文档文本内容
数列单元检测卷
考试时间120 分钟，满分150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的
黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码
区”．
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡
皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的
对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无
效．
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求．
1.
在等差数列
中，
，则
（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【知识点】利用等差数列的性质计算
【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.
【详解】由等差数列的性质可知
，
则
，故
.
故选：D
2.
已知等比数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．10
B．15
C．18
D．20
【答案】B
【知识点】等比数列前n 项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用
【分析】根据
成等比数列，得到方程，求出
，
.
【详解】由题意得
成等比数列，
故
，其中
，
，故
，
解得
，
又
，即
，解得
.
故选：B
3.
已知
是各项为正数的等比数列，
，且
与
的等差中项为4，则
等于
（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】D
【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】利用等比中项的性质可根据
求得
，再根据等差中项的性质得到
，结合
，解得公比
，进而可求得
.
【详解】由题可知，
，得
，解得
或
（舍去）.
设等比数列
的公比为
，则由
，可得
，
整理得
，得
或
（舍去），
则
.
故选：D.
4.
设等差数列
的前
项和为
，若
，且
，则
的
值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【知识点】由Sn 求通项公式、等差数列前n 项和的基本量计算
【分析】根据题意，求得
，
，得到公差
，
，结合
，求得
，进而求得
的值，得到答案.
【详解】由
，可得
，
因为
，可得
，
所以公差为
，
，
又因为
，可得
，则
，解得
，
则
，所以
.
故选：C.
5.
已知等比数列
的前
项和
，满足
，则
（ ）
A．16
B．32
C．81
D．243
【答案】A
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、前n 项和与通项
关系
【分析】根据
，作差得到等比数列
的公比为
，再求出
，最后根
据等比数列的通项公式计算可得.
【详解】等比数列
的前
项和为
，且
，
∴
，
∴
，∴
，故等比数列
的公比为
．
在
中，
令
，可得
，∴
，则
．
故选：A．
6.
已知数列
满足
，设
，则数列
的前
项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】裂项相消法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】根据条件，利用
与
间的关系，得到
，从而有
，再利用裂项相消法，即可求解.
【详解】因为
①，
当
时，
②，
由①②得到
，得到
，
又
时，
，满足
，所以
，则
，
所以
，
则数列
的前
项和为
，
故选：D.
7.
北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.
如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有
个小球，第二层有
个小球，第三层有
个小球……依此类推，最底层有
个小球，共
有
层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为
.若由小球堆
成的某个长方台形垛积有8 层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是（
）
A．5
B．8
C．12
D．19
【答案】C
【知识点】数列-其他模型
【分析】转化题给条件为
，再由
皆为正整数分类讨论即可求解.
【详解】当
时，最底层小球的数量为
，即
，
，
从而有
，
整理得
，由
皆为正整数，得
是不超过10 的正偶数，
当
时，
，无解；当
时，
，无解；
当
时，
，无解；当
时，
，解得
或
，符合题意；
当
时，
，无正整数解，
所以该垛积的第一层小球个数
.
故选：C
8.
设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，并满足条件：
，
，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大值
D．若
，则n 的最大值为4047
【答案】D
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、求等比数列前
n 项和
【分析】首先分析
，再由
得到
，
，即
，然后逐
项判断.
【详解】根据题意，等比数列
的公比为
，
若
，则
，
又由
，必有
，则数列
各项均为正值，
若
，即
，必有
，
，则必有
，
依次分析选项：
对于A，数列
各项均为正值，则
，必有
，故A 正确；
对于B，
，故B 正确；
对于C：根据
，所以
是数列
中的最大项，故C
正确，
对于D：由
,
，
可知
，故D 错误；
故选：D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，选对但不全的得部分分，有选错的
得0 分．
9.
已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．当
取得最大值时，
D．
【答案】BC
【知识点】判断数列的增减性、利用等差数列的性质计算、求等差数列中的最大（小）项、
求等差数列前n 项和的最值
【分析】由等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质可得
，
，从而得公差
，即可判断A，B；
根据
，
，可得数列
的前13 项为正，从第14 项起为负，即可判断C；
由
，可得
，从而判断D.
【详解】对于A，因为
，
，即
，所以
，
，所以
，所以数列
不是递增数列，故A 错误；
对于B，由A 的分析可知
，故B 正确；
对于C，由A 的分析可知数列
的前13 项为正，从第14 项起为负，所以
最大，故C
正确；
对于D，由C 的分析可知
，且公差
，
所以数列
是递减数列，所以
，即
，故D 错误.
故选：BC.
10. 记
为数列
的前
项和，已知
，则（ ）
A．
为等比数列
B．
为等比数列
C．
D．
【答案】BCD
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n 项和、错位相减法求和、利
用an 与sn 关系求通项或项
【分析】利用两式作差可得
，再转化为
，从而可判断
B，通过求出
和
，可判断A，再利用等比数列求和可判断
C，利用错位相减法求和可判断D.
【详解】由
，可得：
，
两式相减得：
，即
，
所以
为等比数列，故B 正确；
再由
，可得
，
即
，
当
时，有
，
由于
不满足上式，所以
，故A 错误；
由
，故C 正确；
由
，
则
，
两式相减得：
，故D 正确；
故选：BCD
11.
已知数列
满足
，则下列正确的有（ ）
A．任意
B．存在
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、由递推数列研究数列的有关性质、
判断数列的增减性
【分析】对于A 首先对递推关系式的配方可得
，再由递推关系得
与
同号且
即可判断；对于B 通过不等式
进行放缩可得数列是
递减数列即可判断；对于C 由递推关系得
，再进行累加求和得
，再进行倒数求和可得；对于D 构造数列
，得
，再求
和可得不等式.
【详解】对于A：由
，所以
，
，所以
.
再由
，得
，即
，
因为
，所以
与
同号，且
，由递推关系可得
，由
，所以
，故任意
，所以A 正确；
对于B：因为
，所以
，
再由
得
，
所以
，数列
单调递减，故不存在
成立，所以B 错误；
对于C：再由B 选项的判断知数列
单调递减，即
，
所以
，且
.
因为
，
，两边取对数
所以
，即
，
进行累加求和
即
，所以
，
.
所以
，所以C 正确；
对于D：因为
，令
，得
，
，即
，所以
，
，
因为
，所以
，所以D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 等差数列
中，
为其前
项的和．若
，
，则
．
【答案】
【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用
【分析】利用等差数列的性质
也成等差数列即可求得
.
【详解】由等差数列的性质可知，数列
成等差数列，
且公差
，
∴
，即
，
则
，则
.
故答案为：72.
13. 记数列
的前
项和为
，若
，则
.
【答案】
【知识点】求等差数列前n 项和、裂项相消法求和
【分析】首先根据等差数列求和公式求出
，即可得到
，再利用裂项相
消法计算可得.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
14. 数列
的前
项和为
，数列
满足
，若
，则数列
的最小项为 ．
【答案】
/0.32
【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】先分别求出
，
的通项公式，进而求出
的通项公式，结合
的性质，
讨论
的单调性，进而求出
的最小项．
【详解】
数列
的前
项和为
，
当
时，
，
当
时，
，
，
，
，记为
，
当
时，
，
当
时，
，即
，
，
，
，
，
当
时，
，故
，
当
时，
，故
，
当
时，
，
在
时递减，在
时递增，最小值出现在
处，
，
故答案为：
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. 已知正项数列
的前
项和为
，且
；
(1)求
和
的值；
(2)求证数列
是等差数列，并求出数列
的通项公式.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、利用an 与sn
关系求通项或项
【分析】（1）依次将
代入递推式即可求解；
（2）由
及条件可推出
，根据等差数列定义证明结论，
利用等差数列通项公式求结论.
【详解】（1）由题可得
，即
，
所以
，即
，
又数列
为正项数列，所以
，
所以
，
所以由
，得
；
（2）因为
，所以由（1）当
时，
，
当
时，
，
整理化简得
，又
，
所以
，即
，
所以数列
是以
为公差，1 为首项的等差数列，
所以
.
16. 在数列
中，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
（
）
【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数
列
【分析】（1）首先对等式进行等价变形可得：
，然后再根据等比数列
的定义进行证明即可；
（2）由（1）可知
为等比数列，先求解
的通项公式，进而求解数列
的通项公式；
【详解】（1）已知
，两边同时取倒数得：
，
两边同时加
可得：
，
由此可得：
，当
时，
，
因此得证：
为等比数列，其首项为，公比
.
（2）由（1）可得：
为等比数列，其首项为，公比
.
因此可得：
，得：
(
）
17. 已知数列
满足：
，
.
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前n 项和
；
(3)设
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、裂项相消法求和
【分析】（1）将
变形为
，进而利用等差数列定义证明即可；
（2）先利用等差数列通项公式求解
，则
，然后利用裂项相消法求
和即可；
（3）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由题意
，由
得
，
所以
，又
，
所以
是以1 为首项，2 为公差的等差数列；
（2）由（1）可得
，即
，
所以
．
所以
；
（3）由
知
，
所以
，
所以
，
两式相减得：
，
所以
．
18. 已知数列
满足
，
．
(1)求
，
的值；
(2)求
的通项公式；
(3)设
，记
为数列
的前n 项和，证明：
．
【答案】(1)
14，
254；
(2)
；
(3)证明见解析.
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明
等比数列、裂项相消法求和
【分析】（1）由题设得
，进而代值依次求解即可；
（2）由题设得
，进而得到数列
是以2 为首项，2
为公比的等比数列，进而求解即可；
（3）由题设得
，结合裂项相消法求得
，
进而结合指数函数的性质求证即可.
【详解】（1）由
，得
．
由
得，
，
．
（2）由
得，
，
两边取以2 为底的对数，
，
又
，则
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
则
，
所以
，故
．
（3）证明：由
得，
，
所以
，
则
，
故
，
因此
，
由于
，则
，即
，
所以
，则
，
所以
，故
．
19. 在数列
中，
，
，且
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)记
，数列
的前
项和为
，且
，数列
的前
项
和为
，若
对
恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：
.
【答案】(1)数列
是首项为2、公差为1 的等差数列，证明见详解.
(2)
，证明见详解.
(3)不等式成立，证明见详解.
【知识点】数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、由递推关系证明数列是等差数列、
利用导数证明不等式
【分析】（1）根据题目条件
，建立
和
的关系，判断
是否为常数.
（2）利用
，结合第一问的结果，求出
的表达式从而化简
，根据
，求出数列
的前
项和
，将
转化为关于
的函数，从而求出
的最小值.
（3）利用
进行放缩，对放缩后的不等式进行求和得到：
，判断求和后的不等式是否成立，从而得出结论.
【详解】（1）已知
，两边平方得：
，
利用三角恒等式
，代入得：
，
解此方程得：
，
取倒数得：
，
因此，
是公差为1，首项为
的等差数列.
（2）由（1）得
，
又
，所以
，
，
，
，
则
，
单调递增，
故
恒成立，可得
.
（3）由（1）得
，左边和式为：
，
放缩通项：需证
，
令
，则不等式化为
，
构造
，求导得：
，
令
，
递增，
，不等式成立，
求和：
.
