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第三章 一元函数的导数及其应用（单元测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若函数
在
处的切线斜率为2，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题
，
故
.
2．对于函数
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．e
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
又因为
，
所以
，
解得
．
3．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得函数
的定义域为
，
则
，令
，解得
，
当
时，
，
所以函数
的单调递增区间是
，
4．已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得，
，
所以，
，
，
曲线
在点
处的切线方程为：
，
，化简得，
.
5．已知函数
在
处取得极小值，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】B
【解析】因为
，所以
.
由
或
.
当
时，
.
由
或
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
处取得极小值，
故
满足题意；
当
时，
.
由
或
；由
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值，
故
不满足题意.
综上，
.
6．当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
的定义域为
，又
，
依题意可得
，即
，解得
，
此时
，则
，
所以当
时
，则
在
上单调递增；
当
时
，则
在
上单调递减，
则
在
处取得极大值，也是最大值，符合题意；
所以
.
故选：D
7．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，得：
，
令
，
，
则
，
在
上单调递增；
又
，得
，
又
，即
，
又
在
上单调递增，
，
，
即
，
∴
，故A 正确，B 不正确；
取
得：
，
此时
，故C、D 都不正确.
故选：A
8．已知函数
，若对任意的
，都有
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
两边同乘
得
.
设
，
，
由题意得
在
上严格递增，则
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立.
令
，
，则
，
当
时
，
单调递增，当
时
，
单调递减，
所以
的最大值为
，因此
.
当
时，
，
令
，
，易得
且仅在
处取等，
故
且
最多有一个实数解，
严格递增，所以
的取值范围是
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列命题不正确的是（ ）
A．若
，则
B．设函数
，且
，则
C．已知函数
，则
D．
【答案】AC
【解析】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，令
，所以
，
所以
，解得
，故B 正确；
对于C，
，所以
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确．
故选：AC．
10．已知
，则下列说法正确的有（ ）．
A．函数
有唯一零点
B．函数
的单调递减区间为
C．函数
有极大值
D．若关于x 的方程
有三个不同的根，则实数a 的取值范围是
【答案】AC
【解析】
，定义域为
，则
A 选项，令
，得
，则当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
，当
，
；当
，
，
所以函数
只有1 个零点，且此时
，所以A 选项正确；
B 选项，由A 选项解析可知，函数
的单调递减区间为
，所以B 选项错误；
C 选项，由A 选项解析可知，函数
有极大值
，所以C 选项正确；
D 选项，由A 选项解析可知，关于x 的方程
不可能有三个根，所以D 选项错误.
11．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体步骤如下：设是
函数
的一个零点，任意选取
作为的初始近似值，在横坐标为
的点处作曲线
的切线，
直线与
轴交点的横坐标为
；用
代替
重复上面过程得到
；一直进行下去，得到
，
，
，
，
当
足够小时，我们可以把
的值作为函数
零点的近似值．已知函数
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线
的方程为
C．
D．设
，
，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意得
，
，
则
，故的切点为
，
而
，由导数的几何意义得的斜率为
，
得到切线的方程为
，化简得
，
令
，解得
，故A 正确.
对于B，
，
，
则
的方程为
，即
，故B 错误.
对于C， 由题意得
在
处的切线方程为
，
而该方程必过
，代入得到
，
则
，得到
，C 选项正确.
对于D，
，
可得
，
由已知得
，则
单调递增，
而
，
，得到
，
由零点存在性定理得存在
作为
零点，
初始值
，且
（牛顿迭代值始终在零点右侧），故
，
所以
，
所以数列
单调递减且无限趋近于，
故
，
则
，得到
，
所以
，故D 正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知函数
在
处的切线方程为
，则
的值为______．
【答案】
【解析】根据题意，
，则
，
又函数
在
处的切线方程为
，
所以切线斜率为
，即
，解得
，
又切点在切线上，所以当
时，
，即切点坐标为
，
又切点在函数
上，所以
，解得
，
所以
.
13．若函数
在
是增函数，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
.
因为
在
上是增函数，所以
在
上恒成立，
所以
，即
在
恒成立.
当
时，
，当且仅当
，即
时等号成立.
因此
，即
.
故
的取值范围是
.
14．不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是______
【答案】
【解析】若
，当
时，左边
，右边
，不等式不成立，因此必有
.
不等式
两边同乘正数
，得：
,
构造函数
，求导得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
因
，当
时
恒成立，
当
时，由单调性可得
，
原不等式等价于
，由单调性得：
在
上恒成立.
不等式变形为
对任意
恒成立，
令
，求导得：
，令
得
,
当
，
单调递增，当
，
单调递减，
所以
的最大值为
，故
，
即
的取值范围是
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若
在
处有极大值，求的值.
【解析】（1）当
时，
，所以
，即切点为
；
又
，
所以
；
由点斜式得切线方程：
，整理得
.
（2）
定义域为
，
，
由
为极值点得
，代入得
，解得
或
；
若
，则由
得
或
，
当
时
，
时
，
故
处为极小值，不符合题意，舍去；
若
，则由
得
或
，
当
时
，
时
，
故
处左增右减，为极大值，符合题意；
综上，
.
16．（15 分）
某企业生产某种电子产品的年固定成本为
万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本
万元，设该企业每年生产该电子产品
万件并全部销售完，年销售收入
（单
位：万元）.已知当
时，该企业生产该电子产品年利润为
万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-
年生产成本）
(1)求该企业生产该电子产品所获年利润
（万元）关于年产量
（万件）的函数解析式；
(2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量.
【解析】（1）由 题当
时，该企业生产该电子产品年利润为
万元，
所以
，
解得
，
所以当
时，
；
当
时，
，则
；
综上，
；
（2）当
时，对
求导，可得
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
则当
时，
取得最大值，
（万元）；
当
时，
（万元），当且
仅当
，即
时等号成立，
综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10 万件.
17．（15 分）
已知函数
.
(1)若
，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，
因为
，所以切点为
，
又斜率
，
故切线方程为：
，
即
；
（2）
，
的定义域为
，
当
时，
，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
时，
，
，所以
在
上单调递减，
时，
，
，所以
在
上单调递增；
（3）由题可知
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
则有
在
上恒成立，
令
，由
可得
在
上单调递增，
故
可化为
，
所以
在
上恒成立,
即
，解得
，
故
的取值范围为
．
18．（17 分）
已知函数
(1)
时，判断
在定义域的单调性；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)设
，记
的极小值点为
，证明
．
【解析】（1）当
时，函数
，其定义域为
.
.
令
，则
.
令
，得
.
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
在
处取得最小值，最小值为
.
所以
恒成立，所以
在定义域
上单调递增.
（2）若
恒成立，
则
恒成立，
即
，
恒成立.
令
，
则
.
令
，得
或
（舍去）.
又
是增函数，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
所以
在
处取得最大值，最大值为
.
故实数
的取值范围是
.
（3）设
，则
，定义域为
.
.
令
，则
.
令
，得
.
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
在
处取得最小值，最小值为
.
又
，
，
，
所以存在
，使得
，
即
，即
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
在
处取得极小值，所以
.
.
令
，则
在
单调递减.
又
，
所以
，即
19．（17 分）
已知函数
与函数
的定义域均为
，且在
上的导函数分别为
和
.若存在
常数
，使得对任意实数
恒成立，则称
是
的“
调整函数”，并称
为调整系数.
(1)设
.求证：
是
的“2-调整函数”；
(2)设
.若存在实数
，使得
是
的“
调整函数”，
求调整系数
的取值范围；
(3)已知
是
的“1-调整函数”，函数
的值域是一个闭区间，记作集合
，函
数
的值域记作集合
.若
，判断
是否一定是常值函数，并说明理由.
【解析】（1）因为
，
所以
.
所以
所以
是
的“2-调整函数”；
（2）由
，得
.
由于
是
的“
调整函数”，那么存在常数
，使得
恒成立，
即
，即
.
因为存在实数
，满足上式，所以
，即
.
1)若
，则
成立；
2)若
，则
，所以
，且
.
设
，则
在
单调递增.
当
时，因为
，
所以存在
，当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
，不满足题意；
当
时，
，
，所以
，
在
上单调递减，
所以
恒成立.
3)当
时，对
，
恒成立.
综上，调整系数
的取值范围是
.
（3）
不一定是常值函数.
例：令
，
，
，
.
此时函数
的值域是一个闭区间，为集合
，函数
的值域为集合
，
满足
.
又
，满足对任意实数
恒成立，即满足
是
的“
调整
函数”，
此时
不是常值函数.
