文档文本内容
第 04 讲 利用导数研究函数的零点（方程
的根）(精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表， 的导函数 的图象如图所示．当
时，函数 的零点的个数为（ ）．
－1 0 2 4 5
1 2 0 2 1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：由导函数 的图象可知，函数在 上为增函数，在 上为减函数，
且函数在 和 取得极大值 ，在 取得极小值 ，
则 的大致图象如图所示，
由图可知，当 时，函数 的图象与直线 的有4个交点，
故选：D2．若关于 的方程 有且只有2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 （ ），令 ，
所以关于 的方程 有且只有2个零点，等价于函数 的图像与直线 有两个交点，
由 ，得 ，
当 时， ，当 ， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
当 时， ，
所以当 时，函数 的图像与直线 有两个交点，
所以a的取值范围是 ，
故选：D
3．已知函数 有且仅有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：令函数 ，则有 ，令 ，则 ．
， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递
增． 当 时， 取得最小值，且 ，显然 ，当 时， 恒成立．由
此可以画出函数 的大致图象，如图所示，由图象可得，要使函数 有且仅有两个不同的零点，只需，即 ．
故选：D．
4．若函数 与 图象恰有一个公共点，则实数a不可能取值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】A
【详解】解：函数 的导数为 ；
所以过原点的切线的斜率为 ；则过原点的切线的方程为： ；
当 时，函数 与 的图象恰有一个公共点；所以， .
所以选项A不符合题意，选项BCD符合题意.
故选：A.
5．若方程 在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．[0,2]
C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，方程 在[0,2]上有解，则 ，x∈[0,2]，
令 ，x∈[0,2]，则 ，令 ，解得x>1，
因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
又x=1时， ；x=2时，y=2；x= 0，y= 0，
∴函数 ，x∈[0,2]的值域是 ，故 ，∴ .
故选：A.
6．方程 恰有三个不等的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 或 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以函数 在 单调递增，在 单调递减，
则当 ，函数 取得极大值 ，
当 ，函数 取得极小值 ，
要使得方程 恰有三个不等的实根，
即函数 与 的图象有三个不同的交点，
所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：B.
7．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由题设， 且 定义域为 ，
所以在 上 ，在 上 ，即 在 上递减，在 上递增，
所以 的极小值为 ，又 ， ，
则 在 、 上各有一个零点，共有2个零点.
故选：B
8．已知函数 有最小值，则函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．取决于a的值
【答案】C
【详解】解：函数 ， ，
则 ，函数 的最小值即其极小值，
即 有解，
当 有一解 时，
在 的两侧 都成立，此时 是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，
因此 有两解，即 有两解，故 有两个零点．
故选：C．
二、多选题
9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．函数 是奇函数
C．函数 有两个零点
D．曲线 在原点处的切线方程为
【答案】AD
【详解】 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以选项A正确；
，所以函数 不是奇函数，选项B错误；
当 时， ；当 时， ；当 时， ，又 ，画出函数 的大致
图象如图，可知函数 只有一个零点，所以选项C错误；
易知 ，所以曲线 在原点处的切线方程为 ，选项D正确.
故选：AD.
10．设函数 ，则关于 的方程 的实数根的个数可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】BCD
【详解】，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， ， ，
则函数 与 的图象如下图所示
平移直线 可知，函数 与 的交点个数可能为
则关于 的方程 的实数根的个数可能为
故选：BCD
三、填空题
11．函数 有两个零点，则 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：由题知， 与 有两个交点， ，
由 得 ；由 得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，且当 时， ，函数图象如下所示：所以 ；
故答案为：
12．函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 ______.
【答案】2
【详解】求导得 ，由 得 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；当 时， ，
单调递增.
所以，当 时， 有极大值 ；当 时， 有极小值 .
依题意可知 或 ，又 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题
13．已知函数 （ ）
(1)求 在 处的切线方程；
(2)当 有3个零点时，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1) ，切点为 .
， ，
所以切线方程为： .
(2) ，
令 ，解得 ， .
， ， 为增函数，， ， 为减函数，
， ， 为增函数，
所以 的极大值为 ，极小值为 .
因为 有 个零点时，所以 ，解得 .
14．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【详解】（1） 且 ，
∴当 时， ， 递增；
当 时：若 时， ， 递减；当 时， ， 递增；
∴ 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增；
（2）由（1）知： 时 才可能存在两个零点，且 ，
∴ ，可得 .
B 能力提升
1．若函数 ，当 时，函数 取得极值 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若方程 有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)对 求导，得 ，
由题意，得 ,解得 ,
∴ .(2)由（1）可得 ,令 ，得 或 ,
∴当 时， ；当 时， ；
当 时， .
因此，当 时， 取得极大值 ；
当 时， 取得极小值 ,
函数 的大致图象图如所示.:
要使方程 有3个不同的实数根，
由图可知，实数k的取值范围是 .
2．设函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若 的图像与直线 没有公共点，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1) 定义域是 ，
，
或 ，
若 ，则 ， 在 上是增函数，
若 ，则在 时， ， 时， ，
的减区间是 ，增区间是 ；
若 ，则在 时， ， 时， ，的减区间是 ，增区间是 ；
(2)由（1） 时， ， 时， ，
因此由题意 ，即 ，
设 ，
时， ， 恒成立， ，
时， ， ，
所以 的取值范围是 ．
