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专题04 指对幂函数（十大题型十大易错题）
【题型1 幂函数的图像和性质】
1．下列图象中，不可能成为函数f (x)= x
3+ t
x
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能是（ ）
A．y = x
1
2
B．y = x
−1
2
C．y = x
3
D．y = x
1
3
3．已知a= log0.50.2,b=0.5
0.5,c =2
0.5，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．b<c<a
4．已知幂函数y = f (x)的图像过点(3, √3
3 )
，则该幂函数的值域是 ．
1
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5．已知函数f ( x)=(m
2−2m−2)⋅x
m
2+m−1是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增，则m=
【题型2 二次函数的解析式】
1．已知f (x)为二次函数，且f (x)= x
2+ f
′ (x)−1
，则f (x)=（ ）
A．x
2−2 x +1
B．x
2+2 x +1
C．2 x
2−2 x +1
D．2 x
2+2 x−1
2．二次函数y = f ( x)的图象经过坐标原点，若其导函数为f
′( x)=3 x−1
2
，则f ( x)=
.
3．已知f (x)=a x
2+bx +c (a,b,c∈R)，且f (x)<0的解集为(0,2)．
（1）当f (1)=−1，求函数f ( x)的解析式；
（2）若关于x的不等式2
f ( x)−1
4 >0对一切实数恒成立，求实数a的取值范围.
【题型3 二次函数的零点问题】
1．已知函数f ( x)=¿，则函数y = f (f ( x))+1有 个零点．
2．已知f (x)是定义在R，且满足f (x +2)= f (x−2)，当x∈[0,4)时，f (x)=|x
2−4 x +3|，
若函数y = f (x)−m在区间[−4,6]上有10 个不同零点，则实数m的取值范围是
．
3．若函数f ( x)=a x
2+a−1(a∈R)存在零点，且与函数f (f ( x))的零点完全相同，则实
数a的值为 .
【题型4 二次函数的单调性与最值】
1．已知函数f (x)=¿若对于任意的x∈R，都有f (x +2)>f (x)，那么实数a的取值范围是
（ ）
A．[−4,4)
B．[−4,2]
C．(−∞,4)
D．(−∞,2]
2
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2．已知f ( x)=¿是增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．[1,2]
B．[2,5]
C．[2,+∞)
D．[5,+∞)
3．已知f (x)，g(x)是定义域为R的函数，且f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，满足
f (x)+ g(x)=a x
2+3 x +2，若对任意的1< x1< x2<2，都有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>−2成立，则
实数a的取值范围是（ ）
A．[0,+ ∞)
B．[−1
2 ,0]
C．(−1
2 ,+∞)
D．[−1
2 ,+ ∞)
4．已知函数f ( x)=¿是R上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(0, 4
5 )
B．(0, 4
5 ]
C．(0,1)
D．(0,1]
5．已知函数f (x)=2 x
2−mx +1
在区间[−1,+∞)上单调递增，则f (1)的取值范围是（ ）．
A．[7 ,+ ∞)
B．(7 ,+∞)
C．(−∞,7]
D．(−∞,7)
6．已知二次函数f (x)=a x
2+2 x +c (x∈R)的值域为[0,+∞)，则1
c + 4
a
的最小值为
.
【题型5 指数幂的化简与求值】
1．已知 3
x =2,4
y =3 ，则 xy = .
【题型6 指函数的图像及应用】
2．已知函数f ( x)=¿在R上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．[0,+ ∞)
B．[0,1]
C．(−∞,0]
D．[0,1)
3．若函数f (x)=(
1
3)
x (x +a)在区间(0,2)单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．(−∞,4]
B．[4 ,+∞)
C．[−4 ,+∞)
D．(−∞,−4]
4．若函数f (x)=2
x
2+ax−3在(1,+ ∞)上单调，则a的取值范围是（ ）
3
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A．[−2,+∞)
B．[−1,+ ∞)
C．(−∞,−2]
D．(−∞,−1]
【题型7 解决指数函数性质有关的问题】
1．已知函数f ( x)=¿，g( x)= f ( x)+2 x−m，若g( x)有一个零点，则m 的取值范围是
（ ）
A．(−∞,1]
B．(−∞,1)
C．[1,+∞)
D．(1,+∞)
2．设f ( x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f ( x)=2
x−3，则f (−2)=（ ）
A．1
B．1
4
C．-1
D．−11
4
3．设f (x)是定义在R上的函数，若f (x)+ x
2是奇函数，f (x)+2
x是偶函数，则f (−1)的值
为（ ）
A．−1
4
B．−7
4
C．1
4
D．7
4
【题型8 对数式的化简与求值】
1．已知2lg2=m，10
n=3，则10
3m−2n
2
的值为（ ）
A．64
9
B．8
3
C．4
3
D．2√2
3
2．27
−2
3 + log85⋅log 1
5
2+10
2lg2−lg3= ．
3．已知2
log2a=3，log55
b=2，则a−b=（ ）
A．3
B．1
C．−1
D．−3
4．化简(
1
4)
−1
2 −|cos1−sin1|−lg 2
5 −lg25=（ ）
A．1−sin1+cos1B．1+sin1−cos1
C．2−sin1+cos1
D．2+sin1−cos1
5．20
lnln24−(ln 24)
ln20=（ ）
A．0
B．1
C．2024
D．2025
4
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6．已知2
a=3,log25=b，则2
a−b的值为（ ）
A．15
B．5
3
C．3
5
D．−2
7．若log2a+loga2=2，则a=（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
8．若 3
a=5
b=15，则 1
a + 1
b =（ ）
A．1
B．log35
C．log53
D．2
9．已知x0
e
x0 = 1
3
，则x0+ln 1
x0
= .
10．已知实数a>1，且满足loga(2a)+log2aa= 5
2
，则a= ．
11．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1⋅a6=3
675，则
log3a1+log3a2+⋯+log3a6=（ ）
A．2014
B．2024
C．2025
D．2026
【题型9 对数函数的图像及应用】
1．已知函数f ( x)=¿，则f (2+ log23)的值为（ ）
A．24
B．4
C．12
D．8
2．已知函数f (x)=¿则f (x)≤1
2 x的解集为（ ）
A．(−∞,0]
B．(−1,0]
C．(−1,0]∪[1,+∞) D．[1,+∞)
3．若函数f (x)=5
| x−a|在(1,+ ∞)上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．[1,+∞)
B．(1,+ ∞)
C．(−∞,1)
D．(−∞,1]
4．已知lga+lgb=0(a>0,b>0，且a≠1,b≠1)，则函数f (x)=a
−x与g(x)=logb x的图
象可能是（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
5．已知函数f (x)= ln x +1(x>0)，则f (e)=（ ）
A．−1
B．−2
C．1
D．2
6．已知函数f ( x)=lg(x
2−ax−5)在(5,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,4)
B．(−∞,4]
C．(4 ,+∞)
D．[4 ,+∞)
7．已知m≥1，若函数f (x)=¿有且仅有2 个零点，则实数m的取值范围为 ．
8．已知f ( x)=¿则f (f (11))= ．
9．已知函数f (x)=¿则f (−2)+ f (2)= .
10．已知函数f (x)= loga(3 x + 4)+2 x恒过定点(m,n)，则m+n= .
11．已知f (x)=¿是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ．
12．已知f (x)=ln(
m
x−2 +1)+2 x为奇函数，则实数m的值是 ．
【题型10 解决对数函数性质有关的问题】
1．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L
）与时间t（单位：h）间的关系为：P = P0e
−kt，其中P0
、k是正的常数．如果在前
5h消除了10 %的污染物，那么污染物减少2
3
大约需要花费（ ）h（参考数据：
lg3≈0.48）
A．55
B．60
C．64
D．65
6
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2．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，
记为T（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．
开始记录时，这两种物质的质量相等，512 天后测量发现乙的质量为甲的质量的1
4
，
则T 1,T 2满足的关系式为（ ）
A．−2+ 512
T 1
= 512
T 2
B．2+ 512
T 1
= 512
T 2
C．−2+log2 512
T 1
=log2 512
T 2
D．2+log2 512
T 1
=log2 512
T 2
3．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的
一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率v与时
间t（月）近似满足关系v =a⋅b
t（其中a、b为正常数），经过5个月，这种垃圾的分
解率为10 %，经过10个月，这种垃圾的分解率为20 %，则这种垃圾完全分解大约需要
经过（ ）个月（参考数据：lg2≈0.3）
A．20
B．22
C．24
D．26
4．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的
PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5 微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤
芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，
假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含
量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则PP棉滤芯的层
数最少为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
1．函数f (x)=(2
−x−2
x)|x|
x
的大致图象是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
2．已知函数f (x)= 1−2
x
1+2
x
，g(x)=¿，则函数h(x)= f (x−2)+ g(x)的图象与x，y 轴围成的
封闭图形的面积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
3．已知函数f ( x)=¿，若存在不相等的实数x1< x2< x3< x4
，满足f (x1)= f (x2)
= f (x3)= f (x4)，则x1+ x2+ x3+ x4
的取值范围为（ ）
A．[−2, 1
4)
B．(−2, 1
4]
C．[−3
2 , 1
4)
D．(−3
2 , 1
4]
4．已知函数f (x)=¿的值域为R，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[−1
12 ,+∞)
B．[−1
12 ,0)
C．[−1
3 ,0)
D．[−1
3 ,+∞)
5．夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教
室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许
浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，
记下课开窗通风t分钟后教室内的二氧化碳浓度为y %，且y随时间t（单位：分钟）的
变化规律可以用函数y =k∞+(k0−k∞)e
−t
10描述，k0%是二氧化碳初始浓度，k∞=0.03，
8
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则该教室内的二氧化碳浓度不超过0.10 %需要的时间t的最小整数值为（ ）
（参考数据：ln7≈1.946,ln11≈2.398）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．函数f ( x)=0.3
x−√x的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3)
B．(0.3,0.5)
C．(0.5,1)
D．(1,2)
7．多选题已知函数f (x)=|2
x−1|−a, g(x)= x
2−4|x|+2−a，则（ ）
A．当g(x)有2 个零点时，f (x)只有1 个零点
B．当g(x)有3 个零点时，f (x)只有1 个零点
C．当f (x)有2 个零点时，g(x)有2 个零点
D．当f (x)有2 个零点时，g(x)有4 个零点
8．已知函数f (x)=−2 x−x
5，则不等式f ( x−1)+ f (5−3 x)<0的解集是 .
9．已知函数f (x)= ln x +2
x，若f (2t )<2，则实数t 的取值范围是 ．
10．f (x)= 1
x + log 1
2
x，则 f (x−1)<1 的解集为 ．
11．已知函数f ( x)= 1
x + ln( x +1)−a( x>0,a∈R),g( x)= f (e
−x)．
(1)若a=2，解关于x的不等式g( x)+ x>ln3；
(2)证明：关于x的方程f ( x)= g( x)有且仅有一个实根；
(3)证明：g(g(t ))=t的充要条件是g(t )=t．
9
