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解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练
考点目录
周长问题
周长最值问题
面积问题
面积最值问题
考点一 周长问题
例1．（25-26 高三上·河南信阳·月考）已知
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
．
(1)求
；
(2)若
内心为
，求
的周长范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
整理可得
，
由正弦定理可得
，
由余弦定理可得
，
因为
，故
.
（2）方法一：因为
的内心为
，所以
和
分别平分
和
，
可得
，则
，
设
，
，在
中，由余弦定理得
，
即
，即
，整理得
，
因为
且
，由基本不等式可得
，
可得
，即
，
考点二 周长最值问题
当且仅当
时，即
时等号成立，
又因为
，所以
，故
，
综上所述，
的周长的取值范围为
；
方法二：因为
的内心为
，所以
和
分别平分
和
，
可得
，则
，
设
，则有
，则
，
，
由
，可得
，
在
中，
，由正弦定理得
，
则
，
，
可得
，
根据
，
，所以
，
可得
，所以
，
所以
的周长范围为
．
例2．（25-26 高三上·重庆·月考）已知
的外接圆半径为 1，
为其外心，角
的对边分别为
、
(1)若
，求 ；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
周长的最大值.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）由正弦定理有
，
所以有
，由余弦定理
得，
，解得
.
（2）
，
则有
，
两边同乘
则化简有：
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
，
则有：
，
则有
，其中
．
其中仅当
时取等，所以周长的最大值为
．
例3．（25-26 高三上·上海·月考）已知函数
在
上单调.
(1)求
的单调区间；
(2)若
的内角
，
，
的对边分别是
，
，，且
，
，求
周长的最大值.
【答案】(1)单调递增区间是
，单调递减区间为
；
(2)9
【详解】（1）因为
，
因为
在
上单调，且
，即
，
所以
，解得
，
又因为
，所以
，所以
；
令
，解得
；
令
，解得
；
所以
的单调递增区间是
，单调递减区间为
；
（2）因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，则
，
由余弦定理可得
，
即
，即
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
且
，解得
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即
周长的最大值为9．
变式1．（25-26 高一上·四川成都·月考）记
的内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）因为
所以
所以
由正弦定理得：
所以
又因为
，
又因为
所以
，所以
又因为
，所以
,即
（2）由正弦定理得
,
所以
，
所以
又
，
得
因为
为锐角三角形，即
所以
，
，
即
，
，
则
，所以
的周长的最大值为9
变式2．（2026·四川攀枝花·一模）在
中，内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且满足
．
(1)求角B；
(2)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以由余弦定理得
，
即
，即
，
又
，则
.
（2）由（1）知
，又
，
由正弦定理可得
，
则
，
由
，得到
，
，
则
，可得
，
故
周长的取值范围为
．
变式3．（25-26 高三上·湖北黄冈·月考）在锐角
中，
、
、分别为角
、
、
的对边，且
．
(1)求角
的大小；
(2)求
取值范围；
(3)若
，设角
的大小为
，
的周长为
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在
中，因为
，
由正弦定理可得
，
即
，
可得
，
所以
，
又因为
，所以
，因为
为锐角，所以
．
（2）由（1）得，
，
又
是锐角三角形，所以
，解得
，
所以
，
由
，所以
，所以
，
所以
的取值范围是
；
（3）由题意知：
，
，且
，则
，
根据正弦定理得
，可得
，
，
所以
的周长
，
因为
，所以当
，即
时，
取得最大值1，
此时
，即
周长的最大值为
．
例1．（2025·安徽·二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，且
.
(1)求
；
(2)若点
在线段
上，且满足
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意
，
则由正弦定理得，
，
因为
，所以
，
所以
，
，则
，
解得
；
（2）令
，
，则
.
又
，则四边形
为菱形，
为
的角平分线.
，
，
考点三 面积问题
，即
，
由余弦定理可得：
，
即
，解得
，
所以
.
例2．（2026·陕西西安·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，
(1)证明：
；
(2)设
，
，求
的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理得
，
则
，即
，
所以
.
（2）在
中，
，
，由余弦定理得
，
由（1）知
，即
，则
，
整理得
，因此
，
，
所以
的面积为
.
例3．（25-26 高二上·贵州遵义·月考）在
中，内角
的对边分别为
，已知
为锐角，
为
边
的中点，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，
则
，即
，得
或
，
因为
为锐角，所以
，则
；
（2）因为
为
边的中点，所以
，则
，
因为
，所以
，即
，
得
（负值舍去），
则
的面积为
.
变式1．（25-26 高三上·河北唐山·期中）在
中，角
、
、
的对边分别为
，
，，向量
，
，且
.
(1)求角
的值；
(2)若
，
是
边上的中线，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，所以
，
所以
，由正弦定理得
，即
，
且
，则
，可得
，
因为
，所以
，
（2）由题意得
，则
，
即有
，且
，解得：
，所以
，
故
的面积为
.
变式2．（25-26 高二上·广东·期中）已知
的内角
的对边分别为
，
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
；
（2）因为
，所以
，
又
，即
，
所以
，即
，解得
，或
（舍），
所以
.
变式3．（25-26 高三上·湖北黄冈·月考）已知
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，其中
，
.
(1)求角
；
(2)若点
在边
上，且满足
，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知
，且满足
由此可得：
，代入
，
，
由正弦定理得：
，
在三角形中，易知
，所以
，
，所以
．
（2）由于
，
，
所以
，所以
，
得：
，即
，
由余弦定理：
，化简得：
，
联立两式可得：
，解得：
，
，
所以
．
例1．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）已知
分别是
三个内角
的对边，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
分别为
的边
上的点，且
，求
面积的最大值和此时
的
周长．
【答案】(1)
(2)
，
【详解】（1）
中有
，
由正弦定理得，
，
又将
代入得，
，
展开得，
，
整理得，
，
由
，
所以
，得
，即
，
由
知
，所以
，
故
．
（2）
，
，
考点四 面积最值问题
解法一：由（1）知
，
，
故
，
当且仅当
时取等号，即
面积的最大值为
．
此时
，
由余弦定理得
，
的周长为
.
解法二：由（1）知
，
，
，
当且仅当
时取等号．
此时
，
由余弦定理得
，
的周长为
.
例2．（25-26 高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，且满足
，
.
(1)求证：
；
(2)求
的取值范围；
(3)若
，求三角形
面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【详解】（1）由
及正弦定理可得
，即
，
因为
，则
，所以
，即
，
由余弦定理可得
，所以
，
所以
，由正弦定理可得
，
因为
为锐角三角形，故
，
，所以
，
又函数
在
上单调递增，且
，故
，即
.
（2）
，
因为
为锐角三角形，故
，解得
，
又因为
，可得
，故角
的取值范围是
，
所以
，故
，
令
，
，
任取
、
且
，
则
，
因为
，所以
，则
，所以
，
所以函数
在
上为增函数，故
，
故
的取值范围是
.
（3）由正弦定理可得
，所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，
令
，函数
、
在
上均为减函数，
故函数
在
上为减函数，所以
，即
，
因此
，即
面积的取值范围是
.
例3．（24-25 高一下·江西南昌·期末）已知
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求角B；
(2)若
，求
面积S 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
，
整理得
，又
均为三角形内角，
所以
．
（2）由余弦定理得，
，
整理得，
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，即
面积S 的最大值
.
变式1．（24-25 高一下·黑龙江大庆·月考）设锐角
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
外接圆圆
心为O，且
，
．
(1)求
的取值范围；
(2)求
和
面积之差的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
可化为
，
由余弦定理知，
，
又
,所以
，
由
,
因为
为锐角
外接圆圆心，
所以
由余弦定理得，
，
所以
，
由正弦定理得，
，
则
，
由
,解得
，
所以
，
则
，
所以
.
（2）设
的外接圆半径为
，
则
,
且
,即
,
因为
,
所以
,
,
所以
,
所以当
即
时，
和
面积之差的最大值
变式2．（25-26 高三上·湖南益阳·月考）在
中，
．
(1)求角
；
(2)D 为边BC 的中点，
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，
，
则
，由于
，则
，
则
，所以
；
（2）因为D 为边BC 的中点，所以
，
则
，
即
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
所以
面积的最大值为
.
变式3．（25-26 高三上·四川德阳·月考）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
中，
，即
，
而
，故
，
故
，又
，
则
；
（2）由（1）以及题设可得
；
由正弦定理得
，
因为
为锐角三角形，
，
，
则
，
则
，则
，
即
，则
，
即
面积的取值范围为
.
