第04讲简单的三角恒等变换（解析版）_数学_一轮复习_2024年_2024年高考数学考点题型测试一轮高效复习精讲精练_第四章《三角函数》

第04讲 简单的三角恒等变换
1．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝.
(2)公式变形：
由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). （其中 ）
＝cos(x—φ). （其中 ）
一．三角函数式的化简
例1．（1）计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】
（2）已知点 为角 终边上一点，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】首先根据三角函数恒等变换得到 ，从而得到 ，即可得到 的值.
【详解】
，即 .
又因为 ，解得 .
故选：D
（3）若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角函数的诱导公式将 ，再运用三角恒等变换公式求解.
【详解】依题意， ， ，
则 ，即 ，
故 ，则
故选：D.（4）若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式化简 ，再结合 的范围确定 和 的符号即可求
解.
【详解】由二倍角公式可知， ， ，
从而 ，
又因为 ，所以 ， ，
从而 .
故选：D.
（5）若 ，则 （ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式得 ，化简得出 或 ，再由三角恒等变换得出
，再分别讨论 ， 两种情况即可．
【详解】由题可得
所以 ，即所以 或
又
所以当 时， ；
当 时， ．
故选：A
（6）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式将的等式右侧化简，再利用分式运算及两角和差的余弦公式化简，根据 ，
即可求得 的值.
【详解】解：由 ，且
即 .
所以
整理得：
又 ，所以 ，即 .
故选：A.
【复习指导】：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数
公式之间的联系点．二．三角函数的求值
命题点1 给角求值
例2．（1） 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】变形 后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.
【详解】
，
故选：C.
【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
（2）化简： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】
故选：A
（3）（多选）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【分析】利用二倍角公式，两角和差的正弦、正切公式及特殊角的三角函数值计算可得；
【详解】解：对于A： ，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C： ，故C正确；
对于D： ，故D正确；
故选：ACD
（4）（多选）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用三角恒等变换公式化简计算可得；
【详解】解：对于A：
，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C： ，
所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D：
，故D错误；
故选：AC（5）若 ，则 ___________.
【答案】
【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可.
【详解】
故答案为：
【复习指导】：解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公
式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式
进行约分，解题时要逆用或变用公式．
(3)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以
化为特殊角．
(4)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余
关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
命题点2 给值求值
例3．（1）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用角的变换 ，再根据两角差的余弦公式即可求解.
【详解】解：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以
.
故选：D.
（2）已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角的范围和同角三角函数之间的基本关系求出 ，结合诱导公式计算化简即可.
【详解】 ，
∵ 为锐角，∴ ，
∴
故选：C．
（3）已知 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平方关系以及二倍角公式求出 、 、 与 的值，再利用
求解即可.【详解】因为 ，所以 .
又因为 ， ，
所以 ， ，
从而可得 ， ，
所以
.
故选：D.
（4）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先由角 知 ，再利用同角三角函数平方关系求 ，二倍角余弦公式以及
诱导公式求 即可.
【详解】 ，
，
又 ，
.
.
故选：D.（5）已知 ， ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
（6）已知 ，且 ，则 ________.
【答案】
【分析】利用平方关系求出 ，再利用二倍角的正弦公式即可得出答案.
【详解】解： ， ，
又 ， ，
，
，
.
故答案为： .
【复习指导】：解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．(3)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos.
命题点3 给值求角
例4．（1）已知 ， ，且 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得 ，利用两角和差余弦公式可求得 ，结合
可得结果.
【详解】 ， ， ， ，
，
又 ， .
故选：B.
【复习指导】：已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
（2）若 ，则角 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 ， 的值，然后利用和差角公式及特殊角函数值，
可得 的值．
【详解】∵ ，
，
由 ， ，得 ， ，
若 ，
则
，
与 矛盾，故舍去，
若 ，
则
，
又 ，
.
故选：A.
（3）设 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解 ，再分析角度范围得到 即可【详解】因为 ，所以 ，且
，所以 ，则
故选：A．
（4）已知 ， ， ， ，则 （ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角度范围得到 ， ，计算 ，得到答案.
【详解】 ， ， ，故 ，故 ；
， ， ， ，
故 ， ；
， ，故 .
故选：C
（5）已知 ， 则 _____.
【答案】
【分析】根据 求出 ，结合 求出 ，结合 ，求出 .【详解】因为 ， ，所以 ，
因为 ，解得： ，
所以 ，
由 ，得 ，解得： ，
因为 ，
所以 ．
故答案为：
（6）若 ，且 ，则 的值为___________.
【答案】 或
【分析】根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得 ，
分类讨论当 、 时的情况，结合 和辅助角公式计算即可.
【详解】由题意知，
则 ，
即 ，
当 时， ，即 ，
由 ，得 ；
当 时， ，所以 ，即 ，
由 ，得 ，所以 ，得 .
故答案为： 或
【复习指导】：三角函数求值有三类
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角
总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而
得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
三．辅助角公式
例5．（1）将下列各式化成 的形式，其中 ， ， .
① ________________；
② ________________；
2cosx 2sinx
③ ________________；
④ ________________；
⑤ ________________；
6cosx 2sinx
⑥ ________________；
⑦ ________________；
⑧ ________________；
sinx 3cosx
⑨ ________________．【详解】① ；
② ；
 
2sin x
③ 2cosx 2sinx  4 ；
④ ；
⑤ ；
 
2 2sin x
⑥ 6cosx 2sinx  3 ；
⑦ ；
⑧ ；
   
sinx 3cosxsinx 3cosx sinx 
⑨  3．
（2）把 化为 的形式为______________．
【答案】
【分析】根据辅助角公式和两角和则正弦公式即可得出结果.
【详解】因为
，
故答案为： .（3）若 可化为 ，则 ___________.
【答案】
【分析】根据二倍角公式、辅助角公式进行求解即可.
【详解】 ，
令 ，因为 ，
所以由 ，即
，
故答案为：
（4）已知函数 的最小正周期为 ，则 ___．
【答案】1
【分析】利用辅助角公式，可得 解析式，根据正弦型函数的最小正周期的求法，结合题意，即可得答
案.
【详解】因为函数 ，
所以最小正周期为： ，解得 .
故答案为：1
（5）已知函数 ， ，则 的最小值是________
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，进而根据函数的图象与性质求出最值，进而分析出的最小值等于 ，进而可以求出结果.
【详解】因为 ，所以 ， ，所以
，
故答案为： .
（6）若函数 取最小值时 ，则 ___________.
【答案】
【分析】利用三角函数的恒等变换，再利用诱导公式即可求解.
【详解】 ，其中
时取最小值， ，
故答案为： .
四．三角恒等变换的综合应用
例6．（1） __________．
【答案】
【解析】由正切的和角公式得若 ，则 ，再根据此结论求解即可得答案.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，∴ ．
∴
故答案为：
【点睛】本题考查正切的和角公式化简求值，解题的关键在于从题中发现若 ，则
，是中档题.
（2）设 为实数，已知 ，则 的取值范围是_______.
【答案】
【分析】由 ，利用 的范围可得答案.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
则 的取值范围 .
故答案为： .
（3）已知 ， ．
①求 的值；
②若 ，且 ，求 的值．
【答案】① ；② ．【分析】①先利用两角差的正切公式求得角 的正切值，把所给的函数式进行恒等变形，根据二倍角公式
和同角的三角函数关系，进行弦化切，代入即得结果；
②先求得角 的正切值，结合所给的角的范围，利用同角的三角函数的关系和两角和与差的三角函数公式，
即求得结果．
【详解】①由 ，
于是 ．
②由 ，
，
又 及 进一步可得 ，
及 进一步可得 ，
于是 ，因此 ．
（4）已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
①求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
②若α∈(0，π)，且f ＝，求tan的值．
【详解】①因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
②因为f ＝，
所以sin＝1.
又α∈(0，π)，
所以－<α－<，
所以α－＝，
故α＝，
因此tan＝＝＝2－.（5）已知函数f(x)＝sin＋·cos.
①求函数f(x)在区间上的最值；
②若cos θ＝，θ∈，求f 的值．
【详解】①由题意得f(x)＝·sin＋cos
＝×
＝－·sin.
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，
即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
②因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f＝－sin
＝－·sin＝－(sin 2θ－cos 2θ)
＝(cos 2θ－sin 2θ)＝·＝.
【复习指导】：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是把复杂的三
角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常
利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性
质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
1． （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式和二倍角的正弦公式可求三角函数式的值.
【详解】 ，故选：D.
2． 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简 ，再通分利用二倍角和辅助角公式化简得解.
【详解】解： ，
故选：C．
3．设 ， ，化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用三角恒等变换求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
，
，
，
，
，
故选：A
4．已 ，且 则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 平方求出 ，进而求出 ，将所求的式子分子用二倍角公式化简，分
母用两角和余弦公式展开，即可求解.
【详解】 平方得 ，
，
.
故选:D.
【点睛】本题考查三角函数求值问题，涉及到同角间的三角函数关系、三角恒等变换的应用，熟记公式是
解题的关键，属于中档题.
5．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二倍角公式化简计算即可得出结果.
【详解】由 可得 ，
则 ，又 ， ，
故 ，又 ，
解得： ，所以： .
故选：C.
6．化简 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由三角恒等变换与诱导公式求解即可
【详解】
，
故选：D.
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，一步步化简为只含 的式子再代入即可解出答案.
【详解】 ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C.
8．若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三角恒等变换可得 ，再由平方关系即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .故选：A.
9．计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.
【详解】因为
，所以原式
故选：C
10．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 可得 ，再代入 ，结合诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】令 可得 ，故 ，则
故选：C
11．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】先根据诱导公式计算出 的值，然后根据二倍角的余弦公式求解出 的值.
【详解】∵ .
∴ ，
∴ ，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于诱导公式以及二倍角公式的熟练使用，要具备一定的转化技巧；
本例还可以通过直接将 变形进行求解：
.
12．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出 ，再根据 利
用诱导公式及二倍角的正弦公式计算可得；
【详解】解：∵ ，
∴ ，∵ ，∴ ，
则 ，
∴ ，
故选：B.
13．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角和差公式和二倍角公式化简求值即可．
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
则 ，
.
故选：A
14．已知 ，函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得 ， ，从而利用
即可求解.
【详解】解：令 ， ，则 或 ，
令 ， ，则 ，
又 ， ，
所以 ， ， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以
，
故选：B.
15．若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将原式分母看作1，由 则可化为 ，结合同角函数关系及
，即可求值.
【详解】 ，又 ，∴原式 .
故选：D
16．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两角差的余弦公式即可得出 ，然后
即可求出 的值.
【详解】 ,
.
故选：D.
17．若 则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用三角恒等变换：二倍角正弦公式，及同角正余弦平方关系，目标式可化为
，结合已知即可求值.
【详解】 .故选：B.
18．若 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．7
【答案】B
【分析】先由余弦的二倍角公式与齐次式弦化切得到关于正切的方程，结合角的范围求出答案.
【详解】 ，故 ，由于 ，所以
，故 .
故选：B
19．若 ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两角和与差的余弦公式，结合角的取值范围求解
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
因为 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 .
所以.
因为 ， ，
所以 ，所以 .
故选：A
20．已知 ， 均为锐角，满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得 的值，再去求 的值即可.
【详解】由 ，且 为锐角，可得
由 ，且 为锐角，可得
则
又由 ， 均为锐角，可得 ，则
故选：D
21．已知 为锐角， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用配角法及两角和余弦公式，即可得到结果.
【详解】∵ 为锐角， ，
∴ ， ，∴
，
又 ，
∴ ，
故选：B
22．若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 及二倍角的余弦公式可得 ，根据两角和的余弦公式可得
，由诱导公式及 的范围即可求解.
【详解】 ， .
由 ，可得 ，
即 .
，
，
， ，且 ，
根据函数 易知： ，即得： .
故选：A23．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】 ，
.
，
所以 .
故选：B
24．设 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即
可.【详解】由
，
所以 ，
因为 ，所以令 ，得 ，
故选：C
25．下列点中为函数 的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用三角函数的平方公式与倍角公式化简函数得 ，再利用代入检验法判断
三角函数的对称点，对选项逐一检验即可得解.
【详解】因为 ，
对于AD，当 时， ，所以该函数关于 对称，故AD错误；
对于B，当 时， ，所以该函数关于 对称，故B错误；
对于C，当 时， ，所以该函数关于 对称，故C正确.
故选：C.
26．（多选）下列各式中值为1的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AC
【分析】由三角恒等变换逐一判断即可.
【详解】A： ，符合题意；
B： ，不符合题意；
C： ，符合题意；
D： ，不符合题意
故选：AC
27．（多选）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据 ，可以缩小 的范围，即可判定出 的正负. 再利用凑角的方法，即
，求出 ，即可得到 的大小.
【详解】因为 ， ，所以 ，且 .
因为 ，所以 .因为 ，所以 .因为 ，所以 .
因为 ，
所以
，故 .
故选：AD
28．（多选）已知 ，其中 为锐角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换的知识确定正确选项.
【详解】 为锐角，即 ， ， ，
由于 ，所以 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，A选项正确.
，所以B选项正确.①，
②，
①+②并化简得 ，所以C选项错误，
①-②并化简得 ，
所以 ，所以D选项错误.
故选：AB
29． ___________.
【答案】
【分析】将原式化切为弦，通分，然后利用两角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.
【详解】
.
故答案为： .
30．若 ，则 ___________.
【答案】【分析】由题意可得 ，令 ，则 ， ，化简即得解.
【详解】由题意可得 ，
令 ，则 ， ，
所以原式 ，
故答案为： .
【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据
已知条件灵活选择方法求解.
31．已知 ， ，若 ，则 ______．
【答案】
【分析】利用恒等变换公式和二倍角公式将 ，即可得 ，再利用恒等公式求出
.
【详解】因为 ， ， ，解得 ，所以 ，
， .又
，所以 ， .
所以 .故答案为： .
32． ， ，则 ______．
【答案】
【分析】利用二倍角公式，结合 的范围进行求值
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以
.
故答案为：
33．若实数 ， 满足方程组 ，则 的一个值是_______.
【答案】 （满足 或 的 值均可）
【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．
【详解】解：实数 ， 满足方程组 ，
则 ，
由于 ，
所以 ，则 ；
所以 ，整理得 ，
所以 或 ，即得 或 .
故可以取 时， ．
故答案为： （满足 或 的 值均可）
34．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于
A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S OAM＝ ，点B的纵坐标是 .则cos(α－β)＝
△
________，2α－β＝________.
【答案】 － －
【分析】先根据三角函数的定义及面积公式求出α和β的正弦，余弦，再根据两角和与差的正弦余弦公式
及倍角公式计算要求的角及函数值即可.
【详解】由题意，OA＝OM＝1，
因为S OAM ＝ 和α为锐角，
△
所以sin α＝ ，cos α＝ .
又点B的纵坐标是 ，且β为钝角
所以sin β＝ ，cos β＝－ ，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝ × ＋ × ＝－ .
因为cos 2α＝2cos2α－1＝2× 2－1＝－ ，
sin 2α＝2sin αcos α＝2× × ＝ ，所以2α∈ .
因为β∈ ，所以2α－β∈ .
因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝－ ，
所以2α－β＝－ .
故答案为：－ ；－ .
35．设 ，函数 为偶函数，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】首先用辅助角公式将 化简为 ，由诱导公式，若 为偶函数，则
（ ），由此可求出 的最小值.
【详解】
，
∵ 为偶函数，所以 （ ），∴ ，
又∵ ，∴当 时， 的最小值为 .
故答案为： .
36．若函数 的一个零点为 ，则 ______．
【答案】
【分析】由题意, 利用函数的零点, 求得 的值, 再利用辅助角公式和两角差的正弦公式化简 , 可得
.
【详解】 函数 的一个零点为 , ,
, 函数 ,
.
故答案为: .
37．函数 的最大值为______．
【答案】13
【分析】利用辅助角公式化简,即可由正弦函数的性质求得最大值.
【详解】
，令 ，
所以可得
所以由正弦函数的性质可知 的最大值为 .
故答案为:
38．把 化成 （其中 的形式：____．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式求解作答.
【详解】 .
故答案为：
39．函数 的最大值是______.
【答案】
【分析】利用辅助角公式计算可得；
【详解】解： ，其中 ， ；
因为 ，所以 ；
故答案为：
40．函数 的值域是______．
【答案】
【分析】利用辅助角公式，化简 ，然后利用正弦函数的有界性，即可得到 的值域
【详解】，
，所以所求值域为：
故答案为：
41．已知方程 在 上有解，则 的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】先求出函数 的值域，即可求解.
【详解】解： ，故 ，
故答案为：
42．对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】参变分离得到对任意实数 ，不等式 恒成立，进而求出 的最小值
即可.
【详解】因为对任意实数 ，不等式 恒成立，即对任意实数 ，不等式
恒成立，即 ，
设 ，
而 ，且 ，
所以 ，因此 ，即 ，
故实数 的取值范围是 .
故答案为： .43．若 ，则 __________.
【答案】
【分析】结合辅助角公式及诱导公式，找出已知角与所求角的关系进行化简即可求解．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
故答案为： ．
44．已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 ， 的值，进而根据 ，
利用两角差的余弦函数公式即可求解．
（2）利用二倍角公式可求 ， 的值，进而即可代入求解．
【详解】（1）因为 ，
所以
又因为 ，所以
所以
（2）因为 ，
所以
所以
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简
求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．
45．已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 且 ，求 的值．
【答案】（1） ，（2） ，（3）
【解析】（1）由 ， ，可求出 ，从而可求出 ，进而利用正切的二倍角
公式可求得答案；
（2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解；（3）先由已知条件求出 ，再利用 展开代值可求得结果
【详解】解：（1）因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
（2）
，
（3）因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，考查同角三角函数的关系
的应用，角的变换公是解题的关键，属于中档题46．已知 是方程 的两根，且 求：
(1)
(2)
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用韦达定理可得 ，再利用两角和的正切公式即可得解；
（2）先判断 的符号，从而可求得 的范围，即可得出 的范围，从而可得出答案.
【详解】（1）解：因为 是方程 的两根，
所以 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
故 ，所以 ，
所以 .
47．已知 为奇函数，其中 .
(1)求函数 的最小正周期和 的表达式；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】（1）根据 列关于 的等式，即可求出解析式，得到周期；（2）根据 ，求出 ，与 然后再求解.
【详解】（1）因为 为奇函数，
所以 ，
化简得到求出
，所以
，最小正周期是 ；
（2）若
所以
48．已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最大值和最小值；
(2)若 ， ，求 的值.
【答案】(1)最大值为2，最小值为 .；(2)
【分析】（1）由二倍角公式、两角和的正弦展开式得 ，再利用正弦函数的单调性与
范围可得答案；
（2）由 得 ，利用平方关系得到 ，再利用 展
开可得答案.【详解】（1）由 得 ，因为
，则 ，故当 时， 取最大值2；当 时， 取最小值 ；
所以函数 在区间 上的最大值为2，最小值为 .
（2）由（1）可知 ，
又因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
从而 ，
所以 .
49．已知函数
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)设 ， ，求 的值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；
（2）由题意可求得 ，再根据平方关系求出 ，再根据 结合两
角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解： ，
令 ，
得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
所以 .
50．已知 ．
（1）求 的值；
（2）已知 ， ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用二倍角公式化简已知等式求得 ，将所求式子化作 ，由正余弦齐
次式的求法可求得结果；
（2）由已知方程和两角和差正切公式可求得 ，利用两角和差正切公式可得 ，由
的范围可确定结果.【详解】（1） ， ， ，
；
（2） ， ，
，
， ，
， ， ，
.