文档文本内容
专项01 三角函数、三角恒等变换与解三角形
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026 年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，三角函数、三角恒等变换与解三角形是必考主干，分值约13-22 分．
命题趋势：
解答题：稳定考查解三角形（常为第15 题或16 题），核心是利用正余弦定理和面积公式解决边、角、
面积等综合问题．
2026 年预测：解答题极可能仍为解三角形常规题．
备考核心：熟记定理与公式，解答题强化“边角互化”综合训练，小题提升图象分析与快速变形能力．
题型01 三角恒等变形与三角函数图象问题
析典例
· 建模型
1．（2026·山东青岛·一模）函数
（
，
，
）的部分图像如图所示.
1
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)已知
，且
，求
的值.
研考点
· 通技法
此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多.
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)
（2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将
看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零
点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三下·北京·开学考试）已知函数
，直线
与函数
两个相邻交点之间的距离为
；
(1)求
在
上的单调递增区间；
(2)设函数
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使函数
存在且唯一，在区间
上若
恒成立，求
的取值范围．
条件①：
的最大值为
；
2
条件②：
在区间
上单调递增；
条件③：
为偶函数．
2．（25-26 高三上·山西临汾·期末）已知函数
.
(1)求
的图象在
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值；
(3)若
，
有三个极值点，求实数
的范围.
题型02 三角形中边长及周长问题
析典例
· 建模型
1．（2026·四川绵阳·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
；
(2)若
，且
的周长为8，求
．
2．（25-26 高三上·贵州黔西南·月考）已知
的内角
的对边分别为
，且满足
3
.
(1)求
；
(2)若
，求锐角
周长的取值范围.
研考点
· 通技法
利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余
弦定理用已知边或者是已知角度表示出来.
对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题，
类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决.
类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装
化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题
类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角
度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三上·天津·期末）在
中，角
所对的边分别为
．已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的值．
4
2．（25-26 高三下·重庆·开学考试）已知
的内角
的对边分别为
，且
，
.
(1)求c 及C；
(2)求
周长的最大值.
3．（25-26 高三下·江苏苏州·开学考试）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
的面积；
(3)若
，且
为锐角三角形，求
的周长的取值范围．
题型03 三角形中面积问题
析典例
· 建模型
5
1．（2026·山东济宁·一模）在
中，内角
所对的边分别为
为
的
角平分线，且
.
(1)若
，求
的大小；
(2)当
取得最小值时，求
的面积.
2．（25-26 高三下·贵州贵阳·月考）在
中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
是锐角三角形，
，求
面积的取值范围．
研考点
· 通技法
利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思
路是：
1、选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决.
面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范
围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解
决，但是因注意角度的取值范围问题
破类题
· 提能力
1．（2026·贵州贵阳·一模）在
中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且
．
(1)求A 的大小；
(2)若
，
，试判断
的形状，并求
的面积．
6
2．（2026·四川德阳·二模）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积
．
(1)求角B 的大小；
(2)若b＝4 时，求△ABC 面积的最大值．
3．（25-26 高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，且
满足
，
.
(1)求证：
；
(2)求
的取值范围；
(3)若
，求三角形
面积的取值范围．
题型04 解三角形中三线问题
7
析典例
· 建模型
1．（2026·四川·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若
，
，求AB 边上中线的长.
2．（25-26 高三上·安徽宣城·期末）在
中，内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
边上的中线
长为
的角平分线
交
于点
，求线段
的长.
研考点
· 通技法
三线问题指的是角平分线，中线，高线.
对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决.
对于中线问题 一般采用向量思想去解决.
高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.
破类题
· 提能力
8
1．（25-26 高三上·贵州铜仁·期末）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，且
边上的中线的长度为
，求
的值.
2．（2026·山东威海·一模）记
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求BC 边上的高的最大值．
3．（25-26 高三上·宁夏·月考）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角
的大小；
(2)若
为
的角平分线，且
，
，求角平分线
的长度；
(3)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
题型05 三角形中图形类边长及范围问题
析典例
· 建模型
1．（25-26 高三上·安徽六安·期末）已知
、
、分别为
三个内角
、
、
的对边，且
.
9
(1)求角
；
(2)已知
，求
的取值范围.
2．（25-26 高三上·山东东营·期末）在锐角
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
为边
上一点，
，
的面积为
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
的最小值.
研考点
· 通技法
范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要是两类题.一类
是无限制三角形的对应的范围问题，一类是
第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，
转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
破类题
· 提能力
1．（2026 高三上·四川眉山·专题练习）已知
的面积记为.
内角
，
，
的对边分别为
，
，，
.
(1)若
，
，求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围.
10
2．（2026 高三上·安徽合肥·专题练习）已知
，
，分别为锐角
三个内角
，
，
的对边，且
．
(1)求角
的大小
(2)求
的取值范围．
题型06 三角形中证明类问题
析典例
· 建模型
1．（25-26 高三上·广东·月考）
中、角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
的值；
(2)B 的角平分线BD 交AC 于D，
（i）证明：
；
（ii）若
，求
的最大值．
研考点
· 通技法
解三角形证明题求解策略:
1.边角互化核心：优先用正弦定理（a=2RsinA）边化角或角化边，统一形式后化简，是最常用突破口.
2.公式灵活套用：结合余弦定理、三角恒等变换（和差倍角、诱导公式），消元化简向结论靠拢.
3.目标导向变形：先明确结论结构（如证边相等、角为特殊值），逆向推导所需条件，减少无效运算.
4.隐含条件挖掘：利用三角形内角和A+B+C=π、大边对大角、边长为正等限制条件验证结果.
11
5.特殊值检验：用等边、直角三角形等特殊情形快速验证证明思路是否合理.
破类题
· 提能力
1．（2026·甘肃武威·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)证明：
；
(2)求
的最大值.
题型07 解三角形中内切圆、外接圆问题
析典例
· 建模型
1．（2026·浙江·模拟预测）在
中，角
对应边分别是
.已知
成等差数列，且
.
(1)求
的值；
(2)若
的外接圆半径为
，求
的面积.
12
2．（25-26 高三下·福建泉州·开学考试）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求C；
(2)若
，求
的内切圆的半径.
研考点
· 通技法
解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆
则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即
对于外接球半径问题 一
般采用正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R 解决.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三上·河北沧州·期末）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
的面
积，
.
(1)求
的外接圆半径；
(2)若
，
，求
中
边上的高的值.
2．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在
中，已知角
、
、
的对边分别为
、
、，且
13
.
(1)求角
大小；
(2)求证：
；
(3)设
为
的内心，求
的最小值.
题型08 解三角形中图形类问题
析典例
· 建模型
1．（25-26 高三上·重庆·月考）如图
为平面四边形
中
的角平分线，
的面积为
(1)求边BC 的长度；
(2)若
的外接圆直径
求△ACD 的周长.
14
2．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形
中，已知
交于点
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)证明：当
时，
位于
外接圆的内部．
研考点
· 通技法
利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解
题的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后
变成关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变
成或者是对应面范围问题.
破类题
· 提能力
15
1．（25-26 高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形
中，已知
，
，
．
(1)求
的面积；
(2)若
，且
，求
的长．
2．（25-26 高三上·江西·月考）已知平面四边形
如图所示，其中
，
，
.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)求
的取值范围.
题型09 解三角形的实际应用
析典例
· 建模型
1．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的
处发现两座小岛
，测得小岛
在
的北偏
东
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上，海轮从
处向正东方向航行
海里后到达
16
处，测得小岛
在
的北偏西
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上.
(1)求
处与小岛
之间的距离；
(2)求
两座小岛之间的距离.
2．（25-26 高三上·甘肃平凉·月考）目前，中国已经建成全球最大的
网络，无论是大山深处还是广袤平
原，处处都能见到
基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座
基站
，
已知基站高
.该同学眼高
（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置
处（眼睛所在位
置）测得基站底部
的仰为
，测得基站顶端
的仰角为
.
(1)求出山高
（结果保留一位小数）；
(2)如图（第二幅），当该同学面向基站
前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置
处
（眼睛所在位置）到基站
所在直线的距离
，且记在
处观测基站底部
的仰角为
，观
测基站顶端
的仰角为
.试问当
多大时，观测基站的视角
最大？
参考数据：
，
，
，
.
17
研考点
· 通技法
解三角形实际应用核心是构建三角形模型，用正、余弦定理求解，分三类场景：
1. 测量距离
先确定可测边与夹角，构造解三角形模型。两点不可达时，用基线结合两角构造三角形，通过正弦
定理求边长；两点可达时，直接用余弦定理计算间距，注意统一长度单位.
2. 测量高度
区分底部可通达与不可通达。底部可达时，测仰角与水平距离，用直角三角形边角关系求解；底部
不可达时，在同一直线测两个仰角，设高列方程，结合正弦定理消元求解，排除视线遮挡误差.
3. 测量角度
已知三角形三边或两边及夹角，用余弦定理求内角，结合方位角、俯角换算实际角度，注意方位角
的象限与方向标注，保证结果符合实际场景.
破类题
· 提能力
1．（25-26 高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧
两地相距50 米，
河对岸有
两地，测得
米，
.
(1)求
的值；
(2)若测量后发现
，求
两地的距离.
18
2．（25-26 高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立
不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量
重兴塔高度
时，可以选取与塔底
在同一水平面内的两个测量基点
，
，且在
，
两点测得
塔顶
的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得
，
，
两地相距36 米.
(1)求重兴塔高
；
(2)如图2，塔顶为点
，距离塔顶
点竖直向下5 米处有点
，若在离地面竖直高度为2 米的点
处
用测角仪器测得
，求
的最大值.
（建议用时：60 分钟）
刷模拟
1．（25-26 高三下·重庆·月考）已知函数
的最小正周期为
．
(1)若
，
，求
的值；
19
(2)将函数
的图象向右平移
个单位，再向上平移1 个单位，得到的图象对应函数记为
，求
函数
在
上的值域．
2．（2026·河北邯郸·一模）
的内角
的对边分别为
，已知
成等差数列，且
．
(1)求
；
(2)记
外接圆的面积为，若
，求
的取值范围．
3．（2026·山东烟台·一模）已知
的内角
的对边分别为
，
，且
的面积为
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的值．
4．（25-26 高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形
中，
．
(1)证明：
；
20
(2)已知
，
的外接圆半径为1，求
面积的最大值．
5．（2026·湖北襄阳·一模）在
中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，M 为边BC 所在直线
上一点．
(1)若
，AM 平分∠BAC，
，
，求
的周长；
(2)若
，且
，求
的最大值和最小值．
6．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形
中，记
分别为内角
的对边，
．
(1)求
的值；
(2)求角
的最大值．
7．（2026·广东·一模）设
的内角
所对的边分别为
，且
，记
.
(1)若
成等差数列，求
的最小值；
(2)若
成等比数列，求
的取值范围.
21
8．（2026·河北张家口·一模）在
中，内角
的对边分别为
，满足
．
(1)证明：
；
(2)若
，
，点
为边
上一点，
为
的平分线，求
的值；
(3)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
9．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B 处，在B 处观测灯塔A 在船的
北偏东
的方向上，船航行到C 处，在C 处观测灯塔在船的北偏西
的方向上，已知B，C 相距6
海里，
．
(1)若
，求
的距离；
(2)求
面积的最小值．
22
10．（2026·陕西西安·模拟预测）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19 世纪
提出，其定义如下：设P 是
内一点，若
，则称点P 为
的布洛
卡点，角
为
的布洛卡角.如图，在
中，记它的三个内角分别为
，其对边分别为
的面积为S，点P 为
的布洛卡点，其布洛卡角为
，请完成以下问题：
(1)若
，求
的大小及
的值；
(2)已知
的条件下，解下列两个问题：
①若
，求
的值；
②若
，求S.
刷真题
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
23
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
24
(2)设
，求
边上的高．
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
6．（2023·全国乙卷·高考真题）在
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积.
25
