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2.3 函数的奇偶性、周期性
对称性
和
1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
2.3 函数的奇偶性、周期性和对称性................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：函数的奇偶性.....................................................2
考点2：周期性...........................................................2
考点3：对称性...........................................................2
【常用结论归纳】.........................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 函数的奇偶性......................................................4
命题点1 判断函数的奇偶性............................................4
命题点2 函数奇偶性的应用............................................5
题型二 函数的周期性......................................................6
题型三 函数的对称性......................................................7
三、课堂总结：知识图谱......................................................9
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................10
1
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、
一
主干知识
考点1：函数的奇偶性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有
－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y 轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有
－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
考点2：周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D 都有x＋
T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的
最小正周期．
考点3：对称性
函数的对称性
(1)若函数
为偶函数，则函数
关于
对称．
(2)若函数
为奇函数，则函数
关于点
对称．
(3)若
，则函数
关于
对称．
(4)若
，则函数
关于点
对称．
2
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【
用
常
结论归纳】
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调
性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a 对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称．
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称．
3
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、分
二
类题型
题型一函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
【例题精析1】
（2023·新疆·校联考二模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析2】
（2023·重庆·统考模拟预测）函数
的部分图象是（ ）
A．
B．
4
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C．
D．
【例题精析3】
（2023·浙江台州·统考二模）已知函数
同时满足性质:①
;②当
时,
,则函数
可能为( )
A．
B．
C．
D．
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等
价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
命题点2 函数奇偶性的应用
【例题精析4】
（2023·全国·高三专题练习）函数
是定义在
上的奇函数，且在
上单调递增
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析5】
（2023·上海金山·统考二模）已知
是定义域为
的奇函数，当
时，
5
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，则
__________.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知
区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
【对点精练1】
（2023·福建·统考模拟预测）函数
的图象大数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练2】
（2023·广西玉林·统考三模）函数
，若
，则
________．
【对点精练3】
（2023·云南红河·统考二模）若函数
是偶函数，则
______．
【对点精练4】
（2023·广东湛江·统考二模）已知奇函数
则
__________．
6
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题型二函数的周期性
【例题精析6】
已知定义在
上的函数
满足
，
为奇函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【例题精析7】
（2023·广西南宁·统考二模）已知函数
，
的定义域均为
，
为
的导函数，
且
，
，若
为偶函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知
区间上，进而解决问题．
【对点精练5】
（2023·陕西·统考二模）已知
是定义在
上的奇函数，若
为偶函数且
，
则
（ ）
A．3
B．
C．
D．6
【对点精练6】
（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知
是定义在
上的偶函数且
，
是奇函数，则
___________.
7
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题型三函数的对称性
【例题精析8】
（2023·陕西商洛·统考二模）已知定义在
上的函数
满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的周期为2
B．
为偶函数
C．
D．
【例题精析9】
（2023·四川成都·统考二模）若奇函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【例题精析10】
（2023·全国·高三专题练习）已知定义在
上的函数
满足
，函数
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴
或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
【对点精练7】
（2023·广东深圳·统考二模）已知函数
的定义域为
，若
为奇函数，且
8
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，则
_________.
【对点精练8】
（2023·上海青浦·统考二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且满足
，
，则
________.
【对点精练9】
（2023·全国·模拟预测）若函数
的定义域为
，且
，则
______．
、
总
三
课堂
结：知识图谱
9
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、分
四
层训练：课堂知识巩固
1．（2023•上海）下列函数是偶函数的是
A．
B．
C．
D．
2．（2021•全国）下列函数中为偶函数的是
A．
B．
C．
D．
3．（2021•新高考Ⅱ）已知函数
的定义域为
不恒为
，
为偶函数，
为奇函
数，则
A．
B．
C．
（2）
D．
（4）
4．（2021•甲卷）设
是定义域为
的奇函数，且
．若
，则
A．
B．
C．
D．
10
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5．（2021•乙卷）设函数
，则下列函数中为奇函数的是
A．
B．
C．
D．
6．（2020•新课标Ⅱ）设函数
，则
A．是奇函数，且在
单调递增
B．是奇函数，且在
单调递减
C．是偶函数，且在
单调递增
D．是偶函数，且在
单调递减
7．（2020•海南）若定义在
的奇函数
在
单调递减，且
（2）
，则满足
的
的取值范围是
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
8．（2020•新课标Ⅱ）设函数
，则
A．是偶函数，且在
，
单调递增
B．是奇函数，且在
，
单调递减
C．是偶函数，且在
单调递增
D．是奇函数，且在
单调递减
9．（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是
A．
B．
C．
D．
11
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10．（2019•上海）已知
，函数
，存在常数
，使
为偶函数，则
的值可能为
A．
B．
C．
D．
11．（2022•全国）设
是定义域为
的奇函数，
是定义域为
的偶函数．若
，则
（2）
．
12．（2022•乙卷）若
是奇函数，则
，
．
13．（2021•全国）已知函数
，且
，则
（2）
．
14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数
．
①
；②当
时，
；③
是奇函数．
15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数
是偶函数，则
．
16．（2020•江苏）已知
是奇函数，当
时，
，则
的值是 ．
17．（2020•上海）若函数
为偶函数，则
．
18．（2019•上海）已知函数
周期为1，且当
时，
，则
．
19．（2019•新课标Ⅱ）已知
是奇函数，且当
时，
．若
，则
．
1．（2023•兴庆区校级一模）已知函数
是定义域为
且周期为4 的奇函数，当
，
时，
，
，则下列结论错误的是
12
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A．
（4）
B．函数
的图象关于
对称
C．
的值域为
，
D．函数
有9 个零点
2．（2023•泸县校级模拟）已知函数
，则
A．
在
上单调递增
B．
的图象关于点
对称
C．
为奇函数
D．
的图象关于直线
对称
3．（2021•丙卷模拟）已知函数
，且
，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．（2017•南关区校级模拟）函数
是
上的偶函数，且在
，
上是增函数，若
（a）
（2），则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
或
5．（2020•钦州模拟）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，函数
单调递增，则
A．
13
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B．
C．
D．
6．（多选题）（2023•建水县校级模拟）下列函数中，是奇函数且存在零点的是
A．
B．
C．
D．
7．（多选题）（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数
，则
A．
B．
是奇函数
C．
在
上单调递增
D．
的最小值为
8．（2023•宝山区校级模拟）设定义在
上的奇函数
，当
时，
，则不等式
的解集是 ．
9．（2022•黄浦区模拟）已知函数
是奇函数，当
时，
，且
（3）
，则
．
10．（2022•乌鲁木齐模拟）已知函数
．若
（a）
．则
．
1 ．设函数
的定义域为
，若存在非零实数
使得对于任意
，有
，且
，则称
为
上的高调函数，如果定义域为
的函数
是奇函数，当
时，
14
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，且函数
为
上的1 高调函数，那么实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
2．（2018•青岛二模）若直角坐标平面内两点
、
满足条件：①
、
都在函数
的图象上；②
、
关于原点对称，则对称点
是函数
的一个“友好点对”（点对
与
看作同一个“友
好点对” ．已知函数
则
的“友好点对”有 个．
3．已知定义在
上的函数
满足条件
，且函数
是奇函数，给出以下四
个命题：①函数
是周期函数；②函数
的图象关于点
，
对称；③函数
是偶函数；④函
数
在
上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）
15
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