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第04讲 简单的三角恒等变换
1．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝.
(2)公式变形：
由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). （其中 ）
＝cos(x—φ). （其中 ）
一．三角函数式的化简
例1．（1）计算 的值为（ ）
A． B． C． D．（2）已知点 为角 终边上一点，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
（3）若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
（4）若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
（5）若 ，则 （ ）
A． 或 B． C． 或 D．
（6）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数
公式之间的联系点．二．三角函数的求值
命题点1 给角求值
例2．（1） 的值是（ ）
A． B． C． D．
（2）化简： （ ）
A． B． C． D．
（3）（多选）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（4）（多选）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（5）若 ，则 ___________.
【复习指导】：解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公
式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式
进行约分，解题时要逆用或变用公式．
(3)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以
化为特殊角．
(4)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余
关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
命题点2 给值求值
例3．（1）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
（2）已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（3）已知 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
（4）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．（5）已知 ， ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
（6）已知 ，且 ，则 ________.
【复习指导】：解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(3)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos.
命题点3 给值求角
例4．（1）已知 ， ，且 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．【复习指导】：已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
（2）若 ，则角 的值为（ ）
A． B． C． D．
（3）设 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（4）已知 ， ， ， ，则 （ ）
A． 或 B． C． D．
（5）已知 ， 则 _____.
（6）若 ，且 ，则 的值为___________.
【复习指导】：三角函数求值有三类
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而
得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
三．辅助角公式
例5．（1）将下列各式化成 的形式，其中 ， ， .
① ________________；
② ________________；
2cosx 2sinx
③ ________________；
④ ________________；
⑤ ________________；
6cosx 2sinx
⑥ ________________；
⑦ ________________；
⑧ ________________；
sinx 3cosx
⑨ ________________．
（2）把 化为 的形式为______________．
（3）若 可化为 ，则 ___________.（4）已知函数 的最小正周期为 ，则 ___．
（5）已知函数 ， ，则 的最小值是________
（6）若函数 取最小值时 ，则 ___________.
四．三角恒等变换的综合应用
例6．（1） __________．
（2）设 为实数，已知 ，则 的取值范围是_______.
（3）已知 ， ．
①求 的值；
②若 ，且 ，求 的值．
（4）已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
①求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
②若α∈(0，π)，且f ＝，求tan的值．（5）已知函数f(x)＝sin＋·cos.
①求函数f(x)在区间上的最值；
②若cos θ＝，θ∈，求f 的值．
【复习指导】：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是把复杂的三
角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常
利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性
质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
1． （ ）．
A． B． C． D．
2． 等于（ ）
A． B． C． D．
3．设 ， ，化简 （ ）
A． B． C． D．4．已 ，且 则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．化简 （ ）
A． B． C．2 D．
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
9．计算： （ ）
A． B． C． D．10．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．已知 ，函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．若 ，则 =（ ）A． B． C． D．
16．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．若 则 的值是（ ）
A． B． C． D．
18．若 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．7
19．若 ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．已知 ， 均为锐角，满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
21．已知 为锐角， ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
22．若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
24．设 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
25．下列点中为函数 的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
26．（多选）下列各式中值为1的是（ ）
A． B．C． D．
27．（多选）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
28．（多选）已知 ，其中 为锐角，则（ ）
A． B．
C． D．
29． ___________.
30．若 ，则 ___________.
31．已知 ， ，若 ，则 ______．32． ， ，则 ______．
33．若实数 ， 满足方程组 ，则 的一个值是_______.
34．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于
A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S OAM＝ ，点B的纵坐标是 . 则cos(α－β)＝
△
________，2α－β＝________.
35．设 ，函数 为偶函数，则 的最小值为___________.
36．若函数 的一个零点为 ，则 ______．
37．函数 的最大值为______．
38．把 化成 （其中 的形式：____．39．函数 的最大值是______.
40．函数 的值域是______．
41．已知方程 在 上有解，则 的取值范围是_____________.
42．对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______.
43．若 ，则 __________.
44．已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.45．已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 且 ，求 的值．
46．已知 是方程 的两根，且 ，求：
(1)
(2)
47．已知 为奇函数，其中 .
(1)求函数 的最小正周期和 的表达式；
(2)若 ，求 的值.
48．已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最大值和最小值；(2)若 ， ，求 的值.
49．已知函数
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)设 ， ，求 的值.
50．已知 ．
（1）求 的值；
（2）已知 ， ， ，求 的值．
