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2025 二轮复习专项训练15
等差数列、等比数列
[考情分析] 高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和公式以
及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合的解答题
形式考查，属于中档题目．
【练前疑难讲解】
一、等差数列、等比数列的基本运算
1．等差数列
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d.
2．等比数列
(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；
(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；
q≠1，Sn＝＝.
二、等差数列、等比数列的性质
1．等差数列常用性质：
(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
(2)an＝am＋(n－m)d；
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．
2．等比数列常用性质：
(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；
(2)an＝am·qn－m.
三、等差数列、等比数列的判断与证明
证明数列{an}是等差(比)数列的方法：
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：
①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；
②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．
(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法：
①利用定义，证明(an≠0，n∈N*)为一常数；
②利用等比中项，证明a＝an－1an＋1(an≠0，n≥2，n∈N*)．
一、单选题
1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，
，且
1
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是
，
的等差中项，则使得
成立的最小的
的值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
2．（2024·河南郑州·二模）已知数列
为等比数列，且
，
，设等差数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．－36 或36
B．－36
C．36
D．18
二、多选题
3．（23-24 高三上·河南南阳·期中）已知等差数列
的前
项和为
，
的公差为
，
则（ ）
A．
B．
C．若
为等差数列，则
D．若
为等差数列，则
4．（2024·广东梅州·二模）已知数列
的通项公式为
，
，在
中依次选
取若干项（至少3 项）
，
，
，
，
，
，使
成为一个等比数列，则下列
说法正确的是（ ）
A．若取
，
，则
B．满足题意的
也必是一个等比数列
C．在
的前100 项中，
的可能项数最多是6
D．如果把
中满足等比的项一直取下去，
总是无穷数列
三、填空题
5．（23-24 高三上·江苏·期末）若数列
满足
，
（
），
则
.
2
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6．（2024·湖北·一模）设等比数列
的前
项和为
，若
，则公比
的取值
范围为 ．
四、解答题
7．（2024·云南昆明·三模）正项数列
的前
项和为
，等比数列
的前
项和为
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
满足
，求数列
的前
项和
．
8．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列
的前n 项和为
，且
，其中
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入n 个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在不同三项
，
，
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这
样的三项；若不存在，请说明理由.
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
D
C
BD
AB
1．D
【分析】由题意得到
是等比数列，进而得到
，利用错位相减法求出
，构造函数
，并利用导数判断函数
的单调性，即
可求出符合条件的
的最小值.
【详解】
是
，
的等差中项，
3
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，故
，
而
，
，
故数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，则
，
，
记
，则
，
，
两式相减可得，
，
即
，令
，即
，
设
，则
，
，
，
在
单调递减，
是递减数列，
当
时，
，
当
时，
，
使得
成立的最小的
的值为11.
故选：D.
4
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2．C
【分析】根据等比数列的通项公式求得
，继而求得
的值，利用等差数列前
项
和公式进行计算即可.
【详解】数列
为等比数列，设公比为q，且
，
，
则
，则
，
则
，
则
，
故选：C.
3．BD
【分析】A 选项，根据等差数列性质得到
，A 错误；B 选项，由等差数列性质得
到
；C 选项，计算出
，要想
为常数，则
，故C 不正确；D 选项，根据等差数列通项公式的函数特征得到
，D 正确.
【详解】A 选项，
，而
不一定相等，A 不正确；
B 选项，因为
，
，
所以
，故B 正确；
C 选项，因为
，
若
为等差数列，则
，
5
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要想
为常数，则
，故C 不正确；
D 选项，由题可知
，
若
为等差数列，则
为关于
的一次函数，
所以
，即
，故D 正确．
故选：BD
4．AB
【分析】根据等比数列的性质判断A、B、D，利用反例说明C.
【详解】因为数列
的通项公式为
，
对于A，取
，
，则
，
，
由于
为等比数列，则
，则有
，即
，故A 正确；
对于B，数列
的通项公式为
，则
，
若
为等比数列，即
，
，
，
，
，
是等比数列，
则
，
，
，
，
，
，是等比数列，
故满足题意的
也必是一个等比数列，故B 正确；
对于C，在
的前
项中，可以取
，
，
，
，
，
，
，
可以使
成为一个等比数列，此时
为
项，故C 错误；
对于D，取
，
，则
，则
，
不是数列
的项，
6
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所以把
中满足等比的项一直取下去，
不总是无穷数列，故D 错误．
故选：AB．
5．3268
【分析】由数列递推式可得到
，和已知等式作差得
，利用累加法即可求得答案.
【详解】由题意可得
，作差得
，
故
，
故答案为：3268
6．
【分析】
由
可得
，
，讨论
或
，即可得出答案.
【详解】由
，
因为
，所以由
，
可得
，
由
可得
，
7
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即
，
即
，
即
，即
，
则
，因为
若
，则
，解得：
，
若
，则
，解得：
，
所以公比
的取值范围为：
.
故答案为：
.
7．(1)
；
(2)
【分析】（1）由
与
的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）求得
后，讨论n 为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求.
【详解】（1）当
时，
，即
，
，
所以
，同理
．
当
时，
，化简得：
，因为
，所以
，
8
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即
，故
，又
，所以
．
同理，
或
，
因为
是等比数列，所以
，即
，所以
．
（2）由（1）知
，
所以当
为奇数时，
，
，
同理当
为偶数时，
．
所以
.
8．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据递推关系可得
，从而可得公比，故可求首项从而得到
通项公式；
（2）先求出
的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列
中不存在不同三项
，
，
（其中
成等差数列）成等比数列.
【详解】（1）因为
，故
，故
，
9
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而
为等比数列，故其公比为，
又
，故
，故
，
故
.
（2）由题设可得
，
若数列
中存在不同三项
，
，
（其中
成等差数列）成等比数列，
则
，因
为等差数列，
故
即
，故
，
故
即
，这样
不同矛盾，
故数列
中不存在不同三项
，
，
（其中
成等差数列）成等比数列.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）已知数列
满足：
，且数列
为等差数列，
则
（ ）
A．10
B．40
C．100
D．103
2．（2024·河南·三模）已知等比数列
的公比为
，若
，且
成等差
数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·陕西宝鸡·一模）已知等差数列
满足
，则下列命题：
①
是递减数列；②使
成立的
的最大值是9；③当
时，
取得最大值；④
10
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，其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．①②③
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列
和
的前
项和分别为
、
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神
十八”，于2024 年4 月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号
运载火箭，
在点火第一秒钟通过的路程为
，以后每秒钟通过的路程都增加
，在达到离地面
的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（
）秒．
A．10
B．11
C．12
D．13
6．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于
中国，其历史可追溯到公元583 年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同
质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次
折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、
鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发
展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸
作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历
史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l 的等腰直
角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6 次后得到的等腰直角三角形
斜边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知
是正项等比数列
的前
项和，且
，
11
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，则
（ ）
A．212
B．168
C．121
D．163
8．（2023·上海浦东新·三模）设等比数列
的前
项和为
，设甲：
，乙：
是严格增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既
非充分又非必要条件
9．（23-24 高二上·安徽宣城·期末）设
是等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
10．（21-22 高二上·全国·课后作业）如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，
把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反
复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，
图②，图③，图④中图形的周长依次记为
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（23-24 高二上·河北石家庄·阶段练习）关于等差数列
和等比数列
，下列四个
选项中正确的有（ ）
A．等差数列
，若
，则
12
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B．等比数列
，若
，则
C．若
为数列
前n 项和，则
，仍为等差数列
D．若
为数列
前n 项和，则
，仍为等比数列
12．（22-23 高二上·广东广州·期末）记
为数列
的前
项和，下列说法正确的是
（ ）
A．若对
，
，有
，则数列
一定是等差数列
B．若对
，
，有
，则数列
一定是等比数列
C．已知
，则
一定是等差数列
D．已知
，则
一定是等比数列
三、填空题
13．（23-24 高三下·湖南·开学考试）若数列
满足
，
，则
的最小值
是 ．
14．（23-24 高三上·云南昆明·开学考试）设
是等比数列，且
，
，
则
.
四、解答题
15．（2024·四川成都·二模）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)记
，求数列
的前
项和.
16．（2024·山东·二模）已知数列
．求：
13
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(1)数列
的通项公式；
(2)数列
的前
项和
的最大值．
17．（2024·陕西安康·模拟预测）设等比数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求数列
的通项公式.
(2)求数列
的前
项和
.
18．（2023·吉林·模拟预测）已知等比数列{an}的前n 项和Sn＝
﹣m.
(1)求m 的值，并求出数列{an}的通项公式；
(2)令
，设Tn 为数列{bn}的前n 项和，求T2n.
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
C
A
C
D
B
A
题号
11
12
答案
AC
AC
1．D
【分析】设数列
的公差为
，借助等差数列的性质可计算出
，即可得
，即
可得解.
【详解】设数列
的公差为
，则
，
故
，所以
．
故选：D.
2．C
【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果.
【详解】
成等差数列，
，又
，
14
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，整理可得：
，
，解得：
（舍）或
.
故选：C.
3．D
【分析】设出公差为
，列出方程组，求出首项和公差，根据
判断①正确，
写出
，解不等式求出
成立的
的最大值是9，②正确；
根据
与
，得到当
时，
取得最大值，③正确；
利用通项公式
求出
的值，得到④错误.
【详解】设等差数列
的公差为
，
故
，解得：
，
由于
，故
是递减数列，①正确；
，令
，
解得：
，且
，
故使
成立的
的最大值是9，②正确；
，
当
时，
，当
时，
，
故当
时，
取得最大值，③正确；
，④错误.
故选：D
4．B
15
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【分析】计算出
，由等差数列的性质得
，
，从而得到答案.
【详解】因为等差数列
和
的前
项和分别为
、
，满足
，
所以
，
又
，故
，
故选：B
5．C
【分析】由题意结合等差数列的定义求出通项公式
，再由前
项和公式计算即可.
【详解】设出每一秒钟的路程为数列
，
由题意可知
为等差数列，
则数列首项
，公差
，
所以
，
由求和公式有
，解得
，
故选：C．
6．A
【分析】由题意知对折后的等腰直角三角形的腰长成首项为
，公比为
的等比数列，
进而求出对折6 次后的腰长，即可求解.
【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为
，公比
为
，
16
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故对折6 次后，得到腰长为
的等腰直角三角形，
所以斜边长为
.
故选：A．
7．C
【分析】由条件结合等比数列性质求出
，再列方程求出数列的公比
，利用等比数列
求和公式可求
.
【详解】设等比数列
的公比为
，
因为数列
为正项等比数列，所以
，
因为
，又
，
所以
，因为
，
所以
或
，
若
，则
，解得
，
，
所以
，
若
，则
，解得
，
，
所以
，
所以
，
17
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故选：C.
8．D
【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.
【详解】不妨设
，则
，满足
，
但
是严格减数列，充分性不成立，
当
时，
是严格增数列，但
，必要性不成立，
故甲是乙的既非充分又非必要条件.
故选：D
9．B
【分析】
成等比数列，得到方程，求出
，得到答案.
【详解】由题意得
，
，
因为
成等比数列，故
，
即
，解得
，
故
.
故选：B
10．A
【分析】观察图形可得出
为首项为
，公比为
的等比数列，即可求出.
【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础
上多了其周长的
，即
，
所以
为首项为
，公比为
的等比数列，
.
故选：A
11．AC
【分析】利用等差数列下标和性质判断A；举例说明判断B；利用等差数列定义判断C；举
18
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例说明判断D.
【详解】对于A，由等差数列下标和性质知，A 正确；
对于B，取
，显然数列
成等比数列，且
，而
，B 错误；
对于C，等差数列
的公差为
，
，
，
有
，因此
成等差数列，C 正确；
对于D，当等比数列{bn}的公比
，
为正偶数时，
，显然
不
成等比数列，D 错误.
故选：AC
12．AC
【分析】利用等差，等比数列的定义和性质，以及等差，等比数列的前
项和的形式，可
逐一判断.
【详解】由
和等差中项的性质，
可得数列
是等差数列，即A 正确；
当
时，由
和等比中项的性质，
可得数列
是等比数列，即B 不正确；
由等差数列前
项和
，
得
可看成
的二次函数，且不含常数项，则C 正确；
由等比数列前
项和
，
19
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若
，则
，所以
，
则此时数列
不是等比数列，则D 错.
故选：AC
13．
/
【分析】利用累加法求得
，利用基本不等式求得
的最小值.
【详解】由已知
，
，…，
，
，
所以
，
又
也满足上式，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值是
．
故答案为：
14．189
【分析】
由
是等比数列，则
，
，
，
成等比数列，再根据新等比数列
的性质计算即可.
【详解】
由
是等比数列，设其公比为
，
则
，
，
，
构成等比数列，且公比为
，
，
20
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，
则
.
故答案为：189.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据
作差即可得解；
（2）由（1）可得
，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）
数列的前
项和为
，
当
时
，
当
时
，
所以
，
又当
时，
也成立，
数列
的通项公式为
.
（2）由（1）可得
，
设数列
的前
项和为
，
则
.
16．(1)
；
21
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(2)28
【分析】（1）根据题目条件得到
是以13 为首项，
为公差的等差数列，求出通项公
式；
（2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5 项开始小于0，从而得到数列
的前4
项和最大，利用求和公式求出答案.
【详解】（1）由
，可知
，
所以数列
是以13 为首项，以
为公差的等差数列，
所以
；
（2）由（1）可知
，
令
，解得
，
令
，解得
，
即数列从第5 项开始小于0，所以数列
的前4 项和最大，
最大值为
．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得
，
，即可求解公比得解，
（2）利用错位相减法求和即可求解.
【详解】（1）由
以及
可得
，
又
，故
，
22
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因此公比
，
故
（2）
，
则
，
，
两式相减可得
，
，
，
.
18．(1)m＝
，
(2)n
【分析】（1）直接利用数列的递推关系求出m 的值；
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和.
【详解】（1）等比数列{an}的前n 项和Sn＝
﹣m①.
当n＝1 时，解得
，
23
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当n≥2 时，
②，
①﹣②得：
，
又{an}是等比数列，n＝1 时也符合，
当n＝1 时，
，
故m＝
.
（2）由（1）得：
，
所以T2n＝﹣1+2
3+4+...+
﹣
﹣（2n
1
﹣）+2n
＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣2n+1+2n）
＝n.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）设等差数列
的公差为
，则“
”是“
为递增
数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（23-24 高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列
，
的前
项和分别为
，
，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·黑龙江·二模）在公差不为0 的等差数列
中，
，
，
是公比为2 的等比
数列，则
（ ）
A．11
B．13
C．15
D．17
4．（2022·江西上饶·二模）已知各项均为正数的等比数列
中，若
，则
24
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＝（ ）
A．2
B．3
C．4
D．9
5．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，
，
，
，则
（ ）
A．511
B．61
C．41
D．9
6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．40
B．-30
C．30
D．-30 或40
7．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列
的前
项和
，则
（ ）
A．3
B．9
C．
D．
8．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为
，小张于2024 年初存入大额存
款10 万元，按照复利计算8 年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一
位小数）
A．12.6
B．12.7
C．12.8
D．12.9
二、多选题
9．（23-24 高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列
的前
项和为
，公差为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当
时，
取得最小值
D．
10．（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差
的等差数列
的四个命题，其中
正确的有（ ）
A．数列
是等差数列
B．数列
是等差数列
25
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C．数列
是递增数列
D．数列
是递增数列
11．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标
有
的10 个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于
5 的小球，则前进1 步，若每次抽取号码大于5 的小球，则前进2 步.每次抽取小球互不影
响，记小郡一共前进
步的概率为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．小华一共前进3 步的概率最大
三、填空题
12．（2024·山东日照·模拟预测）若函数
的四个零点成等差数列，则
．
13．（2023·全国·模拟预测）已知数列
满足
，
，且数
列
的前
项和为
．若
的最大值为
，则实数
的最大值是 ．
14．（21-22 高二·全国·课后作业）在等比数列
中，
，
，
则
．
四、解答题
15．（2024·浙江·一模）已知数列
满足
，记数列
的前
项和为
．
26
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(1)求
；
(2)已知
且
，若数列
是等比数列，记
的前
项和为
，求使得
成立的
的取值范围．
16．（2024·陕西西安·一模）已知数列
的前
项和为
，
，且满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列{bn}的前
项和
.
17．（2024·浙江·二模）欧拉函数
的函数值等于所有不超过正整数
且与
互
素的正整数的个数，例如：
，
，
，数列
满足
.
(1)求
，
，
，并求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
和
.
18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列
满足
(1)写出
;
(2)证明:数列
为等比数列;
(3)若
，求数列
的前
项和
.
参考答案：
27
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
C
B
A
D
B
BC
ABD
题号
11
答案
BC
1．A
【分析】利用等差数列通项公式求出
，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条
件的意义判断即得.
【详解】由等差数列
的公差为
，得
，则
，
当
时，
，而
，则
，因此
，
为递增数
列；
当
为递增数列时，则
，即有
，整理得
，不能推出
，
所以“
”是“
为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
2．A
【分析】根据
，结合等差数列的前
项和公式，构造出符合题意的一组
与
的通项公式，再进行计算即可．
【详解】根据题意，数列
、
都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，
，
因为等差数列前
项和公式为
，
所以不妨令
为常数，且
，
所以
时，
，
．
28
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，
，
，
.
故选：A
3．C
【分析】利用基本量法可求
的值.
【详解】设等差数列的公差为
，则
，
因为
，
，
是公比为2 的等比数列，
所以
，由前者得到
，代入后者可得
，
故
，
故选：C.
4．C
【分析】利用对数运算性质结合等比中项求解即可.
【详解】由题意得
，由等比中项性质得
，
故
.
故选：C
5．B
【分析】利用对数运算法则可求得
，即可知数列
的奇数项与偶数项分别成等
比数列，再由分组求和可得结果.
【详解】由
可得
，
即
，所以
，两式相除可得
；
即
，
由
可得
，因此数列
的奇数项是以
为首项，公比为2 的等比数列，
29
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偶数项是以
为首项，公比为2 的等比数列，
所以
.
故选：B
6．A
【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解.
【详解】因为
，且
，
所以
，
，故
，
所以
，即
，解得
或
（舍去），
由等比数列性质可知，
成等比数列，公比为
所以
，解得
，
故选：A
7．D
【分析】根据
，再结合
为等比数列，表示
，求出
的值.
【详解】当
时，
；
当
时，
，
又
是等比数列，所以
，解得
.
故选：D.
8．B
【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理
求解即可.
【详解】存入大额存款10 万元，按照复利计算，
30
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每年末本利和是以10 为首项，
为公比的等比数列，
所以本利和
．
故选：B．
9．BC
【分析】由题意得
，结
合等差数列求和公式可判断ABD；进一步有
，由此可判断C.
【详解】由题意可知
，故
B 正确D 错误；
所以
，故A 错误；
而
，所以当
时，
取得最小值，故C 正确.
故选：BC.
10．ABD
【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差
，逐一写出四个选项的通项公式，
利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可.
【详解】设等差数列的首项为
，所以
，
对于A，由
，则
，所以
，
即数列
是等差数列为公差为
的等差数列，故A 正确；
对于B，由
，所以
，则
，所以数列
31
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是以公差为
的等差数列，故B 正确；
对于C，由
，可得
，当
时，数列
不
是递增数列，故C 不正确；
对于D，由
，可得
，所以
，所以数列
是递增数列，故D 正确；
故选：ABD
11．BC
【分析】根据题意直接求概率判断选项A，然后根据题意求出递推公式即可判断选项B，根
据递推公式判断数列
是首项为
，公比为
的等比数列，求通项公式判断选项
C，分类讨论求解概率通项的最大值判断D.
【详解】根据题意，小郡前进1 步的概率和前进2 步的概率都是
，所以
，
，
故选项A 错误；
当
时，其前进几步是由两部分组成：先前进
步，再前进1 步，其概率为
，
或者先前进
步，再前进2 步，其概率为
，所以
，
故选项B 正确；
因为
，所以
，
而
，所以
，即
，
故选项C 正确；
因为当
时，
，所以
，
32
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又
，所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
所以
，所以
.
当n 为奇数时，
为偶数，则
，此时数列
单调递增，所以
；
当n 为偶数时，
为奇数，则
，此时数列
单调递减，
所以
；
综上，当
时，概率最大，即小华一共前进2 步的概率最大，故选项D 错误.
故选：BC
12．
【详解】根据给定条件，求出函数
的4 个零点，再借助对称性及等差中项列式求解即
得.
【点睛】由
，得
，由函数
有4 个零点，得
，
即有
或
，则
的4 个零点从小到大依次为
，
依题意，
，即
，解得
，
所以
.
故答案为：
13．
【分析】将已知化简为
，由前n 项和与通项关系可求
得
，进而可得
，结合等差数列前n 项和取最大值时的性质即可求
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得结果.
【详解】因为
，即
，
当
时，
，
两式相减得
，
所以
，（
），
又
满足
，
所以
，（
），
令
，
，显然数列
是等差数列，
若
的最大值为
，则
，解得
，
所以实数
的最大值是
.
故答案为：
.
14．31
【分析】设
，则
，
利用等比数列的性质进行求解，
【详解】设
，则
34
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，
所以
．
故答案为：31
15．(1)
(2)
．
【分析】（1）由递推关系首先得
结合等差数列求和公式即可求解.
（2）由题意首项得
，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求
不等式的正整数解集.
【详解】（1）
①
②
②-①得，
，得
．
当
时，①式为
，得
，也满足上式．
，数列
是等差数列，所以
．
（2）
，则数列
是以1 为首项，3 为公比的等比数列，
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，
又
，得
，
得
．
令
，即
，即
．
当
时，经验证，（*）式满足要求．
令
，则
，
所以当
时，
，
即当
时，
式不成立．
使得
成立的
的取值范围是
．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得
，结合
即可求解；
（2）由（1）知
，利用分组求和法计算即可求解.
【详解】（1）根据题意，
，所以
，
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由于
，则
是以首项为1，公差为
的等差数列，
所以
，所以
，
当
时，
.
验证
时
满足通项公式，故数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知
.
设
的前
项和为
，则当
为偶数时，
.
当
为奇数时，
，
设
的前
项和为
，则
.
因为
，所以
17．(1)
，
，
，
(2)
【分析】（1）根据题意理解可求
，
，
，结合与
互素的个数可求数列
的通项
公式；
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（2）求出数列
的通项公式，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由题意可知
，
，
，
由题意可知，正偶数与
不互素，所有正奇数与
互素，比
小的正奇数有
个，
所以
；
（2）由（1）知
，所以
，
所以
，
，
所以
，①
，②
所以①－②得
，
所以
.
18．(1)
，
，
(2)证明见解析
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(3)
【分析】（1）由数列的递推式，分别令
，2，3，计算可得所求值；
（2）推得
，由等比数列的定义，可得证明；
（3）求得
，
，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求
和公式，可得所求和．
【详解】（1）由
可得
；
；
；
（2）证明：由题可得
，
则数列
是首项为1，公比为2 的等比数列；
（3）由（2）可得
，即
，
，
，
前
项和
，
，
两式相减可得
，
化简可得
．
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