2011-2020年高考数学真题分专题训练专题14解三角形（学生版）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题 14
解 三 角 形
十年大数据*全景展示
题
号
年 份
考 点
考 查 内 容
利用正弦定理、余弦定理解平面
课标
理 16
正弦定理、三角公式、三角函数最值问题
正余弦定理及三角形面积公式
图形
2011
2012
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
课标 
文 15
课标 
理 17
课标 
文 17
卷 1 
理 17
卷 1 
文 10
已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
解三角形 
算求解能力
已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
解三角形 
算求解能力
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差
图形
公式解平面图形
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
二倍角公式、利用正余弦定理解三角形
2013
正弦定理、余弦定理、两角和与差三角公式、三
角形面积公式、基本不等式等知识，函数与方程
思想
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
卷 2 
理 17
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积
图形 
公式
已知边角关系利用正余弦定理 正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形面积
卷 2
文 4
卷 1 
理 16
解三角形
公式等基础知识
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
卷 2
理 4
三角形的面积公式、余弦定理
2014
正余弦定理在实际测量问题中 利用正余弦定理解决高度测量问题，空间想象能
卷 1 
文 16
卷 2 
文 17
卷 1 
理 16
的应用
力
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
余弦定理及三角形面积公式，运算求解能力
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理与余弦定理解平面四边形，数形结
图形 
合思想
卷 2 
理 17 利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及
2015
图形
已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
解三角形 
算求解能力
三角形面积问题
卷 1 
文 17
卷 2 
文 17
卷 1 
理 17
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及
图形 
两角和的三角公式
已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角公式、三角形面
解三角形
积公式，运算求解能力
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
卷 1
文 4
余弦定理解三角形
已知边角关系利用正余弦定理 同角三角函数基本关系、两角和公式、利用正弦
卷 2 
理 13
解三角形
定理解三角形
2016
利用正弦定理、余弦定理解平面
卷 3
卷 3
理 8
文 9
利用余弦定理解三角形
图形
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理解三角形
利用正弦定理、余弦定理解平面 同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和正弦
图形 
公式、利用正弦定理解三角形
卷 2 
文 15
卷 1 
理 17
卷 2 
理 17
卷 3 
理 17
卷 1 
文 11
卷 2 
文 16
卷 3 
文 15
卷 1 
理 17
已知边角关 系利用正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定
解三角形 
理解三角形、求三角形面积，运算求解能力
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形 
解三角形、求三角形面积，运算求解能力
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角形的边角关系利 用正弦定理、余弦定
解三角形 
理解三角形、求三角形面积，运算求解能力
2017
利用正弦定理、余弦定理解平面 三角恒等变换、利用正余弦定理解三角形，转化
图形
与化归思想与运势求解能力
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
正弦定理、三角恒等变换与已知三角函数值求角
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理解三角形
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理、余弦定理解平面四边形边长及
图形
角，数学应用意识
2018
理 6 
利用正弦定理、余弦定理解平面
文 7 
图形
卷 2
二倍角公式、利用余弦定理求三角形边长
理 9 
已知边角关系利用正余弦定理 余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本
文 11 解三角形 
关系，运算求解能力
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形 
解三角形、求三角形面积，运算求解能力
已知边角关系利用正余弦定理 已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦
解三角形 
定理求角及三角函数值，运算求解能力
卷 3
卷 1 
文 16
卷 1 
理 17
卷 2 
理 15
已知边角关系利用正余弦定理 已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦
解三角形
定理求三角形角及三角形面积，运算求解能力
已知角的三角函数间关系、三角公式、利用正弦
定理、余弦定理求三角形角及三角形面积，运算
求解能力
文理 
已知边 角关系利用正余弦定理
2019 
卷 3
18
解三角形
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
卷 1 
文 11
卷 2 
文 15
利用正余弦定理解三角形
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角函数边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形
求角，转化与化归思想
卷 1 
文 18 解三角形
余弦定理，三角形面积公式，三角函数公式
正弦定理、余弦定理，基本不等式
余弦定理，三角函数公式
理 17 解三角形
卷 2
2020
文 17 解三角形
理 7 
解三角形
卷 3
余弦定理及其推论
文 11 解三角形
余弦定理推论，平方关系、商关系
大数据分析*预测高考
出现频率 2021 年预测
考 点
考点 44 已知边角关系利 20/36
用正余弦定理解三角形
20 21 年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解
三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有
选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在第 17 题位
置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压
轴题．
考点 45 利用正弦定理、 17/36
余弦定理解平面图形
考点 46 正余弦定理在实 1/36
际测量问题中的应用
十年试题分类*探求规律
考点 44 已知边角关系利用正余弦定理解三角形
1．(2019•新课标Ⅰ，文 11)ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asin A bsin B  4csinC 
，
1
b
cos A   ，则  
(
)
4
c
A．6
B．5
C．4
D．3
a2 b2 c2
2．(2018•新课标Ⅲ，理9 文11)ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC 的
面积为
，
4
则C  (
)




A．
B．
C．
D．
2
3
4
6
2
3．(2016•新课标Ⅰ，文 4)ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a  5 ，c  2 ，cos A  
，
3
则b  (
A． 2
)
B． 3
C．2
D．3
1
2
4．(2014 新课标Ⅱ，理 4)钝角三角形 ABC 的面积是 
，AB=1，BC= 2 ，则 AC=( )
A． 5
B． 
5
C． 2
D． 1
5．(2013 新课标Ⅰ，文 10)已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a ，b ，
c ，
23cos2 Acos 2A  0 ，
a =7，c 6 ，则b =
 
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
6．(2014 江西)在ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为a,b,c, ，若3a  2b ，
则
2 sin2 B sin2 A 的值为(
)
sin2 A
1
9
1
3
7
2
A．
B．
C．1
D．
7．(2017 山东)在ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC 为锐角三角形，且满
足
sin B(12cosC)  2 sin AcosC cos AsinC ，则下列等式成立的是
A．a 2b
B．b 2a
C． A  2B
D． B  2A
 
8．(2014 重庆)已知ABC 的内角 A ， B ，C 满足sin 2A sin(A B C) =sin(C  A 
B)

1
 ，面积 S 满足1≤S ≤2 ，记a ，b ，c 分别为 A ， B ，C 所对的边，则下列不等式一定成
立的
2
是
A．bc(b c) 8 
B．ab(a b) 16 2 
C．6  abc12 
D．12 abc  24
9．(2014 江西)在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边长，
若

c2  (a b)2 6 ， C  
，则ABC 的面积是(
)
3
9 3
2
3 3
2
A．3
B．
C．
D．3 3
10．(2013 辽宁)在ABC，内角
所对的边长分别为a,b,c ．若asinBcosC 
 
A, B,C
1
csin Bcos A  b ，且a b ，则B =
 
2
A．
B．
C．2
D．5
6
3
3
6
11．(2013 陕西)设△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 bcosC ccosB  asin A ， 
则
△ABC 的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
12．(2011 辽宁)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin AcosB bcos A
2
b
 2a ，则 
a
A．2 3
B．2 2
C． 3
D． 2

13．(2019•新课标Ⅱ，理 15)ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b  6 ，a  2c ，B 

，
3
则ABC 的面积为
14．(2018•新课标Ⅰ，文 16)ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bsinC  csin B  4a sin 
B sinC ，
c a  8 ，则ABC 的面积为
．
b2
2
2
．
15．(2017 新课标卷 2，文 16)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosB=acosC+ccosA，
则
B=
4
5
16．(2016•新课标Ⅱ，理 13)ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A  ，cosC 

，
5
13
a 1，则b 
．
17 ． (2014 新 课 标 Ⅰ ， 理 16) 已 知 a,b,c 分 别 为 ABC 的 三 个 内 角 A, B,C 的 对 边 ， 
a =2 ， 且
(2b)(sin Asin B)  (c b)sinC ，则ABC 面积的最大值为
．
18．(2014 广东)在ABC中，角
．已知bcosC 
 
A, B,C 所对应的边分别为a,b,c
a
ccosB  2b ，则

．
b
19．(2013 安徽)设ABC的内角A, B,C 所对边的长分别为a,b,c ．若bc  2a
，则
3sin A  5sin B, 则角C
_____．
20．(2012 安徽)设ABC 的内角 A, B,C 所对的边为a,b,c ；则下列命题正确的是．


①若ab  c2 ；则C 
②若a b  2c ；则C 
3
3


③若a 3 b3  c3 ；则C 
④若(a b)c  2ab ；则C 
2
2

⑤若(a 2 b2)c2  2a b2 ；则C 
2
3
1
21．(2012 北京)在ABC 中，若a  2,b c 7,cosB   ，则b 
=
．
4
22．(2020 全国Ⅰ文 18) ABC 的内角

A , B , C 的对边分别为a , b , c．已知B 150．
(1)若a3c , b 2 7 ，求

ABC 的面积；
2
(2)若 sinA+ 3 sinC=
，求C ．
2

 2

5
23．(2020 全国Ⅱ文 17)△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为a , b , c ，已知cos2 
 A  cos A  
．

4
(1)求 A ；
3
(2)若b c 
a ，证明：△ ABC 是直角三角形．
3
24．(2020 全国Ⅱ理 17)△ABC 中，sin
(1)求 A ；
2 A sin2 B sin C sin BsinC ．
2
(2)若 BC  3，求△ABC 周长的最大值．
25．(2020 江苏 16)在ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 3，c  2 ，B  
45．
(1)求sinC 的值；
4
(2)在边 BC 上取一点 D ，使得cosADC   ，求 tanDAC 的值．
5
26．(2020 天津 16)在ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知a  2 2,b 5,c  13
．
(Ⅰ)求角C 的大小；
(Ⅱ)求sin A 的值；


 

4 
sin 2A
(Ⅲ)求

 的值．
27．(2020 浙江18)
在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 2bsin A  
3a ．
(I)求角B；
(II)求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
28．(2020 山东 17)
在①ac  3 ，②csin A 3 ，③c  3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问 题 ： 是 否 存 在 △ABC ， 它 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c ， 且 sin A  
3sinB ，
π
C  
，
？
6
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
29 ． (2019 • 新 课 标 Ⅰ ， 理 17) ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c 
． 设
(sinB sinC)
(1)求 A ；
2 sin AsinBsin C ．
2
(2)若 2a b  2c ，求sinC ．
A C
 
30．(2019•新课标Ⅲ，理(文)18)ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知asin
 bsin A ．
2
(1)求 B ；
(2)若ABC 为锐角三角形，且c 1，求ABC 面积的取值范围．
a2
a
c
31．(2017 新课标卷 1，理 17)△ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 ，b ， ，已知△ABC 的面
积为
．
3sin A
(1)求sinBsinC ；
(2)若6cosBcosC 1，a  3 ，求△ABC 的周长．
B
32．(2017 新课标卷 2，理 17)ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为a,b,c ，已知sin(A C)  2 
sin
2
，
2
(1)求cosB ；
(2)若a c  6 ，ABC 的面积为2 ，求b ．
33．(2017 新课标卷3，理17)ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin A  3 cos A  0 ，a  2 
7 ，
b  2 ．
(1)求c；
(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD  AC ，求 △ABD 的面
积．
34 ． (2016 新 课 标 卷 1 ， 理 17) ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 别 为 a ， b ， c 
， 已 知
2cosC(acosB+bcos A)  c.
(I)求 C；
3 3
(II)若c  7,ABC 的面积为
，求ABC 的周长．
2
35．(2015 新课标Ⅰ，文 17)已知a,b,c 分别是ABC 内角 A, B,C 的对边，sin
(I)若a b ，求cosB;
2 B  2 sin AsinC ．
(II)若 B  90 ，且a  2, 
求ABC 的面积．
36．(2013 新课标Ⅱ，理 17)△ABC 内角 A，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =bcosC csinB．
(Ⅰ)求 B；
(Ⅱ)若b =2，求△ABC 面积的最大值．
37 ． (2012 新 课 标 ， 理 17) 已 知 a ， b ， c 分 别 为 ABC 三 个 内 角 A ， B ， C 的 
对 边 ，
acosC  3asinC b c  0 ．
(Ⅰ)求 A ；
(Ⅱ)若a =2，ABC 的面积为 3 ，求b ，c ．
38．(2012 新课标，文 17)已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边，c  3asinC csin A 
．
(Ⅰ)求 A ；
(Ⅱ)若a =2，ABC 的面积为 3 ，求b ，c ．
39．(2014 陕西)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c ．
(I)若a，b，c 成等差数列，证明：sin AsinC  
2sinAC；
(II)若a，b，c 成等比数列，求cosB 的最小值．
40．(2019 江苏 15)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．
2
(1)若 a=3c，b= 2 ，cosB= 
，求 c 的值；
3
sin A cosB

(2)若

，求sin(B  ) 的值．
a
2b
2
41．(2019 天津理15)在△ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知bc  2a ，3csinB  
4asinC ．
(Ⅰ)求cosB 的值；

 
(Ⅱ)求sin2B  的值．
6 


42．(2018 天津)在△ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知bsin A  acos(B  
) ．
6
(1)求角 B 的大小；
(2)设a  2 ，c 3，求b 和sin(2AB)的值．
43．(2016 年山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
tan A tanB
2(tan AtanB) 

.
cosB cos A
(Ⅰ)证明：a b  2c ；
(Ⅱ)求cosC 的最小值．
cos A cosB 
sinC


44．(2016 年四川)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且
．
a
b
c
(I)证明：sin AsinB sinC ；
6
(II)若b 2 c2 a2  bc，求 tanB ．
5
45．(2015 湖南)设ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ，a btan A，且 B 为钝
角．

(1)证明： B  A 
；
2
(2)求sin AsinC 的取值范围．
46．(2012 安徽)设△ ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为a,b,c ，且有2sinBcos A 
 
sin AcosC cos AsinC ．
(Ⅰ)求角 A 的大小；
(Ⅱ) 若b  2 ，c 1， D 为 BC 的中点，求 AD 的
长．
47．(2011 山东)在△ ABC 中，a ，b ，c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边长．已
知
cos A2cosC 
2c a

．
cosB
b
sinC
(I)求
的值；
sin A
1
4
(II)若cosB ，b  2 ，ABC
S
的面积 ．
48．(2011 安徽)在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边长，a= 3 
，
b= 2 ，12 cos(B C)  0 ，求边 BC 上的高．
考点 45 利用正弦定理、余弦定理解平面图形
2
1．(2020 全国Ⅲ文 11)在ABC 中，cosC  , AC  4 , BC 3，则 tanB 

(
(
)
)
3
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
2
2．(2020 全国Ⅲ理 7)在△ABC 中，cosC  , AC  4 , BC  3，则cosB 
3
1
9
1
3
1
2
2
3
A．
B．
C．
D．
3．(2020 北京 10)2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日(π Day)．历史上，求圆周率π 的方法有多
种，
与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆
的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作
为2 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， π 的近似值的表达方式是
(
)
π


30
30
n 


30
30
n 
A．3nsin
 tan
B．6nsin
 tan


n
n


60
60
n 


60
60
n 
C．3nsin
 tan
D．6nsin
 tan


n
n
4．(2018•新课标Ⅱ，理 6 文 7)在ABC 中，cosC
5 ， BC 1， AC  5 ，则 AB  (
)
2
5
A．4 2
B． 30
C． 29
D．2 5
5．(2017 新课标 1，文 11)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知sin B sin A(sinC cosC) 
 0
a=2，c= 2 ，则 C=
，
π
π
6
π
4
π
3
A．
B．
C．
D．
12
π
1
6．(2016 新课标卷 3，理 8)在△ABC 中， B = ，BC 边上的高等于 BC ，则cosA= ( 
)
4
3
3 10
10
10
10
3 10
10
(A)
(B)
(C)-
(D)-
10
10
π
1
7．(2016 新课标卷 3，文 9)在△ABC 中， B = ，BC 边上的高等于 BC ，则sin 
A=
4
3
3
10
5
3 10
(A)
(B)
(C)
(D)
10
10
5
10


8．(2013 新课标Ⅱ，文 4)ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b  2 ，B  
，C  
，则
ABC
6
4
的面积为(
)
(A)2 3  2
(B) 3 1
(C)2 3 2 
(D) 3 1
9．(2016 年天津)在 ABC 中，若 AB= 13 ，

BC=3，C 120，则 AC=
A．1 
B．2 
C．3
D．4

10．(2013 天津)在△ABC 中，ABC , AB2,BC  3,则sinBAC
=
4
10
10
5
3 10
10
5
A．
B．
C．
D．
10
5
11．(2012 广东)在 ABC 中，若

A  60,B  45, BC  3 2
AC 
，则


A．4 3
B．2 3
C． 
D．
12．(2011 天津)如图，在△ ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB  AD,2AB  3BD ，BC  2BD，则
sinC
的值为( )
3
3
6
6
A．
B．
C．
D．
3
6
3
6
13．(2017 新课标卷 3，文 15)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C=60°，b= 6 ，
c=3，
则 A=_________．
4
5
14．(2016 全国新课标卷 2，文 15)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若cos A  
，
cosC 
，
5
13
a=1，则 b=____________．
15．(2015 新课标Ⅰ，理 16)在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围
是(
)
16．(2011 全国课标，理 16)在ABC 中，B  600 ， AC  3 ，则 AB2BC 的最大值为
B 1200 ，AC=7，AB=5，则ABC 的面积为
．
17．(2011 全国课标，文 15)ABC 中，
．
18．(2019 浙江 14)在△ABC 中，ABC 90，AB  4 ，BC 3，点 D 在线段 AC 上，若BDC  
45，
则 BD  ____，cosABD ________．
19．(2018 江苏)在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，ABC 120，ABC 的平分线交 AC 于
点
D，且 BD 1，则4a  c 的最小值为
．
ABC
C
a b 
c
b  2 ， A  60
，

20．(2018 浙江)在
中，角 A ， B ， 
所对的边分别为 ， ， ．若a  7 
，
则sinB
=___________， =___________．
c
21．(2017 浙江)已知ABC， AB  AC  4 ，BC  2． 点 D 为 AB 延长线上一点， BD  2，连结
CD，
则BDC 的面积是___________，cosBDC =__________．
22．(2015 广东)设ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a  
3 ，
1

sin  
，C  
，则b 
．
2
6
23．(2015 福建)若锐角ABC 的面积为10 3 ，且 AB 5， AC 8，则 BC 等
于
sin 2A
．
24．(2015 北京)在△ABC 中，a  4，b 5，c 6，则

．
sinC
25．(2015 天津)在ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知ABC 的面积为
1
3 15 ，bc  2，cos A   ，则a 的值为
．
4
2 2
3
26．(2013 福建)如图ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD 
AC，sin BAC 


，
AB 3 2 ， AD 3，则 BD 的长为_______________．
27．(2018•新课标Ⅰ，理 17)在平面四边形 ABCD 中，ADC  90，A  45 ， AB  2 ， BD  5 
．
(1)求cosADB；
(2)若 DC  2 2 ，求 BC ．
28．(2015•新课标Ⅱ，理 17) ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC ， ABD 面积是 ADC 面
积的 2
倍．
sin B
(1)求
；
sinC
2
(2)若 AD 1， DC 
，求 BD 和 AC 的长．
2
29．(2015 新课标Ⅱ，文 17)△ABC 中 D 是 BC 上的点，AD 平分 BAC，
BD=2DC．
sinB
(I)求
；
sinC
(II)若BAC  60 
，求B
．

30．(2014 新课标Ⅱ，文 17)四边形 ABCD 的内角 A 与C 互补， AB 1,BC  3,CD  DA  2 
．
(Ⅰ)求C 和 BD ；
(Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积．．
31．(2013 新课标Ⅰ，理17)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC
＝90°
1
(1)若 PB= ，求 PA；
2
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA
32．(2019 北京 15)在△ABC 中， a  3，b c  2 ，cosB  1
．
2
(Ⅰ)求 b，c 的值；
(Ⅱ)求sin(B C)
的值．
1
33．(2018 北京)在ABC 中，a 7 ，b 8 ，cosB   ．
7
(1)求A ；
(2)求 AC 边上的高．
3
5
34．(2017 天津)在△ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知a b ，a 5 ，c 6 ，sin B 

．
(Ⅰ)求b 和sin A 的值；
π
(Ⅱ)求sin(2A )的值．
4
3


c  a
．
35．(2017 北京)在 ABC 中， A =60°，
7
(Ⅰ)求sinC 的值；
(Ⅱ)若a 7 ，求

ABC 的面积．
36．(2014 山东)ABC 中，a ，b ，c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边长．已知
6

a  3, cos A 
, B  A
．
3
2
(Ｉ)求b 的值；
(II)求ABC 的面积．
37．(2014 安徽)设ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是a,b,c ，且b 3，c 1， A  
2B ．
a
(Ⅰ)求 的值；

sin(A )
(Ⅱ)求
的值．
4
考点 46 正余弦定理在实际测量问题中的应用
1．(2020 山东 15)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界
面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心 ， A 是圆弧
AB 与直线 AG 的切点， B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点， 四边
形
3
DEFG 为矩形，BC  DG，垂足为C ，tanODC  ，BH∥DG ，
5
EF=12cm，DE=2cm ，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积
为
cm ．
2
2．(2014 四川)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ，C 的俯角分别为75 ，30
是60cm，则河流的宽度 BC 等于
，此时气球的高
A．240( 3 1)m
B．180( 2 1)m
C．120( 3 1)m D．30( 3 1)m
3．(2014 新课标 I，文 16)如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从 A 点
测得
M 点的仰角 MAN 60，C 点的仰角CAB  45以及MAC 75；从C 点测得MCA60．已

知山高 BC 100m ，则山高 MN ________m ．
4．(2015 湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北
30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶 在西偏北75 的方向上，仰角为30
CD  
m．


，则此山的高度
5．(2019 江苏 18)如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB(AB 
是
圆 O 的直径)．规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA．规划要求：线段 PB、
QA
上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆．O 的半径．已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 
BD(C、D 为垂
足)，测得 AB=10，AC=6，BD=12(单位：百米)．
(1)若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；
(2)在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；
(3)在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d(单位：百米)．求当 d 最小时，P、Q 两点间的距
离．