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专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法
【题型归纳目录】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型三：三个二次之间的关系
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
题型五：绝对值不等式的解法
题型六：二次函数根的分布问题
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【高考考情分析】
考点要求
考题统计
复习目标
（1）会从实际情景中
抽象出一元二次不等
式．
（2）结合二次函数图
象，会判断一元二次方
程的根的个数，以及解
一元二次不等式．
（3 ）了解简单的分
式、绝对值不等式的解
法．
2020 年I 卷第1 题，5 分
1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函
数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方
程实根的存在性及实根的分布问题.
3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会
求高次方程和绝对值不等式.
1
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【知识点思维导图】
2
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【知识点梳理】
知识点1、一元二次不等式
一元二次不等式
，其中
，
是方程
的两个根，
且
（1）当
时，二次函数图象开口向上.
（2）①若
，解集为
.
②若
，解集为
.
③若
，解集为
.
(2) 当
时，二次函数图象开口向下.
①若
，解集为
②若
，解集为
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【例1】（2020 年山东省春季高考数学真题）已知二次函数
的图像如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】结合图像易知，
3
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不等式
的解集
，
故选：A.
【变式1-1】（2019 年天津市高考数学试卷（文科）） 设
，使不等式
成立的
的取值
范围为 .
【答案】
【解析】
，
即
，
即
，
故
的取值范围是
．
【变式1-2】（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷））不等式
的解集
为 ．（用区间表示）
【答案】
【解析】由
得：
，所以不等式
的解集为
，所以答案应填：
．
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【例2】若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】D
4
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【解析】当
时，
，
所以不等式的解集为
.
故选：D.
【变式2-1】集合
，若“
”是“
”的充分不
必要条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
因为“
”是“
”的充分不必要条件，
所以
是
的真子集，
当
时，
，
所以
，即
，
当
时，
，此时，
是
的真子集，符合题意；
当
时，
，
所以
，即
，
综上，所以实数
的取值范围
.
故选：A
【变式2-2】已知关于x 的不等式组
仅有一个整数解，则k 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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【答案】D
【解析】由
，即
，解得
或
，
由
，即
，
当
时，不等式
为
，无解；
当
时，不等式
解集为
，
结合题意，此时原不等式组的解集为
，且仅有一个整数解，
所以
，即
，
当
时，不等式
解集为
，
结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，
则
，即
，
综上所述，k 的取值范围为
，
故选：D
【变式2-3】（2025·高三·辽宁·期中）已知集合
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可知
，
，
若
，则
，
6
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若
时，则
.
因为
是
的必要不充分条件，则集合
是集合
的真子集，显然
时成立，
当
时，则
，且这两个不等号不能同时取到，故解得
且
，
综上所述：
.
故选：B.
题型三：三个二次之间的关系
【例3】（2013 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（重庆卷））关于x 的不等式
的解集为
，且：
，则a=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为关于x 的不等式
的解集为
，
所以
，又
，
所以
，
解得
，因为
，所以
.
故选：A.
【变式3-1】已知二次函数
图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
7
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A．
在区间
上单调递减
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
【答案】C
【解析】由图象及二次函数性质
的对称轴为
，又图象开口向上，
所以
在区间
上单调递减，A 对；
由图知：不等式
的解集为
，B 对；
由图知：
，C 错；
根据二次函数与一元二次方程的关系，
是
的两个根，
所以
，
，且
，
所以
，解集为
，D 对.
故选：C.
【变式3-2】（2025·高三·广东清远·开学考试）若关于x 的不等式
的解集为空集，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，显然解集为空，满足题设；
当
时，
在
上无解，
8
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所以
，可得
；
综上，
.
故选：C
【变式3-3】若关于
的不等式
的解集是
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解析】根据不等式与方程之间的关系知1 为方程
的一个根，
即
，解得
或
，
当
时，不等式
的解集是
，符合要求；
当
时，不等式
的解集是
，不符合要求，舍去．
故
，
故选：A．
知识点2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
【例4】（2007 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））不等式
的解集是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，解得
或
.
故选：C
【变式4-1】（2001 年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【解析】由题设
，可得
或
，
所以不等式解集为
或
.
故选：C
【变式4-2】（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））不等式
的解是
．
【答案】
或
【解析】不等式
等价于
，解得
或
，
故不等式的解集为：
或
．
故答案为
或
知识点3、绝对值不等式
（1）
（2）
；
10
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；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
题型五：绝对值不等式的解法
【例5】（2025·上海·模拟预测）设
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】由
.
所以不等式
的解集为：
.
故答案为：
【变式5-1】不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】由不等式
，得
，即
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
【变式5-2】（2025·高三·上海·期中）不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】由
，
可得：
，
解得：
，
所以原不等式的解集为：
，
故答案为：
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【变式5-3】（2025·高三·上海·期中）不等式
的解集为集合A，不等式
的解集为集合B，
则
.
【答案】
【解析】不等式
，解得
或
，即
，
不等式
，解得
，即
，
所以
.
故答案为：
题型六：二次函数根的分布问题
【例6】关于
的方程
有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
则由题意可知
，即
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：C．
【变式6-1】关于
的一元二次方程
有一个根小于1，另一个根大于1，则实数
的取
值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】二次函数
的图象开口向上，
由
的一个根小于1，另一个根大于1，得
，
因此
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：C
【变式6-2】若
，
是关于x 的方程
的解，且满足
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】D
【解析】因为
，
是关于x 的方程
的解，且满足
，
所以
在
上有两个零点，
所以
，解得
，则
，
所以
的取值范围是
.
故选：D.
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【例7】（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））已知函数
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设
，若关于x 的不等式
在R 上恒成立，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不等式
为
(*)，
当
时，(*)式即为
，
，
又
（
时取等号），
（
时取等号），
所以
，
当
时，(*)式为
，
，
又
（当
时取等号），
（当
时取等号），
所以
，
综上
．故选A．
【变式7-1】（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知
，函数
若对任意x∈［–3，+
），f(x)≤
恒成立，则a 的取值范围是 ．
【答案】
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【解析】分类讨论：①当
时，
即：
，
整理可得：
，
由恒成立的条件可知：
，
结合二次函数的性质可知：
当
时，
，则
；
②当
时，
即：
，整理可得：
，
由恒成立的条件可知：
，
结合二次函数的性质可知：
当
或
时，
，则
；
综合①②可得
的取值范围是
，故答案为
.
【变式7-2】（2014 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数
，若对
于任意的
都有
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为函数
的图象开口向上的抛物线，
所以要使对于任意的
都有
成立，
，解得
，
15
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所以实数
的取值范围为
．
【方法技巧与总结】
1、已知关于
的不等式
的解集为
（其中
），解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
，即关于
的不等式
的解集为
．
已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的不
等式
的解集为
．
2、已知关于
的不等式
的解集为
（其中
），解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的不等式
的解集为
．
3、已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的
不等式
的解集为
，以此类推．
4、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
5、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
6、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
7、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
．
16
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【强化测试】
1．关于
的一元二次方程
有两个不相等的正实数根，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为方程
有两个不相等的正实数根，
所以
，解得
且
.
故选：A.
2．方程
在区间
和
各有一个根的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为一元二次方程
在区间
和
各有一个根，
令
，则由题意可得
，即
，解得
，
则方程
在区间
和
各有一个根的充要条件是
.
故选：B.
3．不等式
的解集是（ ）
17
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
所以不等式
的解集为
．
故选：C.
4．已知集合
,
，若
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
．
因为
，所以
，即
．
故选：
.
5．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】不等式变形为
，
方程
有两个根，
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即
和1，则
的解集为
或
，
即不等式
的解集为
或
，
故选：C．
6．若一元二次不等式
对一切实数
都成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是一元二次不等式，所以
．
因为
对一切实数
都成立，
所以
，解得
．
故选：D.
7．命题
：
，
为真的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因命题
为真，故
在
上恒成立，
故
，解得
，
故命题
为真的一个充分不必要条件为
的子集，
故选：B
8．已知二次函数
．若在区间
内至少存在一个实数c，使得
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，则实数p 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】考虑它的反面，在
上恒有
，则
即
，解得
或
，
再利用求补法求出p 的范围，得
．
故选：C．
9．（2025·高三·河南许昌·期中）
，
恒成立，则实数
的最大值为
（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】C
【解析】
，
恒成立，
即
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，则实数
的最大值为
.
故选：C
10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
“
”是
：“
”成立的必
要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
20
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，即
，
则
或
，即
，
又
是
的必要不充分条件，则
或
，即
或
.
则
的取值范围为
.
故选：B
11．（多选题）下列叙述中正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．若a，b，
，则“
”的充要条件是“
”
C．“
”是“方程
有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．若a，b，
且
，则“
在
上恒成立”的充要条件是“
”
【答案】ACD
【解析】对于A：
，当
时，
，所以
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，故A 正确；
对于B：当
时，若“
”成立，而
，充分性不成立，故B 错误；
对于C：令
，方程
有一个正根和一个负根，则
，
则有
，所以“
”是“方程
有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C 正确；
对于D：当
时，
在
上恒成立可以推出
，
21
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而
也可以推出
恒成立，故D 正确.
故选：ACD.
12．（多选题）（2025·高三·广东湛江·期末）已知
，
，下列给出的实数
的值，
能使p 是q 的充分不必要条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
=2025
【答案】BCD
【解析】对于
，
，
解得
或
，
而
，
要使p 是q 的充分不必要条件，则
，
所以BCD 选项正确，A 选项错误.
故选：BCD
13．（多选题）已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．
的最小值为
【答案】AB
【解析】因为关于x 的不等式
的解集为
，
所以
，4 是方程
的两根，且
，故A 正确；
所以
，解得
，
所以
，即
，则
，解得
，
22
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所以不等式
的解集为
，故B 正确；
而
，故C 错误；
因为
，
，
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
或
时，等号成立，
与
矛盾，所以
取不到最小值
，故D 错误.
故选：AB
14．（多选题）已知不等式
的解集为
或
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的解集为
【答案】ABC
【解析】因为不等式
的解集为
或
，
可知
，且
的根为
，故A 正确；
则
，可得
，
则
，
，B 正确；C 正确；
因为
，即
，且
，
则
0，解得
，
所以
的解集为
，D 错误．
故选：ABC．
23
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15．已知函数
则不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】函数
，
显然
在
上单调递增，
在
上单调递增，
且
，即
时函数连续，所以
在
上递增，
不等式
可化为
，
即
，解得
或
，
则原不等式的解集为
．
故答案为：
.
16．若命题“
”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，不等式
有解，
实数m 的取值范围为
．
故答案为：
17．若关于
的不等式
的解集为
，且
．则
的取值范围为 ，
的最小值是 ．
【答案】
.
【解析】
的解集为
，
24
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则
有2 个大于1 的根，则
，
由韦达定理，可得
，则
.
注意到
，
因
，则
，则
，
故
.
当且仅当
，即
时取等号.
故答案为：
；
.
18．不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】不等式
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
.
25
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19．已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为
．
【答案】
【解析】由于一元二次不等式
的解集为
，故
是方程
的两个实数根，故
，解得
，
故
为
，故
，解得
，
故解集为
，
故答案为：
26
