文档文本内容
第 03 讲 基本不等式 (精讲）
目录
第一部分：思维导图..................................................3
第二部分：知识点必背................................................4
第三部分：高考真题回归..............................................5
第四部分：高频考点一遍过............................................6
高频考点一：基本不等式的内容及辨析...............................6
高频考点二：利用基本不等式比较大小...............................9
高频考点三：利用基本不等式求最值................................11
角度1：利用基本不等式求积最大值..............................11
角度2：利用基本不等式求和最小值..............................12
角度3：二次与二次（一次）的商式的最值........................13
角度4：“1”的妙用求最值.....................................14
角度5：条件等式求最值........................................16
高频考点四：基本不等式的恒成立问题..............................21
高频考点五：利用基本不等式解决实际问题..........................24
第五部分：数学思想方法.............................................28
①函数与方程....................................................28
②转化与化归....................................................30
③特殊与一般....................................................32
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：思维导图第二部分：知识点必背
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果 ， ， ，当且仅当 时，等号成立．
②其中 叫做正数 ， 的几何平均数； 叫做正数 ， 的算数平均数．
2、两个重要的不等式
① （ ）当且仅当 时，等号成立．
② （ ）当且仅当 时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知 ， 是正数，如果积 等于定值 ，那么当且仅当 时，和 有最小值 ；
②已知 ， 是正数，如果和 等于定值 ，那么当且仅当 时，积 有最大值 ；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次
数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例： ；
凑系数，例： ；
②拆：例： ；
③除：例： ；
④1的代入：例：已知 ，求 的最小值.
解析： .
⑤整体解：例：已知 , 是正数，且 ，求 的最小值.
解 析 ： ， 即 ， 解 得.
第三部分：高考真题回归
1．（2021·（乙卷文）·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
2．（多选）（2022·（新高考Ⅱ卷）高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为 （ R），由 可变形为， ，
解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A错误，B
正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
3．（2021·天津·高考真题）若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【详解】 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
第四部分：高频考点一遍过
高频考点一：基本不等式的内容及辨析
典型例题
例题1．（2023秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，当 时， ，A不正确；
对于B，当 时， ，且 ，若 ，则 ，B不正确；
对于C， ，则 ，即C不正确；
对于D，当 时，由均值不等式得 成立，当且仅当 时取等号，则D正确.故选：D
例题2．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）当 时，函数 （ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4
【答案】A
【详解】 ， ，
，当且仅当 时等号成立，
故选：A
例题3．（多选）（2023秋·宁夏银川·高一银川一中校考期末）下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小值为2
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
【答案】BD
【详解】令 ，则 ，
在 ， 上单调递增，故 ，A错误；
当 时， ，当且仅当 时取等号，B正确；
当 ， 时，C显然不成立；
若 ， ，则 ， ，
则 ，当且仅当 时取等号，D正确．
故选：BD．
练透核心考点
1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知 ，则 取得最小值时 的值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【详解】 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：A
2．（多选）（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知a， ，且 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，因为 ，故当 时，不等式 不成立，故A不正确；
对于B，因为 ，所以 恒成立，当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，当 时满足 ，但 ，此时
，故D不正确.
故选：BC.
3．（多选）（2023秋·广东广州·高一华南师大附中校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A． 时， 的最小值是2
B．存在实数 ，使得不等式 成立
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则
【答案】BCD
【详解】当 时， ，当且仅当 时等号成立，
故 时， 取不到最小值2，故A错误；
当 时， ,故B正确；
,故 ，故C正确；
， ，则 ,解得 ，当且仅当 时等号成立，故D正确.
故选:BCD.高频考点二：利用基本不等式比较大小
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）若 ， ， ，则 ， ， ， 中最大
的一个是______．
【答案】 ##
【详解】 ， ， ，则 ， ， ，
综上所述：最大的一个是 .
故答案为：
例题2．（2022秋·山东青岛·高一青岛二中校考期中）设正实数 、 满足 ，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A：由 ，则 ，仅当 时等号成立，故 ，错误；
B：由 ，仅当 时等号成立，故 ，正确；
C：由 ，仅当 时等号成立，故
，错误；
D：由 ，仅当 时等号成立，故 ，错误.
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世
界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多
旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥
体公园码头，已知游船在顺水中的速度为 ，在逆水中的速度为 ，则游船此次行程的平均速度
与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】易知 ，设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1，则游船顺流而下的时间为 ，逆
流而上的时间为 ，则平均速度 ，由基本不等式可得 ，而 ，
当且仅当 时，两个不等式都取得“=”，而根据题意 ，于是 .
故选：A.
练透核心考点
1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
，
所以 .
故选：D
2．（2023·高一课时练习）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金项链，售
货员先将一条黄金项链放在天平左盘中，质量为 的砝码放在天平右盘中使天平平衡；再将这条黄金项链
放在天平右盘中，质量为 的砝码放在天平左盘中使天平平衡；那么这条项链的真实质量 （ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定
【答案】B
【详解】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设 ），再利用杠杆原理，
要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即 ， ，解
得： ，
下面比较 与 的大小：
，由于 ，故等号不成立，
所以故选：B
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由题设， ，则 (仅 等号成立)，可得 ，
由 ，即 ，则 ，A正确；
由 ，即 ，B错误；
由 ，C正确；
由 ，当且仅当 时等号成立，D错误；
故选：AC
高频考点三：利用基本不等式求最值
角度1：利用基本不等式求积最大值
典型例题
例题1．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】因为正数 ， 满足 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
所以 的最大值为 .
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的最大值.【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
则有 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
故 的最大值是 .
例题3．（2022·北京·统考模拟预测）已知 ，则 的最大值为__________．
【答案】4
【详解】 ，
，
当且仅当 ，
即 时等号成立.
故答案为：
角度2：利用基本不等式求和最小值
典型例题
例题1．（2023春·甘肃武威·高一民勤县第一中学校考开学考试）函数 的最小值为
（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，由基本不等式可知
，当且仅当 ，即 时等号成立，故函数 的最小值为 .
故选：A
例题2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 ，
所以 的最小值为 ，
故选：D
例题3．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）若正数 ， 满足 ，则 的最小值是
__________．
【答案】4
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
故 ，当且仅当 时，等号成立．
故答案为:4.
角度3：二次与二次（一次）的商式的最值
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A
【详解】因 ，则 ，于是得 ，当且仅当 ，即 时取
“=”，
所以当 时， 有最大值 .
故选：A
例题2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1） ；
（2） .
【答案】（1）3；（2）10.
【详解】（1）
∵ （当且仅当 ，即x=1时取等号）
的最小值为3；
（2）令 ，则 ，
当且仅当 即t=3时取等号
y的最小值为10
角度4：“1”的妙用求最值
典型例题
例题1．（2023秋·山东威海·高一统考期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．8 B．17 C．20 D．25
【答案】D
【详解】
，当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：D.
例题2．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）若存在正实数 ，使得等式 和不等式
都成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵ 为正实数，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
若存在正实数 ，使得不等式 成立，则 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围为 .
故选：B.
例题3．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知 ．
(1)证明： ．
(2)求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ，且 ，所以 ，
则 ，即 ，得 ．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故 得证．
（2）由题意得 ，因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最大值为 ．
角度5：条件等式求最值
典型例题
例题1．（2023春·浙江·高三开学考试）设 ， 为正实数，若 ，则 的最小值是
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】解：因为 ， 为正实数，且 ，
令 ， ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选：D．
例题2．（2023秋·天津河北·高三统考期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为
______.
【答案】
【详解】由 得： ，又 ， ，
（当且仅当 时取等号），
，解得： （舍）或 ，
当 时， 取得最小值 .
故答案为： .
例题3．（2023秋·四川成都·高一统考期末）已知实数 ， 满足 ，则 的最小
值为______．【答案】
【详解】因为 时取等号，
则 ,得 ，
可得 ，，
即得最小值为 ,
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 ，即 ，所以 ，又 ， ，
则 ，当且仅当 ， 时，等号成立.
故选：A
2．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】D【详解】
，
当且仅当 ,即 等号成立.
故选：D.
4．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】B
【详解】因为 ， ， ，
则 ，
当且仅当 时，即 时取等，
所以 的最小值为 ，
故选： .
5．（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，
所以 即 ，当且仅当 时，等号成立；
解得 或 （舍）.
故选：B.
6．（多选）（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】A选项，由题可得 ，得 ，故A错误；B选项，
，当且仅当 ，
即 时取等号.故B错误；
C选项， ，
当且仅当 ，即 时取等号.
则 ，故C正确；
D选项，由B选项分析得 ，
则 ，故D正确.
故选：CD
7．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知 ，且 ，则 的最大值为______.
【答案】
【详解】 ，且 ，
，当且仅当 时等号成立，
故答案为： .
8．（2023·全国·高三专题练习）若存在 ，使 成立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：依题意存在 ，使 成立，即存在 ，使得 ，即
，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以
，即 的最大值为 ，所以 ，即 ；
故答案为：
9．（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）若正实数 、 满足 ，则 的最小值为______.
【答案】
【详解】因为正实数 、 满足 ，所以 .
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故 的最小值为 .
故答案为： .
10．（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）已知 ， ， ，则
的最小值为__________.
【答案】 ##
【详解】由 得： ，而 ， ，则有 ，
于是 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故答案为：
11．（2023秋·云南大理·高一统考期末）设 ，且 .
(1)求 的最大值；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）法一： ，
当且仅当 且 时等号成立．
∴ab的最大值为
法二： ， ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立．
∴ab的最大值为 ．（2） ，
当且仅当 时等号成立，
∴ 的最小值为 ．
12．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）已知 ,求 的最大值.
【答案】
【详解】解: ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,此时 取最大值 .
高频考点四：基本不等式的恒成立问题
典型例题
例题1．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）已知 ，若 恒成
立，则 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．24 D．25
【答案】C
【详解】∵ ，所以 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即 ，
由题意可得： ，又 ，解得 ，
故 的最大值为24.
故选：C.
例题2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足 ， 且
， 若不等式 恒成立， 则实数 的最大值为 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
【答案】D【详解】因为 ，所以 ，
，
当且仅当 ， 即 时，等号成立．
因不等式 恒成立，只需 ，
因此 ，故实数 的最大值为25．
故选：D
例题3．（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）若两个正实数 满足 ，且不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立.
又 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以 的最小值为 ，
则不等式 恒成立，即为 ，
解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：A.
例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式 对任意正实数 ， 恒成立，则正
实数 的最小值为______．
【答案】9
【详解】因为 ，
当且仅当 ， ， 时取等号，
所以 ，整理得 ，
解得 ，
故正实数 a 的最小值为9．
故答案为：9.练透核心考点
1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知 且 恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，则 且 、 均为正数，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，
所以， 的最小值为 ，所以， ，即 ，解得 .
故选：C.
2．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实
数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】正实数 满足 ，
则 ，
当且仅当 ，即 且 时，等号成立，则 时， 取到最小值4，
要使不等式 恒成立，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
3．（2023·高三课时练习）已知x＞0，y＞0，且 ，若不等式 恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【详解】 可化为 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，即 的最小值为8，
因为 恒成立，所以 ，解得 ，
则实数m的取值范围是 ．
故选：A．
4．（2023秋·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）若正数 满足 ，且不等式
恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ， ， ，
，
∴
当且仅当 ，即 时等号成立，解得 ， 时等号成立，
因为不等式 恒成立，
所以 ，即
所以，实数 的最大值为 .
故选：D．
高频考点五：利用基本不等式解决实际问题
典型例题
例题1．（2023秋·河南·高一校联考期末）某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至
多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为 ，如图所示．(1)写出： 满足的关系式；
(2)求温室体积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得：顶棚所用材料的面积为 ，3面墙壁所用材料的面积为 ，
所以 ．
（2）因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，令 ，则 ，
解得 ，∴ ，当且仅当 ， 时取等号，
所以温室体积 ，则温室体积的最大值为 ．
例题2．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为
一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本 （元）与月
处理量 （吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利
用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该
单位不亏损？
【答案】(1)每月处理量为400吨时，平均每吨处理成本最低
(2)该企业不盈利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
【详解】（1）设该工厂每吨平均处理成本为 ，
，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号，
当 时，每吨平均处理成本最低.（2）设该工厂每月的利润为 ，
则 ，
∴ ，
当 时， ，
所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴35000元才能使工厂不亏损.
例题3．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）为摆脱美国政府针对中国高科技企
业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人
员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名
，调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元.
(1)要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人
员的人数 最多为多少人？
(2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正
整数 的最大值.
【答案】(1)75人；
(2)7.
【详解】（1）依题意得
解得 ，所以调整后的技术人员的人数最多75人
（2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：
得
整理得
故有
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
故正整数 的最大值为7
练透核心考点
1．（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）某大型企业原来每天成本 （单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为 ，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净
化装置，每吨产品尾气净化费用为k万元，尾气净化装置安装后当日产量 时，总成本 ．
(1)求k的值；
(2)设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值
为多少．（日平均利润就是日总利润÷日产量）
【答案】(1)
(2)尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元
【详解】（1）由题意，尾气净化装置安装后总成本
，
当日产量 时，总成本 ，得 ．
（2）由（1）可得 ，
总利润 ，
日平约均利润 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
∴尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元．
2．（2023春·广西南宁·高一校考开学考试）北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰
雪运动器械的蓬勃发展，张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产
千件，需另投入成本 万元.当年产量低于30千件时， ；当年产量不低于30千件时，
.每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式.
(2)当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大?最大年利润是多少?
【答案】(1)
(2)当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元
【详解】（1）当 时， ；
当 时， .所以
（2）当 时，函数的对称轴为 ，所以此时该函数是单调递增函数，因此有
，
当 时， 当且
仅当 时，等号成立.
因为 ，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元.
3．（2023秋·广东广州·高一校考期末）某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费
（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积 （单位：平方米）成正比，比例系数为 ，为了保证正常
用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年
向自来水公司缴纳水费为 ，记 为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自
来水公司缴水费之和．
(1)写出 关于 的函数表达式；
(2)求 为多少时， 有最小值，并求出 的最小值．
【答案】(1)
(2)当 时， 有最小值为
【详解】（1）解：由题意可得， 关于 的函数表达式为 ．
（2）解： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
当 时， 有最小值为 ．
第五部分：数学思想方法
①函数与方程
1．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）求函数最值有很多的方法，其中某些函数的最
值可以利用配方法求值域，例如： ，所以函数 的最小值为
－1，当且仅当 时取得最小值．(1)利用配方法求函数 的最小值；
(2)某面粉厂定期买面粉，每次都购买 吨，运费为4万元每次，已知面粉厂一年购买面粉400吨，一年的
总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值应为多少？
【答案】(1)4；
(2)20.
【详解】（1）由 ，则 ，
所以函数 的最小值为4，当且仅当 即 时取得最小值.
（2）一年购买400吨，每次都购买x吨，则需要购买 次，运费为4万元每次，
一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为 元，
由 ，有 ，
当且仅当 即 吨时，等号成立，
即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
2．（2021秋·河南新乡·高一校考阶段练习）某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划
利用学校空地建造一间室内面积为 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种
植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区
域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为 （单位：m），三块种植植物
的矩形区域的总面积为 （单位： ）．
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)求 的最大值，并求出此时 的值．
【答案】(1) ，
(2)当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为 ．
【详解】（1）由题设，得 ， ．（2）因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，从而 ．
故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为 ．
3．（2022秋·江西九江·高一瑞昌市第一中学校考阶段练习）已知 .
(1)若x､ ，求 的最大值；
(2)若x､ ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
（1）由x､ ，则 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 .
（2）由 ，则 ，又 ，
所以 ，
由 ，
所以 .
②转化与化归
1．（2023春·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）若 ，且 ，则下列
不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A： ， ， ， ，
， ，故A错误；
对于B： ， ， ，，
即 ，
，故B错误；
对于C： ， ， ，
，
，
，
，
，故C错误；
对于D： ，
，
即 ，
两边开平方得： ，
同理可得 ， ，
三式相加得 ，
当且仅当 时取等号，故D正确.
故选：D.
2．（2021春·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）若 是 常数，
则 ，当且仅当 ＝ 时取等号．类比以上结论，可以得到函数
的最小值为（ ）
A．5 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【详解】由题意可得f(x)＝ ＝ ≥ ＝25，
当且仅当 ＝ ，即x＝ 时取等号，故最小值为25.故选：D
3．（多选）（2022秋·山东菏泽·高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究
代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通
过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示， 为线段 上的点，且 ， 为
的中点，以 为直径作半圆.过点 作 的垂线交半圆于 ，连接 ，过点 作 的垂
线，垂足为 ，则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由题意可知 ，
由 可知 ，即 ，
所以 ；在 中， ，即
当 时， 点重合， ，此时 ，所以 正确；
在 中， 可得 即 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，
当 时， ,此时 ，所以 正确；由于 在该图中没有相应的线段与之对应，故 中的不等式无法通过这种几何方法来证明，
故选：
③特殊与一般
1．（2022秋·江苏宿迁·高一校考阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
【答案】B
【详解】A项，若 ，取 ，可得 ，故A不正确；
B项, 若 ，可得： ，故 ，故B正确；
C项，举反例，当 时， ，故C不正确；
C项，举反例，虽然 ，但是 ，故D不正确；
故选：B.
2．（多选）（2021秋·海南海口·高一琼山中学校考阶段练习）已知 ， ，则下列说法正确的有
（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．
【答案】CD
【详解】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于C，利用基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
对于D，
，即 ，故D正确；
故选：CD
