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专题01 解三角形大题综合（天津专用）
一、解答题
1．（2023·天津滨海新·统考三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
， ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理计算可得；
（3）由余弦定理求出 ，即可求出 、 ，再由两角差的正弦公式计算
可得.
【详解】（1）由余弦定理知， ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍负），所以 ．
（2）由正弦定理知， ，
所以 ，
所以 ．
（3）由余弦定理知， ，所以 ， ，
所以
.
2．（2023·天津·统考一模）在 中，角 的对边分别为 .已知
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦边角关系及余弦定理求值即可；
（2）由同角三角函数关系及正弦定理求值即可；
（3）应用二倍角公式求 对应函数值，再由差角正弦公式求值即可.
【详解】（1）由 及正弦定理得： ，
∴ ，
由余弦定理得 .
（2）由（1）知： ，
由正弦定理 ，得 .（3）由 ，且 ，
∵ ，即 ，∴ ，
∴
.
3．（2023·天津河北·统考一模） 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理可得 ，再由正弦定理将边化角，即可得到
，从而求出 ，即可得解；
（2）用同角三角函数的基本关系求出 ，即可求出 、 ，再根据两角差
的正弦公式计算可得.
【详解】（1）由余弦定理 ，则 ，
又 ，所以 ，即 ，
由正弦定理可得 ，因为 ，
所以 ，则 ，又 ，所以 .
（2）因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，所以 .
4．（2023·天津和平·统考二模）在 中，内角 所对的边分别为 ，设
满足条件 和 ，
(1)求角 和 ；
(2)若 ，求 的面积；
(3)求 ．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）先利用余弦定理求出 ，结合条件利用正弦定理化边为角可得答案；
（2）求出 ，利用三角形面积公式可得答案；
（3）先根据倍角公式求出 ，再利用两角和的余弦公式可求答案.
【详解】（1）由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ．
由已知条件，应用正弦定理
，
即 ，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ，所以 ．
（3）因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
5．（2023·天津·校联考模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c．满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)设 ， ．
（ⅰ）求c的值；
（ⅱ）求 的值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可.
（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合
即可求解.
【详解】（1）由 ，
根据正弦定理得， ,
可得 ，因为 ，故 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）由（1）知， ，且 ， ，
（ⅰ）则 ，
即 ，解得 （舍）， .
故 .
（ⅱ）由 ，
得 ，
解得 ，则 ，
则 ，
，
则
.
6．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在 中， ， ， 分别为角 ， ，
所对的边，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用余弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用二倍角公式、辅助角公式及诱导公式求出 ，即可求出 ，再由两角
差的余弦公式计算可得.
【详解】（1） 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，且
．
由余弦定理得 ，整理得 ，
，
，
．
（2）因为 ，
，
，即 ，
所以 ，
又 ， ，
，
．
7．（2023·天津河西·统考三模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知 ， .
(1)求 的值；
(2)若 ，
（i）求 的值；
（ⅱ）求 的值.【答案】(1)
(2)（i） ；（ⅱ）
【分析】（1）根据题意利用正弦定理运算求解；
（2）（i）利用余弦定理运算求解；（ⅱ）根据三角恒等变换运算求解.
【详解】（1）由 ，且C是三角形的内角，则 ，
因为 ，由正弦定理得 ，
所以 .
（2）（i）由余弦定理得 ，
即 ，解得 或 .
（ⅱ）由（1）知 ，由 知A为锐角，得 ，
所以 ，
，
所以 .
8．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，在平面四边形ABCD中，
， ， ， ， ．(1)求 和 的值；
(2)记 ，求 的值．
【答案】(1) ,
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理求解即可；
（2）先利用平方和关系求出 ，进而求 ， ，然后用两角和的余
弦公式求解即可.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ．
由题设知， ，所以 ．
所以 ．
在 中，由余弦定理得
．
所以 ．（2）因为 ，所以 ．
， ．
所以 ．
9．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）在 中，角 所对的边
分别为 ，c.已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，再结合两角和与差的三角函数公式即可求解.
（2）用两角和的余弦公式把 拆开，结合二倍角公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
即 ，
（2）10．（2023·天津河西·天津市第四中学校考模拟预测）在 ABC中，角A，B，C的对
△
边分别为a，b，c，且
(1)求B的大小；
(2)若 ，求 ABC的面积.
△
(3)已知 ，且α为锐角，求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公
式化简，即可得解；
（2）先利用余弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式即可得解；
（3）先利用平方关系求出 ，再根据 结合诱导公
式即可得解.
【详解】（1）∵ ，
∴由正弦定理可得 ，
又
∴∵ ，∴
∵ ，∴ ；
（2）∵ ，
∴由余弦定理可得 ，整理可得 ，
又 ，解得 ，
∴ ；
（3）因为α为锐角，所以
又因为
所以 为钝角，
则
.
11．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）在 中，
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)5
(3)【分析】（1）根据倍角公式结合正弦定理分析运算；
（2）利用倍角公式和两角和差公式求 ，再利用余弦定理求 的值；
（3）利用两角和差公式运算求解.
【详解】（1）因为 ，则 ，
由正弦定理可得： ，即 ，
所以 .
（2）由（1）可得： 且 ，则 ，
可得 ，
所以 ，
由正弦定理 ，可得 .
（3）由（2）可得 .
12．（2023·天津红桥·统考一模）已知 的内角 所对的边长分别为 ，
且 ．
(1)求角 的大小；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）由余弦定理求出 ，结合 ，求出 ；
（2）结合（1），由正弦定理求出 的值；
（3）由二倍角公式得到 ，由两角差的正弦公式即可求解
【详解】（1）在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 ；
（2）在 中，由（1）知 ， ， ，
由正弦定理可得 ；
（3）由 知 ，所以角A为锐角，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
13．（2023·天津南开·统考一模）在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理边化角及同角三角函数平方关系即可；
（2）由余弦定理即可解得；
（3）由条件及（1）根据余弦的差角及二倍角公式即可.
【详解】（1）由于 ，则 .
因为 ，由正弦定理知 ，
则 .
（2）因为 ， ，
由余弦定理，得 ，
即 ，解得 （负值舍去）.
（3）由（2）知 ，所以 .
由（1）得 .
，
所以
14．（2023·天津河东·一模）在三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
．已知 ， ， ．
(1)求 的值；(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理边化角求解作答.
（2）利用（1）的结论及余弦定理计算作答.
（3）利用（1）（2）的结论，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦公式求解作答.
【详解】（1）在 中，由已知得 ，由正弦定理得 ，
而 ， ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理得 ，即 ，而 ，
解得 ，
所以 .
（3）在 中， ， ， ，有 ，
则 ， ，
由（2）知， ，即 ，
所以 .
15．（2023·天津·校联考一模）在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
已知 ．
(1)求角 的大小；
(2)设 ， ，求 和 的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由三角恒等变换得出角 的大小；
（2）由余弦定理求出 ，再由正弦定理得出 ，最后由三角恒等变换求
解.
【详解】（1）解：因为 ，
所以
所以 ，
因为 ，所以 ，所以
又 ，所以 ；
（2）在 中，由余弦定理及 ， ， ，
有 ，故 ．
由正弦定理 ，可得 ．因为 ，故 ．
因此 ， ．
所以， ．
16．（2023·天津河北·统考二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知 .
(1)求角A的大小；
(2)若 ， ，求边c及 的值.【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据正弦定理化简为 ，从而可得
，结合角的范围可得 ，从而可求得 ；
（2）由正弦定理求得 ，再根据余弦定理可求得 ，由 求得 ，
进而求得 ， ，再结合和角正弦公式可得 .
【详解】（1）根据正弦定理，
由 可得 .
即 ，即 ，
因为 ，所以 .
所以 ，即 .
（2）由正弦定理 ，可得 ，解得 ，
根据余弦定理可得 ，
即 ， ，解得 或 （舍去）
故 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
，所以 .
17．（2023·天津·校联考一模）在 中，内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)若 的面积等于 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积；
(3)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据余弦定理可得 ，再根据三角形的面积即可求得答
案；
（2）利用正弦定理化角为边，再结合已知求出 即可得解；
（3）根据 ，可得 ，求出 的关系，再结合已知求出 即可得解.
【详解】（1） ，
由余弦定理得 ，即 ，①
，
，②
联立①②解得 ；
（2） ， 由正弦定理得 ，③
联立①③解得 ，；
（3） ，
，
即 ，④
联立①④解得 ，
.
18．（2023·天津·校联考一模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（
），已知 ，
(1)求 ；
(2)求a，c的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出 ；
（2）由三角形面积公式得出 ，再由余弦定理得出 ，进而得出a，c的值；
（3）计算 ，再由差角公式求解即可.
【详解】（1） ， ，
又 ， .
（2） ，又 ，， ①
，即 ②
又 ， 由①②可得 ，
（3） ，
，
.
19．（2023·天津河西·统考二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
满足 ．
(1)求角A的值；
(2)若 ， ，
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求 的值．
【答案】(1)
(2) ；
【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得 ，由余弦定理即可求出 ；
（2）（ⅰ）由正弦定理可求出 的值；（ⅱ）由同角三角函数的基本关系可求出
，再由二倍角的正弦和余弦公式求出 ，最后由两角差的余弦公式求
出 的值．【详解】（1）由正弦定理得： ，化简得： ，
由余弦定理得： ，又 ，所以 .
（2）（ⅰ）由（1）知， ，又 ， ，
由正弦定理可得： ；
（ⅱ）因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以
.
20．（2023·天津·统考二模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已
知 ， ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理可得出 ，利用余弦定理可求得 的值，进而可求得
的值；
（2）分析可知角 为锐角，利用同角三角函数的基本关系求出 的值，再利用正
弦定理可求得 的值；（3）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式可求得 的值.
【详解】（1）解：由正弦定理 及 可得 ，则
，
由余弦定理 ，可得 ，故 .
（2）解：因为 ， ，则 ，
由正弦定理 可得 .
（3）解：由（1）可知 ，则 ，故 为锐角，
所以， ，
所以， ，
，
所以， .
21．（2023·天津·校联考二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求 ；
(2)若 ， ，求a，c；
(3)若 ，求 .
【答案】(1)
(2) ，(3)
【分析】（1）由正弦边化角及三角恒等变换可得 结合三角形内
角性质求 ；
（2）由正弦角化边及余弦定理列方程求a，c；
（3）由题设及（1）得 ，注意 为锐角，应用倍角正余弦、差角正
弦公式求目标式的值.
【详解】（1）由题设及正弦边角关系得： ，
显然 ，则 ，又 ，故 ；
（2）由 ，则 ①，
由（1）得： ②，
由①②得： ， ；
（3）由正弦定理得： ，则 ，
∵ ，即 ，则 ，故A为锐角，
∴ ，
∴ ， ，
∴ .22．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测） 的内角A， ， 的对边
分别为 ， ， ，已知 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换计算即可；
（2）利用正切的二倍角与差角公式计算即可.
【详解】（1）由正弦定理 ， ，
所以
即
因为 且 ，所以 ，即
（2）由上知 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
∴
∴
23．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）在 中，角
、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 ，（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求 的值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）利用正弦定理化简原式，直接利用余弦定理求 的值即可；
（2）（i）由（1）可得 ，再利用正弦定理求 的值，利用同角三角函数
的基本关系和两角和的正切公式即可求解；
（ii）由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果．
【详解】（1）在 中，由正弦定理
可得： ，整理得 ，
由余弦定理，可得 ；
（2）（i）由（1）可得 ，又由正弦定理 ，
及已知 ，可得 ，
由已知 ，可得 ，故有 ，
为锐角，可得 ， ，
则 ；
（ii）由（i）可得 ， ,.
24．（2023·天津南开·统考二模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
，且 ， ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得 ，再由同角三角函数的基本
关系求解即可；
（2）由余弦定理求解即可；
（3）由题意可得出 ，再由二倍角的正弦和余弦公式及两角和的余弦公
式求解即可得出答案.
【详解】（1）由 及正弦定理，
得 ，因为 ，
所以 ，且 .
又 ，可得 .
（2）因为 ，
由余弦定理，得 ，
即 ，解得 (负值舍去).（3）由（1）及 ， ， ，得 ，
从而 .
由（1）得 .
， ，
所以
.
25．（2023·天津和平·统考三模）在 中，内角 所对的边分别为 ，已
知 ，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的面积；
(3)求 .
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据同角三角函数关系求角的正余弦值，再应用 两
角和差计算即可；
（2）由正弦定理求边，再应用两角和差求正弦值，最后应用面积公式求解；（3）根据二倍角公式计算可得 最后应用诱导公式及两角和差
计算可得.
【详解】（1）因为
（2）由正弦定理 可得 .
,
所以 的面积 .
（3）
