第03讲 平面向量的数量积
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 就是向量a与b的夹角，
向量夹角的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
a·b=|a||b|·cos θ （θ为a与b的夹角）
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的
垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b
1 1
上的投影向量．
记为 .
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 符号表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 xx＋yy＝0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |xx＋yy|≤
1 2 1 2
一．平面向量数量积的简单应用命题点1 平面向量的模
例1．（1）已知向量 ， 满足 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．7
【答案】A
【分析】依据向量模的运算公式及向量的数量积的运算法则去计算即可解决.
【详解】由
得 ，解之得
则
故选：A
（2）已知向量 的夹角为60°，且 ， ，则向量 在 方向上的投影向量的模等于（
）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由已知及向量数量积的运算律可得 ，求出向量 的模，再由向量 在 方向上的投
影向量的模 ，即可得结果.
【详解】由题设， ，而 ，
所以 ，可得 或 (舍)，
综上，向量 在 方向上的投影向量的模为 .
故选：B
（3）若平面向量 ， ， 两两夹角相等且不共线，若 ， ， ，则 的值为（）
A． B． C．2 D．6
【答案】B
【分析】根据向量的模的计算方法即可求解.
【详解】解： 平面向量 ， ， 两两夹角相等且不共线，
故平面向量 ， ， 两两夹角都为 ，
即 ，
，
.
故选：B.
（4）已知 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用 ，将 的模与 联系起来，即可得到 的范围.
【详解】 ，
，
，即 .
故答案为：
（5）已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，则 的最大值为______．
【答案】
【分析】由 ，可求得 ，再求解 ，结合向量模
长的三角不等式 ，即得解.
【详解】由题意， ，又 ，
故 ，
故 ，
由向量模长的三角不等式， ，
即 ，
解得： ，则 的最大值为 .
故答案为：
【复习指导】：(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方.
(2)求向量的夹角，主要是利用公式 cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|
a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
（6）已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求a－2b及其模的大小.
【详解】∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
∴|a－2b|＝＝.
【复习指导】：求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
命题点2 平面向量的夹角
例2．（1）若 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】先求得 的值，根据数量积的运算法则求得 以及 的模，再根据向量的夹角公式，即可
求得答案.
【详解】由题意可得 ，
故 ，
，
，
故 ，
由于 ，故 ，
故选：C
【复习指导】：解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断
θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：
一是θ是锐角，二是θ为0°.
（2）已知 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知求得 ，平方可得 ，继而求出 ，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由 可得 ，
则 ，即得 ，故 ，
则 ，
故 ，
由于 ，故 ，
故选：B.
（3）已知向量 是单位向量，向量 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出 ， ，再利用数量积的公式和运算化简已知等式即得解.
【详解】由题意可知 ， ，
， ，
故 ，
因为 ，即 和 的夹角为 .
故选：C
（4）已知 ，作 ，则 ____________．
【答案】【分析】先求出 的数量积和模长,再由向量夹角余弦公式计算可得.
【详解】设
因为 ,可得
所以
由
可得 .
故答案为： .
（5）平面内有两个向量 ， ，将 绕起点顺时针旋转 得到向量 ，且 ，则 与 的夹角为
______.
【答案】 或
【分析】设 ， ，计算 得到 ，得到夹角.
【详解】设 ， ，如图所示：
，即 ，是等边三角形， 是 中点， ，故 ，
则 与 的夹角为 或 .
故答案为： 或 .
（6）已知向量 ， 满足 ， ，则 ______.
【答案】
【分析】根据 可得出 ，进而得到 ，再利用同角三角函数的基本关系即
可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
【复习指导】：求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
②坐标法：若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则cos θ＝.
1 1 2 2
③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
命题点3 平面向量的垂直
例3．（1）已知a，b是异面直线， ， 分别为取自直线a，b上的单位向量，且 ，
， ⊥ ，则实数k的值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
【答案】B【分析】 ， 分别为取自直线a，b上的单位向量，且 ⊥ ，则 ＝ ＝1， 0，运用向量垂
直的条件：数量积为0，化简整理解关于k的方程，即可得到.
【详解】 ， 分别为取自直线a，b上的单位向量，且 ⊥ ，
则 ＝ ＝1， 0，
0，
即为 ，
解得 .
故选：B.
（2） 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】利用平面向量数量积的性质推导出 ，进一步可得出 ， ，即可得出结论.
【详解】因为 ，则 ，所以， ，
同理可得 ， ，故 是 的垂心.
故选：D.
（3）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，若 ，则 ______.
【答案】
【分析】根据已知可得 ，代入即可求得 的值.
【详解】由已知可得， ， ， ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 .
故答案为： .
（4）已知向量 与 的夹角为 ，记 且 ，则 _____．【答案】
【分析】由垂直可得 ，求出 ，进而 ，利用向量模长公式求得 ，再利用数
量积定义求得夹角即可.
【详解】 且 ， ，即
又向量 与 的夹角为 ， ，解得 ，
， ，
又 ，所以
故答案为：
（5）设向量 满足 ，若 ，则 的值是________．
【答案】4
【分析】由 ，由向量运算及向量数量积垂直的表示可得
， ，即可求值
【详解】由 ，则 ，∴ ，
由 ，∴ .
∴
故答案为：4
【复习指导】：解决有关垂直问题时，设非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)a⊥b⇔xx＋yy＝0.
1 2 1 2
二．平面向量数量积的综合运算
例4．（1）如图，在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用 、 表示向量 ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得 的值.
【详解】 ，
，则 ，
所以， .
故选：D.
【复习指导】：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，
要通过平移使两向量符合以上条件.
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
（2）已知菱形 的边长为2， ， 是菱形 内一点， 若 ，则
（ ）A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】易得 为等边三角形，设点 为 的中点，根据 ，可得点 为 的重
心，从而可求得 的长度，再根据数量积的定义即可得解.
【详解】解：在菱形 ， ，则 为等边三角形，
因为 ，
所以 ，
设点 为 的中点，
则 ，所以 ，
所以 三点共线，所以 为 的中线，
同理可得点 的中线过点 ，
所以点 为 的重心，
故 ，
在等边 中， 为 的中点，则 ，
所以 .
故选：D.
（3）已知梯形ABCD 中， ， ， ， ， ，点P，Q在线段BC上移动，
且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D【分析】如图以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设 ，则
，然后表示出 ，求其最小值即可，
【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
因为 ， ， ， ，
所以 ，不妨设 ， ，
则 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
故选：D
（4）如图，菱形 的边 上有一点 ，边 上有一点 （ ， 不与顶点重合）且 ，
若 是边长为 的等边三角形，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】过 作 于 ， 于 ，则 ，计算得到 ， ，确定
， ，设 ，根据函数的单调性得到答案.
【详解】如图所示：过 作 于 ， 于 ，则 ，
是等边三角形， ，则 ，故 ，
则 ， ，设 ， ， ，
根据余弦定理： ，
，设 ，则 ， ， ，
故 ，即 ，
，函数 在 上单调递减，
故 ，即 ，即 ，解得 .
故选：C
（5）如图，在 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点， 为 与 的交点，且
.若 ，则 ___________；若 ， ， ，则
___________.【答案】
【分析】利用平面向量基本定理求解出 及 ，进而利用平面向量的数量积运
算法则进行计算.
【详解】连接DF，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 是 ABC的中位线，所以 ，则
△
，所以 ，所以 ；
，故
故答案为： ，（6）在 中， 为中线 上的一个动点，若 ，则 的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据平面向量运算法则得到 ，利用数量积公式得到 ，
设 ，从而得到 ，结合 求出取值范围.
【详解】因为 是 的中线，所以 ，
故 ，
因为 ，设 ，则 ，
所以 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，
当 或3时， .
故答案为： .
【复习指导】：向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法．
把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向
量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法．适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量
为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用．
三．平面向量的实际应用
命题点1 平面几何中的向量方法
例5．（1）P是 所在平面内一点，满足 ，则 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出 ，由此可判断出 的形状.
【详解】由 ，可得 ，即 ，
等式 两边平方，化简得 ， ，
因此， 是直角三角形.
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．
（2）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足： ＝
，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【分析】取线段BC的中点E，则 ．动点P满足： ， ，则
．即可判断出结论．
【详解】取线段BC的中点E，则 ．
动点P满足： ， ，则
则 .
则直线AP一定通过△ABC的重心．
故选：C．
（3）已知点 是锐角 的外心， ， ， ，若 ，则 （
）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】由题干条件及几何关系，可得 ， ，继而构造等式
， 即得解
【详解】
如图所示，过点 分别作 ， ，垂足分别为 ， ；则 ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，
；又 ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，化为 ①， ②，联立①②解得 ， ；
∴ ．
故选：B
（4）如图所示，设P为 所在平面内的一点，并且 ，则 与 的面积之比
等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】由 与 为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角形面积之比，连接 并延长后，
易得到 与 长度的关系，进行得到 的面积与 面积之比．
【详解】
连接CP并延长交AB于D，
∵P、C. D三点共线,∴ ，且 ，
设 ，结合 ，得 ，
由平面向量基本定理，解之得 ， 且 ，
∴ ，
可得 ，
∵ 与 有相同的底边AB，高的比等于 与 之比，∴ 的面积与 面积之比为 .
故选：C.
【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中
档题.
（5）已知圆 是 的外接圆，半径为1，且 ，则 ___________.
【答案】
【分析】将 变形为 ，平方化简可得 ，故
，结合数量积公式求解即可
【详解】将 变形为 ，再两边平方，得 ，
所以
.
故答案为： .
（6）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【详解】证明 方法一 设AD＝a，AB＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又DE＝DA＋AE＝－a＋，
AF＝AB＋BF＝b＋，
所以AF·DE＝·＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.
故AF⊥DE，即AF⊥DE.
方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则AF＝(2,1)，DE＝(1，－2).
因为AF·DE＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以AF⊥DE，即AF⊥DE.
【复习指导】：用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤
(1)利用线性运算证明的四个步骤：
①选取基底.
②用基底表示相关向量.
③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.
④把几何问题向量化.
(2)利用坐标运算证明的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系.
②把相关向量坐标化.
③用向量的坐标运算找出相应关系.
④把几何问题向量化.
命题点2 向量在物理中的应用
例6．（1）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 米，一艘船从河岸的 地出发，向河对岸航行．
已知船的速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 ，船的速度与水流速度的合速度为
，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直 B．C． D．该船到达对岸所需时间为 分钟
【答案】B
【分析】分析可知 ，当船的航程最短时， ，利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误，
利用路程除以速度可得航行时间，可判断D选项的正误.
【详解】由题意可知， ，当船的航程最短时， ，而船头的方向与 同向，
由 ，可得 ， ，A选项错误，B选
项正确；
，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为 （分钟），D选项错误.
故选：B.
（2）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为 ，两个拉
力分别为 ， ，且 ， 与 夹角为 ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 角越大时，用力越省 D．当 时，
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，则 ，再根据各个选项分析即可得出答案.【详解】解：根据题意可得： ，
则 ，
当 时， ，故A错误；
当 时， ，及 ，故B正确；
，因为 在 上递减，
又因行李包所受的重力为 不变，所以当 角越大时，用力越大，故C错误；
当 时，即 ，解得 ，
又因 ，所以 ，故D错误.
故选：B.
（3）某学生体重为 ，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为 （重力
加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设两只胳膊拉力最大时的夹角为 ，根据力的平衡可得 ，结合向量的数量
积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时，
他两只胳膊的夹角最大为 ，设此时两只胳膊的拉力为 ,则 N,
则 ，即有 ，
所以 ，
即 ，
故 ，故 ，
故选：B
（4）河中水流自西向东每小时10 km，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实
际速度达到每小时10 km，该小船行驶的方向和静水速度分别为( )
A．西偏北30°，速度为20 km/h
B．北偏西30°，速度为20 km/h
C．西偏北30°，速度为20 km/h
D．北偏西30°，速度为20 km/h
【答案】B
【详解】
方向为北偏西30°，选B【复习指导】：用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
1．若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7] B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量 共线时取得最值，即可求得答案.
【详解】由题意知 ，且 ,
当 同向时， 取得最小值， ；
当 反向时， 取得最大值， ；
当 不共线时， 取得最小值， ，
故 的取值范围是 ，
故选：C
2．已知不共线的平面向量 两两所成的角相等，且 ，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．2或3
【答案】D
【分析】先求出 ，转化 ，列方程即可求出.【详解】由不共线的平面向量 ， ， 两两所成的角相等，可设为θ，则 .设| |=m.
因为 ，所以 ，
即 ，
所以
即 ，解得： 或3.
所以| |=2或3
故选：D
3．已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】以 ， 为邻边作平行四边形 ，设 ， 则 ，由题意 ，
设 ，在 中，根据正弦定理结合三角函数的性质即可得解.
【详解】解：以 ， 为邻边作平行四边形 ，设 ， ，
则 ，
由题意 ，设 ，
，
在 中，由正弦定理可得， ，
，
即 的最大值为6.
故选：C．4．已知 则 =（ ）
A．4 B． C．10 D．16
【答案】B
【分析】根据条件，利用模的平方可求出 的值，再将 变形并平方，即可求得答案.
【详解】由 ，
可得 ，
即 ，
所以 ，
故 ，
故选：B
5．已知平面向量 ， ， 两两之间的夹角均相等，且 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意确定向量两两间夹角为 ，利用条件求出 ， 再求 的
平方即可得解.
【详解】因为平面向量 ， ， 两两之间的夹角均相等，且两两之间的数量积为负数，所以两两之间的夹角均为 ，
，
且 ，
则解得 ，
所以 ，故 .
故选：B
6．已知向量 ， 满足 ， ，若 与 共线，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．22
【答案】A
【分析】先根据向量共线求解出 的值，然后根据向量的模长以及数量积采用先平方再开根号的方法求解
出 的大小.
【详解】因为 与 共线，所以 ， .
又 ， ，所以
.
故选：A.
7．已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 （ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先根据诱导公式结合向量模的坐标运算求得 ，再根据向量的夹角公式结合向量数量积的运算律运算求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ， 与 的夹角为 ，
所以 ，解得 .
故选：B．
8．已知向量 与 的夹角是 ，且 ，则向量 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积的定义和运算性质求解即可.
【详解】由向量的平方等于模长的平方可得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
即向量 与 的夹角为 ，
故选：D.
9．已知向量 ， 是单位向量，若 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 的模，将 两边平方，求出向量 ， 的数量积，再根据向量的夹角公
式求得答案.【详解】∵ ， 是单位向量，若 ，
∴ ， ， ,
∴ .
∴ ，∴ ，∴ ,
由
∴ 与 的夹角为 ,
故选:B.
10．如图，在等边 中， ，向量 在向量 上的 投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将向量 用 表示，求得模长及 ，从而利用投影公式求得向量 在向量上的
投影向量即可.
【详解】由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，
则 ，
，，
则向量 在向量上的 投影向量为：
，
故选：D
【点睛】关键点点睛：表示出 ，计算得到 ，利用投影公式求解.
11．若 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件可得 ，再利用向量夹角公式即得.
【详解】由 得 ，
∴ 即 ，
设向量 与 的夹角为 ，则 ，
又 ，
∴ ， .
故选：A.
12．在 中， ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】设 ，利用余弦定理可求得 ，根据向量数量积定义可得 ，利用三角形
三边关系可求得 的范围，结合二次函数性质可求得结果.
【详解】设 ，则 ，
由余弦定理得： ，
；
， ， ，
即 的取值范围为 .
故选：D.
13．在平行四边形 中， ， ，点E是BC的中点， ，则
（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】D
【分析】将 以 为基底表示，再根据数量积的运算公式，求得数量积.
【详解】 ，
，
∴
.
故选：D.14．在 中， ，斜边 上一点 满足 ，则 （ ）
A．24 B．27 C．36 D．81
【答案】B
【分析】先根据向量的减法,把 用 和 表示,在应用 ,根据数量积定义和运算律计算即可.
【详解】因为 ,所以
,可得 ,
所以
又因为 , ,所以
所以
故选: .
15．已知 中， ， ， ， 为 所在平面内一点，且满足
，则 的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量线性运算得到 ，再使用平面向量数量积运算法则进行计算.
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B.16．在△ABC中， AB＝4，AC＝2点E，F分别是AB，AC的中点，则 （ ）
A．－6 B．6 C．－12 D．12
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算化简所求向量表达式，结合向量数量积运算律求其值.
【详解】∵ ，
，
∴
∴ ,
又 ，
∴
故选：B.
17．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族
文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边
形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若 ，
且 ，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【答案】A【分析】利用向量的线性运算，结合数量积 ，可求得 ，确定其取值范围，再
根据 平方后的式子，即可求得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，则 ．
因为点P是圆O内部一点，所以 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值是3,
故选：A.
18．已知向量 ，则“ 与 夹角为锐角”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求 与 夹角为锐角时， 的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.
【详解】当 ，解得： ，
且当 时， ，解得： ，
所以“ 与 夹角为锐角时， 的取值范围是 且 ，
所以“ 与 夹角为锐角”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
19． 的外心 满足 ， ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】从 这个条件可以考虑设 的中点为 ，从而得到 三点共线可求.
【详解】设 的中点为 ，则 可化为
即为 ， 三点共线且 ， 为等腰三角形，
由垂径定理得 ，代入数据得 ,
解之： ， .
故选：B.
20．已知两恒力 ， 作用于同一质点，使之由点 移动到点 ，则力 、
的合力 对质点所做的功为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算求得 ， 的坐标，再由向量的数量积的坐标运算可得选项.
【详解】因为 ， ，所以 ，又 ， ，所以
，
所以力 、 的合力 对质点所做的功为 ，
故选：B.
21．在 中，若 ，则 为（ ）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
【答案】C
【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得 ，从而可得答案．
【详解】解： 在 中， ，
，
为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．
22．已知 的外接圆半径为1，圆心为O，且 ，则 的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
因此 ，
即 ，所以 ，又向量 ，
所以 ，故选 .
23．点 是三角形 所在平面内的一点，满足 ，则点 是 的
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】D
【详解】 ， ，即 ， ，同理可以得到 ，
点 是 的三条高的交点，故选
点睛：在三角形 ,若 是 的垂心（即三边高线的交点），则满足 ，反之成立；若 是 的重心（即三边中线的交点），则满足 ,反之成立．
24．（多选）下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．向量 共线的充要条件是存在实数 ，使得 成立
B．对任意向量 ， 恒成立
C．非零向量 ，满足 ， ，则
D．在 中， 为边 上一点，且 ，则
【答案】CD
【分析】根据共线向量基本定理、三角形三边关系可知AB错误，C正确；利用平面向量线性运算法则可知
D正确.
【详解】对于A，若 ， ，则 共线，但不存在实数 ，使得 ，A错误；
对于B，若 不共线，则 构成三角形，则 ，B错误；
对于C， 为非零向量， 当 时， ；当 时， ，
，则 ，C正确；
对于D， ， ，
，D正确.
故选：CD.
25．（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量 与 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量 ，若 ，则 与 共线且反向D．已知向量 ，若 与 的夹角为锐角，则
【答案】ABD
【分析】根据向量相等判断A；根据向量共线判断BC；根据向量夹角得 ，解不等式可判断
D.
【详解】解：对于A选项，单位向量方向不同，则不相等，故A错误；
对于B选项，向量 与 是共线向量，也可能是 ，故B错误；
对于C选项，两个非零向量 ，若 ，则 与 共线且反向，故C正确；
对于D选项，向量 ，若 与 的夹角为锐角，则 且 与 不共线，故
，解得 且 ，故D错误；
故选：ABD
26．（多选）设 均为单位向量，对任意的实数 有 恒成立，则（ ）
A． 与 的夹角为 B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】BD
【分析】根据已知条件求得 的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.
【详解】对 ：设 的夹角为 ， ，
两边平方可得： ，
即 对任意的 恒成立，故可得： ，即 ，
则 ，又 ，故 ，故 错误；
对 ： ，故 正确；
对 ：
，当且仅当 时取得等号，故 错误；
对 ：
，对 ，当且仅当 时取得最小值 ，
故 的最小值为 ，故 正确.
故选： .
27．（多选）已知点O为 所在平面内一点， ，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线AO必过BC边的中点
C．
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】由 ，化简得到 ，可判定A正确，B错误；延长
使得 ，得出 ，得到 为 的重心，设 的面积
为 ，求得 ， ， ，可判定C正确；由 ，可判定D正确.
【详解】由题意，点O为 所在平面内一点， ，
可得 ，
即 ，即 ，可得 ，
所以A正确，B错误；
如图所示，分别延长 于点 ，使得 ，
因为 ，可得 ，所以 为 的重心，
设 的面积为 ，
可得 ， ，
，
所以 ，可得 ，所以C正确；
若 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
可得 ，即 ，即 ，
则 ，所以D正确.
故选：ACD.【点睛】平面向量的线性运算问题的求解策略：
（1）进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首
尾相接的向量，运用向量的加法、减法运算及数乘运算来求解；
（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形的中位线，相似三
角形对应边的比例关系等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来求解.
28．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若点 是 的重心，则
B．已知 ， ，若 ，则
C．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若 ，则
D．已知正方形 的边长为1，点M满足 ，则
【答案】AD
【分析】由平面向量加法的平行四边形法则重心的性质运算可判断A；由平面向量线性运算的坐标表示、
共线的坐标表示可判断B；由平面向量共线的性质及平面向量基本定理可判断C；由平面向量的线性运算、
数量积的定义及运算律可判断D.
【详解】对于A，点D是边BC的中点，由平面向量加法的平行四边形法则可得在 中，
若 ，故A正确；
对于B，因为 ， ，
所以 ，解得 ，故B错误；对于C，若B，C，M三点共线，则存在实数 ，使得 ，
所以 即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D，在正方形中， ，由 可得 ，
所以
，
故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.关
键要熟练掌握向量的线性运算和数量积运算,准确掌握向量平行的充要条件.
29．设向量 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 ___________．
【答案】
【分析】由已知 ，求出 的值，在利用求向量模的公式计算即可；
【详解】由题意
所以
所以
所以故答案为： .
30．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 ______．
【答案】1或3
【分析】利用向量模的定义及向量共线的含义可以求得 ，进而求得 的值．
【详解】∵ ∴ ，
又∵ ， ，∴ ．
当 时， ，
当 时， ．
故答案为：1或3
31．在平面直角坐标系 中，点 ，点 在圆 上，则 的最大值为
________________．
【答案】
【分析】根据向量减法的三角形法则转化为求 ，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．
【详解】解： 点 在圆 上， ，
，
的最大值为 ．
故答案为： ．
32．已知向量 ，向量 与向量 共线，且 ，则 ______．
【答案】【分析】根据向量共线定理得 ，利用 求出 ，再求 即可.
【详解】由题 ， 共线，所以 ，且 ，
．即 ， ， ．
故答案为：
33．已知菱形ABCD的边长为 ， ，点 分别在边BC，CD上，且满足 ，
，则 ____________.
【答案】3
【分析】将 分别用 的线性组合表示出来，然后根据向量的平行四边形法则结合线段长度求
解出 的结果.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
所以 ，
故答案为： .34．已知向量 和 的夹角为150°，且 ， ，则 在 上的投影为___________.
【答案】 或
【分析】对 两边平方化简，求出 ，再利用数量积的几何意义可求得结果
【详解】由 ，得 ，
因为向量 和 的夹角为150°，且 ，
所以 ，得 ，
，
所以 或 ，
当 时， 在 上的投影为 ，
当 时， 在 上的投影为 ，
综上， 在 上的投影为 或 ，
故答案为： 或
35．已知 ， 且 ， 则 与 的夹角 的余弦值
______________________________．【答案】
【分析】利用 ，得到 ，根据 ，列出方程，可求出 .
【详解】 ， ，得
，
解得
故答案为：
36．已知 与 是两个互相垂直的单位向量，若向量 与 的夹角为锐角，则k的取值范围是
________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积及共线向量，列式求解作答.
【详解】因 与 是两个互相垂直的单位向量，则 ， ，
又向量 与 的夹角为锐角，则 ，且向量 与 不共线，
由 得： ，解得 ，
当向量 与 共线时， ，解得 ，因此向量 与 不共线，有 且 ，
所以k的取值范围是 且 ，即 .
故答案为：
37．在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则 等于_______．
【答案】
【分析】方法一、利用向量乘积的定义， ，分别求出模长和夹角的余弦值.
方法二、建立直角坐标系，分别写出点的坐标，利用向量乘积的坐标运算即可得出结果.【详解】解法一：因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝ ，在 中，
，即 ，同理可得 ，在
中，由余弦定理得 ，所以
．
解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得 ， ， ，
所以 ， ，所以 .
故答案为：
38．中国古塔多为六角形或八角形﹒已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形 ，如图所示，
，则 __．【答案】
【分析】根据投影的定义，可得 ，结合余弦定理即可得到 ，从而得到结果.
【详解】由投影的概念， ，因为 ，正八边形每个内角为 ，
则 ，
易得 为等腰直角三角形，则 ，
所以 ．
故答案为：
39．已知平面向量 ， 为单位向量，且 ，则向量 在向量 上的投影为______．
【答案】
【分析】由 得 ，计算 在 方向上的投影即可.
【详解】因为 ， 为单位向量
所以 ， ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
在 方向上的投影为 ，
故答案为： .40．如图，已知向量 满足： ， 且 .若
则 ___________.
【答案】
【分析】设 ，计算 ， ， ，根据向量的运算法则
得到答案.
【详解】设 ， ，
， ，故 ， ，
， ，
，
，
故 ，整理得到 .
故答案为：
41．已知 ， ，且 ，则 的最小值是_____________．
【答案】
【分析】由题意， 均在圆心为原点，半径为 的圆上，再根据数量积公式，结合几何意义分析最值
求解即可.【详解】解：由题知， 三点共圆，圆心为坐标原点，半径为 ，
所以， ，
设 ，
数形结合可得 在 上的投影 ，
所以， ，即 ，
故当 ， 时 有最小值 ，此时 .
当 时， 时 有最大值 ，
所以，
综上， 的取值范围是 ，
所以， 的最小值是
故答案为：
42． 是圆 ： 的直径， 是椭圆 ： 上的一点，则 的取值范围是
______ ．
【答案】
【分析】首先根据平面向量的线性运算及其数量积运算，将 转化为 ，设 ，得 ，根据点 在椭圆上将 代入转化成二次函数，最后根据二次函数的性
质求解取值范围即可.
【详解】设 ，已知 为圆 上的直径，点 为椭圆上一点.
， ， ， ，
， ，
的取值范围是：
故答案为：
43．在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则 的取值范围为______.
【答案】
【分析】利用数量积的几何意义去求 的取值范围即可解决.
【详解】正六边形ABCDEF中，过点B作 于 ，则
又
即 ，故 的取值范围为
故答案为：44．已知圆 ，M是直线l： 上的动点，过点M作圆O的两条切线，切点分别为
A，B，则 的最小值为______.
【答案】3
【分析】画出图形，设 ,利用数量积公式将 转化为求 的最小值，从而分析
图形可知当 时, 这时 最小，即 最小.
【详解】设 , 则 ,
可知当 时, 最小且 最大, 最小, 这时 最小.
设点 到直线 的距离为 , 则 .
因为圆 的半径为 , 所以当 时, , 可得 ,
所以 的最小值为3.
故答案为：3 .
45．已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边， ，且 ，
为 的重心，则 ________
【答案】
【解析】根据已知等式，利用余弦定理角化边，结合已知条件可以求得 的值，进而求得 的值，然后根据 ,利用向量的数量积运算可求得 的长度.
【详解】由余弦定理得 ,∴ ,
∵ ， ，
将 代入得： ,
所以 ，
设以 为邻边的平行四边形的另一个顶点为 ,则 ,
,
故答案为：
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，要熟练使用上弦定理角化边，并结合向量的数量积运算
可更快的求解.
46．已知 是单位向量， .若向量 满足 ，则| |的最大值是________.
【答案】
【分析】法一，由由 ，得 ，借助于几何作图，作 ，确定点P的轨迹，结合圆的几何性
质，即可求得答案;
法二，由题意建立平面直角坐标系，设 ，根据条件确定确定点C在以(1,1)为圆心，1为半径
的圆上，结合圆的几何性质，可求得答案.【详解】法一 由 ，得 .
如图所示，分别作 ,作 ，
由于 是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以 ,
作 ，则 ,
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P 处时，| |取得最大值 ,
1
故| |的最大值是 ,
故答案为：
法二 由 ，得 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，
设 ，由 ，
得 ，
所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.
所以故答案为：
47．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交
AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．
【答案】 1
【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式
即可求出最值.
【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .48．已知向量 ，且 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出实数 的取值范围.
【详解】 ，
因为 与 的夹角为钝角，所以
所以 ，解得： ，
且 与 不反向共线，
即 ，解得： ，
综上： ，
故答案为： .
49．设两个向量 满足 ， .
(1)若 ，求 的夹角 ；
(2)若 的夹角为 ，向量 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)【分析】（1）根据数量积的运算律求出 ，再求出 ，即可得解；
（2）由向量 与 的夹角为钝角，可得 ，注意排除相反向量这一情况.
【详解】（1）解：由 ，得 ,
又 , 所以 ，
所以 ，
又因为 ,
所以 的夹角为 ；
（2）解：由已知得 ，
则 ，
因为向量 与 的夹角为钝角, 所以 , 解得 ，
设 ,
则 , 无解, 故两个向量的夹角不可能为 ,
所以向量 与 的夹角为钝角时, 的取值范围为 .
50．如图所示，把一个物体放在倾角为 的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力
，沿着斜面向上的摩擦力 ，垂直斜面向上的弹力 .已知 ，求 ， 的大小.【答案】重力 为 ，沿着斜面向上的摩擦力 为 .
【分析】沿水平方向和垂直方向建立直角坐标系，利用坐标法进行计算即可.
【详解】建立如图的坐标系，
由 ，可得： .
设 ， ，则 ， .
因为
所以 ，解得： .
所以重力 为 ，沿着斜面向上的摩擦力 为 .
