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待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）
责编:康红梅
【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函
数三种形式是可以互相转化的．
【要点梳理】
要点一、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：
(a，b，c 为常数，a≠0)；
(2)顶点式：
(a，h，k 为常数，a≠0)；
(3)交点式：
(
，
为抛物线与x 轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如
或
，
或
，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，
可设函数的解析式为
；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设
函数的解析式为
；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解
析式为
．
【典型例题】
类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.
【答案与解析】
本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：
5
3
9
3
9
c
b
a
c
b
a
c
b
a
解得
5
3
1
c
b
a
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共4页
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∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.
【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0).
举一反三：
【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式
高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】
【变式】已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．
【答案与解析】
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得
解得
，
∴抛物线解析式为y=2x2+x；
∴抛物线的对称轴x=﹣
=﹣
=﹣．
2．（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解
析式．
【答案与解析】
解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
设此二次函数的解析式为y=a（x
1
﹣）2
2
﹣，
把点（2，3）代入解析式，得：
a
2=3
﹣
，即a=5，
∴此函数的解析式为y=5（x
1
﹣）2
2
﹣．
【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.
举一反三：
【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式
高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】
【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为
，且过点
.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移
后所得图象与
轴的另一个交点的坐标.
【答案】（1）
．
（2）令
，得
，解方程，得
，
．
∴二次函数图象与
轴的两个交点坐标分别为
和
．
∴二次函数图象向右平移1 个单位后经过坐标原点．
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平移后所得图象与
轴的另一个交点坐标为
.
INCLUDEPICTURE
"https://resource.etiantian.com/ett20/resource/99b01980a53a49c1ecacbfc2256cb47b/
images/mb04_080317.gif" \* MERGEFORMATINET
3．（2016•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如
图，则它的函数表达式是
．当x
时，y＞0．
【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数
的解析式．y＞0 时，求x 的取值范围，即求抛物线落在x 轴上方时所对应的x 的值．
【答案】y=x2
4x
﹣
+3．x＜1，或x＞3
【解析】
解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），
由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x
1
﹣）（x
3
﹣），
将（0，3）代入，
3=a（0
1
﹣）（0
3
﹣），
解得a=1．
故函数表达式为y=x2
4x
﹣
+3．
由图可知当x＜1，或x＞3 时，y＞0．
【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系
式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组
来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交
点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
类型二、用待定系数法解题
4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)求△ABC 的面积．
【答案与解析】
(1)设抛物线解析式为
(a≠0)，将(3，5)代入得
，
∴
．
∴
．
即
．
(2)由(1)知C(0，8)，
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∴
．
【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．
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