文档文本内容
微专题拓展15 利用导数证明不等式
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 3
题型一：直接转化最值法....................................................................................................................3
题型二：指对切线放缩法....................................................................................................................9
题型三：指对加强放缩法.................................................................................................................. 11
题型四：和型对称构造法.................................................................................................................. 11
题型五：积型对称构造法..................................................................................................................13
题型六：换元辅助构造法..................................................................................................................16
题型七：比值代换统一变量..............................................................................................................20
题型八：对数单身狗、指数找朋友..................................................................................................27
题型九：主元分析法..........................................................................................................................34
题型十：导数数列结合不等式..........................................................................................................42
题型十一：凹凸反转证明法..............................................................................................................49
03 课后拓展精练............................................................................................................................54
1、常用导数放缩
①
(切点横坐标是
，
)
②
③
(切点横坐标是
，
)
④
⑤
⑥
2、利用导数证明不等式是高中数学的重要方法，常见方法有以下几种：
（1）构造函数法：将不等式变形，构造新函数。如证明
，可设
，对
求导，根据导数正负判断其单调性。若
在某区间单调递增，且能求出
在该区间端点值或极限值
大于0，则可证不等式成立。
（2）放缩构造函数法：当直接构造函数难以处理时，对不等式进行适当放缩，再构造函数。
（3）多次求导法：对于一些复杂函数，一次求导难以判断单调性，需多次求导。通过多次分析导数的变
化情况，确定函数的单调性与极值，进而证明不等式。
3、对(指)数平均不等式
对数平均不等式：两个正数
的对数平均
，有如下关系：
，
即几何平均数
对数平均数
算术平均数．
指数平均不等式：设
，
，则
，有如下关系：
．
题型一：直接转化最值法
例1．（2026·黑龙江·一模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求证：
．
【解析】（1）由题意可知，函数
，
的定义域为
，
导数
，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
，
；
综上，当
时，函数
在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（2）由（1）可知，当
时，
函数
在区间
上单调递增，在区间
，上单调递减．
所以
，
要证
，需证
．
即需证
恒成立，
令
，
则
所以函数
在区间
单调递增，
故
，
所以
，
恒成立，
所以当
时，
．
例2．（2026·山东济宁·一模）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)求证：当
且
时，
.
【解析】（1）函数
的定义域为
，
,令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增。
所以
的单调递减区间是
，单调递增区间是
；
极小值为
，无极大值.
（2）令
，则
，
由（1）可知，
即
的最小值为
，
已知
，代入得：
，
因此
对任意
恒成立，故
在
上单调递增，
当
时，
，即：
得证.
例3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
.
(1)设
，求
的单调区间；
(2)设
是
的极小值点，求证：
.
【解析】（1）由题可得
，
所以
，
令
，解得：
，
令
，解得：
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）因为
是
的极小值点，
则
，
即
，即
，
所以
由于
，
，由于
在
上单调递增，
所以
，
令
，所以
在
上单调递减，
则
，
即
变式1．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)证明：当
时，
．
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导可得
，
令
，解得
，即
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
故函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）由（1）知
，
依题意，即证
，即证
，
设
，求导可得
，
令
，解得
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，
因为
，
，
所以当
时，
，
故当
时，
．
变式2．已知
(1)设函数
，讨论函数
的单调性；
(2)当
，
时，证明：
．
【解析】（1）由题可得：
，其中
.
.
当
时，令
，
，
则此时
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
，则此时
在
上单调递增.
综上可得：
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增.
（2）当
时，
，又
，则
，
则要证：
，
即证
.令
，
则
，令
.
则
；
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
从而
，即
，从而命题得证.
变式3．已知函数
.
(1)求函数
的极大值与极小值；
(2)证明：当
时，
.
【解析】（1）由题意得
，
当
，
或
，当
，
，
所以当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
则
，
.
（2）若证当
时，
，
即要证当
时，
，
即
，又
，
则要求
在
上恒成立即可，
而
，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
，所以
，得证.
变式4．已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
在
处取得极值，且
，求实数
的取值范围；
(3)当
时，证明：
．
【解析】（1）由题得
，
，
①当
时，
恒成立，所以
在
上单调递减；
②当
时，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）函数
在
处取得极值，
由（1）知
，且
，解得
，
由
，得
,即
，
令
，
，则
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
即
．
（3）证明：令
，
由（2）知
在
上单调递减，则
在
上单调递减，
因为
，
所以
，即
，
因为
，所以
，
又因为
，
所以
．
变式5．（2026·广东广州·三模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，求证：
.
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，
，令
，
则
，故
即
在
上单调递增，
又
时，
时，
函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）证明：当
时，
，
令
，则
，
令
，
，
在
单调递增，又
，
，使得
，且是
在
上的唯一零点，
在
上为负，在
上为正，
故
在
处取到极小值，也就是最小值.
，即
，
，
，
当
时，
.
题型二：指对切线放缩法
例4．（2026·重庆·模拟预测）设函数
（
）满足
恒成立.
(1)求
的值；
(2)求证：
.
【解析】（1）由于
，所以，
恒成立即
恒成立，
处取最小值，
，故由
（必要条件）；
验证充分性：当
时，
；令
，得
，
令
，得
，令
，得
；
故
在
上单调递减，
在
上单调递增，
故
，即
恒成立.
综上所述，
（2）证明：由（1）知
恒成立，故
；
又
，
所以，
，
故
，即
.
例5．已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程.
(2)证明：
无零点.
(3)若函数
，证明：
.
【解析】（1）函数
，求导得
，则
，而
，
所以所求的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，设
，求导得
，
由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此
，即
，则
恒成立，
所以函数
无零点.
（3）依题意，函数
的定义域为
，
不等式
，由（2）得
，则
，
令
，则
，令函数
，求导得
，
由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，因此
，
则
，所以
.
例6．已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，都有
，求实数
的值；
(3)证明:
.
【解析】（1）当
时，
，定义域为
.
，
令
，解得
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）
，
令
，得
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
所以
，
要使
恒成立，只需
，即
.
设
，则
，
令
，得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减.
所以
，
即对于任意的
， 都有
，
若要满足
， 则必须
， 此时
.
所以实数
的值为 1.
（3）要证
， 即证
.
由(2)可知， 当
时
在
上恒成立，
所以
.
所以
.
设
， 则
，
当
时，
，
单调递增， 所以
， 即
， 所以
.
题型三：指对加强放缩法
例7．（2026·高三·江西·阶段检测）已知函数
．
(1)讨论如何将曲线
平移变为曲线
；
(2)若
存在大于0 的零点，求
的取值范围；
(3)设点
在曲线
的任意一条切线上，证明：
．
【解析】（1）当
时，
的图像先向左平移
个单位长度，再向上平移
个单位长度得到
；
当
时，
的图像仅向左平移1 个单位长度得到
；
当
时，
的图像先向左平移
个单位长度，再向下平移
个单位长度得到
；
当
时，
的图像仅向下平移1 个单位长度得到
；
当
时，
的图像先向右平移
个单位长度，再向下平移
个单位长度得到
；
（2）令
，则
，则
，
当
时，
，方程无实数根，
无零点．
当
时，解得
，
设
，只需
即可，
所以
，
由于
，故
，故
恒成立，
所以
在
单调递减，又
，
所以当
时，即
，
即若
存在大于0 的零点，则
；
（3）不妨设切点为
，因为
，所以切线斜率为
，
则切线方程为
，
由于
是切线上一点，所以
，
要证
，即证
，
即证明
．
设
，即证
，
所以
．
当
时，
；当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
又
，所以
，即
，
即
得证．
例8．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
【解析】（1）函数
的定义域为
，且
．
当
时，
恒成立，
所以
在区间
上单调递增；
当
时，令
，解得
，
当
时，
在区间
上单调递增，
当
时，
在区间
上单调递减．
综上所述，当
时，
在区间
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（2）当
时，因为
，所以要证
，只要证明
即可，
即要证
，等价于
（*）．
令
，则
，
在区间
上，
单调递减；
在区间
上，
单调递增，
所以
，所以
（当且仅当
时等号成立），
所以（*）成立，当且仅当
时，等号成立．
又
在
上单调递增，
，
所以存在
，使得
成立．
综上所述，原不等式成立．
题型四：和型对称构造法
例9．（2026·河南·模拟预测）设函数
．
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
在
上恒成立，求a 的取值范围；
(3)当
时，若
满足
，求证：
．
【解析】（1）
时，
，对函数求导得
.
所以
.
所以
的图象在
处的切线方程为
，即
.
（2）由
得
.
因为
在
上单调递增，所以
.
若
，则
在
上恒成立，所以
在
上单调递增，
又
，所以
在
上恒成立，
若
，令
得
或
，且
.
当
时，
，
单调递减，
所以
，与
在
上恒成立矛盾，
综上所述，
的取值范围是
.
（3）证明：当
时，
，
所以
在
上单调递增，又
，
所以
时，
时，
.
若
，则
，不合题意；
若
，则
，不合题意，所以
.
设
，则
.
所以
在
上单调递增，因为
，所以
.
因为
，所以
.
又
，所以
，即
.
又
在
上单调递增，所以
，即
.
所以
，即
.
例10．已知函数
．若关于
的方程
在
内有两个根
，
证明：
．
【解析】函数
，求导得
，
而
，
，则
当
时，
，则
；
当
时，
，
，则
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
由方程
在
内有两个根
，得
，
要证
，只需证
，而
，
则只需证
，又
，就证
，
令
，求导得则
，
由
，得
，则
，
因此
，函数
在
上单调递增，即
，
而
，则
，即
，所以
.
例11．（2026·高三·天津蓟州·期中）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
有两个正零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
．
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递增；．
当
时，令
，解得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增．
综上所述，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）（i）由题意知方程
有两个不同的正实根
，
由（1）知
，且
，
所以
，解得
．
（ii）由（1）得
，所以
，两边同时取自然对数，
得
，
两式相减得
，即
，
要证
，只需证明
，
令
，只需证明
构造函数
，
求导得
，
所以函数
在
上单调递增，
于是
，所以不等式（*）成立，于是原不等式
成立．
题型五：积型对称构造法
例12．已知函数
．若函数有两个不同的极值点，记作
，且
，求证：
．
【解析】
．
因为
有两个不同的极值点
，所以
，
.
欲证
，即证
，又
，
所以原式等价于
①．
由
，
得
②．
由①②知原问题等价于求证
，
即证
.
令
，则
，上式等价于求证
.
令
，则
，
因为
，所以
恒成立，所以
单调递增，
，
即
，所以原不等式成立，即
.
例13．（2026·广东湛江·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
【解析】（1）由题意可得
，所以
，
的定义域为
，
又
，由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
（2）证明：由
，得
，设
，
，由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
又
，
，且当
趋近于正无穷，
趋近于
，
的图象如下图，
所以当
时，方程
有两个根，
证明：不妨设
，则
，
，
设
，
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
，即
，
又
，所以
，
又
，
，
在
上单调递减，所以
，
故
.
例14．（2026·广东江门·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性．
(2)已知
，函数
，且
仅有两个零点．
①求
的取值范围；
②证明：
的两个零点之积小于1．
【解析】（1）由
可知
，
对于方程
，若
，即
或
，
①当
时，
有两个不等正实根
，
此时在
上
，在
上
，
当
，
有两个不等负实根，此时在
上
，
②若
时，
恒成立，此时在
上
，
综上所述：当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减；
（2）当
时，
，
记
，则
，
显然
时，
，
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
①令
，则
，
记
，则
，所以
在
上单调递增，
所以
，要
与
有交点，需
，
又
时，
，
时，
，
所以
时，
与
只有一个交点
，
若
，此时
，则
，不符合题意，
若
，此时
有两个解记为
，
所以
；
②由上知
，
不妨设
，显然
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，所以当
时，
，
即
，所以
，
又
，
时，
单调递减，所以
，即
，证毕.
题型六：换元辅助构造法
例15．已知
，
，直线与函数
，
的图象都相切，且与函数
图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线的方程和
的值；
(2)当
时，求证：
．
【解析】（1）由
，得
，所以直线的斜率为1．
又直线与
图象的切点坐标为
，所以直线的方程为
．
因为直线与
的图象相切，所以方程组
有一解．
消去
并整理得
①．
依题意，方程①有两个相等的实根，
，
解之得
（舍去）或
．
（2）
．
因为
，所以
．
由于当
时，令
，
所以
在
上单调递增，则
，即得
，
所以
，所以
．
例16．（2026·高三·北京密云·阶段检测）已知函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)当
时，
（ⅰ）求
的极值点；
（ⅱ）设函数
，证明：
．
【解析】（1）因为
，所以
，
求导得
.
所以
，又
，
所以切线方程为
，即
.
（2）（i）因为
，所以
，
所以
，
令
，则
，解得
.
令
，求导得
.
因为
，所以
，所以
在
上单调递减，且
.
所以
在
上大于0，在
上小于0，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上取极大值，所以极大值点为
.
（ii）
，那么
且
，
当
时，
，此时
，即证
.
当
时，
，此时
，即证
.
综上，只需证明
在
且
上恒成立，
令
，则
.
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，故
得证.
例17．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
有且仅有两个零点
，
，且
，证明：
.
【解析】（1）由
，
①当
时，有
，函数
单调递增；
②当
时，令
，有
，可得函数
的减区间为
，增区间为
.
（2）①当
时，由
，符合题意.
②当
时，由
，不合题意.
③当
，若
，有
，可得
，
由上知，若
，则实数a 的取值范围为
.
（3）证明:由（1）知，当
时，函数
单调递增，最多只有一个零点，可得
，
又由
，
，有
，
要证：
，只需要证
，
只需要证：
，只需要证：
，
只需要证：
，
令
，上述不等式可化为
，
只需证：
，
令
，有
，
令
，有
，
可得函数
单调递增，有
，
可得函数
单调递增，有
（当且仅当
时取等号），
可得不等式
成立，由上知
.
题型七：比值代换统一变量
例18．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
【解析】（1）由题知：
.
，
令
得
或
，
当
时，
或
，
，
单调递增；
，
，
单调递减 ；
当
时，
，
单调递增 ；
当
时，
或
，
，
单调递增.
，
，
单调递减 .
综上，当
时，
在区间
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在区间
上单调递增；
当
时，
在区间
和
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由题意可知，
，
有两个极值点
，
是
的两正根，
则
， 且
.
.
，
∴要证
，
即证
， 即证
，
即证
， 即证
，
令
，则证明
，
令
，则
，
在
上单调递增，
则
，即
，
所以原不等式
成立．
例19．（2026·高三·湖北黄冈·阶段检测）已知函数
(1)求
的单调性;
(2)若
有两个不相同的零点
，
，设
的导函数为
．证明：
【解析】（1）∵
，定义域为
，
则
，
当
时，
恒成立，
当
时，令
，解得
，令
，解得
，
∴当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）证明：∵
有两个不相同的零点
，不妨设
，
∴由（1）知，
，
，故
，
，
又
，
结合
，令
，则
．
构造函数
，则
恒成立，
∴
在
上单调递增，
则
，
∴
成立．
例20．（2026·河南周口·三模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围；
(3)若
，且存在
，
，使得
，证明：
．
【解析】（1）若
，则
，
，
，又
，
故曲线
在点
处的切线方程为
；
（2）由
时，
，即
，整理得
，
令
，
，则
，
故
在
上单调递减，则
，即
；
（3）若
，则
，
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
时，
，
时，
，
则
，不妨设
，则
，
由
，则
，
两边同取对数，可得
，
故
，令
，则
，
即
，
，故
，
要证
，只需证
，即只需证
，
令
，
则
，
故
在
上单调递增，则
，
即有
恒成立，即得证.
变式6．（重庆市南开中学校2026 届高三年级5 月质量检测数学试题）已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个不同的零点
为
的导函数，试证明:
.
【解析】（1）
，
当
时，在
时，
在
上单调递减；
当
时，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减.
综上：当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
（2）证明：由（1）知，若函数
有两个不等实根，
则
，又当
时，
知，
要使函数
有两个不等实根，
则
，故
．
不妨设
，由
可得
，
故要证明
，
即证明
，
即证明
，结合
，
可得只需证明
，
令
，两边同除以
得
，
再同除以得
，移项即证
．
所以
转化为证明当
时，
成立．
令
，
，
，
对于
，对应二次方程的
，
所以当
时，
，故
，
所以函数
在
上单调递减，故
，
即
，故不等式
得证.
题型八：对数单身狗、指数找朋友
例21．（2026·高三·河北沧州·阶段检测）已知函数
，
．
(1)若
在
上单调递增，
，求实数
的值；
(2)证明：
．
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
在区间
上单调递增，所以
在区间
上恒成立，
即
，即
在区间
上恒成立，
设
，
，因为
与
在区间
上单调递减，
所以
在区间
上单调递减，
所以
，则
，
由
可得
，
令
，则
，
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
所以
的最小值为
，则
，
综上可得
．
（2）证明：要证
成立，需证
成立，
令
，则
，
再令
，显然
在
上是增函数，
当
时，
，当
时，
，
所以
，即
，即
，
当
时，
，
，当
，
．
所以
，得证．
例22．（2026·高三·福建莆田·期中）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)证明：当
时，
．
【解析】（1）函数
的定义域为
，
，
设
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以函数
的减区间为
，增区间为
，则
，
所以函数
的增区间为
，无减区间.
（2）当
时，要证
，即证
，
令
，其中
，则
，
故函数
在
上单调递增，则
，即
，
故原不等式得证.
例23．（2026·高三·四川成都·开学考试）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，令
，求证：
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）证明：当
时，
，
，
不等式
，
当
时，
，令函数
，
求导得
，函数
在
上单调递增，
则
，因此
；
当
时，
，函数
，
求导得
，函数
在
上单调递增，
则
，因此
，
所以
.
变式7．已知函数
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)当
时，讨论函数
的单调性；
(3)若
，求证：当
时，
.
【解析】（1）由题意得，函数
的定义域为
，
当
时，
，则
，
由
，解得
，由
，解得
；由
，解得
，
则
单调递减区间为
，单调递增区间为
，
故函数
的最小值为
.
（2）由题意得
，
则
令
，解得
或
，
当
时，
，
由
，解得
或
，由
，解得
，
则
在
上单调递减，
上单调递增，
上单调递减.
当
时，
，得到
，
在
上单调递减，
当
时，
，由
，解得
或
，
由
，解得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
上单调递减
综上所述：当
时，
在
，
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
，
上单调递减，在
上单调递增.
（3）证明:当
时，要证
，
，
即证
，
，
法一：令
，
，
而
，令
，
则
，因为
，所以
，
，
，
则
，故
在
上单调递减，
而
，得到
在
上单调递减，
故
，
即不等式
，在
上成立.
法二：要证不等式
，
，
即
，
，
令
，
，
，
由（1）知
，所以
，
则
在
上单调递增，且
，
故
，不等式成立，
法三：欲证不等式
，在
上成立，
即证不等式
，在
上成立，
构造函数
，
，
而
，
令
，
当
时，此时由余弦函数性质得
，
令
，而
，
则
在
上单调递增，故
，即
，
得到
，即
，
则
在
上单调递增，且
，即
，
所以不等式
，
成立.
法四：由（1）证得，当
时，
，即
，故
，
则
，令
，
，
得到
，由（1）知
，
则
在
上单调递减，
，
得到
，
，故
，
，原不等式成立.
变式8．已知函数
，设曲线
在点
处的切线为．
(1)求的方程；
(2)若函数
的图象为，证明：
．
【解析】（1）依题意可得：
，则
，
，
所以直线的方程为
（2）法一：
由（1）可知
，即证
，
即证
设
，
则
令
，得
；令
，得
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
即
，得证 ；
解法二：
由（1）可知
，即证
，
即证
，
设
，则
，
令
，
则
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
当
，
，则
当
，
，所以
，
，
当
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
即
，得证.
变式9．（2026·安徽蚌埠·二模）已知函数
，
为
的导函数．
(1)求
的单调区间；
(2)记
，
．当
时，证明：
．
【解析】（1）依题意，有
．
令
，得
，得
，
令
，得
，得
．
因此
单调递增区间为
，
单调递减区间为
．
（2）证明：易知
，记
．
由题意知
，则
，
从而
．
当
时，
，
，则
，
因此，
在区间
上单调递减，
．
当
时，
．
变式10．（2026·四川资阳·三模）已知函数
在
处有极大值．
(1)求实数
的值；
(2)证明：
．
【解析】（1）求导得
，
又
在
处有极大值，
，解得
或
，
当
时，
，
时，
；
时，
，故
为极大值点，符合题意，
当
时，
，
时，
；
时，
，故
为极小值点，不符合题意，
综上，实数
的值为.
（2）证明：由（1）得
，
要证
，即证
对
成立，
令
则
，
令
，解得
或
，
令
，解得
或
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
和
上单调递减，
所以函数
的极大值为
和
,
且
，
,
即
对所有
成立，
成立.
题型九：主元分析法
例24．（2026·高三·广东·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，证明：
．
【解析】（1）因为
，所以
，
则
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）证明：
的定义域为
，
令
，得
，
令
，得
，则
在
上单调递减；
令
，得
，则
在
上单调递增，
所以
因为
恒成立，所以
，即
.
例25．（2026·高三·安徽合肥·开学考试）设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)证明：当
时，
；
(3)设
，证明：当
时，
．
【解析】（1）函数
的定义域为
，
导函数为
，
由
，可得
；由
，可得
．
即有
的单调增区间为
；单调减区间为
；
（2）证明：当
时，要证明
，只需证明
．
由
可得
在
递减，
可得当
时，
，即有
；
设
，
，
，
当
时，
，可得
在
单调递增，即有
，
即有
，则原不等式成立；
即当
时，
.
（3）证明：设
，
则需要证明：当
时，
；
，令
，
，
在
上单调递减，而
，
，
由
中
的单调性，可得
，
由
可得
，当
时，
，可得
在
上单调递增，
即有当
时，
，即
当
时，
，
，使得
，
即
时，
，
时，
；
即
在
递增，在
递减；
又因为：
，
时
成立，不等式得证；
即
，当
时，
．
例26．（2026·北京房山·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，分别讨论函数
与
在
上的单调性；
(3)证明：当
时，
．
【解析】（1）由
，得
，
因为
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）由（1）知
，
令
，得
；令
，得
．.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
由
，得
，
令
，得
；令
，得
．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
（3）因为
，所以
，
①当
时，
，由（2）知
在
上单调递增，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
②当
时，令
，
则
，
，
由（2）知
在
上单调递增，所以
，
所以
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即当
时，
综上，当
时，
．
变式11．（2026·高三·北京西城·阶段检测）已知函数
，且
.
(1)求函数
的定义域及
的值；
(2)若曲线
在点
处的切线方程为
，求证：
.
【解析】（1）因为
，解得
，所以函数
的定义域为
，
已知
，所以
，解得
，
（2）
，则
，
切线斜率
，
则切线方程为
，
当
时，
，当
时，
，
要证
，只需证：
当
时，
，当
时，
，
设
，即
，
，
因为
，
，所以
，且
，
因此
在
上单调递增，且
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以
得证.
变式12．（2026·高三·湖南长沙·开学考试）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，若曲线
恰有两条过点
的切线，求实数
的取值集合；
(3)设
为非负实数，
为正实数，若
，证明：
．
【解析】（1）当
时，
，
则
；
当
时，
，所以
在区间
上单调递增.
当
时，令
，得到
，
当
时，
，所以
在区间
上单调递增；
当
时，
，所以
在区间
上单调递减；
综上所述，当
时，
在区间
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
（2）当
时，
，则
，
设切点为
，
所以切线方程为
，
因为切线过点
，所以
整理得到
，
因为若曲线
恰有两条过点
的切线，
所以方程
有两个不同的实数根.
令
，
则问题转化为
有两个不同实根，
令
得
，即
在区间
上单调递增；
令
得
，即
在区间
上单调递减；
极大值
，极小值
，
所以
或
，解得
或
；
所以求实数
的取值集合为
.
（3）不妨设
；
当
时，左边
，右边
，所以左边
右边，
当
时，左边
，右边
，所以左边=右边，
当
时，
因为
为正实数且
，所以
，
要证
，即证
，
即证
，
即证
，
令
，则
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递减，
所以当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，
综上可知
.
变式13．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数
与函数
的图象在公共
点处有相同的切线.
(1)当
时，求函数
与
在公共点处的切线方程；
(2)求
的最大值；
(3)证明：当
时，
.
【解析】（1）当
时，
，设
为
与
的一个公共点，
，
所以
，
则
，即切点
，
所以
与
在公共点处的切线方程为
.
（2）设
为
与
的一个公共点，
，
由②得
，所以
，即
，
将
代入①，
，
所以
，所以
.
令
，所以
，
当
时，
在区间
单调递减；
当
时，
在
单调递增，
当
时，
，
所以
，所以
且
，
所以当且仅当
时取“
”，所以
.
（3）由（2）知，
.
要证
时，
，即证
，
即证对
恒成立.
令
，得
，
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
单调递增，
当
时，
，
故函数在
时取最小值，
，
所以
，
所以对
恒成立.
故当
时，
成立.
变式14．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数
(1)设
，分别讨论函数
与
在
上的单调性；
(2)证明：当
时，
.
【解析】（1）由题意得
，
令
，得
；令
，得
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
由
，得
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）证明：因为
，所以
，
①当
时，
，由（1）知
在
上单调递增，
所以
，因为
，所以
，
所以
；
②当
时，令
，
则
，
，
由（1）知
在
上单调递增，
所以
，所以
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即当
时，
.
综上，当
时，
.
题型十：导数数列结合不等式
例27．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
；
(3)求证：对任意的
且
，都有：
，（其中
为自然对数
的底数）
【解析】（1）由函数
，可得
，则
，
即切线的斜率为
，切点坐标为
，
所以切线方程为
，即
.
（2）由函数
，要证明不等式
，
即证
，即证
，
设
，则
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以，当
时，函数
取得最大值，且
，即
，
即
，所以不等式
成立.
（3）由（2）知
，令
，则
，
因为
，
所以
，
即
，
又因为
在
上为单调递增函数，所以
例28．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，求函数
的最小值；
(3)求证：
.
【解析】（1）由题意得函数
的定义域为
，
当
时，
，则
在
单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间.
（2）当
时，
，
令
，则
，
所以
即
在
单调递增，
又
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，故
.
（3）证明：由（2）知当
时，
，
即
，当且仅当
时取等号，
令
，则
，
所以
,
即
.
例29．（2026·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)求
在
上的最大值；
(2)证明：
.
【解析】（1）由已知，
，
因为
，
，
所以
恒成立，
所以
在
单调递增，所以
，
所以
在
最大值为0.
（2）证明：由（1）知
，即
.
令
，其中
，则
，
所以
.
变式15．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：当
时，
恒成立；
(3)证明：
．
【解析】（1）因为
，
，所以
，
，所以
．
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）证明：要证
，即证
．令
，
，
依题意，只需证当
时，
恒成立．
方法一：因为
，
，解
，得
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，函数
在
上单调递减．
所以函数
在
处取得极大值，也是最大值．
只需证函数
的最大值
．
，
因为
，所以
．因为
，所以
．
所以
恒成立，所以当
时，
恒成立．
方法二：设
，
，则
．
因为函数
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递减．
所以当
时，
，即
，当且仅当
时，等号成立．
因为当
时，
，所以
．
所以当
时，
恒成立．
(3)证明：由（2）知，对任意
，
．
取
，得
．
分别取
，
个不等式两边分别求和，得
．
化简，得
．
即
．
（3）证明：由（2）知，对任意
，
．
取
，得
．
分别取
，
个不等式两边分别求和，得
．
化简，得
．
即
．
变式16．已知函数
的图像在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求
，
满足的关系式；
(2)设
，讨论函数
的单调性；
(3)证明：
.
【解析】（1）由题意可得
，
因为
在点
处的切线与直线
垂直，
所以
，即
，所以
.
（2）因为
，则
，
可得
，
，
因为
，
当
时，则
，可知
，
令
，则
；令
，则
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增；
当
时，则
，
令
，则
或
；令
，则
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增；
当
时，则
，可知
在
内单调递增；
当
时，则
，
令
，则
或
；令
，则
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增；
综上所述：当
时，
在
内单调递减，在
内单调递增；
当
时，
在
内单调递减，在
内单调递增；
当
时，
在
内单调递增；
当
时，
在
内单调递减，在
内单调递增.
（3）由（2）可知：当
时，
在
内单调递增，
则
，可得
在
上恒成立，
即
，当且仅当
时等号成立，
令
，则
，
因为
，
而
，
所以
，
且
．
所以
，即
，证毕．
变式17．已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：当
时，
.
【解析】（1）
的定义域为
，
.
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，令
，即
，解得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
综上，当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
单调递增，在
单调递
减.
（2）若
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立.
令
，即
即可.
，令
，即
，解得
.
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
所以
，所以
.
故实数
的取值范围为
.
（3）证明：由（2）知，当
时，
，
即
对任意
恒成立，当且仅当
取等号.
令
，则
，所以
，
所以
，累加得
，
又
，则
，
所以
.
变式18．（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知函数
，
．
(1)若
，求
的极值点；
(2)若
，都有
，求
的取值范围；
(3)证明：
，有
．
【解析】（1）当
时，
，
，
，
令
，则
，
，
解得
，
（舍去），
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
所以
有极小值点
，无极大值点．
（2）
，
，
由基本不等式知
，
当
时，
，
，
则
函数在
上单调递增，
所以
，符合题意；
当
时，
，
，
记
，
则
是开口向上，对称轴为
的二次函数．
又
，
所以在
上
单调递减，则
.
所以
时，
，
单调递减，
，
不符合题意，
综上
．
（3）由（2）知
，
令
，则
，
所以
，
即
，
所以
．
题型十一：凹凸反转证明法
例30．证明：
【解析】要证明
，只需证
，
令
，则
的定义域为
，
因为
，
所以当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
故只需证
，且等号成立的条件与
不同，
设
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，也是最大值，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
.
例31．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)试证明不等式
.
【解析】（1）由
得
，
。
可化为
，
令
，则
。
令
得
，
得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
的最小值为
，
所以
；
（2）证明：法一：由(1)可知
，即
，故
（
时，等号成立），
下证
，即证
,
因为
，
由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
.
又不能同时取“
”，所以
.
法二：要证明不等式
；令
，
，
只需证
，
由
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
单增，在
单减，
所以
，
，因为
，
所以
.
例32．（2026·高三·山东青岛·阶段检测）已知函数
．
(1)若
是单调递减函数，求实数
的取值范围；
(2)当
时，证明：
．
【解析】（1）解法一：因为
是单调递减函数，
所以
恒成立，
所以
恒成立，即
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，所以
．
解法二：由题意得，
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递减，当
，
即
时，
，即
，所以
在
上单调递减．
当
，即
时，
，
使得在
时，
，即
，
所以
在定义域上单调递减不成立．所以
．
（2）证法一：令
，
所以
，因为
，
所以
，
令
，则
，
因为
，所以
，所以
在
单调递增，
所以
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递减，
所以
，所以
．
证法二：因为
，所以
，
欲证
，所以只需证
，
所以只需证
，
令
，则
，
令
，则
，
因为
，所以
，所以
在
单调递增，
所以
，即
，所以
，
所以
，
因为
在
上单调递减，
所以
的最大值为
，令
，则
的最小值为
，
所以
，即
．
1．已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
是函数
的极值点，求证：
．
【解析】（1）由函数
，可得其定义域为
，
求导得
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由
，其中
可得
，即
，
由
对任意
恒成立，即
在
恒成立，
令
，可得
，
令
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，即实数
的取值范围为
.
（3）证明：由
，
可得
，
令
，可得
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递增，即函数
在
上单调递增，
因为
是
的极值点，所以存在
使得
，即
，
又由
，所以
，
则
，
所以
.
2．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，设函数
，函数
的极小值点为
，求证：
．（数据：
）
【解析】（1）由题意知
的定义域为
，
．
①当
时，
恒成立，可得函数
的单调递增区间为
．
②当
时，令
，可得
，所以函数
的单调递增区间为
；
令
，可得
，所以函数
的单调递减区间为
．
（2）证明：当
时，有
，有
．
令
，有
，
令
，可得
，又
是增函数，
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
又
，
，
，
，
，
故可设函数
的两个零点分别为
．
当
或
时，
，即
；
当
时，
，即
，
可得函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
可得
，有
且
．
有
，
．
当
时，
单调递减，
当
时，
；当
时，
，
可得
．
3．已知函数
，
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
在R 上单调递增，求实数
的取值范围；
(3)求证：当
时，
存在唯一极小值点
，且
.
【解析】（1）当
时，
，
，
，
，即切点为
.
故切线方程为
，整理得：
.
（2）
，由
恒成立得
对任意
恒成立，
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
故
在
处取得最小值，即
，
由
恒成立，得
.
（3）当
时，
，
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
，
当
时，
，结合
在
上单调递减，
可得在
上恒有
，
在
上单调递增，且
，
所以
是
的唯一零点，
则当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
存在唯一极小值点
，
且
，即
.
4．已知函数
，点
在函数
的图象上．且
．
(1)设
，求
在
的最大值；
(2)判断数列
的单调性并严格证明；
(3)设
．证明：
；
【解析】（1）由
，得到
，
在
内
，当且仅当
时等号成立，
所以函数
在
内单调递减，
所以
在
内的最大值为
.
（2）数列
的单调递减，证明如下：
因为点
在函数
的图象上，
所以
，
，且
由（1）知函数
在
内单调递减，
所以
，即
，
得到当
时，
，
因为
，所以
，
假设
，则
，
所以由数学归纳法知数列
,
所以
，
所以数列
单调递减.
(3)由（2）知数列
的单调递减，
所以
.
即
.
（3）由（2）知数列
的单调递减，
所以
.
即
.
5．已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)求函数
在
上的值域；
(3)设
，证明：
．
【解析】（1）已知函数
的定义域为
，
则
，
因
，故
，令
得
，
当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减，
因此
只有极小值，无极大值，且极小值为
，无极大值．
（2）由（1）的单调性可知
在
单调递减，在
单调递增，
因此最小值为
，
计算区间端点值
，
，
因为
，所以
，
故
在
上的最大值为
，
因此
在
上的值域为
．
（3）因为
，
由
，得
，即
，
令
，则
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
恒成立，
所以
．
6．（2026·四川广安·二模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，当
时，
在
上的极小值点为
，求证：
．
注：
【解析】（1）由
求导得
，
当
时，
，则函数
在
上单调递增；
当
时，由
可得
，
当
时，
，当
时，
.
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
，
，
则
，因
在
上的极小值点为
，
则
，即得
①，
因
，
，由零点存在定理，可得
，
将① 代入
，得
，
因为该函数在
上单调递减，则
，故得证.
7．已知函数
，
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
.
【解析】（1）依题意
时，
，则
，而
，
故
，
所求切线方程为
.
（2）证明：要证
，即证
，
设
，则
，
令
，则
，
因为
，所以
，因此
单调递减，
又
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
故
，
即
，即
得证.
8．（2026·高三·山东临沂·期末）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，求证：
是
上的单调递减函数；
(3)求证：当
时，
.
【解析】（1）依题意
，
又
，
所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
；
（2）由（1）知，
，
.
所以
.
当
时，令
，则
.
此时
，
，即
.
所以
在
上单调递减，所以
.
即
在
上成立.
当
时，
，
，即
.
所以
在
上成立.
综上，
在
上恒成立，所以
是
上的单调递减函数.
(3)令
则
.
由（2）知，
在
上单调递减.
所以当
时，
，此时
，即
在
上单调递减.
所以
，即
在
上成立.
当
时，
，
，
.
所以
即
.
所以
，即
在
上成立.
综上可得：当
时，
.
（3）令
则
.
由（2）知，
在
上单调递减.
所以当
时，
，此时
，即
在
上单调递减.
所以
，即
在
上成立.
当
时，
，
，
.
所以
即
.
所以
，即
在
上成立.
综上可得：当
时，
.
9．（2026·福建泉州·二模）已知函数
．
(1)讨论
的极值；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：
．
【解析】（1）
，
当
时，
在
上单调递增，函数
无极值；
当
时，令
得
，
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增.
所以当
时，
取得极小值
，无极大值.
（2）令
，
由（1）知，取
时，
，
由（1）可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，所以
时，
；
又因为
，所以
时，
，
综上当
时，
，即
，当且仅当
时等号成立.
(3)令
，则
,
则由（2）中结论可得
即
，
因此
，
所以
.
（3）令
，则
,
则由（2）中结论可得
即
，
因此
，
所以
.
10．（2026·广东·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
；
(3)证明：
．
【解析】（1）由题意得
，
又
，则
，
故曲线
在点
处的切线方程为
，
整理得
．
（2）由（1）得
，
，
令
，解得
，
当
时，
，
，故
，故
单调递增；
当
时，
，
，故
，
单调递减．
故
．
(3)由（2）得
，对任意
恒成立，
所以
，
故
．
（3）由（2）得
，对任意
恒成立，
所以
，
故
．
11．（2026·高三·河南·阶段检测）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求证：
.
【解析】（1）当
时，
，
函数求导得
则
故曲线
在点
处的切线方程为
,
整理得
．
（2）注意到
时，
，
故
，故
单调递增；
时，
单调递减．
所以函数
的最大值为
.
故
．
