在平面直角坐标系xOy 中，
，曲线
上有两点A，B，当
时，
.
(1)求曲线E 方程；
(2)若点A 在曲线E 的右支上，点B 在曲线E 的左支上，点A，B，F 三点不共线，且
，试判断直线AB 是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，
请说明理由.
四、相切问题
16. 已知椭圆
的方程为
，短轴长为2，右焦点为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
是椭圆
上的两点，
，且直线AB 与曲线
相切，求直
线AB 的方程．
17. 已知点
的坐标分别为
，点
是抛物线
上的一个动点．
(1)求证：以点
为圆心，
为半径的圆与直线
的相切；
(2)设直线
与抛物线
的另一个交点为点
，连接
，求证：
．
18. 已知双曲线
.
(1)若双曲线
的离心率为
，求
的值；
(2)若直线
与圆
相切，证明：直线与双曲线
的左右两支各有一个
公共点.
19. 如图所示，已知抛物线
的焦点为
，直线过点
.
(1)若直线与抛物线
相切于点
，求线段
的长度；
(2)若直线与抛物线
相交于
，
两点，且
，直线
与抛物线
交于另一点
，
连接
，记
中点为
，直线
交
于点
，求
的面积.
20. 已知点
为圆
上任意一点，点
，线段
的垂直平分线交直线
于点
，设点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)若过点
的直线与曲线
相切，且与直线
分别交于点
.
（i）证明：点
为线段
的中点；
（ii）求
的取值范围.
五、四点共圆问题
21. 已知圆
经过椭圆
的右焦点
及右顶点
.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点，求线段
的中点
的轨迹方程；
(3)过点
作与
轴平行的直线与
交于点
，直线
与
轴交于点
，
证明：点
共圆.
22. 已知点N(1，2)，过点N 的直线交双曲线
于A，B 两点，且
．
(1)求直线AB 的方程；
(2)若过点N 的直线交双曲线于C，D 两点，且
，那么A，B，C，D 四点是否共
圆？为什么？
23. 已知两点
,点
是直角坐标平面上的动点，若将点P 的横坐标保持不变、
纵坐标扩大到
倍后得到点
满足
,
(1) 求动点P 所在曲线C 的轨迹方程；
(2)过点B 作斜率为
的直线l 交曲线C 于M,N 两点，且满足
，又点H 关
于原点O 的对称点为点G，试问四点M,G,N,H 是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；
若不共圆，请说明理由．
24. 设双曲线
：
的一个焦点坐标为
，离心率
，
，
是
双曲线上的两点，
的中点
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)求直线
方程；
(3)如果线段
的垂直平分线与双曲线交于
、
两点，问
、
、
、
四点是否共圆？
若共圆证之，若不共圆给予充分理由．
25. 在平面直角坐标系
中，动圆
与圆
：
内切，且与圆
：
外切，记动圆
的圆心的轨迹为
．
(1)求轨迹
的方程；
(2)已知
分别为轨迹
的左、右顶点，点
不与
重合．直线
与直线
交
于点
，与
轴交于点
，直线
与直线
的交点为，若四点
共圆．求实
数的值．
