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专题05 指数函数与对数函数（核心考点精讲精
练）
1. 近几年真题考点分布
指数函数与对数函数近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2022 年全国乙（文科），第16 题,5 分
对数型函数奇偶性
求参
2022 年全国乙（理科），第16 题,5 分
指数型函数
根据极值求参
2022 年全国甲（文科），第12 题,5 分
指数、对数型函数比大小
不等式
2022 年全国甲（理科），第5 题,5 分
指数型函数图象
三角函数
2022 年全国甲（理科），第6 题,5 分
对数型函数
导函数
2023 年全国甲（文科），第8 题,5 分
指数型函数
求切线
2023 年全国乙（文科），第5 题,5 分
指数型函数奇偶性
奇偶性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考点，考查指数、对数型函数的性质、图象等；
2.和幂函数一起考查比较大小。
【备考策略】1.了解有理数指数幂的含义，能根据实数指数幂的运算性质进行计算；
2.会画指数函数的图象，知道图象与函数之间的对应关系；
3.掌握指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用；
4.会进行对数的运算；会画对数函数的图象，理解对数函数和图象之间的对应.
5.了解指数函数y=ax
与对数函数y=loga x(a>0,
a
且≠1)互为反函数；
6.掌握对数函数的性质与应用。
【命题预测】1.利用指数、对数型函数的性质比较大小；
2.函数解析式中含有指数、对数型函数，求切线、求极值、求参数；
3.根据指数、对数型函数的性质找出正确的函数图象。
1
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知识讲解
一、根式
1.根式的概念
若
x n =a
,则x 叫作a 的n 次方根,其中n>1 且n∈N*.n√a叫作根式,这里n 叫作根指数,a 叫作被开方数.
2.a 的n 次方根的表示
xn=a⇒{
x =
n√a,n为大于1的奇数且n∈N
*,
x =±
n√a,n为偶数且n∈N
*.
二、有理数指数幂
1.幂的有关概念
(1)正分数指数幂:a
m
n =
n√a
m(a>0,m,n∈N*,且n>1);
(2)负分数指数幂:a
- m
n = 1
n√a
m(a>0,m,n∈N*,且n>1);
(3)0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂 没有意义
.
2.实数指数幂的性质
(1)aras=
a r+s
(a>0,r,s∈R);
(2)(ar)s=
a rs
(a>0,r,s∈R);
2
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(3)(ab)r=
a r b r
(a>0,b>0,r∈R).
三、指数函数的图象与性质
函数
y=ax(a>0,且a≠1)
a>1
0<a<1
图象
图象
特征
在x 轴
上方
,过定点
(0,1)
当x 逐渐增大时,图象逐渐上升
当x 逐渐增大时,图象逐渐下降
性
质
定义域
R
值域
(0,
+∞
)
单调性
单调递增
单调递减
函数值变
化规律
当x=0 时,
y=
1
当x<0 时,
0 <y<
1
;
当x>0 时,
y>
1
当x<0 时,
y>
1
;
当x>0 时,
0 <y<
1
1.指数函数图象的画法
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个特殊的点:(1,a),(0,1),(-1, 1
a).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx 的图象如图所示, 底数a,b,c,d 与1 之间的大小关系为
c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象离x 轴越远,底数
越大.
3.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a 的取值有关,要特别注意分a>1 与0<a<1 来研究.
1.指数幂的运算先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂
相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
应用指数函数图象的3 个技巧:
(1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a)，(0,1)，(−1，1
a).
(2)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变
3
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换而得到的.特别地,当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
比较指数式大小的方法:(1)当底数相同,指数不同时,构造指数函数比较大小.(2)当指数相同,底数不同时,
构造幂函数比较大小.(3)当底数不同,指数也不同时,常借助1,0 等中间量进行比较.
1.解指数方程或不等式的依据:①af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),当a>1 时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1 时,
等价于f(x)<g(x).
2.解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
在研究指数型函数的单调性时,一要考虑复合函数的单调性:同增异减;二要注意当底数a 与“1”的大小
关系不确定时,要分类讨论.
涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数的相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单
调区间、最值等问题时,一般要借助“同增异减”这一性质分析判断.
四、对数
概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x 叫作以a 为底N 的对数,记作x=logaN,其中a 叫作对数的底数,N 叫作
真数,logaN 叫作对数式
结论
对数式与指数式的互化:ax=N⇔
x=
log
aN
loga1=0,logaa=1,a
lo ga N=
N
运算
性质
loga(M·N)=
log
aM+
log
aN
a>0,且a≠1,M>0,N>0
loga M
N =
log
aM-
log
aN
logaMn=
n log
aM
(n∈R)
换底
公式
logab=lo gcb
lo gc a(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
换底公式的三个重要结论
(1)logab=
1
lo gba;
(2)loga
mbn= n
mlogab;
(3)logab·logbc·logcd=logad.
五、对数函数的图象与性质
函
数
y=logax(a>0,且a≠1)
a>1
0<a<1
图
象
图
象
特
征
在y 轴
右侧
,过定点(1,0)
当x 逐渐增大时,图象是
上升
的
当x 逐渐增大时,图象是
下降
的
性
质
定义域
(0,+∞)
值域
R
单调性
在(0,+∞)上是
增函数
在(0,+∞)上是
减函数
函数
值变
化规律
当x=1 时,
y=
0
当x>1 时,y>0;当0<x<1 时,
y<
0
当x>1 时,y<0;当0<x<1 时,
y>
0
4
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对数函数图象的特点
(1)对数函数y=logax 的图象恒过点(1,0),(a,1),(
1
a ,-1),依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象.
(2)函数y=logax 与y=log 1
ax(a>0,且a≠1)的图象关于x 轴对称.
(3)对数函数的图象与底数大小的比较.
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
六、反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线
y=x
对称.
1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后
用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.
3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、
零点时,常利用数形结合思想;
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同
可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0 等中间量进行比较
解对数不等式的类型及方法:①形如logax>logab 的不等式,借助y=logax 的单调性求解,如果a 的取值不确
定,那么需分a>1 与0<a<1 两种情况讨论;②形如logax>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式
再进行求解.
已知f(x)=loga[g(x)]在区间[m,n]上是单调递增函数,对于这类问题,应从两个方面考虑:一是根据a 与1 的
大小关系确定g(x)在[m,n]上的单调性;二是g(x)>0 在x∈[m,n]时恒成立,此时只需g(x)min>0 即可.
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:
一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1 的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些
基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
5
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考点一、指数幂运算
1．(2023 年杭州模拟)化简
√a3b23√ab
2
(a
1
4 b
1
2)
4
¿
3√
b
a
(a>0,b>0)
的结果是（ ）.
A．
b
a B．
a
b C．
a2
b
D．
b2
a
【答案】B
【详解】
√a3b23√ab
2
(a
1
4 b
1
2)
4
¿
3
√
b
a
= a
3
2 b⋅a
1
6 b
1
3
ab
2¿a
−1
3 ¿b
1
3
=a
3
2+ 1
6 1+ 1
3 ¿b
1+ 1
3 2−1
3 =ab
−1=a
b .
2．（2023 年浙江省模拟）已知函数
，则
________，
________.
【答案】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为
，所以
，所以
.
1．(1)计算:
（1
4 ）
1
2⋅√（4ab−1）3
(0.1)−1⋅(a3⋅b−3)
1
2
=
（a>0,b>0）.
【答案】
8
5
【详解】原式
=2⋅4
3
2 a
3
2 b
−3
2
10a
3
2 b
−3
2
=8
5
.
(2)若x
1
2+x
−1
2=3( x>0),则
x
3
2+x
−3
2−3
x2+x−2−2
=
.
【答案】1
3
6
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【详解】由x
1
2+x
−1
2=3 ,两边平方得x+x−1=7 ,
再平方得x2+x−2=47,∴x2+x−2−2=45.
又∵
x
3
2+x
−3
2=( x
1
2 )3+( x
−1
2 )3=( x
1
2+x
−1
2 )( x−1+x−1)=3×(7−1)=18
,∴x
3
2+x
−3
2−3
x2+x−2−2
=1
3
.
2．化简求值:(1)
；(2)
（
，
）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；
（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.
【详解】（1）
.
（2）
3．（2023 年浙江省模拟）设函数
，若
，则
__________.
【答案】
/0.25
【分析】分段求解方程和指数方程，则问题得解.
【详解】当
时，
，
，当
时，
，
(舍)．
．
考点二、指数函数的性质及应用
1．（2023 年陕西省部分名校模拟）已知函数
,若
，且
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
7
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【分析】作出
的图象，得到
，问题转化为
，换元
后进行求解，得到答案.
【详解】作出
的图象，如图所示：
由
，可得
，
则
，令
，
则
，故
．
2．（2023 年朔州市名校模拟）若函数
，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先，对勾函数
和
都是递增函数，当
时，对勾函数取值要大于或
等于指数式的值，再求交集即可实数a 的取值范围.
【详解】当
时，函数
单调递增，所以
当
时，
是单调递增函数，所以
，所以
当
时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以
，解之得：
，
综上所述：实数a 的取值范围是
3．（2023 年高考全国甲卷（文科）真题）已知函数
．记
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
8
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所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，又
为增函数，故
，即
.
1．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】函数
在
上为减函数，
函数
的图像开口向下，对称轴为
，
所以函数
在区间
上为减函数，且
.
所以函数
在
上为减函数.
由
得
.解得
.
2．若函数
是R 上的增函数，则实数
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据已知条件得出不等式组
，求解即可得出答案.
9
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【详解】要使函数
为R 上的增函数，应有
，解得
.
3．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数
的单调性可得
，然后利用函数指数函数和幂函数的单调性可得.
【详解】因为函数
在R 上单调递减，
，所以
，
因为函数
在R 为增函数，所以
，
又
在
上单调递增，所以
，综上，
.
考点三、对数的运算
1．(1)(2020 年全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4−a= （ ）.
A．
1
16
B．
1
9
C．
1
8
D．
1
6
【答案】B
【详解】由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9 ,所以
4−a=1
9 .
(2)计算:
log535+2log1
2
√2−log5
1
50 −log514=
.
【答案】2
【详解】原式
=log535−log5
1
50 −log514+log1
2
(√2)2=log5
35
1
50 ×14
+log1
2
2=log5125−1=log553−1=3−1=2
.
(3)计算:log225⋅log3(2√2)⋅log59= .
【答案】6
10
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【详解】
log225⋅log3(2√2)⋅log59=lg25
lg2 ⋅lg(√2)3
lg3
⋅lg9
lg5 =lg52
lg2 ⋅lg2
3
2
lg3 ⋅lg32
lg5 =6
.
2．(2022 年浙江卷) 已知2a=5 ,log83=b ,则4a−3b= （ ）.
A．25
B．5 C．
25
9
D．
5
3
【答案】C
【详解】因为2a=5 ,
b=log83=1
3 log23
,即23b=3 ,
所以
4a−3b= 4a
43b= (2a)2
(23b)2=52
32=25
9 .
3．（2023 年浙江省模拟）已知函数
，则
_______，
_________.
【答案】
/
/
【分析】利用函数
的解析式可求得
的值，计算出
的范围，根据函数
的解析式可求得
的值.
【详解】因为
，则
；因为
，
所以，
，所以，
.
1．计算：（1）
；
（2）
.
（3）
.
【答案】（1）0；（2）
；（3）2
【分析】（1）（2）（3）根据指数幂和对数的运算法则直接计算；
【详解】（1）原式
；
（2）
＝
11
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＝
＝
＝
（3）
=2
2．（2023 年北京高考数学真题）已知函数
，则
____________．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把
代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数
，所以
.
3．已知函数
．则
______；若
，则实数m 的值为______．
【答案】 或
【分析】第一空，直接代入即可求解；第二空，对参数
的取值范围进行分类讨论，结合函数解析式和函
数值，即可求得结果.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，解得
，满足题意；
当
时，
，解得
，满足题意；综上：
的值为或.
考点四、指数、对数函数的图象
1．(2023 年宁波适应性考试)若a−2>a2(a>0
a
且≠1),则函数f (x)=loga(x−1)的图象大致是（
）.
12
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A B C D
【答案】C
【详解】∵a−2>a2(a>0
a
且≠1),且−2<2,∴指数函数y=ax 为减函数,∴0<a<1 ,∴对数函数
y=loga x 在(0,+∞)上为减函数.在该函数图象的基础上向右平移1 个单位长度得到函数
f (x)=loga(x−1)的图象,因此,C 选项中的图象为函数f (x)=loga(x−1)的图象.
2．（2022 年全国高考甲卷（理）高考真题）函数
在区间
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令
，
则
，
所以
为奇函数，排除BD；
又当
时，
，所以
，排除C.
3．(2023 年山东二模)已知函数f ( x)=loga(2x+b−1)(a>0,
a
且≠1)的图象如图所示,则a,b 满足的关系
是（ ）.
13
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A．0<a−1<b<1 B．0<b<a−1<1 C．0<b−1<a<1 D．0<a−1<b−1<1
【答案】A
【详解】由函数图象可知,f ( x)为增函数,故a>1 .函数图象与y 轴的交点坐标为(0,logab),
由函数图象可知−1<logab<0 ,解得1
a <b<1.综上,0< 1
a <b<1.
1．(2023 年山东滕州模拟)函数f (x)=loga/x/+1（0<a<1）的图象大致为（ ）.
A B C D
【答案】A
【详解】由函数f ( x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y 轴对称.设g(x)=loga/x/¿ ¿,先画出当
x>0 时g( x)的图象,然后根据g( x)的图象关于y 轴对称画出当x<0 时g( x)的图象,最后由函数g( x)的
图象向上整体平移1 个单位长度即得f ( x)的图象,结合图象知选A.
2．（2023 年新高考天津数学高考真题）函数
的图象如下图所示，则
的解析式可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A、C 中函数在
上的
14
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函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
3．已知函数
（
且
）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数图象可得出
、
的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD 选项，利用不等式
的基本性质可判断B 选项.
【详解】由图象可知，函数
（
且
）在
上单调递增，则
，
且当
时，
，可得
.对于A 选项，
，A 对；
对于B 选项，
，B 对；对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，由题意可知，
，则
，所以，
，D 对.
考点五、对数函数的性质及应用
1．（2023 年陕西省模拟）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用解绝对值不等式和对数函数的性质可得集合
，根据集合的交集运算即得答案.
【详解】由题意可得集合
，
，故
.
2．(2023 年四川绵阳三模)已知a=log72
2
,b=log73
3
,c=log76
6
,则a
,b ,c 的大小关系为（ ）.
A．a>b>c
B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a
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【答案】B
【详解】因为mlogab=log(ab )m,所以a=log72
2
=3log72
6
=log78
6
,b=log73
3
=2log73
6
=log79
6
.
又因为y=log7 x 为增函数,c=log76
6
,所以log76<log 7 8<log79，所以b>a>c .
3．（2023 年浙江省模拟）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
和
D．
和
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，在分析内、外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于函数
，令
，解得
且
，
所以函数的定义域为
，
又函数
，
所以
在
，
上单调递增，在
，
上单调递减，
又函数
在定义域
上单调递减，根据复合函数的单调性，
可知
的单调递增区间为
和
.
1．设函数f ( x)是定义在R 上的偶函数,当x≥0 时,f ( x)=lg(3 x+1)−1,则不等式f ( x)>0 的解集为（
）.
A．（−3，0）∪（3，+∞）
B．（3，+∞） C．（−3,3） D．（−∞，−3）∪（3，+∞）
【答案】D
【详解】当x≥0 时,由f ( x)=lg(3 x+1)−1>0,得x>3 .又因为函数f ( x)为偶函数,所以不等式f ( x)>0
的解集为（−∞，−3）∪（3，+∞）.
2．已知a=log23,b=log46,c=log69,则（ ）.
A．b<c<a
B．c<b<a
C．a<c<b D．c<a<b
【答案】B
【详解】a=log23=log2(2×3
2 )=log22+log2 3
2=1+log2 3
2 .
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b=log46=log 4(4×3
2 )=log44+log 4 3
2=1+log 4 3
2 .
c=log69=log6(6×3
2 )=log66+log6 3
2=1+log6 3
2 .
又∵log2 3
2>log 4 3
2>log6 3
2 ,∴a>b>c .
3．设函数f ( x)=log 1
3
(4×2−4ax +3a)在（0,1）上是增函数,则a 的取值范围是（ ）.
【答案】[2,4]
【详解】令t=4×2−4ax +3a,由y=log1
3
t 在（0，+∞）上是减函数
可得t=4×2−4ax +3a在（0,1）上是减函数,且t>0 在（0,1）上恒成立
又t=4×2−4ax +3a=4（x−a
2 ）2−a2+3a,
∴{
a
2≥1,
4−4 a+3a≥0
，解得
2≤a≤4
.
考点六、指数、对数函数的综合应用
1．若函数
f ( x)=loga(x2−ax+ 1
2)有最小值,则实数a 的取值范围是 .
【答案】(1,√2)
【详解】令
u=x2−ax+ 1
2=( x−1
2 )2+ 1
2−a2
4 , 则u 有最小值
1
2−a2
4 , 欲使函数
f ( x)=loga(x2−ax+ 1
2)有最小值,则有{
a>1
1
2−a2
4 >0 ，
解得1<a<
√2
,即实数a 的取值范围为(1,
√2
).
2．（2023 重庆市名校模拟）已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合对数恒等式对题给式子进行变形，进而构造函数，根据函数的单调性解最值.
【详解】正数
、
满足
，
所以
，即
，因为
，所以
，
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利用对数恒等式有
，令
，
，因为
恒成立.
所以函数
在
上单调递增，所以
，即
，则
，
构造函数
，则
，当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
故当
时，
有最小值即
，
所以
的最小值为
.
3．（2023 昆明市名校模拟）已知函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可.
【详解】
，当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
因为
，所以
，故
，因为
所以
，即
.
1．设函数
，若实数a，b，c 满足
，且
.则下列结论不
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数图象找出实数a，b，c 的范围，求出
，对不成立的结论可举反例,对恒成立的结论结
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合对勾函数的性质进行论证.
【详解】画出函数图象，如图，
因为
，且
，
.
所以
.且
即
.对A，因为
，所以
，故A 成立；
对B，因为
，所以
，由对勾函数的性质知函数
在
上为单调减函数，
则
，故B 成立；
对C，因为
，所以
，又
，则
，令
解得
，即
时，
,
因为函数
在
上单调递减，则当
时，有
，故C 不成立；
对D，因为
，所以
，由对勾函数的性质知
在
上递减，则
.
因为函数
在
上单调递减，所以
，故D 成立.
2．甲、乙两人解关于x 的方程2x+b⋅2−x+c=0 ,甲写错了常数b,得到的根为
x=−2
x
或=log2
17
4 ,乙写
错了常数c,得到的根为x=0
x
或=1,则原方程的根为( ).
A．x=−2
x
或=log23 B．x=−1
x
或=1 C．x=0
x
或=2 D．x=−1
x
或=2
【答案】D
【详解】令t=2x(t>0),则方程2x+b⋅2−x+c=0 可化为
t+ b
t +c=0
,即t2+ct +b=0 ,甲写错了常数b ,
所以
t= 1
4
t
和=17
4 是方程t2+ct +b，=0的两根, 所以
c=−( 1
4 +17
4 )=−9
2, , 乙写错了常数c , 所以
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t=1
t
和=2是方程t2+c，t+b=0的两根,所以b=1×2=2,则可得原方程可化为
t2−9
2 t+2=0
,解得
t=1
2
t
和=4
,所以原方程的根为x=−1
x
或=2.
3．已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】观察
的形式构造函数，判断函数的单调性来比较大小.
【详解】
，
，
.
构造函数
，则
,当
时，
,函数
递增;当
时，
,函数
递减；因为
,所以
考点七、情景设置
1．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定
义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】根据题意可知
，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，因为
，则
，
即
，所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，因为
，则
，
即
，所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
2．（2023 湖南省名校模拟）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其
增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，
我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是
，一年后是
；而把“不见其损”量化为每
天的“落后率”都是
，一年后是
.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的
倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的
倍，大约需要
经过（
，
）（ ）
A．17 天 B．19 天
C．23 天
D．25 天
【答案】C
【分析】根据题意得
，根据对数的运算性质即可求解.
【详解】经过x 天后，“进步”与“落后”的比
，所以
，
两边取以
为底的对数得
，又
，
，
21
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所以
，解得
，
所以大约经过
天后，“进步”是“落后”的
倍.
3．（2020 年新课标Ⅲ（理科）高考真题）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有
学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：
，其中K 为最大确诊病例数．当I(
)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则
约为
（ ）（ln19≈3）
A．60
B．63
C．66
D．69
【答案】C
【分析】将
代入函数
结合
求得
即可得解.
【详解】
，所以
，则
，
所以，
，解得
.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
1．苏格兰数学家纳皮尔（J. Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理
“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成
，则
，这样我们可以知道N 的位数.已知正整数
是35 位数，则M 的值为（ ）
N
2
3
4
5
11
12
13
14
15
0.30
0.48
0.60
0.70
1.04
1.08
1.11
1.15
1.18
A．3 B．12
C．13 D．14
【答案】C
【分析】根据给定条件，列出不等式，再取常用对数即可判断作答.
【详解】因为
，则
，
所以
，两边取常用对数得
，于是
，即
，
所以
.
2．（2023 年重庆市部分名校模拟）2020 年12 月17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子
王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回
弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接
触水面的速率为
，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的
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速率为上一次的
，若要使石片的速率低于
，则至少需要“打水漂”的次数为（ ）
（参考数据：取
）
A．9
B．10
C．11 D．12
【答案】B
【分析】设石片第
次“打水漂”时的速率为
，则
，由于
，可得
，
再结合对数公式，即可求解．
【详解】设石片第
次“打水漂”时的速率为
，则
，
，
，则
，即
，
解得
，故至少需要“打水漂”的次数为10．
3．设
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为高斯函数，例如:
，
．已知
函数
，若
，
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据高斯函数的定义，分段讨论的取值，计算
的值域.
【详解】当
时,
，∴
，当
时,
，
∴
，∴函数
的值域为
.
【基础过关】
1．（2023 年安徽省部分名校模拟）集合
，集合
，全集
，则(CU A)∪B 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对数的性质以及根式的性质可化简集合，即可由集合的交并补运算求解.
【详解】对于集合A,由于
或
，所以A=(−∞,−2)∪(2,+∞),CU A=[−2,2]，
,故(CU A)∪B=
.
2．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的
能量
（单位：焦耳）与地震里氏震级
之间的关系为
.据此，地震震级每提高1 级，释放
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出的能量是提高前的（参考数据：
）（ ）
A．9.46 倍 B．31.60 倍
C．36.40 倍 D．47.40 倍
【答案】B
【分析】记地震震级提高至里氏震级
，释放后的能量为
，由题意可推得
，根据对数
的运算，结合指对互化以及指数幂的运算，即可得出答案.
【详解】记地震震级提高至里氏震级
，释放后的能量为
，
由题意可知，
，即
，所以
.
3．lg 4+2lg5+log28+8
2
3= （ ）.
A.8 B.9
C.10 D.1
【答案】B
【详解】因lg4+2lg5=lg4+lg52=lg4+lg25=lg100=2,log28=log223=3,
8
2
3=（23）
2
3=22=4 ,所以原式=2+3+4=9 .
4．（2023 河南省部分名校模拟）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得出
，
，进而即可得到
，
，的大小关系．
【详解】由
，且
，即
，又
，
所以c＜b＜a．
5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为
℃，空气温度为
℃，则分钟后物体的温度
（单位：℃，满足：
)若常数
，空气温度为
℃，
某物体的温度从
℃下降到
℃，大约需要的时间为（ ）（参考数据：
）
A．39 分钟 B．41 分钟
C．43 分钟
D．45 分钟
【答案】B
【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.
【详解】由题知
，
，
，
，
，
，
，
.
6．（2023 年浙江省部分名校模拟）已知
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，以及正弦函数的性质求解.
【详解】因为
，所以
，
7．（陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023 届高三下学期5 月八模文科数学试题）函数
的
图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先得到函数的奇偶性，排除AC，再比较出
，排除B，得到正确答案.
【详解】由题知，
的定义域为
，因为
，
∴
是奇函数，排除A，C，
因为
，排除D.
8．（2002 年普高招生考试理科（大纲卷））函数
在
上的最大值与最小值的和为3，则
______________．
【答案】2
【分析】由
的单调性，可得其在
和
时，取得最值，列出方程求出
的值
【详解】根据题意，由函数
的性质，可知其在
上是单调函数，
即当
和
时，取得最值，∴
，由
，可得
，即
.
9．函数
的值域为______．
【答案】
．
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【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.
【详解】设
，则
，
换元得
，显然当
时，函数
取到最小值
，
所以函数
的值域为
．
10．已知函数
f ( x)=loga
1+ax
1−ax +2(a>0
a
且≠1)
,f (m)=3 ,则f (−m)= （ ）.
A.3
B.1 C.5 D.-3
【答案】B
【详解】(法一)根据对数函数的运算性质和奇函数的定义可知,
g( x)=loga
1+ax
1−ax (a>0
a
且≠1)
是奇函数,
所以g( x)=f ( x)−2是奇函数,故g(m)=f (m)−2=3−2=1,
所以g(−m)=f (−m)−2=−1,即f (−m)=1.
( 法二) 根据对数函数和函数图象对称的知识可知, 函数f ( x)的图象关于点（0,2）对称, 所以
f (m)+f (−m)=4 ,即f (−m)=4−f (m)=4−3=1.
11．（2023 年广西河池市模拟）已知函数
其中
，若函数
无最大值，则实
数a 的取值范围是______．
【答案】
【分析】结合对数函数的性质与反比例函数的性质分段确定函数的取值情况，满足函数
无最大值列不
等式，即可求得实数a 的取值范围．
【详解】因为
，所以当
时，
在区间
上单调递增，所以此时
；
当
时，
在区间
上单调递减，所以此时
，
若函数
无最大值，则
，解得
，又
，所以a 的取值范围为
.
12．（2023 年天津市部分名校模拟）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】注意到
，
，后利用指数函数，幂函数单调性可比较
大小.
【详解】因函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，则
，
26
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，
.
又函数
在
上单调递增，则
，又
，则
.综上，
.
13．（2023 太原市名校模拟）已知函数
，若
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】函数
在
上为减函数，函数
的图像开口向下，对称轴为
，
所以函数
在区间
上为减函数，且
.
所以函数
在
上为减函数. 由
得
.解得
.
【能力提升】
1．(2023 年陕西西安模拟)已知函数f ( x)=lg ex−e−x
2
,则f ( x)是（ ）.
A．非奇非偶函数,且在（0，+∞）上单调递增 B．奇函数,且在R 上单调递增
C．非奇非偶函数,且在（0，+∞）上单调递减 D．偶函数,且在R 上单调递减
【答案】A
【详解】要使函数有意义,需使ex−e−x
2
>0 ,即ex > 1
ex ,即e 2 x>1
,解得x>0
,
所以函数f ( x)的定义域为（0，+∞）,定义域不关于原点对称,所以f ( x)是非奇非偶函数.
因为y=ex , y=−e−x=−1
ex 是增函数,所以y=ex−e−x
2
是增函数,
又y=lg x
y=lg x 是增函数,所以函数f ( x)=lg ex−e−x
2
在定义域
（0，+∞）上单调递增.
2．（2023 河南省名校模拟）已知函数
的最大值为0，则实数a 的取值范围为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对a 作分类讨论，根据题意求解.
【详解】若
，
即当
时
，∴
的最大值为0，满足题意；
若
，当
时，
，不满足题意；
若
，当
时
，当
时
，当
时等号成立，满足题意；
若
，当
时，
，当
时，
，
当
时等号成立，满足题意；
若
，当
时，
，当
时，
，不满足题意；
所以
；
3．（2023 年河南省部分名校模拟）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，可得
，而
，则可得b>a ，再由
，易得
，
则可知
，由此即可选出答案.
【详解】
，
由
，有
，可得
．
又由
，有
，有
，
可得
．
4．如图所示，函数
的图象是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】将原函数变形为分段函数，根据
及
时的函数值即可得解.
【详解】∵
，
∴
时，
，
当
时，函数
为
上的单调递增函数，且
，
当
时，函数
为
上的单调递减函数，且
，
5．定义域为
的函数
满足
，且当
时，
恒成立，
设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得函数的对称性以及单调性，结合对数函数以及指数函数的单调性，求得
的大小关系，可得答案.
【详解】因为函数
满足
，所以函数
的图象关于直线
成轴对称，
因为当
时，
，由
，则
，即
，
所以
在
上单调递增，则
在
上单调递减，由
，
由
，根据函数
在
上单调递增，则
；
由
，根据函数
在
上单调递增，则
.
由函数
在
上单调递减，则
，即
.
6．（2023 年浙江省部分名校联考试题）已知实数
，其中
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
29
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【分析】利用指数函数的值域与对数函数的性质判断得
；利用指数与对数的互换判断
；利用对
数的运算法则与对数函数的性质判断得
；从而得解.
【详解】因为
，
，所以
，则
；
因为
，所以
，
且
，所以
；
因为
，所以
；综上：
.
7．（2023 江苏省部分名校模拟）已知函数
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质，整理x1, x2的方程，可得
的值；根据三角函数的对称性，可得
的值，可得答案.
【详解】当
时，
，则
，当
时，
，则
；
由题意，可得
，则
.
由
，则
，即此时函数
的图象关于直线
对称，
根据题意可得
，则
，故
.
8．（2001 年普高招生考试（广东卷））若定义在区间
内的函数
满足
，则a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意
，讨论
、
，结合对数函数的性质确定参数的范围.
【详解】由题意
，
当
，即
时，在
上
，满足要求；
当
，即
时，在
上
，不满足要求.
综上，
.
30
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9．（2023 海南省模拟）下列四个函数中的某个函数在区间
上的大致图象如图所示，则该函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用题给函数在
上先正值后负值的变化情况排除选项A；利用题给图象可知函数是奇函数排
除选项C；利用当
时题给函数值为负值排除D；而选项B 均符合以上要求.
【详解】当
时，
，
.排除A；
由偶函数定义可得
为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；
当
时，
.排除D；
为奇函数，且当
时，
，
当
时，
.B 均符合题给特征.
10．已知
是定义在
上的奇函数．
（1）求实数
的值；
（2）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）根据奇函数
即可求出结果；
（2）根据
的奇偶性和单调性即可求出结果.
31
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【详解】（1）因为
为定义在
上的奇函数，所以
，所以
．
此时
，经验证，
，故
．
（2）由（1）可知
，任取
，
则
，
因为
，则
，
，所以
，所以
是
上的增函数．
由
恒成立，得
恒成立，则
，
所以
恒成立，因为
，所以
．
实数
的取值范围为：
．
11．（2005 年普高招生考试（文）（北京卷））对于函数
定义域中任意的
，有如下结
论：
①
；
②
；
③
；
④
当
时，上述结论中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【分析】根据对数的运算法则计算得到①不正确，②正确，根据对数函数的单调性得到③正确，代入计算
结合均值不等式得到④不正确，得到答案.
【详解】
，
，则①不正确；
，
，故②正确；
在
上单调递增，则当
时，
，则
，同理
时成
立，故③正确；
，
，
，
32
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则
，故④不成立.故答案为：②③
12．（2023 浙江省名校模拟）设函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，根据复合函数的单调性可知，内层函数
在
上为减函数，结合二
次函数的单调性可得出实数
的取值范围.
【详解】令
，则二次函数
的图象开口向上，对称轴为直线
，
因为外层函数
在
上为减函数，函数
在区间
上为增函数，
所以，内层函数
在
上为减函数，故
.
13．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，求出导函数得出单调性，从而可得
，即
，得出
大小，同理可得
大小，得出答案.
【详解】∵
，构造函数
，
，
令
，则
，∴
在
上单减，∴
，
故
，所以
在
上单减，
∴
，
∵
，构造函数
，
，
令
，则
，∴
在
上单减，
∴
，故
，所以
在
上单减，
33
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∴
，
【真题感知】
1．(2021 年全国甲卷高考真题)下列函数中是增函数的是（ ）
A．f ( x)=−x
B．
f (x)=（2
3 ）x
C．f ( x)=x2
D．f ( x)=
3√x
【答案】D
【详解】由一次函数的性质可知f ( x)=−x 在R 上是减函数,不符合题意;
由指数函数的性质可知f (x)=（2
3 ）x在R 上是减函数,不符合题意;
由二次函数的性质可知f ( x)=x2在R 上不单调,不符合题意;
根据幂函数的性质可知f ( x)=
3√x 在R 上单调递增,符合题意.
2．（2022 年北京市高考真题）已知函数
，则对任意实数x，有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】
，故A 错误，C 正确；
，不是常数，故BD 错误；
3．（2023 年新课标全国Ⅰ卷真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
34
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所以
的取值范围是
.
4．（2023 年北京高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.
【详解】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
5．（2022 年全国高考甲卷（文科）试题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知
，再利用基本不等式，换底公式
可得
，
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
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所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由
，可得
．
根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
，所以
.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
6．（2021 年全国高考乙卷高考真题）设
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b 的大小作出判定，对于a 与c，b 与c 的大小关系，
将0.01 换成x,分别构造函数
,
，利用导数分析其在
0 的右侧包括0.01 的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0 即可得出a 与c，b 与c 的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以
；下面比较与
的大小关系.
记
，则
，
，
由于
所以当0<x<2 时，
，即
，
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
，即
；
令
，则
，
，
由于
，在x>0 时，
，
所以
，即函数
在[0，+∞)上单调递减，所以
，即
，即
b<c；
综上，
，
[方法二]：
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令
，即函数
在（1，+∞)上单调递减
令
，
即函数
在（1，3)上单调递增
综上，
，
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
7．（2021 年全国高考甲卷高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足
．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A．1.5
B．1.2
C．0.8
D．0.6
【答案】C
【分析】根据
关系，当
时，求出
，再用指数表示
，即可求解.
【详解】由
，当
时，
，则
.
8．（2020 年新课标Ⅲ（理科）高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（
）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【答案】A
【分析】由题意可得
、
、
，利用作商法以及基本不等式可得出
、
的大小关系，由
，
得
，结合
可得出
，由
，得
，结合
，可得出
，综合可得出
、
、的大小关系.
【详解】由题意可知
、
、
，
，
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
.
综上所述，
.
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【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应
用，考查推理能力，属于中等题.
9．（2020 年新课标Ⅰ（理科）高考真题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，利用作差法结合
的单调性即可得到答案.
【详解】设
，则
为增函数，因为
所以
，
所以
，所以
.
，
当
时，
，此时
，有
当
时，
，此时
，有
，所以C、D 错误.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中
档题.
10．（2020 年北京市高考真题）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出函数
和
的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为
，所以
等价于
，
在同一直角坐标系中作出
和
的图象如图：
两函数图象的交点坐标为
，
不等式
的解为
或
.
所以不等式
的解集为：
.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
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