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第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................4
第三部分：高频考点一遍过............................................8
高频考点一：函数奇偶性...........................................8
角度1：判断函数奇偶性.........................................8
角度2：根据函数奇偶性求解析式................................10
角度3：函数奇偶性的应用......................................13
角度4：由函数奇偶性求参数....................................15
角度5：奇偶性+单调性解不等式.................................18
高频考点二：函数周期性及其应用..................................21
角度1：由函数周期性求函数值..................................21
角度2：由函数周期性求解析式..................................24
高频考点三：函数的对称性........................................26
角度1：由函数对称性求解析式..................................26
角度2：由函数对称性求函数值或参数............................27
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用........................30
第四部分：高考新题型...............................................33
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1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都
图象关于 轴
偶函数
对称
有 ，那么函数 是偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都
图象关于原点
奇函数
对称
有 ，那么函数 是奇函数
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x， 也
在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用 或 来判断奇偶性.
② ， 在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
③若 是定义在区间 上奇函数，且 ，则 （注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数 关于直线 对称，则① ；
② ；
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期，则 （ ）也是
这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最小
正周期（若不特别说明， 一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数 ， .
①若 ，则函数的周期 ；
②若 ，则函数的周期 ；
③若 ，则函数的周期 ；
④若 ，则函数的周期 ；
⑤ ，则函数的周期第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国（新高考Ⅱ）·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为
奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国（甲卷理）·高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函
数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国（乙卷文理）·高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
典型例题
例题1．（2023秋·广东揭阳·高一校考期末）下列函数中是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数 的表达式 ，讨论 的奇偶
性，并说明理由．
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·广东广州·高一统考期末）下列函数为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）判断下列函数的奇偶性.
(1) ;
(2) .3．（2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）设函数 ．
(1)求函数 的定义域；
(2)判断函数 的奇偶性，并说明理由．
角度2：根据函数奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知 为奇函数，当 时，
，则当 时， （ ）
A． B． C． D．
例题2．（多选）（2023秋·广东深圳·高一校考期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时
，则（ ）
A． 的最大值为1 B． 在区间 上单调递减
C． 的解集为 D．当 时，
例题3．（2023春·北京·高一校考开学考试）设 是定义在 上的奇函数，且 时，
，求 的解析式___________.
例题4．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）已知 是定义在 上的偶函数，且 时，
.
(1) 求函数 在 上的解析式，并判断其单调性（无需证明）；练透核心考点
1．（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）已知函数 在 上为奇函数，且当 时， ，则
当 时， 的解析式是_____________．
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知函数 定义在 上的偶函数，当
时， ．
(1)求函数 的解析式；
3．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）已知 为 上的偶函数，当 时， ．
(1)当 时，求 的解析式；
4．（2023秋·四川成都·高一统考期末）已知 是定义在 上的奇函数，且
．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，试用单调性的定义证明函数 在 上单调递减．角度3：函数奇偶性的应用
典型例题
例题1．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A． B．2022 C．2023 D．
例题2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）设函数 在区间 上的最大值为 ，
最小值为 ，则 的值为__________．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）设函数 ，若 ，则 ______．
2．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知 ，若 ，求
______.
3．（2023·上海·高一专题练习）若奇函数 在区间 内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7
和4，求函数 在区间 内的最值．
角度4：由函数奇偶性求参数
典型例题例题1．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）已知函数 是偶函数，则
（ ）
A．2 B．1 C． D．
例题2．（2023·上海·高一专题练习）如果 为奇函数，那么 __．
例题3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）若函数 为奇函数，则
__________（结果用数字表示）.
例题4．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数 ，且函数 是偶函数，
求实数 ___________
练透核心考点
1．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知定义域为 的奇函数 ，则
_______.
2．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）已知函数 是偶函数．
(1)求 的值；
3．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知函数 为偶函数．
(1)求实数 的值；
4．（2023秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数 是定义在 上的奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)判断 的单调性，并用函数单调性的定义证明；
角度5：奇偶性+单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁鞍山·高一统考期末）设 是定义在 上的偶函数，且在 单调递增，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·福建龙岩·高一统考期末）若定义在 上的奇函数 在区间 上单调递增，且
，则满足 的 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023春·新疆·高三校考阶段练习）设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
例题4．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，
且 在 上单调递增，则不等式 的解集是___________.
练透核心考点
1．（2023春·广东广州·高一统考开学考试）若定义在R的奇函数 在 上单调递减，且
，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·湖南长沙·高一长沙麓山国际实验学校校考开学考试）已知定义在 上的函数 是偶
函数，且在 上单调递增，则满足 的 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知 是定义在 上的偶函数，若 、
时， 恒成立，且 ，则满足 的实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）若函数f(x)是定义在 上的偶函数，在 上是减函数，且
，则使 成立的x的取值范围是_____________ ．
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
典型例题
例题1．（陕西省安康市2023届高三下学期二模文科数学试题）已知定义在 上的奇函数 满足
，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2．
例题2．（陕西省安康市2022-2023学年高一下学期开学摸底考试数学试题）设 是定义域为 的偶函
数，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
例题3．（广东省广州市第一中学2022-2023学年高一上学期1月月考数学试题）已知函数 满足
，且当 时， ，则 _______________．
练透核心考点
1．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）设f（x）是定义城为R的奇函数，且
．若 ，则 （ ）A． B． C． D．
2．（山东省山东师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题）已知 是定义在R上的
奇函数， 为偶函数，且当 时， ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．0
3．（辽宁省阜新市第二十中学2023届高三下学期模拟考试数学试题）若函数 为奇函数，且
，若 ，则 _________．
角度2：由函数周期性求解析式
典型例题
例题1．（2023秋·湖南郴州·高一校联考期末）设 是定义在 上的周期为 的偶函数，已知当
时， ，则当 时， 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的奇函数 满足： ，且当
时， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
例题3．（2022秋·江苏无锡·高三校考阶段练习）已知函数 是定义域为 的偶函数，且周期为2，
当 时， ，则当 时， ________.
练透核心考点
1．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，且满足
，当 时， ，则当 时， （ ）A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在R上奇函数，且满足 ,当
时， ，则当 时 的最大值为
A． B． C．1 D．0
3．（2022秋·全国·高一专题练习）已知 是定义在 上周期为 的函数，当 时， ，那
么当 时， ______.
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·高一课时练习）已知定义在 上的函数 不是常函数，且同时满足：① 的图象
关于 对称；②对任意 ，均存在 使得 成立.则函数 ______.（写出一
个符合条件的答案即可）
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，满足 ，则
______.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，且满足 ，则 （ ）.A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足：① ；②在 上是减函数；③
.请写出一个满足以上条件的 ___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若 在 上时单调函数，求实数 的取值范围.
角度2：由函数对称性求函数值或参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，且
，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
，若 的图像关于直线 对称，则 _________.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对定义域内任意的 都有 则实
数 等于（ ）
A．4 B．-4 C． D．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）已知函数 的定义域为 ，且函数为偶函数，函数 为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，且满足 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
典型例题
例题1．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）若函数 的定义域为 ，且 为
偶函数， 的图象关于点 成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
① 的一个周期为2 ②
③ ④直线 是 图象的一条对称轴
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（多选）（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知定义在 上的函数 满足
，且 为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 为偶函数 D．函数 的图象关于 对称
例题3．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）已知定义在 上的奇函数 满足 是 上
的偶函数，且 ，则 __________.
练透核心考点1．（2023·全国·校联考一模）已知函数 的定义域为 ，若 ，且 为奇函数，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肃武威·统考一模）定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，则 __________.
3．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）若函数 为奇函数，且 ，若 ，则
_________．
第四部分：高考新题型
①开放性题型
1．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ___________.①
是定义域为 的奇函数；② ；③ .
2．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）函数 满足：①定义域为 ，②
，③ .请写出满足上述条件的一个函数 ， ___________.
3．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时满足①②的函数 ___________.① 是偶函数，
② .
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数 不是常值函数，且同时满足:①
；②对任意 ，均存在 使得 成立；则函数 =__________.
(写出一个符合条件的答案即可)
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足：① ；② ；③在 上单
调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数 _________．
