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待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）
责编:康红梅
【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函
数三种形式是可以互相转化的．
【要点梳理】
要点一、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：
(a，b，c 为常数，a≠0)；
(2)顶点式：
(a，h，k 为常数，a≠0)；
(3)交点式：
(
，
为抛物线与x 轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如
或
，
或
，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，
可设函数的解析式为
；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设
函数的解析式为
；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解
析式为
．
【典型例题】
类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1. 已知抛物线y
ax
bx
c
2
经过A，B，C 三点，当x 0时，其图象如图1 所示.求抛物线的解析式，
写出顶点坐标.
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共5页
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图1
【答案与解析】
设所求抛物线的解析式为y
ax
bx
c
2
（a 0）.
由图象可知A，B，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.
解之，得
a
b
c
1
2
3
2
2
,
,
抛物线的解析式为y
x
x
1
2
3
2
2
2
y
x
x
x
1
2
3
2
1
2
3
2
25
8
2
2
(
)
(
)
该抛物线的顶点坐标为(
)
3
2
25
8
，
.
【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.
已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是
求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x 0.
INCLUDEPICTURE
"https://resource.etiantian.com/ett20/resource/99b01980a53a49c1ecacbfc2256cb47b/images/
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2. （2016•丹阳市校级模拟）形状与抛物线y=2x2
3x
﹣
+1
的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为
．
【思路点拨】形状与抛物线y=2x2
3x
﹣
+1 的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为y=
2
﹣（x﹣
h）2+k，其中（h，k）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．
【答案】y=
2x
﹣
2
5
﹣．
【解析】
解：∵形状与抛物线y=2x2
3x
﹣
+1 的图象形状相同，但开口方向不同，
设抛物线的关系式为y=
2
﹣（x
h
﹣）2+k，
将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=
2
﹣（x
0
﹣）2
5
﹣，即y=
2x
﹣
2
5
﹣．
∴抛物线的关系式为y=
2x
﹣
2
5
﹣．
【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系
式，从而代入数值求解．
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3. 已知抛物线y
ax
bx
c
2
的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的
函数关系式.
【答案与解析】
因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x 1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6，
所以两交点的横坐标分别为：
x1
1
3
，
x2
1
3
， 则两交点的坐标为（4 ，0）、
（2，0）；求函
数的函数关系式可有两种方法：
解法
：设抛物线的函数关系式为顶点式：y
a x
(
)1
4
2
(a≠0)，把（2，0）代入得a 4
9 ，
所以抛物线的函数关系式为y
x
4
9
1
4
2
(
)
；
解法
：设抛物线的函数关系式为两点式：
(a≠0)，
把（－1，4）代入得a 4
9 ，
所以抛物线的函数关系式为：
；
【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.
举一反三：
【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式
高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】
【变式】已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式
．
【答案】y=﹣x2
2x+
﹣
.
提示：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+ ，
将点（1，0）代入，得a（1+2）2+ =0，
解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+ ，
∴所求二次函数解析式为y=﹣x2
2x+
﹣
．
类型二、用待定系数法解题
4.（2015 春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，
（1）求二次函数的解析式；
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（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP 的面积．
【答案与解析】
解：（1）由二次函数图象知，函数与x 轴交于两点（﹣1，0），（3，0），
设其解析式为：y=a（x+1）（x
3
﹣），
又∵函数与y 轴交于点（0，2），
代入解析式得，
a×（﹣3）=2，
a=
∴
﹣，
∴二次函数的解析式为：
，即
；
（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1，
当x=1 时，y=﹣×2×（﹣2）= ，
ABP
∴△
的面积S=
=
=
．
【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减
少计算量.
【答案与解析】
(1)把A(2，0)，B(0，-6)代入
得
解得
∴ 这个二次函数的解析式为
．
(2)∵ 该抛物线的对称轴为直线
，
∴ 点C 的坐标为(4，0)，
∴ AC＝OC-OA＝4-2＝2．
∴
．
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【总结升华】求△ABC 的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进
行求解．(1)将A、B 两点坐标分别代入解析式求出b，c 的值．(2)先求出点C 的坐标再求出△ABC
的面积．
举一反三：
【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式
高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】
【变式】已知二次函数图象的顶点是
，且过点
．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求证：对任意实数
，点
都不在这个二次函数的图象上.
【答案】（1）
；
（2）证明：若点
在此二次函数的图象上，则
．
得
．
△=
，该方程无实根．
所以原结论成立．
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