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第 07 讲 向量法求距离、探索性及折叠问题
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：利用空间向量求点到直线的距离................................................3
高频考点二：利用空间向量求点到平面的距离................................................4
高频考点三：立体几何中的折叠问题...............................................................8
高频考点四：立体几何综合问题.....................................................................11
第四部分：新定义题.............................................................................................14
第一部分：基础知识
知识点一：点 到直线 的距离
已知直线 的单位方向向量为 ， 是直线 上的定点， 是直线 外一点.设 ，则向量 在直线
上的投影向量 ，在 中，由勾股定理得：知识点二：点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平面 的垂线 ，
交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量
的长度.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面
， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．
(1)求证 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用空间向量求点到直线的距离
典型例题
例题1．（23-24高二上·河南南阳·期末）在四面体 中， ，
， ，若点 为 的重心，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段 上
的点，且 ，点 在线段 上，则点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
例题3．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在直四棱柱 中，底面是边长为 的正方形，侧棱
长为 ，点 为棱 上靠近 的三等分点，点 在棱 上靠近点 的三等分点.
(1)求证：点 ， ， ， 共面；(2)求点 到 的距离.
练透核心考点
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中
点，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·福建莆田·期末）在三棱锥 中， 两两垂直，且
，三角形 重心为 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方体 中， ，
， 与平面 交于点 ，则点 到直线 的距离为 ．
高频考点二：利用空间向量求点到平面的距离
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱， 的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）直四棱柱 的所有棱长都为 ， ，点
在四边形 及其内部运动，且满足 ，则点 到平面 的距离的最小值为 ．
例题3．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）将菱形 绕直线 旋转到 的位置，使得二面角
的大小为 ，连接 ，得到几何体 .已知 分别为
上的动点且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求 的长；
(3)当 的长度最小时，求直线 到平面 的距离.例题4．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如图，在直三棱柱 中， ，
， ， 分别为 ， 的中点.
(1)证明： .
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
(3)设点 到直线 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ，求 的值.
练透核心考点
1．（24-25高二下·全国·单元测试）如图，在长方体 中， ，以D为原
点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，若 为线段AB的中点，则
点 到平面 的距离为 ．2．（24-25高三上·江苏·开学考试）如图，已知菱形 和菱形 的边长均为 ，
， 分别为 上的动点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)当 的长度最小时，求：
① ；
②点 到平面 的距离．
3．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上，且
．
(1)求四棱锥 的表面积(2)若点 在棱 上，且 到平面 的距离为 ，求点 到直线 的距离．
4．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，PB与底面
ABCD所成角为 ，底面ABCD为直角梯形， .
(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值;
(2)求平面PCD与平面PBA所成锐二面角的余弦值;
(3)如果M是线段PC上的动点（不包括端点），N为AD中点，求点 到平面BMN距离的最大值.
高频考点三：立体几何中的折叠问题
典型例题
例题1．（23-24高二下·河南·开学考试）如图1，在矩形 中， ，点 分别是
上一点，且 ，过点 作 于点 ，将 剪掉，并将四边形 沿
直线 折叠，使 （如图2），连接 ，取 的中点 ，连接 .(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
例题2．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图1，在梯形 中， ，过 分
别作梯形的高 ，交 于点 ，沿 所在直线将梯形折叠，使
得点 与点 重合，记为点 ，如图2，M是 中点， 是 中点.
(1)证明：直线 平面 ；
(2) 是线段 上异于端点的一点，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求平面 与平面
的夹角的余弦值.
条件①： ；
条件②：四棱锥 的体积为 ；
条件③：点 到平面 的距离为 ；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例题3．（23-24高二上·上海闵行·期中）如图，在边长为12的正方形 中，点 在线段 上，
且 ，作 ，分别交 于点 ，作 ，分别交 于点 ，将该正
方形沿 折叠，使得 与 重合，构成如图所示的三棱柱 .
(1)求四棱锥 的体积；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
练透核心考点
1．（23-24高二上·湖南怀化·期末）如图1，在直角梯形 中， ，且
．现以 为一边向梯形外作正方形 ，然后沿边 将正方形 折叠，使
，如图2．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 和平面 所成的角的正弦值．
2．（23-24高三上·吉林长春·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有
广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；
刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，
CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF
折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2．(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证： 平面GCF；
(2)若二面角A—EF—B的大小为 ，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
3．（23-24高一下·河南许昌·期末）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的
中点，将 、 分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几
何体．
(1)求证： ；
(2)在线段MD上是否存在一点F，使 平面PQF，如果存在，求 的值，如果不存在，说明理由．高频考点四：立体几何综合问题
典型例题
例题1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如下图，在 中， ， ，D是
AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且 ；将 沿EF折起，将点B折至点P的位
置，得到四棱锥；
(1)求证： ；
(2)若 ，二面角 是直二面角，求二面角 的正切值；
(3)当 时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
例题2．（2024·新疆·二模）在圆柱 中， 是圆 的一条直径， 是圆柱 的母线，其中点 与
， 不重合， ， 是线段 的两个三等分点， ， ， ．
(1)若平面 和平面 的交线为 ，证明： 平面 ；
(2)设平面 、平面 和底面圆 所成的锐二面角分别为 和 ，平面 和底面圆 所成的锐二
面角为 ，若 ，求 的值．
例题3．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，， ， ， 为棱 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， .
（ⅰ）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（ⅱ）在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ？若存在，求出 的值；若不存
在，说明理由.
练透核心考点
1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）如图，三棱台 ，平面 平面
， 与 相交于点 ，且 平面 ．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)平面 与平面 所成角为 与平面 所成角为 ，求 的值．2．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）如图，在三棱台 中， ，
， 为 的中点，二面角 的大小为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求三棱台 的体积；
(3)若 到平面 的距离为 ，求 的值．
3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间几何体 中，四边形 均为直角梯形，
， ．
(1)如图1，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)如图2，设
（ⅰ）求证：平面 平面 ；
（ⅱ）若二面角 的余弦值为 ，求 的值．第四部分：新定义题
1．（2024高三·全国·专题练习）我们知道，二元实数对 可以表示平面直角坐标系中点的坐标； 那么
对于 元实数对 （ ， 是整数），也可以把它看作一个由 条两两垂直的“轴”构成的高
维空间（一般记为 ）中的一个“点”的坐标表示的距离 ．
(1)当 时， 若 ， ， ， 求 ， 和 的值；
(2)对于给定的正整数 ，证明 中任意三点 满足关系 ；
(3)当时，设，，，其中，，，．求满足点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在个点，它
们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于．
