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专题02 等式与不等式（十四大题型五大易错题）
【题型1】 比较数（式）的大小
1．（2025·四川成都·三模）已知实数x，y满足2
x=3
y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x + y ≥2√xy
B．( x + y)( x−y)≥0
C．0≤xy ≤1
D．xy ≤|x + y|
【答案】B
【分析】根据已知得y = ln 2
ln3 ⋅x，即有x , y同号或x = y =0，结合不等式的性质判断各
项的正误.
【详解】两边取对得x ln 2= y ln3，则y = ln2
ln3 ⋅x且0< ln2
ln3 <1，即x , y同号或
x = y =0，
所以，当x , y <0时，x + y ≥2√xy不成立，A 错；
由( x + y)( x−y)= x
2−y
2= x
2[1−( ln2
ln3 )
2
]≥0，B 对；
由xy = ln2
ln3 ⋅x
2，若x
2> ln3
ln2时，xy >1，C 错；
由|x + y|=|1+ ln 2
ln3 |⋅| x|，且xy = ln 2
ln3 ⋅x
2= ln 2
ln3 ⋅| x|⋅| x|，
当| x|→+ ∞时，|1+ ln 2
ln3 |< ln 2
ln3 ⋅| x|，此时xy >|x + y|，D 错.
故选：B
2．（2025·广东广州·模拟预测）已知5
7>3
10，4
10>7
7.设a= log47，b=2log72+ log73，
c = log925，则（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【答案】D
【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答
案.
【详解】由题意可得b= log712，c = log35，
1
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因为5
7>3
10，4
10>7
7，所以两边取对数整理可得log35> 10
7 ，log47< 10
7 ，所以a<c
又a= log47 = ln7
ln 4 >1，b= log712= ln12
ln7 >1，a
b = (ln7)
2
ln 4 ln12
，
且√ln 4 ln12< ln 4 + ln12
2
= ln 48
2
< ln 49
2
= ln7，即ln 4 ln12<(ln7)
2，
所以a
b >1，a>b，所以b<a<c.
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）若a=2
0.4,b=3
0.25,c =log0.70.5，则a,b,c的大小关系为
（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断a,c范围，比较它们的大小；
利用作商法比较a,b的大小，即可得答案.
【详解】因为函数y =2
x在R 上单调递增，所以a=2
0.4<2
0.5=√2．
又a
b = 2
0.4
3
0.25 =(
2
0.4×20
3
0.25×20)
1
20 =(
2
8
3
5)
1
20 =(
256
243)
1
20 >1，所以b<a<√2．
因为0.5
2=0.25<0.343，故0.5<√0.343=0.7
3
2 , y =log0.7 x在(0,+∞)上单调递减，
所以log0.70.5>log0.70.7
3
2 = 3
2 >√2，所以a<c，
所以实数a,b,c的大小关系为b<a<c，
故选：B．
4．（2023·全国·模拟预测）已知a=2e√π，b=e
e，c =e
2
ln2，试比较a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．b>c>a
B．b>a>c
C．c>a>b
D．c>b>a
【答案】B
【分析】先利用ln x常见的不等式，估计出ln2的范围，精确估计出1.73<√π<1.8，
2
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然后利用作商法比较大小.
【详解】先证明两个不等式：
（1）2ln x< x−1
x ( x>1)，设f ( x)=2ln x−x + 1
x ( x>1)，则
f
′( x)= 2
x −1−1
x
2 =−(
1
x −1)
2
<0( x>1)，即f ( x)在(1,+ ∞)上单调递减，故
f ( x)<f (1)=0，即2ln x< x−1
x ( x>1)成立
（2）ln x> 2( x−1)
x +1
( x>1)，设g( x)= ln x−2( x−1)
x +1
( x>1)，则
g
′( x)= 1
x −
4
( x +1)
2 = ( x−1)
2
x( x +1)
2 >0( x>1)，即g( x)在(1,+ ∞)上单调递增，故
g( x)> g(1)=0，即ln x> 2( x−1)
x +1
( x>1)成立
再说明一个基本事实，显然3<π<3.24，于是1.73<√3<√π<1.8.
由（1）可得，取x =2，可得2ln 2<1.5⇔ln 2<0.75⇔e
0.75>2；
由（2）可得，取x =2，可得ln2> 2
3，再取x = 4
3 ，可得ln 4
3 > 2
7 >0.27，即
e
0.27< 4
3 ⇔e
−0.27> 3
4 .
b
a =e
e
2e√π =ee−√π
2
>e
e−1.8
2
>e
0.75
2 >1，显然a>0，于是b>a；
c
a =
e
2
ln2
2e√π =e2−√π
2ln2 <3e2−√π
4
<e2−√π−0.27=e1.73−√π<e
0=1，显然a>0，于是c<a.故
b>a>c.
故选：B
【题型2】 不等式的性质
1．（2025·浙江杭州·二模）已知A ∈R，ε为任意正数，若|A −6|≤ε恒成立，则（ ）
A．A =6
B．A =±6
C．A >6
D．A <6
【答案】A
【分析】先由恒成立得到|A −6|≤0，再由绝对值特性得到|A −6|=0即可求解.
3
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【详解】因为对任意的正数ε，|A −6|≤ε恒成立，
所以|A −6|≤0，又|A −6|≥0，所以|A −6|=0，所以A =6.
故选：A
2．多选题（24-25 高三下·海南·阶段练习）已知a>b>0>c，则下列各选项正确的是（ ）
A．b
a < b−c
a−c
B．1
a+c >
1
b+c
C．
a
b−c >
b
a−c
D．a+ c
b >b+ c
a
【答案】AC
【分析】利用作差法判断A；举例说明判断BD；利用不等式性质判断C.
【详解】对于A，由a>b>0>c，得b
a −b−c
a−c = b(a−c)−a(b−c)
a(a−c)
= (a−b)c
a(a−c) <0，
则b
a < b−c
a−c ，A 正确；
对于B，取a=2,b=1,c =−3，满足a>b>0>c，而1
a+c =−1<−1
2 =
1
b+c ，B 错误；
对于C，由a>b>0>c，得a−c>b−c>0，则
1
b−c >
1
a−c >0，因此
a
b−c >
b
a−c ，C
正确；
对于D，取a=2,b=1,c =−3，满足a>b>0>c，而a+ c
b =−1<−1
2 =b+ c
a，D 错误．
故选：AC
3．多选题（2025·海南·三模）已知实数x , y满足x< y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．y
3> x
3
B．log3( y −x)>0
C．1
x > 1
y >0
D．e
y−e
x
2
> x−y
【答案】AD
【分析】对于AD，可通过幂函数、指数函数的单调性判断；对于BC，可通过特殊值
判断；
【详解】对于A，由函数f (n)=n
3单调递增，可知当x< y，y
3> x
3正确；
对于B，取y =2, x =1，可得log3( y −x)=0，错误；
对于C，取y =1, x =−1，显然1
x > 1
y >0不成立，错误；
4
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对于D， e
y−e
x
2
> x−y等价于e
y+2 y >e
x+2 x，由指数函数f (n)=e
n单调递增可知：
当x< y，e
y>e
x，所以e
y+2 y >e
x+2 x成立，正确；
故选：AD
【题型3】 不等式性质的综合应用
1．（2025·山西临汾·二模）若3≤a≤5,−2≤b≤1，则2a−b的范围是（ ）
A．[8,9]
B．[4,8]
C．[5,8]
D．[5,12]
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由3≤a≤5,−2≤b≤1可得6≤2a≤10,−1≤−b≤2，
故5≤2a−b≤12，
故选：D
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知1<a<3,3<b<6，则b
2a的取值范围为（ ）
A．(
3
2 ,1)
B．(2,6)
C．(1,6)
D．(
1
2 ,3)
【答案】D
【分析】由不等式的性质即可得解.
【详解】因为1<a<3,3<b<6，所以2<2a<6，1
6 < 1
2a < 1
2，
所以1
2 < b
6 < b
2a < b
2 <3.
故选：D.
3．（2025·广东中山·一模）已知−1
2 < 1
x <2，则实数x的取值范围是 .
【答案】(−∞,−2)∪(
1
2 ,+ ∞)
【分析】将不等式可化为¿，再进一步化为一元二次不等式进行求解即可.
【详解】将不等式可化为¿，
由不等式1
x >−1
2可得2+ x
2 x >0，即2 x (2+ x)>0，求解得：x<−2或x>0；
5
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由不等式1
x <2可得1−2 x
x
<0，即x (1−2 x)<0，求解得：x<0或x> 1
2；
综上：x∈(−∞,−2)∪(
1
2 ,+ ∞).
故答案为：(−∞,−2)∪(
1
2 ,+ ∞).
4．（2024·全国·模拟预测）已知实数x，y满足−1< x< y <1，则x + y的取值范围是
．
【答案】(−2,2)
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由−1< x< y <1可得−1< x<1，−1< y <1，所以−2< x + y <2，
故答案为：(−2,2)
【题型4】 直接用基本不等式
1．多选题（2024·四川攀枝花·一模）已知实数a>0,b>0，且满足a+b=2，则（ ）
A．−2<a−b<2
B．a
2+b
2≥2
C．1
a + 1
b ≤2
D．log2a+ log2b≤0
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断选项.
【详解】A.由条件可知，0<b<2，则a−b=2−2b∈(−2,2)，故A 正确；
B.a
2+b
2=(a+b)
2−2ab≥4−(a+b)
2
2
=2，当且仅当a=b=1时等号成立，故B 正确；
C. 1
a + 1
b = 1
2(
1
a + 1
b)(a+b)= 1
2(2+ b
a + a
b)≥1+ 1
2 ×2×√
b
a ⋅a
b =2，当a=b=1时等
号成立，故C 错误；
D.因为0<ab≤(
a+b
2 )
2
=1，log2a+ log2b= log2ab≤0，故D 正确.
故选：ABD
2．多选题（2025·山东聊城·二模）已知实数a,b满足ab>0，则（ ）
6
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A．a+b<ab
B．b
a + a
b ≥2
C．若a>b，则1
a < 1
b
D．若a<b,m>0，则a
b < a+m
b+m (b+m≠0)
【答案】BC
【分析】A 举反例a=b=2；B 利用基本不等式即可；C 作差法；D 举反例
a=−2,b=−1,m=2.
【详解】对于A，当a=b=2时，a+b=ab= 4，故A 错误；
对于B，因ab>0，则a
b >0，b
a >0，则b
a + a
b ≥2√
b
a ⋅a
b =2，
等号成立时a
2=b
2，故B 正确；
对于C，因a>b且ab>0，则1
a −1
b = b−a
ab <0，则1
a < 1
b ，故C 正确；
对于D，若a=−2,b=−1,m=2，则a
b =2> a+m
b+m =0，故D 错误.
故选：BC
3．多选题（2025·江苏淮安·模拟预测）若x , y ∈R满足x
2+ 4 y
2−2 xy =1，则（ ）
A．x
2+ 4 y
2≤2
B．−2√3
3
≤x ≤2√3
3
C．x +2 y ≤1
D．x +2 y ≥−2
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式计算可得A 正确，将表达式参数化利用三角函数值域计算可
得B 正确，将表达式化简计算可得(x +2 y)
2=6 xy +1≤3×(
x +2 y
2 )
2
+1，解不等式可
得−2≤x +2 y ≤2，即可得C 错误，D 正确.
【详解】对于A，由(x−2 y)
2≥0可得x
2+ 4 y
2≥4 xy，
因此x
2+ 4 y
2=2 xy +1≤x
2+ 4 y
2
2
+1，可得x
2+ 4 y
2≤2，
当且仅当x =2 y时，等号成立，即A 正确；
对于B，将表达式x
2+ 4 y
2−2 xy =1化简可得(x−y)
2+3 y
2=1，
7
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将方程参数化可知x =cosθ+ √3
3 sinθ , y = √3
3 sinθ，θ∈[0,2π]；
所以x =cosθ+ √3
3 sinθ =√1+ 1
3 sin (θ+φ)= 2√3
3
sin (θ+φ)，其中tan φ =√3；
又−1≤sin (θ+φ)≤1，所以−2√3
3
≤x = 2√3
3
sin (θ+φ)≤2√3
3
，可得B 正确；
对于C，由x
2+ 4 y
2−2 xy =1可得x
2+ 4 y
2+ 4 xy =6 xy +1，
即(x +2 y)
2=6 xy +1≤3×(
x +2 y
2 )
2
+1，
因此(x +2 y)
2≤4，解得−2≤x +2 y ≤2，
当且仅当x =2 y时，等号成立，即C 错误，D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：在求解x的取值范围时关键在于利用表达式特征，将等式参数
化并利用辅助角公式计算即可得出结论.
4．多选题（2025·重庆·模拟预测）若实数 x , y 满足 4 x
2+ y
2=1+ xy，则（ ）
A．xy ≤1
3
B．xy ≥1
C．x + y ≤1
D．x + y ≤2
5 √10
【答案】AD
【分析】利用平方不等式可判断选项A、B，利用判别式法可判断选项C、D.
【详解】由平方不等式可得：4 x
2+ y
2≥2⋅2 x⋅y = 4 xy，代入4 x
2+ y
2=1+ xy，
则1+ xy ≥4 xy ⇒xy ≤1
3，取等号条件是2 x = y = √6
3 ，故A 正确；B 错误；
令x + y =t ⇒y =t −x，
则4 x
2+(t −x)
2=1+ x (t −x)⇒6 x
2−3tx +t
2−1=0，
由于存在x满足上式成立，则Δ=9t
2−24(t
2−1)≥0⇒t
2≤8
5，
即−2√10
5
≤t ≤2√10
5
，故D 正确，C 错误；
8
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故选：AD.
【题型5】 变形用基本不等式求最值-配凑法
1．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知x∈(0,+∞)，则y =2 x +
4
2 x +1的最小
值为（ ）
A．3
B．4
C．3√2
D．6
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由x∈(0,+∞)，得2 x +1>1，
y =2 x +
4
2 x +1 =2 x +1+
4
2 x +1 −1≥2√(2 x +1)⋅
4
2 x +1 −1=3，
当且仅当2 x +1=
4
2 x +1，即x = 1
2时取等号，
所以y =2 x +
4
2 x +1的最小值为3.
故选：A
2.（2025·四川德阳·二模）若x>1，则函数y =2 x +
8
x−1的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】若x>1，则x−1>0，
所以函数y =2(x−1)+
8
x−1 +2≥2√2(x−1)
8
x−1 +2=10，
当且仅当2(x−1)=
8
x−1即x =3时等号成立.
故选：C.
【题型6】变形用基本不等式求最值-常数代换法
1．（24-25 高三上·山西·期末）已知正实数x，y 满足x +2 y =3，则x
2+3 y
xy
的最小值为
（ ）
A．2√2+1
B．4
C．4√2+1
D．6
【答案】A
9
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【分析】由条件可得x
2+3 y
xy
= x
y + 2 y
x +1，再利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】由题意知x
2+3 y
xy
= x
2+(x +2 y) y
xy
= x
2+ xy +2 y
2
xy
= x
y + 2 y
x +1≥2√2+1，
当且仅当x +2 y =3，且x
y = 2 y
x ，即x = 3√2
2+√2，y =
3
2+√2时等号成立，
即x
2+3 y
xy
的最小值为2√2+1.
故选:A.
2．（24-25 高三上·广东东莞·阶段练习）已知x>0, y >0，且1
x +2 y =1，则2 x + 1
y 的最小
值为（ ）
A．4
B．4√2−1
C．6
D．8
【答案】D
【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当x =2, y = 1
4 时，2 x + 1
y 的最小值为
8.
【详解】由1
x +2 y =1可得：
2 x + 1
y =(
1
x +2 y)(2 x + 1
y)=2+ 1
xy + 4 xy +2= 4+ 1
xy + 4 xy ≥4+2√
1
xy ⋅4 xy =8；
当且仅当1
xy = 4 xy，即当x =2, y = 1
4 时，等号成立.
即2 x + 1
y 的最小值为8.
故选：D.
3．（2024·江苏宿迁·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，则3
a + 6
b 的最小值为（ ）
A．9
B．18
C．24
D．27
【答案】A
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值．
【详解】由a>0,b>0,a+2b=3，得3
a + 6
b = 1
3 (a+2b)( 3
a + 6
b )= 1
3 (15+ 6a
b + 6b
a )
10
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≥1
3 (15+2√
6a
b ⋅6b
a )=9，当且仅当6a
b = 6b
a ，即a=1,b=1时取等号，
所以3
a + 6
b 的最小值为9.
故选：A
4．（2024·云南大理·模拟预测）已知a≥0，b≥0且2a+b=1，则9
a+1 +
1
a+b的最小值为
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】9
a+1 +
1
a+b =(
9
a+1 +
1
a+b)[(a+1)+(a+b)]× 1
2
=[9+ 9(a+b)
a+1
+ (a+1)
a+b +1]× 1
2
≥(10+2√
9(a+b)
a+1
⋅(a+1)
a+b )× 1
2 =8（当且仅当a= 1
2，b=0时取等号）.
故选:C.
5．（2024·江西·模拟预测）已知x>−1
2，y >−1，
1
2 x +1 +
1
y +1 =1，则x + 1
2 y的最小值
为 .
【答案】1
【分析】将目标代数式通过1 的代换变形为积为定值的形式，再利用基本不等式求最
值即可．
【详解】因为
x + 1
2 y = 1
2 (2 x +1)+ 1
2 ( y +1)−1=(
1
2 x +1 +
1
y +1)[
1
2 (2 x +1)+ 1
2 ( y +1)]
−1=
1
2 ( y +1)
2 x +1 +
1
2 (2 x +1)
y +1
≥1，
11
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当且仅当y +1=2 x +1=2时，即x = 1
2 , y =1等号成立.
故答案为：1．
6．（2025·安徽·模拟预测）若m>0,n>0,m+2n=1，则1
m + 2
n的最小值是 ．
【答案】9
【分析】应用基本不等式“1”的代换求1
m + 2
n的最小值即可.
【详解】由题设1
m + 2
n =( 1
m + 2
n )(m+2n)=5+ 2n
m + 2m
n ≥5+2√
2n
m ⋅2m
n =9，
当且仅当2n
m = 2m
n ，即m=n= 1
3时取等号，故1
m + 2
n的最小值是9.
故答案为：9.
【题型7】变形用基本不等式求最值-消元法求最值
1．（2024·天津河东·一模）若a>0,b>0,ab=2，则a+ 4 b+2b
3
b
2+1
的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由a>0,b>0,ab=2⇒a= 2
b，
故a+ 4 b+2b
3
b
2+1
=
2
b + 4 b+2b
3
b
2+1
= 2+ 4 b
2+2b
4
b(b
2+1)
=2 (b
2+1)
2
b(b
2+1)
=2 b
2+1
b
=2(b+ 1
b)≥2×2√b× 1
b = 4，当且仅当b=1时等号成立，
故最小值为4，
故答案为：4
【题型8】 基本不等式的实际应用
1．（24-25 高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024 年举行某产品的促销活动，经调查
测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足
x = 4−
k
m+1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2 万件.已知
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生产该产品的固定投入为8 万元，每生产一万件该产品需要再投入16 万元，厂家将每
件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5 倍（此处每件产品年平均成本按
8+16 x
x
元来计算）.
(1)求k的值；
(2)将2024 年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(3)该厂家2024 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】(1)2
(2)y =36−16
m+1 −m(m≥0)
(3)3 万元
【分析】（1）由m=0时，x =2代入即可求解；
（2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解；
（3）由（2）结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意知，当m=0时，x =2（万件），
则2= 4−k，解得k =2；
（2）由（1）可得x = 4−
2
m+1.
所以每件产品的销售价格为1.5× 8+16 x
x
（元），
∴2024 年的利润y =1.5 x× 8+16 x
x
−8−16 x−m=36−16
m+1 −m(m≥0).
（3）∵当m≥0时，m+1>0，
∴16
m+1 +(m+1)≥2√16=8，当且仅当m=3时等号成立.
∴y ≤−8+37=29，
当且仅当16
m+1 =m+1，即m=3万元时，ymax=29（万元）.
故该厂家2024 年的促销费用投入3 万元时，厂家的利润最大为29 万元.
2．（24-25 高一上·贵州贵阳·阶段练习）近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服
务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足
游客需要，某纪念品加工厂计划在2025 年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪
念商品首先需投入固定成本12 万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本
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C( x)（万元）.且C( x)=¿由市场调研知每件纪念商品售价90 元，且该厂所生产的纪
念商品均供不应求.
(1)求出利润L( x)（万元）关于产量x（千件）的表达式；
(2)当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)L( x)=¿
(2)年产量为10（千件），最大利润是8 万元.
【分析】（1）根据题意，由条件即可得到利润关于产量的关系式；
（2）由二次函数的值域即可得到0< x<6的最值，再结合基本不等式代入计算，即可
得到x ≥6时的最值.
【详解】（1）当0< x<6时，L( x)=9 x−(x
2+ x)−12=−x
2+8 x−12；
当x ≥6时，L( x)=9 x−(10 x + 100
x −40)−12=−(x + 100
x )+28，
所以L( x)=¿
（2）若0< x<6，L( x)=−x
2+8 x −12，即L( x)=−( x −4)
2+ 4，
当x = 4时，L( x)max= 4万元；
若x ≥6，L( x)=−(x + 100
x )+28≤−2√x⋅100
x +28=8，
当且仅当x = 100
x 时，即x =10时，L( x)max=8万元，
因为8>4，所以年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8 万元.
【题型9】一元二次不等式的求解-不含参的不等式
1．（24-25 高一上·广东茂名·阶段练习）求下列不等式的解集：
(1)2 x
2−5 x +3<0；
(2)−x
2+2 x−3>0；
(3) x−1
2−x ≤1．
【答案】(1){x∣1< x< 3
2}
(2)∅
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(3){ x| x ≤3
2或x>2}
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（3）根据分式不等式的解法求得正确答案.
【详解】（1）由2 x
2−5 x +3<0可得，(2 x−3)(x−1)<0，解得1< x< 3
2．
∴原不等式的解集为{x∣1< x< 3
2}．
（2）因为−x
2+2 x−3>0，所以x
2−2 x +3<0，
因为(x −1)
2+2<0无解，所以x∈∅，
即原不等式的解集为∅；
（3）不等式x−1
2−x ≤1可化为x−1
2−x −1≤0，即x−1−2+ x
2−x
≤0，整理可得x−3
2
x−2 ≥0．
等价于¿，解得x ≤3
2或x>2．
∴原不等式的解集为{ x| x ≤3
2或x>2}.
2．（24-25 高一上·北京·期中）求不等式的解集．
(1)x (x +1)≤2 x +12；
(2)|2 x−1|> x +3；
(3)−2sin(2 x +π
6 )>1．
【答案】(1)¿
(2)¿
(3)¿
【分析】（1）根据二次不等式的解法可得出原不等式的解集；
（2）分x +3<0、x +3≥0两种情况解原不等式即可得解；
（3）由所求不等式变形得出sin(2 x +π
6 )<−1
2，由正弦函数的单调性可得出关于x
的不等式，解之即可.
【详解】（1）由x (x +1)≤2 x +12可得x
2−x−12≤0，解得−3≤x ≤4，
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故原不等式的解集为¿.
（2）对于不等式|2 x−1|> x +3，
当x +3<0时，即当x<−3时，原不等式恒成立；
当x +3≥0时，即当x ≥−3时，由|2 x−1|> x +3可得(2 x −1)
2>(x +3)
2，
可得(x−4)(3 x +2)>0，解得x<−2
3或x>4，此时，−3≤x<−2
3或x>4，
因此，原不等式的解集为¿.
（3）由−2sin(2 x +π
6 )>1可得sin(2 x +π
6 )<−1
2，
可得2k π−5π
6 <2 x +π
6 <2k π−π
6
(k ∈Z)，解得
k π−π
2 < x<k π−π
6
(k ∈Z)，
因此，原不等式的解集为¿.
3．（24-25 高一上·陕西西安·阶段练习）解下列关于x的不等式.
(1) x +1
3 x−2 ≥2；
(2)−2 x
2+ x−6<0；
(3)x
2−10 x +9>0.
【答案】(1)¿
(2)R
(3)¿或x>9}
【分析】（1）根据分式不等式的解法可得出原不等式的解集；
（2）（3）根据一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【详解】（1）由x +1
3 x−2 ≥2，得x +1−6 x + 4
3 x−2
≥0，即5−5 x
3 x−2 ≥0，即x−1
3 x−2 ≤0，
等价于¿，解得2
3 < x ≤1，
所以原不等式的解集为¿.
（2）原不等式可化为2 x
2−x +6>0.
对于方程2 x
2−x +6=0，因为Δ=(−1)
2−4×2×6<0，
所以二次函数y =2 x
2−x +6的图象开口向上，与x轴无交点，
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如图所示.结合图象可得，原不等式的解集为R.
（3）原不等式即为(x−1)(x−9)>0，解得x<1或x>9，
所以不等式f (x)>0的解集为¿或x>9}.
4．（24-25 高一上·广西南宁·期中）求下列不等式的解集：
(1)x
2−8 x +12>0；
(2)|2 x−3|<4.
【答案】(1)¿或x>6}；
(2)¿
【分析】（1）因式分解可得x
2−8 x +12=(x−2)(x−6)>0，解出即可得；
（2）去掉绝对值后可得−4<2 x−3<4，解出即可得.
【详解】（1）x
2−8 x +12=(x−2)(x−6)>0，
故x<2或x>6，
即该不等式解集为¿或x>6}；
（2）由|2 x−3|<4可得−4<2 x−3<4，解得−1
2 < x< 7
2，
即该不等式解集为¿.
【题型10】一元二次不等式的求解-含参的不等式
1．（2024 高三·全国·专题练习）求下列关于x的不等式的解集：
(1)
5
x−7 ≥−1；
(2)2a
2 x
2−3ax−2>0.
【答案】(1){x∣x ≤2或x>7}
(2)答案见解析
【分析】（1）移项、通分，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集；
（2）分a=0、a<0、a>0三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解
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集.
【详解】（1）由
5
x−7 ≥−1，得
5
x−7 +1= x−2
x−7 ≥0，解得x ≤2或x>7，
故不等式
5
x−7 ≥−1的解集为{x∣x ≤2或x>7}；
（2）当a=0时，原不等式即为−2>0，该不等式的解集为∅；
当a≠0时，2a
2>0，原不等式即为(2ax +1)(ax−2)>0.
①若a<0，则−1
2a > 2
a，原不等式的解集为{x ¿或x>−1
2a}；
②若a>0，则−1
2a < 2
a，原不等式的解集为{x ¿或x> 2
a}.
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；
当a<0时，原不等式的解集为{x ¿或x>−1
2a}；
当a>0时，原不等式的解集为{x ¿或x> 2
a}.
2．（24-25 高一上·北京·期中）解关于x的不等式2 x
2−(a−2) x−a>0．
【答案】答案见解析
【分析】利用分解因式整理不等式，结合分类讨论思想，可得答案.
【详解】由不等式2 x
2−(a−2) x−a>0，则(x +1)(2 x−a)>0，
当a
2 <−1，即a<−2时，解得x< a
2或x>−1；
当a
2 =−1，即a=−2时，解得x≠−1；
当a
2 >−1，即a>−2时，解得x<−1或x> a
2.
综上，当a<−2时，不等式的解集为{ x| x< a
2或x>−1}；
当a=−2时，不等式的解集为{x| x≠−1}；
当a>−2时，不等式的解集为{x| x<−1或x> a
2 }.
3．（23-24 高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于x的不等式：a x
2+(a−2) x−2≥0(a∈R)．
【答案】答案见解析
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【分析】分a=0，a>0和a<0三种情况，在a<0时，再分三种情况，求出不等式解集.
【详解】①当a=0时，原不等式化为x +1≤0，解得x ≤−1．
②当a>0时，原不等式化为(x−2
a)(x +1)≥0，解得x ≥2
a或x ≤−1．
③当a<0时，原不等式化为(x−2
a)(x +1)≤0.
当2
a >−1，即a<−2时，解得−1≤x ≤2
a；
当2
a =−1，即a=−2时，解得x =−1满足题意；
当2
a <−1，即−2<a<0时，解得2
a ≤x ≤−1．
综上所述，当a=0时，不等式的解集为¿；
当a>0时，不等式的解集为¿；
当−2<a<0时，不等式的解集为¿；
当a=−2时，不等式的解集为{−1}；
当a<−2时，不等式的解集为¿．
【题型11】一元二次不等式的求解-二次复合含参不等式
1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题p：任意x∈[
1
2 ,2]，使
log2
2 x −m⋅log2 x −3≤0为真命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．(−∞,2]
B．(−∞,−2]
C．[−2,2]
D．[−2,+∞)
【答案】C
【分析】设t = log2 x，由题意可得任意t ∈[−1,1]，t
2−mt −3≤0恒成立，结合二次
函数性质列不等式求m的取值范围.
【详解】设t = log2 x，则t ∈[−1,1]，
原命题等价于：任意t ∈[−1,1]，使t
2−mt −3≤0为真命题，
所以(t
2−mt −3)max≤0，其中t ∈[−1,1]
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设f (t )=t
2−mt −3(−1≤t ≤1)， 则
函数f (t )=t
2−mt −3，t ∈[−1,1]的最大值为f (−1)与f (1)中的较大者，
所以¿，
∴¿，解得−2≤m≤2，
故选：C.
【题型12】一元二次不等式恒成立问题-在R 上的恒成立问题
1．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式a x
2+2ax−1<0恒成立”的一个充分不
必要条件是（ ）
A．−1≤a<0
B．a≤0
C．−1<a≤0
D．−1<a<0
【答案】D
【分析】分a=0和a≠0两种情况讨论求出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定
义即可得解.
【详解】当a=0时，−1<0恒成立，
当a≠0时，则¿，解得−1<a<0，
综上所述，不等式a x
2+2ax−1<0恒成立时，−1<a≤0，
所以选项中“不等式a x
2+2ax−1<0恒成立”的一个充分不必要条件是−1<a<0.
故选：D.
2．（24-25 高一上·广东广州·阶段练习）若命题“∃x∈R，使得x
2+(a−1)x +1<0”是
假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{x|−1≤x ≤3}
B．{x|−1< x<3}
C．{x| x ≤−1或x ≥3}
D．{x| x<−1或x>3}
【答案】A
【分析】由题意可知x
2+(a−1)x +1=0没有实根或有重根，根据Δ≤0，求解即可.
【详解】由题意得，∵“存在x∈R，使x
2+(a−1)x +1<0”是假命题，
∴ x
2+(a−1)x +1=0没有实根或有重根，
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∴ Δ=(a−1)
2−4≤0，解得−1≤a≤3.
故选：A.
3．（24-25 高一上·广东广州·阶段练习）已知命题
P:"∀x ∈R ,(a+1)x
2−2(a+1)x +3>0"为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．−1≤a≤2
B．a≥1
C．a≤1
D．−1≤a<2
【答案】D
【分析】通过a=−1和a≠−1两类情况讨论即可.
【详解】当a=−1时，3>0恒成立，符合题意
当a≠−1时，需满足¿
解得：−1<a<2，
综上−1≤a<2，
故选：D
4．（2024·贵州遵义·模拟预测）∀x∈R，关于x的一元二次不等式x
2−2 x +a>0恒成立，
则实数a的取值范围是 .
【答案】(1,+ ∞)
【分析】根据二次函数的性质得Δ<0，即可求解.
【详解】由题意可知，Δ=(−2)
2−4 a<0，得a>1.
故答案为：(1,+ ∞)
【题型13】一元二次不等式恒成立问题-在给定区间上的恒成立问题
1．（24-25 高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题p：∃x∈[0,3]，a=−x
2+2 x；命题q：
∀x∈[−1,2]，x
2+ax−8≤0．若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为
（ ）
A．[−3,1]
B．(−∞,2]
C．[−7 ,−3)∪(1,2]
D．(−∞,−3)∪(1,2]
【答案】C
【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可；
【详解】命题p：∃x∈[0,3]，a=−x
2+2 x为假命题，
a=−x
2+2 x在x∈[0,3]上无解，
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即y =a与y =−x
2+2 x，x∈[0,3]函数图象没有交点，
由图可知：a>1或a<−3，
命题q：∀x∈[−1,2]，x
2+ax−8≤0为真命题，
则¿，解得−7≤a≤2，
综上所述：实数a的取值范围为[−7 ,−3)∪(1,2].
故选：C.
2．（2023·江苏淮安·模拟预测）已知p:∃x∈{x∣−1< x<3}, x
2−a−2≤0．若p 为假命
题，则a 的取值范围为( )
A．{a∣a<−2}
B．{a∣a<−1}
C．{a∣a<7}
D．{a∣a<0}
【答案】A
【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参.
【详解】因为p 为假命题，所以¬ p:∀x∈{x∣−1< x<3}，x
2−a−2>0为真命题，
故当−1< x<3时，a< x
2−2恒成立．
因为当−1< x<3时，y = x
2−2的最小值为−2，
所以a<−2，即a 的取值范围为{a∣a<−2}．
故选：A.
3．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数f (x)=lg(x
2−ax +12)在[−1,3]上单调递减，则实数
a 的取值范围是 ．
【答案】[6,7)
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次不等式恒成立问题，列不等式组求解即可.
【详解】f (x)=lg(x
2−ax +12)由y =lgt(t >0),t = x
2−ax +12(−1≤x ≤3)复合而成.
而y =lgt(t >0)单调递增，只需要t = x
2−ax +12(−1≤x ≤3)单调递减.
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且在[−1,3]上t = x
2−ax +12>0恒成立.则¿即可，解得6≤a<7.
故实数a 的取值范围是[6,7).
故答案为：[6,7).
4．（2024·陕西西安·模拟预测）当1≤x ≤2时，不等式x
2−ax +1≤0恒成立，则实数a的取
值范围是 ．
【答案】[ 5
2 ,+∞).
【分析】根据题意分离参数a，进而构造函数求定区间的最值即可.
【详解】当1≤x ≤2时，不等式x
2−ax +1≤0恒成立，
所以当1≤x ≤2时，a≥x
2+1
x
= x + 1
x 恒成立，则a≥(x + 1
x)max
，
令g(x)= x + 1
x ，则g(x)在[1,2]单调递增，
所以g(x)max= g(2)=2+ 1
2 = 5
2，所以a≥5
2.
故答案为：[ 5
2 ,+ ∞).
5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）若“∃x0∈[1,4]使x0
2−a x0+ 4>0”为假命题，则实数a
的取值范围为 .
【答案】[5,+ ∞)
【分析】将问题转化为“a≥x + 4
x 在[1,4]上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得
最值，从而得解.
【详解】因为“∃x0∈[1,4]使x0
2−a x0+ 4>0”为假命题，
所以“∀x∈[1,4]，x
2−ax + 4≤0”为真命题，
其等价于a≥x + 4
x 在[1,4]上恒成立，
又因为对勾函数f (x)= x + 4
x 在[1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，
而f (1)= f (4)=5，所以f (x)max =5，
所以a≥5，即实数a的取值范围为[5,+∞).
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故答案为：[5,+ ∞).
6．（2023·广西·模拟预测）若不等式a x
2> x
2−x−1对x∈(−∞,0)恒成立，则a 的取值范
围是 ．
【答案】a> 5
4
【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出
a 的取值范围．
【详解】由不等式a x
2> x
2−x−1对x∈(−∞,0)恒成立，
可转化为a> x
2−x−1
x
2
对x∈(−∞,0)恒成立，即a>(
x
2−x−1
x
2 )
max
，
而x
2−x−1
x
2
=−1
x
2 −1
x +1=−( 1
x + 1
2 )
2
+ 5
4 ，
当x =−2时，−( 1
x + 1
2 )
2
+ 5
4 有最大值5
4 ，所以a> 5
4 ，
故答案为：a> 5
4 ．
【题型14】一元二次不等式恒成立问题-给定参数范围的恒成立问题
1．若不等式x
2−ax ≥16−3 x−4 a对任意a∈[−2,4]恒成立，则x的取值范围为（ ）
A．(−∞,−8]∪[3,+ ∞)
B．(−∞,0)∪[1,+ ∞)
C．[−8,6]
D．(0,3]
【答案】A
【分析】由题得不等式( x−4)a−x
2−3 x +16≤0对任意a∈[−2,4]成立，解不等式
组¿即得解.
【详解】由题得不等式( x −4)a−x
2−3 x +16≤0对任意a∈[−2,4]成立，
所以¿，
即¿，
解之得x ≥3或x ≤−8.
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“a”看作自变量，
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把“x”看作参数，问题迎刃而解.
2．（13-14 高一下·安徽安庆·期中）对任意a∈[−1,1]，函数f (x)= x
2+(a−4) x + 4−2a
的值恒大于零，则x的取值范围是（ ）
A．1< x<3
B．x<1或x>3
C．1< x<2
D．x<1或x>2
【答案】B
【解析】将函数f (x)的解析式变形为f ( x)=(x−2)a+ x
2−4 x + 4，并构造函数
g(a)=(x−2)a+ x
2−4 x + 4，由题意得出¿，解此不等式组可得出实数x的取值范围
【详解】对任意a∈[−1,1]，函数f (x)= x
2+(a−4) x + 4−2a的值恒大于零
设g(a)=(x−2)a+ x
2−4 x + 4，即g(a)>0在a∈[−1,1]上恒成立.
g(a)在a∈[−1,1]上是关于a的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在x轴上方，即¿ ，解得x>3或x<1
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函
数g(a)=(x−2)a+ x
2−4 x + 4，将问题转化为g(a)>0在a∈[−1,1]上恒成立，从而
得到¿，属于中档题.
1．设a、b、c∈R，abc≠0，且a>b>c，则（ ）
A．a
b + b
c >2
B．b
a + c
b <2
C．2a>b+c
D．a+b>c
【答案】C
【分析】利用特殊值法可判断ABD 选项，利用不等式的性质可判断C 选项.
【详解】对于A 选项，不妨取a=2，b=1，c =−1
4 ，则a
b + b
c =2−4 =−2<2，A 错；
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对于B 选项，不妨设a=−1，b=−2，c =−6，则b
a + c
b =2+3=5>2，B 错；
对于C 选项，因为a>b>c，由不等式的基本性质可得2a>b+c，C 对；
对于D 选项，不妨设a=−1，b=−2，c =−2.5，则a+b=−3<−2.5=c，D 错.
故选：C.
2．若m>0,n>0，且3m+2n−1=0,则3
m + 2
n的最小值为（ ）
A．20
B．12
C．16
D．25
【答案】D
【分析】由乘“1”法即可求解.
【详解】由条件可知：3m+2n=1,
所以3
m + 2
n =(3m+2n)(
3
m + 2
n)=13+ 6n
m + 6m
n ≥13+2√
6n
m × 6m
n =25，
当且仅当6n
m = 6m
n ，即m=n= 1
5取得等号，
所以3
m + 2
n的最小值为25，
故选：D
3．设a∈R，则“a≥2”是“a
2−3a+2≥0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解不等式a
2−3a+2≥0得a≥2或a≤1，再根据基本关系判定即可得答案.
【详解】解不等式a
2−3a+2≥0得a≥2或a≤1，
所以“a≥2”是“a
2−3a+2≥0”的充分不必要条件.
故选：A.
4．若a>1，则4 a+
1
a−1的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．无最小值
【答案】C
【分析】将式子配凑成4(a−1)+
1
a−1 + 4，然后利用基本不等式求解即可.
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【详解】若a>1，则4 a+
1
a−1 = 4 (a−1)+
1
a−1 + 4≥2√4 (a−1)⋅
1
a−1 + 4 =8，
当且仅当4 (a−1)=
1
a−1，即a= 3
2时，等号成立，所以4 a+
1
a−1的最小值为8．
故选：C．
5．多选题已知a,b为正实数，且ab+2a+b=16，则（ ）
A．2a+b的最小值为8
B．1
a+1 +
1
b+2的最小值为√2
2
C．ab的最大值为2√2
D．b+
1
9−a的最小值为6√2−1
10
【答案】AD
【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可
【详解】对于选项A，由16=ab+2a+b，得b= 16−2a
a+1
= 18
a+1 −2，
所以2a+b=2a+ 18
a+1 −2=2(a+1)+ 18
a+1 −4≥2√2(a+1)⋅18
a+1 −4 =8，
当且仅当2(a+1)= 18
a+1，即a=2,b= 4时取等号，所以选项A 正确，
对于选项B，因为ab+2a+b=16，所以
1
a+1 +
1
b+2 ≥2√
1
a+1 ⋅
1
b+2 =2√
1
ab+2a+b+2 = √2
3 ，
当且仅当a+1=b+2，即a=3√2−1,b=3√2−2时取等号，
此时1
a+1 +
1
b+2取得最小值√2
3 ，所以选项B 错误，
对于选项C，因为16=ab+2a+b≥ab+2√2ab，
当且仅当2a=b，即a=2,b= 4时取等号，
又√ab>0，解不等式得0<√ab≤2√2，即0<ab≤8，得到ab的最大值为8，所以选项
C 错误，
对于选项D，由选项A 知b= 18
a+1 −2，由a>0,b>0，得0<a<8，
所以b+
1
9−a = 18
a+1 +
1
9−a −2=(
18
a+1 +
1
9−a)(
a+1
10 + 9−a
10 )−2
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= 18(9−a)
10(a+1) +
a+1
10(9−a) −1
10 ≥2√
18
100 −1
10 = 6√2−1
10
，
当且仅当18(9−a)
10(a+1) =
a+1
10(9−a)，即a= 163−30√2
17
时取等号，
此时b+
1
9−a取得最小值6√2−1
10
，所以选项D 正确.
故选：AD.
6．设x为实数，则不等式x−2
5−x ≥0的解集是 .
【答案】[2,5)
【分析】根据分式不等式解法求解即可.
【详解】因为x−2
5−x ≥0⇒¿，
解得2≤x ≤5且x≠5，即2≤x<5，
所以不等式x−2
5−x ≥0的解集是[2,5).
故答案为：[2,5)
7．若实数x，y 满足不等式组¿，则z = 4 x +3 y的最大值为 ．
【答案】8
【分析】画出满足条件的平面区域，目标函数z = 4 x +3 y可化为y =−4
3 x + 1
3 z，显然
直线过A(2,0)时，z最大，求出z的值即可．
【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：
，
目标函数z = 4 x +3 y转化可得：y =−4
3 x + 1
3 z，
显然直线过A(2,0)时，z最大，
z的最大值是8．
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故答案为：8．
8．已知m,n∈(0,+ ∞)，1
m +n= 4，则m+ 9
n的最小值为 .
【答案】4
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为m,n∈(0,+∞)，1
m +n= 4，
所以m+ 9
n = 1
4(m+ 9
n)(
1
m +n)= 1
4(mn+ 9
mn +10)
≥1
4(2√mn⋅9
mn +10)= 4，
当且仅当mn= 9
mn，即m=1，n=3时取等号.
故答案为：4
9．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经
测算，企业拟安装一种使用寿命为4 年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：
万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该
企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为
C (x)= 20
x +5 ( x>0)，将该企业的净水设备购置费与安装后4 年需缴水费之和合计为y
（单位：万元）.
(1)要使y不超过7.2 万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？
【答案】(1)[11,20]
(2)设备占地面积为15 m
2时，y 的值最小
【分析】（1）由题意得y =0.2 x + 80
x +5 ( x>0)，解不等式y ≤7.2即可得解.
（2）将y =0.2 x + 80
x +5 ( x>0)变形为y = x +5
5
+ 80
x +5 −1，再利用基本不等式即可求
解.
【详解】（1）由题意得y =0.2 x + 80
x +5 ( x>0)，
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令y ≤7.2即0.2 x + 80
x +5 ≤7.2，整理得x
2−31 x +220≤0即(x−11)(x−20)≤0，
所以解得11≤x ≤20，
所以设备占地面积x的取值范围为[11,20].
（2）y =0.2 x + 80
x +5 = x +5
5
+ 80
x +5 −1≥2√
x +5
5
× 80
x +5 −1=2√16−1=7，
当且仅当x +5
5
= 80
x +5即x =15时等号成立，
所以设备占地面积为15 m
2时，y的值最小.
30
