文档文本内容
三角函数
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】三角函数的定义及其应用
【题型二】同角关系的应用
【题型三】 sinα±cosα 与sinα·cosα 的关系
【题型四】诱导公式及其应用
【题型五】三角函数式的化简、求值
【题型六】三角函数解析式与参数
【题型七】
的取值范围
【题型八】三角函数图象和性质的综合问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点1：忽视了
化正才能求三角函数的单调区间
易错点2：图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个
平移
：三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能
力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用．
这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思
想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用．
：三角函数作为基础题题型之一，在新结构试卷中，原本第一道解答题的位置可能被替代，
所以小题的三角函数问题就会突出，常考的齐次化切、范围相关的问题都会是今年的重点题型，需要清
晰的分清对于三角函数图象的影响以及题干的条件从而用对应的方法解决。
【题型一】三角函数的定义及其应用
【例1】已知角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边上有一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用三角函数的定义求得
，再由
求解.
【详解】因为角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边上有一点
，
所以
，
所以
，
故选：C
【例2】已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义即可求解.
【详解】根据三角函数的定义，可得
.
故选：A.
【变式1】已知角
的终边上一点P 的坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义求出
，再根据两角和的正切公式即可得解.
【详解】由题意，得
，
则
.
故选：C.
【变式2】“
”是“角
为第二象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的符号法则判断.
【详解】当角
为第二象限角时，
，则
；
反之，当
时，
或
，
则
为第二象限角或
为第四象限角，
所以“
”是“角
为第二象限角”的必要不充分条件.
故选：B
【变式3】已知
，角
的终边经过点
则
.
【答案】
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算可得.
【详解】因为角
的终边经过点
，又
，
所以
，又
，
所以
.
故答案为：
【题型二】同角关系的应用
【例1】已知
为第二象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意设
，结合平方关系求出
即可得解.
【详解】因为
为第二象限角，
，所以设
，
所以
，解得
，所以
.
故选：B.
【例2】在
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用同角公式、诱导公式及和角的正切公式计算得解.
【详解】在
中，由
，得
，则
，
所以
.
故选：C
【变式1】已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据两向量平行的坐标关系求出
的值，再将所求式子转化为关于
的表达式，最后代
入
的值进行计算.
【详解】已知
，
，且
.
可得：
，即
.
.
，将其变形为
.
分子分母同时除以
（因为
，若
，则
，此时
，
，两向量
不平行），
得到
.
将
代入
可得：
，则
.
故选：D.
【变式2】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
【题型三】 sinα±cosα 与sinα·cosα 的关系
【例1】已知
， 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】在等式
两边平方，求出
的值，再利用切化弦可求得
的值.
【详解】在等式
两边平方可得
，可得
，
所以
.
故选：B.
【例2】已知
是第四象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
是第四象限角，得到
，再由
求解.
【详解】因为
是第四象限角，且
，
所以
，
所以
，
故选：A
【变式1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用和差公式和二倍角公式化简即可得解.
【详解】因为
，
整理得
，两边平方得
，得
.
故选：B
【变式2】（多选）已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系结合完全平方公式代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为
①，
所以
，则
，
因为
，所以
，
，所以
，故A 正确；
所以
，
所以
②，故D 正确；
由①②联立可得，
，
，故B 错误；
所以
，故C 错误．
故选：AD
【题型四】诱导公式及其应用
【例1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解.
【详解】由
，得
.
故选：D
【例2】（1）化简：
；
（2）已知
，求
.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用诱导公式及商数关系化简即可求解；
（2）找到角
与角
的关系，利用诱导公式即可求解.
【详解】（1）
.
（2）
.
【变式1】已知角
的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
.
(1)求
，
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解即可；
（2）先利用诱导公式化简，再将（1）中的结论代入即可.
【详解】（1）由题意知，
，
，
，
（2）由（1）知，
,
.
∴
.
【变式2】已知
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角的三角函数关系得到
，再由二倍角的正切公式求出；
（2）由诱导公式化简再由同角的三角函数可得.
【详解】（1）
，解得
，
所以
.
（2）
，
【题型五】三角函数式的化简、求值
【例1】设
是方程
的两根，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理求出
，再利用两角和的正切公式求出
，即可得解.
【详解】因为
是方程
的两根，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
则
，
所以
.
故选：B.
【例2】（多选）下列式子化简后等于
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对于A：根据两家和差公式分析判断；对于BD：根据倍角公式分析判断；对于C：切化弦结合倍
角公式分析判断.
【详解】对于选项A：因为
，故A 正确；
对于选项B：因为
，故B 正确；
对于选项C：因为
，故C 正确；
对于选项D：因为
，故D 错误；
故选：ABC.
【变式1】
的值是
【答案】
/
【分析】应用两角差的余弦公式计算求解.
【详解】
.
故答案为：
.
【变式2】
．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果.
【详解】
.
故答案为：
.
【变式3】已知
，
，则
．
【答案】
【分析】根据三角恒等变换的知识来求得正确答案.
【详解】依题意
，
，
若
，则
，
而
，
与
矛盾，所以
，
，
所以
，
则
，
即
故答案为：
【题型六】三角函数解析式与参数
【例1】已知函数
的图象关于直线
对称，且
的一个周期为4，则
的解析式可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在
处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】AB 选项中
，CD 选项中
，排除选项CD，
对于A 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一条对称轴，
故选：B.
【例2】（多选）
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数
的图象关于点
中心对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
在
上单调递减
D．将函数
的图象向右平移
个单位长度可得函数
的图象
【答案】ABD
【分析】根据图象求出
的解析式，利用代入检验法可判断
，根据三角函数的单调性可判断
；利
用三角函数的图象平移结合诱导公式可判断
.
【详解】由图知
，
，
所以
，解得
，
过点
，所以
，
又因为
，所以
.
所以
，
对于
：
，
所以函数
的图象关于点
中心对称，故
正确；
对于
：
，
所以函数
的图象关于直线
对称，故
正确；
对于
：
，
解得
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
和
上单调递减，故
错误；
对于
：
的图象向右平移
个单位长度，
可得
，故
正确.
故选：
.
【变式1】已知函数
，若存在
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由解析式易得
，
，应用辅助角公式有
，进而易知
在
有对称轴
满足
，结合已知可得
，再应用诱导公式将目标式化为
，最后利用
即可求值.
【详解】函数
，
其中
，
，
，
，
是
在
内的两根，
又
，
，
则
在
有对称轴
满足
，
故有
，则
，
那么
，
由
，知
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：化简函数式为
，并确定
在
有对称轴
满足
为关键.
【变式2】已知函数
的部分图象如图所示，
(1)求
及
的解析式；
(2)写出其图象对称中心坐标；
(3)若
时，
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
，
，
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象可求得
，进而得
的值，再结合
可求得
，有由
可求得
，从而可求解；
（2）利用整体代换法可求出对称中心坐标；
（3）由
的范围可求出
的范围，然后求出
的最大值，结合
即可得解.
【详解】（1）由题意可得
，则
，
因为
，且
，所以
，
由图可知
，则
，
解得
，
又因为
，所以
，
由图可知
，解得
，
所以
.
（2）令
，解得
，
所以图象对称中心坐标
.
（3）因为
，所以
，
所以当
，即
时，
取得最大值4，
因为
时，
恒成立，所以
，解得
，
则
的取值范围是
.
【题型七】 的取值范围
【例1】已知函数
在区间
上至少有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得
，结合条件可得
，求解即可.
【详解】因为
，所以
，
因为函数
在区间
上至少有3 个零点，
所以
，解得
，所以
的取值范围是
.
故选：C.
【例2】已知函数
在
上单调递增，且当
时，
恒成
立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用相位整体思想来解决三角函数单调性问题和三角函数值非负问题，可得到相位的范围，结合
不等式来求解，再利用分类讨论可求出交集即可.
【详解】由已知可知
，
由
，解得
，
因为
在
上单调递增，所以
，
即
，解得
①，
此时
，解得
；
又因为在
上，
恒成立，所以
，
解得
，由于
，
所以
，解得
②，
此时
，解得
，又因为
，所以
当
时，由①②可知
，解得
；
当
时，由①②可知
解得
，
所以
的取值范围为
.
故选:B.
【变式1】已知函数
，若
在
上的值域为
，则
的取
值范围为 ．若
在
上单调，且若
，则
．
【答案】
2
【分析】先把
化简成
的形式，结合正弦函数的图象和性质，可求解.
【详解】因为
.
因为
，所以
.
由
，所以
.
若
在
上单调，且若
，
则
，
所以
.
故答案为：
；2
【变式2】已知函数
的定义域为
，若
有且仅有两个解，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用辅助角化简得出
，由已知条件分析可知方程
在
时有两个解，当
时，求出
的取值范围，结合题意可得出关于
的不等式，解
之即可.
【详解】因为
，
由
可得
，可得
，
即
，则
，
即方程
在
时有两个解，
因为
，当
时，
，
由题意可得
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3】若函数
的图象经过点
，且在区间
上单调，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据正弦函数过的点坐标可求出
，再由单调性得出不等式即可解出
.
【详解】由题可知
，且
，解得
，
又
的图象在
上单调，且
，可得
，解得
，
故
的取值范围为
.
故答案为：
【题型八】三角函数图象和性质的综合问题
【例1】已知函数
的图像向右平移
个单位长度得到
的图像，
图像关于原点对称，
的相邻两条对称轴的距离是
.
(1)求
的解析式.
(2)若
在
上有两个不等的解
，
，求实数
的取值范围及
的值.
【答案】(1)
(2)
；
【分析】（1）根据平移变换得到
图像，再结合函数的性质可得
的解析式；
（2）令
，问题等价于
在
上有两解，数形结合得到结果.
【详解】（1）由
的相邻两条对称轴的距离是
，则
，
，
，
函数
的图像关于原点对称，
，
所以
（2）令
，
则
所以
若
有两解，即
在
上有两解，
由
的图象可得，
，即
，
的取值范围是
.
在
上有两个不等的解
，
，
则
，所以
.
【例2】已知
，且
的图象上相邻两条对称轴之间的距
离为
.
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的单调递减区间；
(3)若方程
在
有两个根，求
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出
即可.
（2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求解即得.
（3）探讨函数
在
上的性质，借助直线
与函数
的图象交点问题求解.
【详解】（1）函数
，
由
的图象上相邻两条对称轴之间的距离为
，得
的最小正周期
，解得
，
所以函数
的解析式为
.
（2）由
，解得
，
所以函数
的单调递减区间是
.
（3）当
时，
，由
，得
，
则函数
在
上单调递增，函数值从
增大到0，在
上单调递减，函数值从0 减小到
，
当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
即方程
在
有两个根，
所以
的取值范围
.
【变式1】已知函数
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)当
时，求
的最大值和最小值，并求出对应的x 的取值；
(3)当
时，关于x 的不等式
有解，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
，
的最小值
，
，
的最大值2，
(3)
【分析】（1）根据积化和差以及二倍角，辅助角公式化简
，即可利用整体法求解，
（2）利用整体法即可求解，
（3）代入化简可得
有解，利用函数的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）
令
,
解得
，
故单调递增区间为
（2）当
时，
，
当
时，此时
，
取最小值
，
当
时，此时
，
取最大值
，
（3）由
可得
，
故
，
由于
，所以
，故
，
令
，则
在
单调递减，
所以当
时，
，
故
，故
，
【变式2】已知函数
.
(1)求
的最小正周期及
的值；
(2)将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度得到
函数
的图象，求函数
的解析式；
(3)在（2）的条件下，直线
与函数
的图象分别交于
，
两点，求
的最大
值.
【答案】(1)
；
(2)
(3)
【分析】（1）整理可得
，进而可得
的最小正周期及
的值；
（2）根据三角函数图象变换求函数
的解析式；
（3）根据题意结合三角恒等变换整理可得
，结合正弦函数有界性分析求解.
【详解】（1）由题意可得：
，
所以
的最小正周期为
；
.
（2）将函数
图象的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）得到
，
再向左平移
个单位长度得到函数
.
（3）由题意可知：
两点的坐标为
，
可得
，
因为
，则
，可得
，
所以
在
时的最大值为
.
易错点1：忽视了
化正才能求三角函数的单调区间
易错点2：图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个
平移
例1、已知函数
（
）的最小正周期
.求函数
单调递增区间.
【错解】
因为函数
（
）的最小正周期
.
所以
，由于
，所以
.
所以
，令
解得
。
【正解】（1）
；
【详解】
解：因为函数
（
）的最小正周期
.，
所以
，由于
，所以
.
所以
，
所以函数
单调递增区间，只需求函数
的单调递减区间，
令
，解得
，
所以函数
单调递增区间为
.
例2、为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位B．向右平移
个单位C．向左平移
个单位D．向右平移
个单位
【第一种错解】A 【第二种错解】B
【第一种错解】
【第二种错解】B
点评：首先本题要弄清楚一个问题，题目中的原函数是哪一个？目标函数是哪一个？考生只看到两个函
数，就想当然为
是原函数，目标平移成
导致错误。注意到本题结构“为了得到”
这是一个目标，所以本题正确结构是从
平移成
。其次三角函数平移“左加又减”
一定要特别注意是单独一个“
”向左移或者向右移。不能将整个
拿去平移。
【正解】D
【详解】
解：
，
故将函数
的图象向右平移
个单位，可得
的图象，
故选：D．
变式1、已知函数
．求：函数
的单调递减区间，对称轴，对称中心；
【答案】（1）单调递减区间为
；对称轴为
，
；对称中心为
，
【详解】化简可得
，
由
，
，可得
，
，
∴函数
的单调递减区间为
，
令
，可得
，故函数的对称轴为
，
；
令
，得
，故函数的对称中心为
，
．
变式2、要得到函数y=cos2x 的图象，只要将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向左平移
个单位
【答案】C
【详解】
由于
要得到函数y=cosx 的图像，只要将函数
的图像，向右平移
个单位即可，
故选：C
