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专题9 数列新定义问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现
的概率变大, 为面对拔尖创新人才选拔培养等新要求,新高考试卷增加了新定义问题,数列是新定义问题的
重要载体,本专题总结数列中新定义问题的常见类型,供大家参考.
（一）数列新定义问题的特点及求解策略
1.新定义试题通过新定义一个数学对象或数学运算,以此为基础为学生搭建思维平台,设置试题.该题型形
式新颖,考查功能显著,主要表现在四个方面：通过新定义创设数学新语境和话语体系；通过新情境搭建
试题框架,创设解题条件；通过新设问设置思维梯度,逐步深入,准确区分不同层次的学生；通过解题过程
展现学生数学思维和探究过程,实现对分析、推理、判断、论述等关键能力的考查.
2.通过给出一个新的定义,或约定一种新的运算,或给出几个新模型来创设新问题的情景,要求在阅读理解的
基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实心信息的迁移,达到灵活解题的目的.
3.遇到数列新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐
条分析、运算、验证,使得问题得以解决.
4. 类比“熟悉数列"的研究方式,用特殊化的方法研究新数列,向“熟悉数列"的性质靠.
【例1】（2025 届湖北省武汉市江汉区高三7 月新起点摸底）若有穷数列
满足：
且
,
则称其为“ 阶
数列”.
(1)若“6 阶
数列”为等比数列,写出该数列的各项；
(2)若某“
阶
数列”为等差数列,求该数列的通项
（
,用
表示）；
(3)记“ 阶
数列”
的前项和为
,若存在
,使
,试问：数列
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能否为“ 阶
数列”？若能,求出所有这样的数列
；若不能,请说明理由.
【解析】（1）设
成公比为的等比数列,显然
,
则有
,得
,解得
,
由
,得
,解得
,
所以数列
或
为所求；
（2）设等差数列
的公差为
,
,
,即
,当
时,矛盾,
当
时,
,
,即
,由
得
,即
,
,
当
时,同理可得
,即
,
由
得
,即
,
,
综上所述,当
时,
,
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当
时,
；
（3）记
中非负项和为A,负项和为
,则
,
得
,即
,
若存在
,使
,可知：
,且
,
时,
时,
,
又
与
不能同时成立,
数列
不为“ 阶
数列”.
【例2】（2025 届江西省重点中学盟校高三7 月联考）已知数列
,记集合
.
(1)对于数列
,写出集合
；
(2)若
,是否存在
,使得
?若存在,求出一组符合条件的
,若不存在,说明理由；
(3)若
,把集合
中的元素从小到大排列,得到的新数列为
,若
,求
的
最大值.
【解析】（1）因为数列
,
所以
,
,
,
所以
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（2）假设存在
,使得
,则有
,
由于
与
奇偶性相同,所以
与
奇偶性不同,
又因为
,
,所以
中必有大于等于3 的奇数因子
这与
无1 以外的奇数因子矛盾,故不存在
,使得
；
（3）由题意得
,
当
,
时,
,
除
,
外,
,
,
其中
与
一奇一偶,则
能拆成奇数与偶数之乘积,
在正偶数中,只有
无法拆成一个大于2 的奇数与一个不小于2 的偶数之乘积,
又
中的元素均为偶数,故
,
故2 至2024 偶数中除去4,8,16,32,64,128,256,512,1024,
所以
,故
的最大值为
．
（二）定义一类新数列
此类问题,通常把满足某些条件的数列定义为一类新数列,然后利用这些条件求解所给问题.
【例3】（2024 届新疆部分学校高三4 月二模）我们把满足下列条件的数列
称为
数列：
①数列
的每一项都是正偶数；
②存在正奇数m,使得数列
的每一项除以m 所得的商都不是正偶数．
(1)若a,b,c 是公差为2 的等差数列,求证：a,b,c 不是
数列；
(2)若数列
满足对任意正整数p,q,恒有
,且
,判断数列
是否是
数列,并证
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明你的结论；
(3)已知各项均为正数的数列
共有100 项,且对任意
,恒有
,若数列
为
数列,求满足条件的所有两位数k
值的和．
【解析】（1）若 a,b,c 是
数列, 则 a,b,c 都是正偶数,
设
,则
若
, 则
除以 3 为
, 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
若
, 则
除以 3 为
, 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
若
, 则
除以 3 为
, 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
所以 a,b,c 不是
数列.
（2）在
中, 令
, 得
,
所以数列
是首项为 8 , 公比为 8 的等比数列, 所以
,
因为
是正偶数, 所以数列
的每一项都满足题中条件 (1),
因为
,
能被 7 整除,
所以
除以 7 的余数为 1 , 即数列
的每一项被 7 除余 1 , 一定不是正整数,
所以一定不是正偶数, 即数列
的每一项都满足题中条件(2),
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所以数列
是
数列.
（3）因为
,
所以
,
,
得
.
因为
, 所以
,
,
得
.
因为
, 所以
.
在
中,
分别令
, 得
,
所以数列
是首项为
, 公差为 的等差数列, 所以
.
若数列
是
数列,
则 是正偶数,
除以 111 所得的商都不是正偶数,
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因为
, 且
,
所以当 为 3 或 37 的正偶数倍时, 数列
不是
数列,
所以满足条件的所有两位数 值的和为
.
【例4】（2024 届江苏省江阴市成化高级中学高三下学期调研）如果一个数列从第二项起,每一项与它前一
项的比都大于3,则称这个数列为“
型数列”.
(1)若数列
满足
,判断
是否为“
型数列”,并说明理由；
(2)已知正项数列
为“
型数列”,
,数列
满足
,n∈N
*,
是等比数列,公比为正整
数,且不是“
型数列”,
①求证：数列
为递增数列；
②求数列
的通项公式.
【解析】（1）
不满足“
型数列”定义,数列
不是“
型数列”；
（2）①∵正项数列
为“
型数列”,
∴数列
为递增数列
②设数列
的公比为,
,又因为数列
不是“
型数列”,可得
可得
,即得
；
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又数列
为“
型数列”,可得
；
由①知
为递增数列,因此当趋近于正无穷大时,
趋近于,即可得
；
综上可得
,即
,可得
；
所以数列
是以
为首项,公比为的等比数列；
即可得
,可得
；所以数列
的通项公式为
.
（三）定义一个新运算
此类问题一般是定义一个临时的运算法则,然后按照这个运算法则去求解,求解的关键是理解所给的运算法
则,然后“按章办事”.
【例5】(2024 届天津市滨海高考模拟检测)已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ,
3
5
a
,S9=63,数列
nb
是公
比大于1 的等比数列,且
1
2
3
14
b
b
b
,
1 2 3
64
b b b
．
(1)求
na
,
nb
的通项公式；
(2)数列
na
,
nb
的所有项按照“当n 为奇数时,
nb 放在
n
a 的前面；当n 为偶数时,
n
a 放在
nb 的前面”的要求
进行“交叉排列”,得到一个新数列
nc
：
1b ,
1a ,
2a ,
2b ,
3b ,
3a ,
4a ,…,求数列
nc
的前7 项和
7T
及前4 n+3项和
T 4 n+3；
(3)是否存在数列
n
d
,满足等式
1
1
1
2
2
2
n
n
i
n
i
i
a
d
n
成立,若存在,求出数列
n
d
的通项公式,若不存在,
请说明理由．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d ,
3
5
a
,S9=63
可知
1
9
9
5
9
9
63
2
a
a
S
a
,所以a5=7．
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又
3
5
a
,所以数列{an}的公差
1
d ,所以
3
3
2
na
a
n
d
n
,
设等比数列{bn}的公比为
q ,
1
2
3
14
b
b
b
,
1 2 3
64
b b b
．
所以
2
1
1
1
14
b
b q
b q
,
3
3
1
64
b q
．得到
1
4
b q
,联立得
2
2
5
2
0
q
q
解得
2
q =
或
1
2
q
（舍去）,代入
1
4
b q
中,解得
1
2
b
得数列{bn}的通项公式为
2n
nb
．
（2）由题意
7
1
1
2
2
3
3
4
1
2
3
4
1
2
3
32
T
b
a
a
b
b
a
a
a
a
a
a
b
b
b
4
3
1
1
2
2
3
3
4
4
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
T
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
1
2
3
4
2
1
2
2
1
2
2
1
2
3
2
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
2
1
1
2
2
2 1
2
2
2
2
1
2
n
n
a
a
n
= 4
n+1+2n
2+9n+5
（3）由已知
1
1
1
2
2
2
n
n
i
n
i
i
a
d
n
得
1
1
2
1
2
3
2
2
n
n
n
n
d
d
d
nd
n
①
当
2
n
时,
1
2
3
1
2
3
1
2
1
n
n
n
n
d
d
d
n
d
n
,
②
①②两式相减得：
1
2
1
2
1
n
n
n
n
d
d
d
d
,
当
1
n 时,
1 1
1
2
1 2
1
d
也符合
1
2
1
2
1
n
n
n
n
d
d
d
d
③
所以
1
2
1
2
1
n
n
n
n
d
d
d
d
,对于
*
N
n
都成立．
又当
2
n
时
1
1
2
1
2
1
n
n
n
d
d
d
④成立
③④两式相减得：
1
2n
n
d
,经检验
1
n 也符合故存在
1
2n
n
d
．
（四）定义数列的新性质
此类问题,通常是总结出数列的一个性质,然后判断所给数列是否具有此性质,或根据数列的该性质去求解或
验证某些结论.
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【例6】如果无穷数列
满足“对任意正整数
,都存在正整数,使得
”,则称数列
具有“性质
”.
(1)若等比数列
的前项和为
,且公比
,求证：数列
具有“性质
”；
(2)若等差数列
的首项
,公差
,求证：数列
具有“性质
”,当且仅当
；
(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列
具有“性质
”,且
四个数中恰有两个出现在数
列
中,求
的所有可能取值之和.
【解析】（1）
解得：
则
即
且
若
则
则当
对任意正整数
,都存在正整数使得
则等比数列{an}满足性质
.
（2）因为数列{bn}具有“性质
”
,
则
若数列具有性质
则
,
则
,
又
则
则
,
,
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则
,
又
则当
时上式成立,
当
时.
,
则
因为
则
时,则
则
则
则
反之,若
则
则上面各式成立,则数列{bn}具有“性质
”
综上数列{bn}具有“性质
”,当且仅当
.
（3）从
这四个数中任选两个,共有以下6 种情况：
,
；
,
；
,
;
,
;
,
;
,
.
①对于
,
因为
为正整数,可以认为{an}是等比数列中的项,
,首项的最小值为1.
下面说明此数列具有性质P：
=
,
=
,任取
,
,则
,
为正整数,因此此数列具有性质P,
②对于
,
.因为
为正整数,认为是等比数列{an}中的项,
,
首项的最小值为
,下面说明此数列不具有性质P：
,
,若
不为等比数列{an}中的项,
因此此数列不具有性质P,同理可得
,
；
,
；
,
；
,
每组所在等比数列{an}不具有“性质P’’
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（五）定义一个新情景
此类问题通过创设数学新语境和话语体系,通过新情境搭建试题框架.
【例7】（2025 届湖北省武汉市硚口区部分高中高三起点考试）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间
插入这两项的和,形成新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”,例如：数列
经过第一
次“和扩充”后得到数列
；第二次“和扩充”后得到数列
.设数列
经过次
“和扩充”后得到的数列的项数为
,所有项的和为
.
(1)若
,求
；
(2)若
,求正整数的最小值；
(3)是否存在数列
,使得数列
为等比数列？请说明理由.
【解析】（1）
,第一次“和扩充”后得到数列
,
第二次“和扩充”后得到数列
,
,
；
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项,
数列
经过次“和扩充”后得到的数列的项数为
,
则经第
次“和扩充”后增加的项数为
,
所以
,所以
,
其中数列
经过1 次“和扩充”后,得到
,
故
,故
是首项为4,公比为2 的等比数列,
所以
,故
,则
,即
,
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又
,解得
,最小值为10；
（3）因为
,
,依次类推,
,
故
,
若使
为等比数列,则
或
.
（六）具有高等数学背景的数列新定义
数列的极限、收敛性及子数列等具有高等数学背景的数列问题,常出现在高中模拟试卷中.
【例8】（湖北省宜荆荆高三下学期适应性考试）龙泉游泳馆为给顾客更好的体验,推出了A 和B 两个套餐
服务,顾客可选择A 和B 两个套餐之一,并在App 平台上推出了优惠券活动,下表是该游泳馆在App 平台10 天
销售优惠券情况．
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量
千张
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
经计算可得：
.
(1)因为优惠券购买火爆,App 平台在第10 天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少,已知销
售量y 和日期t 呈线性关系,现剔除第10 天数据,求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；
(2)若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为
,选择B 套餐的概率为
,并且A 套餐可以用一张优惠券,B 套
餐可以用两张优惠券,记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为
,求
；
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(3)记（2）中所得概率
的值构成数列
.
①求
的最值；
②数列收敛的定义：已知数列
,若对于任意给定的正数
,总存在正整数
,使得当
时,
,
（
是一个确定的实数）,则称数列
收敛于
.根据数列收敛的定义证明数列
收敛．
参考公式：
.
【解析】（1）解：剔除第10 天的数据,可得
,
,
则
,
所以
,
可得
,所以
.
（2）解：由题意知
,其中
,
所以
,又由
,
所以
是首项为1 的常数列,所以
所以
,又因为
,
所以数列
是首项为
,公比为
的等比数列,
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故
,所以
.
（3）解：①当
为偶数时,
单调递减,
最大值为
；
当
为奇数时,
单调递增,最小值为
,
综上可得,数列
的最大值为
,最小值为
.
②证明：对任意
总存在正整数
, 其中
表示取整函数,
当
时,
,所以数列
收敛.
（七）集合背景中的数列新定义问题
不少数列问题,常使用集合语言进行“包装”,求解此类问题的关键是把问题还原为数列问题.
【例9】已知数集
（
）,若对任意的
（
）,
与
两数中至少有一个属于A,则称数集A 具有性质P．
(1)分别判断数集B=
与数集C=
是否具有性质
,并说明理由；
(2)若数集A 具有性质P．
①当
时,证明
,且
成等比数列；
②证明：
．
【解析】（1）数集
具有性质
,
不具有性质
,理由如下：
因为
,
,
,
,
,
都属于数集
,所以
具有性质
；
因为
,
都不属于数集
,所以
不具有性质
．
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（2）①当
时,
,
．
因为
,所以
,
,所以
与
都不属于A,
因此
,
,所以
．
因为
,且
,所以
,
且
,所以
,所以
成等比数列．
②因为
具有性质
,所以
,
至少有一个属于A,
因为
,所以
,
,因此
,
．
因为
,所以
（
）,
故当
时,
,
,（
）,
又因为
,
则
,
,
,
,
,
可得
,
所以
.
【例10】（2024 届湖南省长沙市长郡中学高三下学期二模）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对
于非空集合A 和B ,定义和集
,
A
B
a
b a
A b
B
,用符号(
)
d A
B
表示和集A
B
内的元素个数.
(1)已知集合
13,5
A
,
,
1,2,6
B
,
1,2,6,
C
x
,若A
B
A
C
,求x 的值；
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(2)记集合
1,2,
,
n
A
n
,
2,2 2,
,
2
n
B
n
,
n
n
n
C
A
B
,
n
a 为Cn中所有元素之和,
*
nN ,求证：
1
2
1
2
2( 2
1)
n
n
a
a
a
；
(3)若A 与B 都是由
*
3,
m m
m
N
个整数构成的集合,且(
)
2
1
d A
B
m
,证明：若按一定顺序排列,集合
A 与B 中的元素是两个公差相等的等差数列.
【解析】（1）由题：
{2,3,4,5,6,7,9,11}
A
B
,
所以1
x
,3
x
,5
x
A
B
且
1,2,6
x
,
从而1
5
x
,3
7
x
,5
9
x
,故
4
x
.
（2）若
1i, 2
n
i
A
,
1
2 j ,
2
2
n
j
B
,使
1
1
2
2
2
2
i
j
i
j
,其中1i , 2i ,
1j ,
2
{1,2,
, }
j
n
,
则
1
2
2
1
2 j
j
i
i
,故
1
2
j
j
, 1
2
i
i
.
*
2 ,
,1
,
n
C
i
j
i j
i j
n
N
,
(1 1 2)
(1
2 2)
(1
2)
(2
2)
(2
2 2)
(2
2)
(
2)
na
n
n
n
2
3
(1
)
(1
)
1
2
(
2 2)
(
2)
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
1
2
1
2
2
1
1
1
1
2( 2
1) 1
2( 2
1)
1 2
2 3
(
1)
1
2
1
n
n
a
a
a
n n
n
.
（3）设集合
1
2
,
,
,
m
A
a a
a
,
1
2
,
,
,
m
B
b b
b
,其中
1
2
m
a
a
a
,
1
2
m
b
b
b
.
则
1
1
2
1
1
2
m
m
m
m
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
,
这里共
2
1
m
个不同元素,又
(
)
2
1
d A
B
m
,所以上面为和集
A
B
中的所有元素.
又
1
1
1
2
2
2
2
3
m
m
m
m
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
,
这里共2
1
m 个不同元素,也为合集A
B
中的所有元素,
所以有
2
1
1
2
a
b
a
b
,即
2
1
2
1
a
a
b
b
.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
一般地,由
1
1
1
2
1
2
1
k
k
m
k
m
k
m
m
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
,
1
1
1
1
1
2
1
1
k
k
k
m
k
m
m
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
,
可得
2
1
1
k
k
a
b
a
b
,即
2
1
1
1
1
k
k
a
a
b
b
k
m
.
同理可得
2
1
1
1
1
k
k
b
b
a
a
k
m
,得证.
【例1】（2025 届广西“飞天”校际高三上学期7 月考试）数列
是正项递增数列,由数列
中所有项
构成集合A,它的任意一个子集记为
,定义集合B 是每一个子集中的所有数之和（即分别写出1 个数,2 个数,
……n 个数之和）.
(1)若
,写出
,
以及集合B；
(2)
,将集合B 中的元素分成n 组,要求每组中最大项与最小项之比不超过2,证明一个符合题意的分组；
(3)
,将集合B 中的元素分成n 组,要求与（2）相同,证明存在这个分组.
【解析】（1）
或
或
,
,
；
（2）不难发现
共有
个数,
不妨让最大数与最小数之比
,
可以分为[1,2],
,
,……,
,
假设分为n 组,这样最后一个数是第
个,
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只需证明
,
令
,只需
,
,
（其中
是
的导数）,
所以
,
所以
,即不必分至n 组即可将
个数全部分完,
在已经分好的组中再多分几组,均可满足题意,
仅
一组中还可再分
组,
显然成立,
故可分至n 组,故该分组符合题意；
（3）要证
,其中
,s 是某些数之和,
只需证明
,假设
,从而
,
使得
,
所以
,
所以
,故存在这样的分组.
【例2】（2024 届甘肃省兰州第一中学高三下学期测试）信息论之父香农（Shannon）在1948 年发表的论
文“通信的数学理论”中指出,任何信息都存在冗余,冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的
出现概率或者说不确定性有关,香农借鉴了热力学的概念,把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息
熵”,并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量X 所有取值为
,且
,定义
的信息熵
(1)当
时,求
的值；
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(2)当
时,若
,探究
与
的关系,并说明理由；
(3)若
,求此时的信息摘
．
【解析】（1）若
,则
,因此
.
（2）
与
正相关,理由如下：
当
时,
,则
,
令
,则
,其中
,所以
则
,
所以函数
在
上单调递增,所以
与
正相关.
（3）因为
,所以
,
故
,而
,
于是
,
整理得
,
令
,则
,
两式相减得
,
因此,
,所以
.
【例3】（2024 届安徽省芜湖市第一中学高三最后一卷）对于数列
,如果存在正整数
,当任意
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正整数
时均有
,则称
为
的“
项递增相伴数列”．若
可取
任意的正整数,则称
为
的“无限递增相伴数列”．
(1)已知
,请写出一个数列
的“无限递增相伴数列
”,并说明理由？
(2)若
满足
,其中
是首项
的等差数列,当
为
的“无限递增相伴数列”
时,求
的通项公式：
(3)已知等差数列
和正整数等比数列
满足：
,其中k 是正整数,求
证：存在正整数k,使得
为
的“2024 项递增相伴数列”．
【解析】（1）由于
,我们可以取
,此时恒有
,
再由
,当
时,
,
所以恒有
,即
满足题意.
（2）
设
,
当
为
的“无限递增相伴数列”时
对任意
恒成立
,当
时,
,因为
,所以
,即
.
（3）证明：取
,若存在这样的正整数k 使得
成立,
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所以
,
由
,得
,
于是
,
又因为
,所以当
时,
,
而
时,
,
所以
,最后说明存在正整数k 使得
,
由
,
上式对于充分大的k 成立,即总存在满足条件的正整数k
【例4】（2024 届福建省泉州第一中学高三下学期适应性测试）已知有穷正项数列
na
n
m
,若将每个项
依次围成一圈,满足每一项的平方等于相邻两项平方的乘积,则称该数列可围成一个“HL-Circle”．例如：数
列
1 1
1,1,1 , 2,1,
,
,1,2
2 2
都可围成“HL-Circle”．
(1)设
1a
a
,当
5
m
时,是否存在a 使该数列可围成“HL-Circle”,并说明理由：
(2)若
na
的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．
（i）求m 的取值集合；
（ii）求证：
2
2
2
1
2
6
7
8
1
2
,
7
m
m
a
a
a
a
a
a
ma a
a
m
．
【解析】（1）由定义可得
2
2
2
1
1
i
i
i
a
a a
,而
na
为正项数列,故
1
1
i
i
i
a
a a
,
故
2
1
3
3
2
4
4
3
5
5
1
4
1
5
2
,
,
,
,
a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a
,
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由最后两式可得
2
4
1
a
a
,故
3
1
a ,故
1
2
a
a
a
且
4
5
a
a
,
结合
5
4
1
a
a a
可得
1
1
a
即
1
a ,故
2
1
a
,故
3
4
5
1
a
a
a
.
故存在
1
a ,使得数列
na
可围成“HL-Circle”,此时数列
na
为：
1,1,1,1,1 .
（2）（i）若
na
的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．
则由
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1 1
1
2
(1
),
,
n
n
n
m
m
m
a
a
a
n
m a
a
a
a
a a
,
结合
na
为正项数列可得
1
1
1
1
2
1
(1
),
,
n
m
m
n
n
m
a
a
a
n
m a
a
a a
a a
,
诸式相乘后可得
1
2
1
m
a a
a
,
又上述关系式即为
1
1(1
1)
n
n
n
a
a
a
n
m
(若下标大于m ,则取下标除以m 的余数).
故
2
1
(1
1)
n
n
n
a
a a
n
m
,
故
2
1
1 (1
1)
n
na
n
m
a
(若下标大于m ,则取下标除以m 的余数).
所以
1
5(1
1)
n
na
a
n
m
(若下标大于m ,则取下标除以m 的余数).
设
6
,0
5
m
p
r
r
,
若
1
r ,则
1
1
m
m
a
a a
即为
1
1
1
m
a
a a
,故
1
1
m
a
,从而
6
1
a
,
3
1
a
,
而
1
2
m
a
a a
,故
1
1
2
a
a a
,故
2
1
a
,故
1
1
a
,从而
4
5
1
a
a
,
此时
na
均为1,与题设矛盾.若
2
r
,则
1
1
m
m
a
a a
即为
2
2
1
1
1
m
a
a a
a
,而
2
1
2
2
m
a
a a
a
,
1
2
1
a
a
,故
3
4
5
6
1
a
a
a
a
,此时
na
均为1,与题设矛盾.
若
3
r
,则
1
1
m
m
a
a a
即为
3
1
2
a
a a
,而
2
1
3
a
a a
,所以
1
1
a
,故
4
1
a ,
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从而
3
2
a
a
,而
1
2
2
3
m
a
a a
a a
,故
3
2
1
a
a
,故
5
6
1
a
a
,
此时
na
均为1,与题设矛盾.若
4
r
,则
1
1
m
m
a
a a
即为
4
1
3
a
a a
,而
3
2
4
a
a a
,所以
1
2
1
a a ,
而
1
2
2
4
m
a
a a
a a
,故
3
1
a
a
,故
2
4
1
1
1
a
a
a
,故
1
1
a ,
故
2
3
1
a
a
,故
4
1
a ,故
5
6
1
a
a
,此时
na
均为1,与题设矛盾.
若
= 5
r
,则
5
1
1
1
4
1
1
1
1
m
m
a
a
a a
a a
a
a
,故
1
2
2
m
a
a a
a
,
故
2
3
1
1
a
a
a
,故
4
5
3
3
1
a
a a
a
,故
6
1
a ,故
3
2
4
1
a
a
a
,故
1
1
a ,
此时
na
均为1,与题设矛盾.综上,
*
6 ,
N ,
2
m
k k
k
.
（ii）由均值不等式得
2
1
1
2
3
6
1
2
1
2
1
2
1
1
(
)
(
)
(
)
6
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
由上面三组数内必有一组不相等,否则
1
2
3
1
a
a
a
,
从而
4
5
1
m
a
a
a
与题设矛盾,故等号不成立,从而
1
2
3
6
6
a
a
a
a
,
又
6
m
k
,由④和⑥得
2
2
2
2
2
2
7
7
12
6
5
6
(
)
(
)
m
k
k
a
a
a
a
a
a
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
(
1)(
)
6(
1)
1
k
a
a
a
k
a
a
a
２
３
２
３
因此由⑤得：
2
2
1
2
3
6
7
1
2
3
6
6(
1)
6
m
m
a
a
a
a
a
a
k
k
m
ma a a
a
．
故原式得证.
【例5】（2024 届重庆市开州中学高三下学期高考模拟）设有穷数列
na
的项数为
(
2)
m m
,若正整数
(2
)
k
k
m
满足：
,
n
k
n
k
a
a
,则称k 为数列
na
的“min 点”．
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(1)若
( 1) (2
3)(1
5)
n
na
n
n
,求数列
na
的“min 点”；
(2)已知有穷等比数列
na
的公比为2 ,前n 项和为
n
S ．若数列
1
n
n
S
S
存在“min 点”,求正数
1a 的取值范
围；
(3)若
1
1(2
)
n
n
a
a
n
m
,数列
na
的“min 点”的个数为p ,证明：
1
m
a
a
p
．
【解析】（1）因为
( 1) (2
3)(1
5)
n
na
n
n
所以
1
2
3
4
5
1,
1,
3,
5,
7
a
a
a
a
a
,
所以数列 {an} 的 “
min
点” 为 3,5 ,
（2）依题意,
1
1
1 2
2
1
1 2
n
n
n
a
S
a
,因为数列
1
n
n
S
S
存在 “min 点”,
所以存在
2
n n
,使得
1
1
1
1
n
n
S
a
S
a
,
所以
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
n
n
a
a
a
a
,即
1
1
1
2
2
2
2
2
1
n
n
n
a
a
.
因为
2
n
,所以2
2
0
n
,所以
2
1
1
2
1
n
a
,
又2
1
n 随n 的增大而增大,所以当
2
n
时,
1
2
1
n 取最大值
1
3 ,
所以
2
1
1
3
a
,又
1
0
a
,所以
1
3
0
3
a
.当
1
3
0
3
a
时,有
2
1
2
1
1
1
S
S
S
S
,
所以数列
1
n
n
S
S
存在 “min 点”,所以
1a 的取值范围为
3
0, 3
,
（3）①若
1
2
na
a n
,则数列{an}不存在 “min 点”,即
0
p
.
由
1
0
m
a
a
得,
1
0
m
a
a
,所以
1
m
a
a
p
,
②若存在
n
a
,使得
1
na
a
. 下证数列{an}有 “min 点”.
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证明: 若a2<a1,则2 是数列{an}的 “
min
点”;
若
2
1
a
a
,因为存在
n
a
,使得
1
na
a
,所以设数列{an}中第1 个小于
1a
的项为
1na
,
则
1
1
1
2
1
n
i
a
a
a
i
n
,所以
1n 是数列{an}的第1 个 “min 点”.
综上,数列{an}存在 “min 点”. 不妨设数列{an}的 “min 点” 由小到大依次为
1
2
3
,
,
,
,
p
n n n
n
,
则
1
in
a
是
1
1
1
2
1
,
,
,
,
,
i
i
i
i
i
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
中第1 个小于
ina
的项,
故
1
1
1
1
i
i
i
i
n
n
n
n
a
a
a
a
,因为
1
1 2
n
n
a
a
n
m
,
所以
1
1
n
n
a
a
,所以
1
1
1
1
i
i
n
n
a
a
,所以
1
1
i
i
n
n
a
a
所以
1
1
2
2
3
1
1
1
1
p
p
p
m
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1
p
p
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
1 1 1
1
1 .
p
个
所以
1
m
a
a
p
.综上,
1
m
a
a
p
,得证.
1．（2024 届黑龙江省部分学校高三第三次模拟）如果n 项有穷数列
na
满足
1
n
a
a
,
2
1
n
a
a
,…,
1
na
a
,即
1
1,2,
,
i
n i
a
a
i
n
,则称有穷数列
na
为“对称数列”.
(1)设数列
nb
是项数为7 的“对称数列”,其中
1
2
3
4
,
,
,
b b b b
成等差数列,且
2
5
3,
5
b
b
,依次写出数列
nb
的每
一项；
(2)设数列
nc
是项数为2
1
k (k
N 且
2
k
)的“对称数列”,且满足
1
2
n
n
c
c
,记
n
S 为数列
nc
的前n 项
和.
①若
1c
,
2c
,…,
kc
构成单调递增数列,且
2023
kc
.当k 为何值时,
2
1
k
S
取得最大值?
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②若
1
2024
c
,且
2
1
2024
k
S
,求k 的最小值.
2．（2024 届福建省泉州第五中学高三高考热身测试）若无穷数列
na
满足：对于
*
2
2
1
N
n
n
n
a
a
p
，
,
其中p 为常数,则称数列
na
为P 数列．
(1)若一个公比为q 的等比数列
nx
为“ P 数列”,求q 的值；
(2)若
1
1
2
n
a
p
y
，
，
是首项为1,公比为3 的等比数列,在
ky 与
1
ky 之间依次插入数列
2
na
中的k 项构成新
数列
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
3
3
4
5
6
4
,
,
,
,
,
,
,
:
,
,
,
nc
y a
y a a
y a a a
y ,求数列
nc
中前30 项的和
30
S ．
(3)若一个“ P 数列"
na
满足
1
2
2,
2 2,
0
n
a
a
a
,设数列
1
na
的前n 项和为
nT ．是否存在正整数
,
m k ,使
不等式
1
n
T
mn
k
对一切n
N 都成立？若存在,求出
,
m k 的值；若不存在,说明理由．
3．（2024 届河北省秦皇岛市高三下学期5 月模拟）“完全数”是一类特殊的自然数,它的所有正因数的和
等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数
n
,记函数
:
n
n
N ,
n
为n 的所有正因数之和.
(1)判断28 是否为完全数,并说明理由.
(2)已知n
N ,若
1
2
1
n为质数,证明：
1
2
2
1
n
n
为完全数.
(3)已知n
N ,求
10n
,
30n
的值.
4．（2024 届河南省信阳市名校高三下学期全真模拟）已知函数
y
f x
,其中
3
2
1
3
f x
x
kx
,k ∈R.若点
A 在函数
y
f x
的图像上,且经过点A 的切线与函数
y
f x
图像的另一个交点为点B ,则称点B 为点A 的
一个“上位点”,现有函数
y
f x
图像上的点列
1
M ,
2
M ,…,
n
M ,…,使得对任意正整数n ,点
n
M
都是点
1
n
M
的一个“上位点”.
(1)若
0
k
,请判断原点O 是否存在“上位点”,并说明理由；
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(2)若点
1
M
的坐标为
3 ,0
k
,请分别求出点
2
M
、
3
M
的坐标；
(3)若
1
M 的坐标为
3,0 ,记点
n
M 到直线y
m
的距离为
n
d .问是否存在实数m 和正整数T ,使得无穷数列
T
d 、
1
T
d 、…、
T
n
d …严格减？若存在,求出实数m 的所有可能值；若不存在,请说明理由.
5．（2024 届黑龙江省牡丹江市第二中学高三下学期考前热身）设
1
2
,
,
,
n
a a
a
为1,2,3,…,n 的一个排列,若该
排列中有且仅有一个i 满足
1,
1,2,
,
1
i
i
a
a
i
n
,则称该排列满足性质T．对任意正整数n,记
n
d 为满足性
质T 的排列
1
2
,
,
,
n
a a
a
的个数．
(1)求
1
2
3
,
,
d d
d
的值；
(2)若
4
n
,求满足性质T 的所有排列的情形；
(3)求数列
n
d
的通项公式．
6．（2024 届江苏省盐城市高三5 月考前指导卷）在数列
na
的第k 项与第
1
k 项之间插入k 个1,称为变换
．数列
na
通过变换所得数列记为
1
na
,数列
1
na
通过变换所得数列记为
2
na
，,以此类推,
数列
1
n
na
通过变换所得数列记为
n
n
a
（其中
2
n
）．
(1)已知等比数列
na
的首项为1,项数为m ,其前m 项和为
m
S ,若
2
1
255
m
m
S
a
,求数列
1
na
的项数；
(2)若数列
na
的项数为3,
n
n
a
的项数记为
nb ．
①当
2
n
时,试用
1
nb 表示
nb
；
②求证：
1
1
2
2
2 3
6
n
n
nb
．
7．（2024 届江西省九江市高三第三次模拟）已知数列
na
共有
2
m m
项,且
na Z ,若满足
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1
1 1
1
n
n
a
a
n
m
,则称
na
为“约束数列”.记“约束数列”
na
的所有项的和为
m
S .
(1)当
5
m
时,写出所有满足
1
5
5
1,
6
a
a
S
的“约束数列”；
(2)当
1
2000,
25
m
a
时,设
2000
:
2024; :
p a
q
“约束数列”
na
为等差数列.请判断p 是q 的什么条件,并说
明理由；
(3)当
1
2
1,
0 1
,
2
k
m
a
a
k
k
N
时,求
m
S
的最大值.
8．（2024 届江苏省姜堰中学高三适应性考试）数列
{
}
na
的前n 项和为
n
S
,若存在正整数r,t,且r
t
,使得
rS
t
,
tS
r
同时则称数列
{
}
na
为“
,
(
)
M r t
数列”．
(1)若首项为3,公差为d 的等差数列
{
}
na
是“
( ,2 )
M r
r
数列”,求d 的值；
(2)已知数列
{
}
na
为等比数列,公比为q．
①若数列
{
}
na
为“
( ,2 )
M r
r
数列”,
4
r
,求q 的值；
②若数列
{
}
na
为“
,
(
)
M r t
数列”,
( 1,0)
q
,求证：r 为奇数,t 为偶数．
9．（2024 届陕西师范大学附中高三下学期模考）数列
na
的前n 项的最大值记为
n
M ,即
1
2
max
,
,
,
n
n
M
a a
a
；前n 项的最小值记为
n
m ,即
1
2
min
,
,
,
n
n
m
a a
a
,令
n
n
n
p
M
m
,并将数列
np
称
为
na
的“生成数列”．
(1)设数列
np
的“生成数列”为
nq
,求证：
n
n
p
q
；
(2)若
2
3
n
n
a
n
,求其生成数列
np
的前n 项和．
10．（2024 届北京高考数学真题）已知集合
, , ,
1,2 ,
3,4 ,
5,6 ,
7,8 ,
M
i j k w i
j
k
w
i
j
k
w
且
为偶数．给定数列
1
2
8
:
,
,
,
A a a
a
,和序列
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1
2
:
,
,
s
T T
T
,其中
,
,
,
1,2,
,
t
t
t
t
t
T
i
j k w
M t
s
,对数列A 进行如下变换：将A 的第
1
1
1
1
,
,
,
i
j k w 项均加1,
其余项不变,得到的数列记作
1T
A ；将
1T
A 的第
2
2
2
2
,
,
,
i
j k
w 项均加1,其余项不变,得到数列记作
2 1
T T
A
；
……；以此类推,得到
2 1
sT
T T
A
,简记为
A
．
(1)给定数列
:1,3,2,4,6,3,1,9
A
和序列
: 1,3,5,7 , 2,4,6,8 , 1,3,5,7
,写出
A
；
(2)是否存在序列,使得
A
为
1
2
3
4
5
6
7
8
2,
6,
4,
2,
8,
2,
4,
4
a
a
a
a
a
a
a
a
,若存在,写出一个符合条
件的；若不存在,请说明理由；
(3)若数列A 的各项均为正整数,且
1
3
5
7
a
a
a
a
为偶数,求证：“存在序列,使得
A
的各项都相等”的
充要条件为“
1
2
3
4
5
6
7
8
a
a
a
a
a
a
a
a
”．
11．（2024 届北京市通州区潞河中学年高三下学期三模）约数,又称因数．它的定义如下：若整数a 除以整
数m（
0
m
）除得的商正好是整数而没有余数,我们就称a 为m 的倍数,称m 为a 的约数．
设正整数a 有k 个正约数,即为
1a ,
2a
,⋯
1
ka ,
ka
,（
1
2
k
a
a
a
）．
(1)当
3
k
时,是否存在
1a ,
2a
,…,
ka
构成等比数列,若存在请写出一个满足条件的正整数a 的值,若不存在请说
明理由；
(2)当
4
k
时,若
2
1
a
a
,
3
2
a
a
,⋯
1
k
k
a
a
构成等比数列,求正整数a．
(3)当
3
k
时,若
1a ,
2a
,…,
ka
是a 的所有正约数的一个排列,那么
1a ,
1
2
a
a
,
2
3
a
a
,⋯,
1
k
k
a
a
是否是另一个正
整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
12．（2024 届云南省昆明市第一中学2024 届高三考前适应性训练）
,a b
表示正整数a,b 的最大公约数,若
*
1
2
|
,
,
| |1,2,
| ( ,
N )
k
x x
x
m
k m
L
L
,且
1
2
,
k
x
x x
x
L
,
,
1
x m ,则将k 的最大值记为
m
,例如：1
1
,
5
4
．
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(1)求
2
,
3
,
6
；
(2)设
2n
na
．
（i）求数列
na
的通项公式,
（ii）设
2
2
1
n
nb
n
n
a
,求数列
nb 的前n 项和
nT ．
