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第5 题 条件等式求最值问题（一题多解）
【山东名校2025 届高三12 月校际联合检测】． 已知正数x，y 满足
，则
的最小值为______．
角度一、利用“1”的妙用结合条件等式先计算
最小值，得出
，由整体思想计算得
；角度二、利用“1”的妙用结合条件等
式计算
，根据一元二次不等式计算即可.
由
，
得
，
所
以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，所以
，当且仅当
，且
，即
时，上式取“＝”，所以
的最小值为9．
角度二、因为
，
则
令
，即
1．已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．10
B．15
C．18
D．23
【答案】C
【分析】把已知式变形为
，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】由x>0，y>0，且
，得
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值是18．
故选：C．
（2024 高三·全国·专题练习）
2．已知实数
满足
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可.
【详解】因为
，可得
，
又因为
，即
，整理可得
，
且
，
，则
，可得
，
当且仅当
，即
，
时，所以
取得最大值
．
故选：C.
设
，引参消元结合判别式法计算最值.
令
，则有
，
，即
．
，
，
即
．
，
，
的最小值为9．
3．已知正数a，b 满足
，则下列结论不正确的是（ ）
A．ab 有最大值
B．
有最小值8
C．
有最小值4
D．
有最小值
【答案】B
【分析】根据题意结合基本不等式依次分析判断即可
【详解】对于A，因为
，
，所以
，所以
，
当且仅当
时取等号，所以A 正确，
对于B，因为
，
，所以
，当且仅当
，即
时
取等号，所以
的最小值为9，所以B 错误，
对于C，因为
，
，所以
，
当且仅当
时取等号，所以
有最小值4，所以C 正确，
对于D，因为
，
，所以
，而
，所以当
时，
有最小值
，所以D 正确，
故选：B
（24-25 高二上·河北邢台·期中）
4．曲线
的形状是一个斜椭圆，其方程为
，点
是曲线
上的任意
一点，点
为坐标原点，则下列说法错误的是（ ）
A．曲线
关于
对称
B．
的最大值为
C．该椭圆的离心率为
D．
的最大值为
【答案】C
【分析】根据方程的特点分析曲线的对称性，可判断A 的真假，并求出椭圆的长轴长和短
轴长，根据离心率的概念，可求椭圆的离心率，判断C 的真假；利用基本（均值）不等式
可以判断B 的真假；把方程看成关于
的不等式，利用
可求
的取值范围，判断D 的
真假.
【详解】由方程可以看出其关于
，
对称，A 正确；
由题意知
，
，
，
，
，B 正确：
联立方程
，解得顶点坐标为
和
，所以椭圆长轴长为
；同理可得另外两个顶点坐标为
和
，所以
椭圆的短轴长为
，所以
，所以该椭圆的离
心率为：
，C 错误；
看作关于
的一元二次方程，
，解得
，
D 正确，
故选：C．
【点睛】结论点睛：在曲线方程中，若用
代替
，方程不变，则曲线关于
轴对称；若
用
代替
，方程不变，则曲线关于
轴对称；若用
代替
，
代替
，方程不变，则
曲线关于原点对称；若用
代替
，同时用
代替
，方程不变，则曲线关于直线
对
称.
令
，结合“1”的妙用得
解
一元二次不等式即可.
令
，
则
有
，
，
t 的最小值为9，即
的最小值为9．
（2024·湖北·一模）
5．已知实数
满足
，则
最大值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】解法（1）采用三角换元，令
，再结合余弦函数的值域求
解即可；解法（2）采用基本不等式求解即可；
【详解】解法（1）：由
，
令
，即
，
，
，即
最大值为2；
解法（2）：
当且仅当
，即
时取等号，
，即
最大值为2，
故选：A.
利用方程思想消元解得
，再结合柯西不等式
计算最值即可.
由
已
知
得
，
，
又
，
，
，当且仅当
时，“＝”成立，
的最小值为9．
6．已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由条件可得
，则
，由均值不等式可得答案.
【详解】由
，
，
，可得
当且仅当
,即
时取等号.
故选：A
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大
值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则
这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）
7．已知
，
，则
的最小值为 ．
【答案】10
【分析】利用已知条件将
，化简为
，然后利用柯
西不等式求解最小值即可．
【详解】由
,得
所以
当且仅当
,即
时,等号成立,
故
的最小值为10.
故答案为：10.
【点睛】关键点点睛：结合条件特点,将目标函数转化为满足柯西不等式的形式,从而利用柯
西不等式
,当且仅当
时,等号成立)求最小值,
技巧性较强.
利用条件等式结合权方和不等式计算得
，再解一元二次不等
式即可.
有
，故
又
，
即
有
，
．
（当且仅当
取等号）
（2024·四川·模拟预测）
8．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的．其具体内
容为：设
，则
，当且仅当
时，
等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可.
【详解】由题意得，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故选：C．
（2024·河南信阳·模拟预测）
9．已知正数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据分离常量法可得
，结合权方和不等式计算可得
，即
，即可求解.
【详解】
，
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
，得
，
所以
或
（舍去），
即
的最小值为
.
故答案为：
两次利用基本不等式配凑系数结合整体思想计算最值.
（取等条件
，即
），
代入有
，解得
，
，
即
，
，有
，即
.
（2024 高三·全国·专题练习）
10．设
表示实数
中最小的数，若
，且
，则
中的最大值为 ．
【答案】4
【分析】首先设
，
，
，
，再构造和的形式，利
用基本不等式求最值.
【详解】设
，
，
，
，
，且
，
，
，
，
，
，
，当且仅当
，
时等号
成立，
又
，当且仅当
，
时等号成立，
，则
，当且仅当
，
时等号成立，
故
中的最大值为4.
故答案为：4
【点睛】关键点睛：本题是一道典型的二元双重最值问题，求解的关键是多次运用基本不
等式，多次运用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件，看是否同时满足，另外还要
注意不等号的方向，保持不等号的一致性.
利用拉格朗日乘数法计算偏导解方程即可.
，
，
令
有
，
令
，有
代入
，即
（
舍），此时
，
.
11．实数a，b 满足
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，
，化简得到
，结合基
本不等式，即可求解.
【详解】令
，
，则
，
，且
，
，
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立.
所以
的最小值是
，
故选：C.
（24-25 高三上·天津滨海新·期中）
12．已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．7
C．15
D．
【答案】C
【分析】依题意可得
，对
变形可得原式
，再利用乘
“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】
，
且
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
即
的最小值为
.
故选：C．
（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）
13．已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】A
【分析】由题设可得
，再应用基本不等式求最小值，注意取值
条件.
【详解】由
，可得
，故
，
则
，
当且仅当
，
时取等号，故目标式的最小值为9.
故选：A
（2024 高三·全国·专题练习多选）
14．已知
，
，
，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于A 选项，由
，得
，A 错
误；先利用基本不等式与
将
消去，再利用配方法转化为二次函数的形式
求解判断B，C，D 选项．
【详解】
，
,两式相加，得
，
则
，当且仅当
时，等号成立，故A 错误；
由
，得
，
当且仅当
，
时等号成立，故B 正确；
，当且仅当
，
时，等号
成立，故C 正确；
，当且仅当
，
时，等号成立．又
，故D 正确．
故选：BCD．
（24-25 高一上·广东广州·阶段练习）
15．若实数x，y 满足
，则
的最大值是 ．
【答案】
【分析】由已知可得
，
，代入
，结合二次函数的性质
即可求解.
【详解】因为实数x，y 满足
，
所以
，所以
，
所以
，
，
所以当
时，
有最大值，最大值为
.
故答案为：
.
（2024 高二下·北京·竞赛）
16．对于
，若非零实数
满足
，且使
最大，
则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据等式先配方出平方和
，再利用柯西不等式，凑出
，以
等号成立的条件为依据，把
转化为一个变量的函数，求最值即可.
【详解】因为
，所以
，
由柯西不等式得，
，
当
最大时，有
，所以
，
，
所以
，
当
，即
时，上式取得最小值
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题考查柯西不等式，关键在于用柯西不等式凑出
，当反推
柯西不等式时，需要结合不等式两边已有的式子，对相同未知数的系数进行分析配凑.
17．若
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用柯西不等式
可直接求得结果.
【详解】由柯西不等式得：
，
即
，
（当且仅当
时取等号），
的最小值为
.
故答案为：
.
（24-25 高一上·江苏无锡·期中）
18．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其
表述如下：设正数a，b，x，y，满足
，当且仅当
时，等号成立，则
函数
的最小值为 ．
【答案】49
【分析】根据题中给的不等式可求得结果.
【详解】因为正数a，b，x，y，满足
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，此时
的最小值为49，
故答案为：49.
（24-25 高一上·河北·期中）
19．若
，
，
，则不等式
，当且仅当
时，等号成立.这个
不等式叫做权方和不等式，
称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指
数高1 次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若
，证明二维形式的权方和不等式：
.
(2)已知
，
，求
的最
小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数
，
满足
，求
的最大值.
解：由权方和不等式得
，
所以
的最大值是5.
【答案】(1)证明见解析；
(2)60；
(3)解法不正确，理由见解析.
【分析】（1）将证明
转化为证明
，可以通
过利用基本不等式来证明；
（2）将
变形成
，利用权方和
不等式结合已知条件，即可求解；
（3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足.
【详解】（1）证明：
，当且仅当
时，等号成立.
因为
，所以
.
（2）
，
当且仅当
时，等号成立.
所以
的最小值为
..
（3）这种解法不正确.
原因如下：这种解法当且仅当
，即
时等号成立.
由
，消去
得
，因为
，所以本方程无实数解，
所以
，
的最大值不是5.
