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第 04 讲 幂函数与二次函数 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
角度2：求幂函数的解析式
角度3：由幂函数求参数
高频考点二：幂函数的值域
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
角度2：幂函数图象过定点问题
高频考点四：幂函数单调性
高频考点五：幂函数的奇偶性
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
角度2：求二次函数解析式
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、幂函数
（1）幂函数定义一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性 在 上
在 和
质 在 上单 单调递减； 在 上单调 在 上单
单调性 上单
调递增 在 上 递增 调递增
调递减
单调递增
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数 ，在
①当 时， 在 单调递增；
②当 时， 在 单调递减；
2、二次函数
形如 的函数叫做二次函数.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（文））现有下列函数：① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·高一专题练习）函数 在区间 上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B． C． D．最小值是 ，无最大值
3．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，
则实数a的取值范围为________；若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的减区间是(－∞，4]，则实数a的取值为________.
4．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 ______．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
例题2．（2022·陕西渭南·高一期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数 在 上单调递增，则 的
解析式是_____.
例题2．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知幂函数 为偶函数，
(1)求函数 的解析式；
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2022·江西赣州·高一期末）已知幂函数 在区间 上单调递减，则实数
的值为______.
例题2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知幂函数 ，且对于 ，
满足 ，则 ______．题型归类练
1．（2022·广西玉林·高二期末（文））幂函数 的图象关于 轴对称，且在
上是增函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 和
2．（多选）（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）如果幂函数 的图象不过原点，
则实数 的取值为（ ）
A． B． C． D．无解
3．（2022·福建师大二附中高一阶段练习）已知幂函数y＝f（x）的图象过（4，2）点，则 ＝
________．
3．（2022·广西柳州·高一期中）已知幂函数 的图象过点 ，则 ___________.
4．（2022·云南·昆明一中高一期末）幂函数 图象经过点（9，3），则f（4）=___________.
5．（2022·福建南平·高二期末）若函数 是幂函数，则实数 ______.
6．（2022·全国·模拟预测）若幂函数 的图像关于y轴对称，则实数 ______．
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，值域是 的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数 的图像过点 ，则 的值域
是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数 在区间 上是减函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)讨论函数 的奇偶性和单调性；
(3)求函数 的值域．高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）幂函数 在第一象限的图像如图所示，则
的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（多选）（2022·重庆南开中学高一期末）下列四个函数中过相同定点的函数有（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（2022·全国·高一期末）设 ，在下列函数中，图像经过定点 的函数有（ ）
A． B． C． D．题型归类练
1．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知幂函数 的图象过点 ，则函数 的
图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高一）图中C 、C 、C 为三个幂函数 在第一象限内的图象，则解析式中指数 的值
1 2 3
依次可以是（ ）
A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、
4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点
的坐标为____________.
5．（2022·北京·高一期末）幂函数 的图象恒过点_________，若幂函数 的图象过点 ，
则此函数的解析式是____________．高频考点四：幂函数单调性
典型例题
例题1．（2022·广西百色·高一期末）已知幂函数 在 上单调递减，则 的
值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
例题2．（2022·甘肃·张掖市第二中学高一期末）已知幂函数 在 为增函数，则
实数 的值为___________.
题型归类练
1．（2022·福建·三明一中高二阶段练习）已知幂函数 （ ）的图象关于 轴对
称，且在 上是减函数，则 的值为______.
2．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若幂函数在 在 上单调递增，则 ______.
3．（2022·上海·高三专题练习）已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上
单调递减，则 ______.
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2022·黑龙江绥化·高一期末）已知幂函数 )是奇函数且在 上是减函数，请写出
的一个表达式________．
例题2．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期末）函数 是幂函数且为偶函数，则 的值为
_________．
题型归类练
1．（2022·上海·高三专题练习）已知函数 为幂函数，且为奇函数，则实数a的值
__________．
2．（2022·上海长宁·高一期末）已知幂函数 在区间 上是严格增函数，且图象关于原点成中心
对称，写出一个满足条件的 __________.3．（多选）（2022·海南鑫源高级中学高一期末）若函数 的定义域为 且为奇函数，则 可能的
值为（ ）
A． B． C． D．3
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知函数 ， ，则函数的
值域是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期末（理））函数 在区间[－2，3]上
的最大值、最小值分别是（ ）
A．10，5 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2022·重庆·高二阶段练习）已知二次函数 ，满足 ，
.
(1)求函数 的解析式；
(2)求 在区间 上的值域.
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数 有最小值 ，且函数的零点为 和2，
求该二次函数的表达式．角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题3．（2022·北京市房山区房山中学高二期中）若函数 在 上是增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）若函数 在区间 上单调
递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）若函数 在 上的最小值为 ．则 ____．
例题2．（2022·全国·高一专题练习）若函数 的定义域 ，值域为 ，则 的取
值范围是_____.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）
C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）
2．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数 ．则函数的最大值和最小值之积为
______
3．（2022·全国·高一专题练习）函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范
围是______.
4．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）若函数 在区间 上为减函数，则实数
的取值范围为________．
5．（2022·广东汕头·高一期末）函数 是偶函数，且它的值域为 ，则
__________．6．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知函数 ，其中 ，若函数 的定义域
和值域均为 ，则实数 的值为______．
7．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）已知函数 ， 的最大值为3，最
小值为2，则实数 的取值范围是________.
8．（2022·天津市求真高级中学高二期末）设 ，已知函数过点 ，且函数的对称轴为
.
(1)求函数的表达式；
(2)若 ，函数的最大值为 ，最小值为 ，求 的值.
9．（2022·湖南·高一课时练习）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围．
10．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 上的最大值和最小值；
(2)若 在 为单调函数，求 的值；
(3)在区间 上的最大值为4，求实数 的值．
