文档文本内容
第四章 三角函数与解三角形
§4.4 简单的三角恒等变换
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
二倍角公式的应用
2024·上海卷
2023·全国新Ⅱ卷
2022·北京卷
2022·浙江卷
2021·北京卷
2021·全国乙卷
能推导二倍角的正弦、余弦、正切
公式，能运用公式解决相关的求值与化
简问题，该内容是新高考卷的必考内
容，一般会考查两角和与差的正弦、余
弦、正切公式及倍角公式变形应用和半
角公式变形应用，同时也需掌握升幂公
式和降幂公式，掌握拼凑角思想，需加
强复习备考。
【知识梳理】
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin
α cos
α .
(2)公式C2α：cos 2α＝cos
2 α －
sin
2 α ＝2cos
2 α －
1 ＝1 －
2si
n 2 α .
(3)公式T2α：tan 2α＝2tan α
1−tan
2α .
2.半角公式(不要求记忆)
sinα
2 ＝±❑√
1−cosα
2
；cosα
2 ＝±❑√
1＋cosα
2
；tanα
2 ＝±❑√
1−cosα
1＋cosα
.符号由α
2 所在象限
决定.
3.积化和差公式
(1)cos αcos β＝1
2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－1
2[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
(3)sin αcos β＝1
2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cos αsin β＝1
2[sin(α＋β)－sin(α－β)].
4.和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sinθ＋φ
2
cosθ−φ
2
；
(2)sin θ－sin φ＝2cosθ＋φ
2
sinθ−φ
2
；
(3)cos θ＋cos φ＝2cosθ＋φ
2
cosθ−φ
2
；
(4)cos θ－cos φ＝－2sinθ＋φ
2
sinθ−φ
2
.
【随堂训练】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).( )
(3)任意角α，sin 2α＝2sin α 都不成立. ( )
(4)cos2α
2 ＝1
2(1＋cos α)，cos 3α＝1－2sin23α
2 . ( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.cos2 π
12－cos25 π
12 等于( )
A.1
2
B.
❑√3
3
C.
❑√2
2
D.
❑√3
2
【答案】D
【解析】因为cos 5 π
12 ＝sin(
π
2 −5 π
12)＝sin π
12 ，
所以cos2 π
12－cos25 π
12 ＝cos2 π
12－sin2 π
12
＝cos π
6 ＝
❑√3
2 .
3.若α 为第二象限角，sin α＝5
13 ，则sin 2α＝ .
【答案】－120
169
【解析】因为α 为第二象限角，sin α＝5
13 ，
所以cos α＝－❑√1−sin
2α＝－❑√
1−(
5
13)
2
＝－12
13 ，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5
13×(−12
13)＝－120
169.
4.已知tan 2α＝－4
3 ，α∈(π ，3 π
2 )，则tan α＝ .
【答案】2
【解析】由tan 2α＝2tan α
1−tan
2α ＝－4
3 ，
得2tan2α－3tan α－2＝0，
解得tan α＝2 或tan α＝－1
2(舍去).
【名师点拨】
1.熟记常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2 α
2 ，1＋cos α＝2cos2 α
2 .(升幂公式)
(2)1±sin α＝(sin α
2 ±cos α
2)
2
.(升幂公式)
(3)sin2α＝1−cos2α
2
，cos2α＝1＋cos2α
2
，
tan2α＝1−cos2α
1＋cos2α .(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tanα
2 ＝
sin α
1＋cosα ＝1−cosα
sin α
.
(5)万能公式
sin α＝
2tan α
2
1＋tan
2 α
2
，cos α＝
1−tan
2 α
2
1＋tan
2 α
2
，
tan α＝
2tan α
2
1−tan
2 α
2
.
(6)三角平方差公式
sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β).
2.运用倍角公式时谨记四个注意点
(1)要注意公式成立的条件；
(2)要注意和、差、倍角的相对性；
(3)要注意升幂、降幂的灵活运用；
(4)要注意“1”的各种变形.
【必练核心题型】
题型一 三角函数式的化简
【典例】1 (1)sin2(α −π
6)＋sin2(α ＋π
6)－sin2α 等于( )
A.－1
2
B.－
❑√3
2
C.1
2
D.
❑√3
2
【答案】C
【解析】原式＝1−cos(2α −π
3)
2
＋
1−cos(2α ＋π
3)
2
－sin2α
＝1－1
2[cos(2α −π
3)＋cos(2α ＋π
3)]－sin2α
＝1－cos 2αcos π
3 －sin2α
＝1－cos2α
2
－1−cos2α
2
＝1
2.
【典例】2.化简：
(1＋cos2α )(2sin
2α −1)tan α
2
tan
2 α
2 −1
＝ .
【答案】1
4 sin 4α
【解析】
(1＋cos2α )(2sin
2α −1)tan α
2
tan
2 α
2 −1
＝2cos2α(－cos 2α)
tan α
2
tan
2 α
2 −1
＝cos2αcos 2αtan α＝sin αcos αcos 2α
＝1
2sin 2αcos 2α＝1
4 sin 4α.
【解题技巧】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，
寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
【变式训练】
变式1.化简1＋sin 4 α −cos 4 α
1＋sin 4 α ＋cos 4 α 的结果是( )
A.
1
tan 2α
B.tan 2α
C.
1
tan α
D.tan α
【答案】B
【解析】原式＝2sin 2α cos2α ＋2sin
22α
2sin 2α cos2α ＋2co s
22α
＝2sin 2α(cos2α ＋sin 2α )
2cos2α(sin 2α ＋cos2α )＝tan 2α.
变式2.若3 π
2 <α<2π，化简：❑√
1
2 ＋1
2
❑√
1
2 ＋1
2 cos2α＝ .
【答案】－cos α
2
【解析】因为3 π
2 <α<2π，所以3 π
4 <α
2 <π，所以cos α>0，cos α
2 <0.
❑√
1
2 ＋1
2
❑√
1
2 ＋1
2 cos2α＝❑√
1
2 ＋1
2
❑√
1
2 (1＋cos2α )
＝❑√
1
2 ＋1
2
❑√co s
2α ＝❑√
1
2 ＋1
2 cosα
＝❑√
1
2 (1＋cosα )＝❑√co s
2 α
2 ＝－cos α
2 .
题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
【典例】1.古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了
黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，则
cos18°
cos36°·❑√1−m
2
＝
.
【答案】❑√2
【解析】
cos18°
cos36°·❑√1−m
2
＝
sin72°
cos36°·❑√1−sin18°
＝
sin72°
cos36°·❑√1−cos72°
＝
2sin36°cos36°
cos36°·
❑√1−(1−2sin
236°)
＝2sin36° cos36°
cos36°·❑√2sin36° ＝❑√2.
命题点2 给值求值
【典例】2.已知cos(
π
6 ＋α)＝1
5 ，则sin(
5 π
6 ＋2α)等于( )
A.－3
25
B. 3
25
C.－23
25
D.23
25
【答案】C
【解析】方法一 因为cos(
π
6 ＋α)＝1
5 ，
所以sin(
5 π
6 ＋2α)＝sin[
π
2 ＋(
π
3 ＋2α)]
＝cos(
π
3 ＋2α)＝2cos2(
π
6 ＋α)－1
＝2×(
1
5)
2
－1＝－23
25.
方法二 (换元法)
令t＝π
6 ＋α，则α＝t－π
6 ，cos t＝1
5 ，
所以sin(
5 π
6 ＋2α)＝sin[
5 π
6 ＋2(t −π
6)]
＝sin(
π
2 ＋2t)＝cos 2t＝2cos2t－1＝－23
25.
命题点3 给值求角
【典例】2.已知sin α＝
❑√2
10 ，cos β＝3 ❑√10
10
，且α，β 为锐角，则α＋2β＝
.
【答案】π
4
【解析】因为sin α＝
❑√2
10 ，且α 为锐角，
所以cos α＝
❑√1−sin
2α ＝❑√1−2
100 ＝7 ❑√2
10 ，
因为cos β＝3 ❑√10
10
，且β 为锐角，
所以sin β＝
❑√1−co s
2 β ＝❑√1−90
100 ＝
❑√10
10 ，
则sin 2β＝2sin βcos β＝2×
❑√10
10 ×3 ❑√10
10
＝3
5 ，
cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×(
❑√10
10 )
2
＝4
5 ，
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝7 ❑√2
10 ×4
5 －
❑√2
10 ×3
5 ＝
❑√2
2 ，
因为α∈(0，π
2)，β∈(0，π
2)，所以2β∈(0，π).
所以α＋2β∈(0，3 π
2 )，故α＋2β＝π
4 .
【解题技巧】
(1)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察
非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式
转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
(2)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然
后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下
原则：
①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
②若角的范围是(0，π
2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角
的范围为(−π
2 ，π
2)，选正弦较好.
【变式训练】
变式1.(2025·成都模拟)已知α 是第一象限角，满足cos(
π
4 ＋α)＝－3
5 ，则cos 2α 等
于( )
A. 7
25
B.－24
25
C.24
25
D.－7
25
【答案】B
【解析】因为α 是第一象限角，且cos(
π
4 ＋α)＝－3
5<0，则π
4 ＋α 为第二象限角，
所以sin(
π
4 ＋α)＝❑√
1−co s
2(
π
4 ＋α)＝4
5 ，
由题意可得，
cos 2α＝cos[2(
π
4 ＋α)−π
2]
＝sin 2(
π
4 ＋α)＝2sin(
π
4 ＋α)cos(
π
4 ＋α)
＝－24
25 .
变式2.已知α 为锐角，1＋
❑√3
tan 80° ＝
1
sin α ，则α＝ .
【答案】50°
【解析】因为1＋
❑√3
tan 80° ＝sin 80°＋❑√3cos80°
sin 80°
＝2sin(80°＋60°)
sin 80°
＝
2sin140°
2sin 40° cos 40°
＝
sin 40°
sin 40°cos 40° ＝
1
cos 40° ＝
1
sin50° ＝
1
sin α ，
所以sin α＝sin 50°，
又因为α 为锐角，所以α＝50°.
题型三 三角恒等变换的综合应用
【典例】1.已知函数f(x)＝1
2sin xcos x－1
2cos2x＋1
4 .若f (
1
2 α)＝
❑√2
5 ，则sin 2α 的值
为 .
【答案】－7
25
【解析】f(x)＝1
4 sin 2x－1
2·1＋cos2 x
2
＋1
4 ＝1
4 sin 2x－1
4 cos 2x＝
❑√2
4 sin(2 x−π
4).
因为f (
1
2 α)＝
❑√2
5 ，
所以
❑√2
4 sin(α −π
4)＝
❑√2
5 ，所以sin(α −π
4)＝4
5 ，
sin 2α＝sin[2(α −π
4)＋π
2]＝cos 2(α −π
4)
＝1－2sin2(α −π
4)＝1－2×(
4
5)
2
＝－7
25.
【解题技巧】
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注
意公式的逆用和变形使用.
(2)形如y＝asin x＋bcos x 化为y＝❑√a
2＋b
2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单
调性、最值与对称性.
【变式训练】
变式1.已知f(x)＝sin xsin(x＋π
3)－1
4 ，则f(x)的值域为 .
【答案】[−1
2 ，1
2]
【解析】因为f(x)＝sin xsin(x＋π
3)－1
4
＝sin x(
1
2 sin x＋
❑√3
2 cos x)－1
4
＝1
2sin2x＋
❑√3
2 sin xcos x－1
4
＝1
2×1−cos2 x
2
＋
❑√3
4 sin 2x－1
4
＝
❑√3
4 sin 2x－1
4 cos 2x
＝1
2sin(2 x−π
6)，
所以－1
2≤f(x)≤1
2.
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·大连模拟)设θ∈(0，π
2)，若cos θ＝3
5 ，则sin 2θ 等于( )
A.1
5
B.4
5
C.12
25
D.24
25
【答案】D
【解析】因为θ∈(0，π
2)，cos θ＝3
5 ，
所以sin θ＝
❑√1−co s
2θ＝4
5 ，
则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×4
5 ×3
5 ＝24
25.
2. 3−sin160°
1＋sin
235° 的值等于( )
A.－2
B.2
C.－1
D.1
【答案】B
【解析】原式＝
3−sin20°
1＋1
2 −1
2 cos70°
＝
3−sin20°
1
2 (3−sin20°)＝2.
3.化简
2co s
2α −1
2tan(
π
4 −α)·sin
2(
π
4 ＋α)
等于( )
A.1
B.－1
C.cos α
D.－sin α
【答案】A
【解析】原式＝
2co s
2α −1
2sin(
π
4 −α)
cos(
π
4 −α)
·sin
2(
π
4 ＋α)
＝
2co s
2α −1
2sin(
π
4 −α)·cos(
π
4 −α)
＝2co s
2α −1
sin(
π
2 −2α)
＝cos2α
cos2α ＝1.
4.已知cos(α ＋π
6)＝1
4 ，则sin(2α −π
6)等于( )
A.－7
8
B.7
8
C. 7
16
D.－7
16
【答案】B
【解析】∵cos(α ＋π
6)＝1
4 ，
可得sin(2α −π
6)＝－cos[
π
2 ＋(2α −π
6)]
＝－cos(2α ＋π
3)＝1－2cos2(α ＋π
6)
＝1－2× 1
16 ＝7
8.
5.若θ∈(
π
2 ，π)，tan 2θ＝3cosθ
2−sinθ ，则cos θ 等于( )
A.－1
2
B.－
❑√3
2
C.
❑√3
2
D.1
2
【答案】B
【解析】因为tan 2θ＝sin 2θ
cos2θ ＝2sinθcosθ
1−2sin
2θ
＝3cosθ
2−sinθ ，θ∈(
π
2 ，π)，
所以4sin θ－2sin2θ＝3－6sin2θ，
即4sin2θ＋4sin θ－3＝0，
解得sin θ＝1
2或sin θ＝－3
2(舍去)，
又因为θ∈(
π
2 ，π)，
所以cos θ＝－❑√1−sin
2θ＝－
❑√3
2 .
6.已知π
4 <θ<π
3 ，若a＝
tanθ
tan
2θ＋1
，b＝1
2 －1
2cos 2θ，c＝
1
cosθ －cos θ，则a，b，c 的
大小关系是( )
A.c>a>b
B.b>c>a
C.c>b>a
D.b>a>c
【答案】C
【解析】a＝
tanθ
tan
2θ＋1
＝
sinθcosθ
sin
2θ＋co s
2θ ＝sin θcos θ，
b＝1
2(1－cos 2θ)＝sin2θ，
c＝
1
cosθ －cos θ＝sin
2θ
cosθ ＝sin θtan θ，
又π
4 <θ<π
3 ，则sin θ∈(
❑√2
2 ，
❑√3
2 )，
且tan θ>1>sin θ>
❑√2
2 >cos θ>1
2 ，
所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcos θ.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·中山模拟)下列选项中，与sin(−11π
6 )的值相等的是( )
A.2sin 15°cos 15°
B.cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°
C.2cos215°－1
D.
tan 22.5°
1−tan
222.5°
【答案】ABD
【解析】根据题意，可得
sin(−11π
6 )＝sin(−11π
6
＋2π)＝sin π
6 ＝1
2.
因为2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝1
2 ，故A 项正确；
因为cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝1
2 ，故B 项正确；
因为2cos215°－1＝cos 30°＝
❑√3
2 ，故C 项不正确；
因为2tan22.5°
1−tan
222.5° ＝tan 45°＝1，所以
tan22.5°
1−tan
222.5°
＝1
2 ，故D 项正确.
8.已知函数f(x)＝sin2(x＋π
4)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg 1
5)，则( )
A.a＋b＝0
B.a－b＝0
C.a＋b＝1
D.a－b＝sin(2lg 5)
【答案】CD
【解析】由题意可得f(x)＝sin2(x＋π
4)
＝1−cos(2 x＋π
2)
2
＝1＋sin 2 x
2
.
因为a＝f(lg 5)，b＝f(lg 1
5)＝f(－lg 5)，
所以a＋b＝1＋sin(2lg5)
2
＋1−sin(2lg5)
2
＝1，
a－b＝1＋sin(2lg5)
2
－1−sin(2lg5)
2
＝sin(2lg 5).
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知sin(α −π
4)＝
❑√2
3 ，则sin 2α＝ .
【答案】5
9
【解析】sin(α −π
4)＝－sin(
π
4 −α)＝
❑√2
3 ，
所以sin(
π
4 −α)＝－
❑√2
3 ，
所以sin 2α＝cos(
π
2 −2α)
＝cos 2(
π
4 −α)＝1－2sin2(
π
4 −α)
＝1－2×(−
❑√2
3 )
2
＝5
9.
10.已知α，β 均为锐角，cos α＝2❑√7
7
，sin β＝3 ❑√3
14 ，则cos 2α＝ ，2α－β＝
.
【答案】1
7 π
3
【解析】因为cos α＝2❑√7
7
，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝1
7.
又因为α，β 均为锐角，sin β＝3 ❑√3
14 ，
所以sin α＝
❑√21
7
，cos β＝13
14 ，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝4 ❑√3
7
，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β
＝4 ❑√3
7
×13
14 －1
7 ×3 ❑√3
14 ＝
❑√3
2 .
因为α 为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<π
2 ，
又β 为锐角，所以－π
2 <2α－β<π
2 ，
又sin(2α－β)＝
❑√3
2 ，所以2α－β＝π
3 .
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)化简：
(1)(
1
tan α
2
−tan α
2)(1＋tan α·tan α
2)；(6 分)
(2)
2co s
4 x−2co s
2 x＋1
2
2tan(
π
4 −x)sin
2(
π
4 ＋x)
.(7 分)
【解析】
(1)原式＝(
cos α
2
sin α
2
−
sin α
2
cos α
2)(
1＋sin α
cosα ·
sin α
2
cos α
2)
＝
co s
2 α
2 −sin
2 α
2
sin α
2 cos α
2
·
cosα cos α
2 ＋sin α sin α
2
cosα cos α
2
＝2cosα
sin α ·
cos α
2
cosα cos α
2
＝
2
sin α .
(2)原式＝
1
2 (4 co s
4 x−4 co s
2 x＋1)
2·
sin(
π
4 −x)
cos(
π
4 −x)
·co s
2(
π
4 −x)
＝
(2co s
2 x−1)
2
4 sin(
π
4 −x)cos(
π
4 −x)
＝
co s
22 x
2sin(
π
2 −2 x)
＝co s
22 x
2cos2 x ＝1
2cos 2x.
12.(15 分)某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在
该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB＝120°.在其中圈出
一块矩形场地CDEF 设计成林荫跑步区，且OC＝OD.
(1)求扇形空地的面积；(4 分)
(2)求矩形场地CDEF 的最大面积.(11 分)
【解析】
(1)扇形空地面积S＝1
2×6002×2π
3
＝120 000π(m2).
(2)如图，记´AB的中点为G，连接OG，分别与EF，CD 交于点M，N，连接OF，
设∠FOG＝α，
则EF＝2OFsin α，
CF＝MN＝OM－ON＝OM－
CN
tan 60°
＝OFcos α－OF sin α
tan60° .
所以矩形面积S1＝EF·CF
＝2OFsin α·(OF cosα −OF sin α
tan 60° )
＝6002×(2sin α cosα −2sin
2α
❑√3 )
＝6002×(2sin α cosα −1−cos2α
❑√3
)
＝360 000(sin 2α ＋
❑√3
3 cos2α −
❑√3
3 )
＝360 000[
2❑√3
3
sin(2α ＋30°)−
❑√3
3 ].
所以当α＝30°时，矩形场地CDEF 的面积取得最大值，且最大值为120 000❑√3 m2.
【尖子拔高训练】每小题5 分，共10 分
13.(2025·湖北名校联盟联考)已知函数f(x)＝cos 2x＋cos 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零
点x1，x2(x1<x2)，则( )
A.2π
5 ∈{x1，x2}
B.x2＝2x1
C.cos x1＋cos x2＝1
2
D.cos x1cos x2＝
❑√3
2
【答案】C
【解析】A，B 选项，令f(x)＝0 得cos 2x＝－cos 3x，故cos 2x＝cos(π－3x)或cos 2x＝
cos(π＋3x)，所以2x＝π－3x＋2k1π，k1∈Z 或2x＝π＋3x＋2k2π，k2∈Z，解得x＝
π
5 ＋2k1π
5
，k1∈Z 或x＝－π－2k2π，k2∈Z，由x∈(0，π)，故当k1＝0，1 时，解得x1
＝π
5 ，x2＝3 π
5 ，A，B 错误；
C 选项，cos x1＋cos x2＝cosπ
5 ＋cos3 π
5 ＝2cosπ
5 cos2π
5 ＝
4 sin π
5 cos π
5 cos 2π
5
2sin π
5
＝
2sin 2π
5 cos 2π
5
2sin π
5
＝
sin 4 π
5
2sin π
5
＝1
2 ，C 正确；
D 选项，因为cosπ
5 >0，cos3 π
5 <0，所以cos x1cos x2＝cosπ
5 cos3 π
5 <0，D 错误.
14.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.
每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先
利用sin 3α＝sin(2α＋α)可求得sin 3α＝___(用单角α 的正弦值表示)；再求得cos 36°＝
.
【答案】3sin α－4sin3α
❑√5＋1
4
【解析】sin 3α＝sin(2α＋α)
＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α
＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α
＝3sin α－4sin3α，
因为sin 72°＝sin 108°，
从而2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°，
即2cos 36°＝3－4sin236°＝3－4(1－cos236°)，
令cos 36°＝x>0，则4x2－2x－1＝0，
解得x＝
❑√5＋1
4
或x＝−❑√5＋1
4
(舍去).
