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微专题03 函数的4 大基本性质讲义
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
微专题教学内容
1. 奇偶性的运算
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)−g(x)
f(x)g(x)
f[g(x)]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
2. 与指数函数相关的奇函数和偶函数
f ( x)=ax+a−x
，（
，且
）为偶函数，
，（
，且
）为奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
为偶函数
3. 与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（
且
）为奇函数，
，（
且
）为奇函数
4. 函数的周期性
①若
，则
的周期为：
②若
，则
的周期为：
③若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
④若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
⑤
，周期为
，
，周期为
⑥
，周期为
，周期为
；
，周期为
；
，周期为
⑦复合函数：
的周期为
，则
的周期也为
⑧若
的周期为
，则
、
的周期均为
5. 函数的对称性
轴对称
①若
，则
的对称轴为
②若
，则
的对称轴为
点对称
①若
，则
的对称中心为
②若
，则
的对称中心为
6. 函数的性质综合
（1）周期性对称性综合问题
①若
，
，其中
，则
的周期为：
②若
，
，其中
，则
的周期为：
③若
，
，其中
，则
的周期为：
（2）奇偶性对称性综合问题
①已知
为偶函数，
为奇函数，则
的周期为：
②已知
为奇函数，
为偶函数，则
的周期为：
典例精讲
【典例1】
若函数
为奇函数，则实数
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
会一题通一类
1.已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2.已知函数
是奇函数，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【典例2】
设函数
，则满足
的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
已知函数
，则满足
的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】
已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1.已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知函数f (x)= 1
2 x
2+cos x，则f (−2)，f (3)，f (π)的大小关系是（ ）
A．f (−2)<f (3)<f (π)
B．f (π)<f (3)<f (−2)
C．f (3)<f (−2)<f (π)
D．f (−2)<f (π)<f (3)
【典例4】
已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
会一题通一类
已知函数
是
上的奇函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【典例5】
已知函数
的图象关于点
对称，则
（ ）
A．
B．10
C．2
D．
会一题通一类
已知函数
是定义在
上的偶函数，函数
的图象关于点
中心对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【典例6】
已知函数f ( x)的定义域为R，且f ( x +3)为奇函数，f (2−x)为偶函数，记f ( x)的导函数为f
′( x)，则下列
函数为奇函数的是（ ）
A．f ( x−1)
B．f
′(−x +3)
C．f ( x +2)
D．f ( x)
会一题通一类
函数f ( x)的定义域为R，且f ( x)与f ( x +1)都为奇函数，则说法不正确的是（ ）
A．f ( x−1)为奇函数
B．f ( x)为周期函数
C．f ( x +3)为奇函数
D．f ( x +2)为偶函数
【典例7】
已知曲线y =ln
x
2+ x −x +a关于点(−1,0)中心对称，则a=（ ）
A．2
B．1
C．−1
D．−2
会一题通一类
若函数f (x)=e
x +1+e
a−x+( x +b)
2关于直线x =2对称，则a+b=（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【典例8】
已知函数
是定义在
上周期为4 的奇函数，若
，则
．
会一题通一类
1.已知函数
的定义域为
，若
为偶函数，
为奇函数，则下列式子中一定是定
值的为 （ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知定义在
上的函数
，满足
是偶函数，
是奇函数，则
.
【典例9】
已知函数
是定义在
上的奇函数，函数
的图象关于
对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
会一题通一类
1.设函数
的定义域为
，
是
的导函数.若
是奇函数，则
的图象（ ）
A．关于
对称
B．关于
对称
C．关于
对称
D．关于
对称
2.已知
是定义在
的奇函数，且
．若
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
【典例10】
设
为定义在整数集上的函数，
，
，
，对任意的整数
均有
，则
=（ ）
A．0
B．1013
C．2025
D．4050
会一题通一类
1.（多选）已知函数
的定义域为
，函数
为奇函数，函数
为偶函数，则（ ）
A．函数
的一个对称中心为
B．
C．函数
为周期函数，且一个周期为4
D．
2.（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．方程
无解
C．
D．
学后测评
一、单选题
1．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数
是偶函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．1 或-1
2．（2025·云南·模拟预测）已知函数
（
且
）的图象关于
轴对称，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
3．（2025·新疆·模拟预测）已知函数
，若
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·安徽·二模）已知函数
，下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
满足
，若函数
与
图象的交点为
、
、
、
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·湖南长沙·二模）已知函数
，且
，则实
数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2025·四川绵阳·一模）已知定义在
上的偶函数
可导，
的导数为
是奇函
数，则（ ）
A．
B．
的一个周期为8
C．
D．
的图象关于
对称
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
，满足
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
9．（2025·海南·一模）已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．存在函数
，使得
的值域为
D．存在函数
，使得
是奇函数
10．（2025·陕西榆林·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
关于
对称
C．
的周期为2
D．
11．（24-25 高三上·山西·月考）下列函数中，在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（25-26 高三上·福建漳州·月考）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
为奇函数
C．
为
上的减函数
D．
无最值
13．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
则（ ）
A．
B．
的值域为
C．
是偶函数
D．
是增函数
14．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足：
，且
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
的图象关于直线
对称
15．（2025·辽宁丹东·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，
在区
间
上单调递增，且
，则（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
关于直线
对称
D．
