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5-7
角
向量法求空间
1.能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问
题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
5-7 向量法求空间角...............................................................................................................................................1
一、主干知识..................................................................................................................................................... 1
考点1：异面直线所成的角...................................................................................................................1
考点2：直线与平面所成的角..............................................................................................................2
考点3：平面与平面的夹角...................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型..................................................................................................................................................... 4
题型一 异面直线所成的角....................................................................................................................4
题型二 直线与平面所成的角............................................................................................................... 5
题型三 平面与平面的夹角....................................................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................7
1
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、
一
主干知识
考点1：异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
考点2：直线与平面所成的角
如图，直线AB 与平面α 相交于点B，设直线AB 与平面α 所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u，平面α
的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
考点3：平面与平面的夹角
如图，平面α 与平面β 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α 与平
面β 的夹角．
若平面α，β 的法向量分别是n1和n2，则平面α 与平面β 的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面
α 与平面β 的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
【常用结论总结】
1．线面角θ 的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos
〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是
.
2
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3
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、分
二
类题型
题型一异面直线所成的角
【例题精析1】
（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱
如图所示，
为棱
的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为
，则异面直
线
和
所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析2】
（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥
中，底面
为
正方形，
是正三角形，
，平面
平面
，则
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【例题精析3】
（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD
为正方形，且各棱长均相等，E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是
，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的
余弦值的绝对值．
【对点精练1】
（2023·江西南昌·校联考模拟预测）如图，在三棱柱
中，底面边长和侧棱长均相
等，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【对点精练2】
（2023·江苏·高二专题练习）“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、
下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，
面
ABCD，
，底面扇环所对的圆心角为
，
的长度是
长度的2 倍，
，则异面直线
与
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练3】
（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
的中点，
为
的中点，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【对点精练4】
（2023·全国·模拟预测）如图，已知圆柱
的轴截面
是边长为2 的正方形，
为下
底面圆周上一点，满足
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二直线与平面所成的角
【例题精析4】
（2023 春·江西宜春·高二上高中学校考期中）在正方体
中，如图
、
分别
是
，
的中点．
7
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(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与
所成角的正弦值．
【例题精析5】
（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD
是平行四边形，PA⊥平面ABCD，
，点M 在棱PD 上，且
，
．
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求BM 与平面
所成角的余弦值．
【例题精析6】
（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱
中，平
面
平面
，
是
的中点，且
.
(1)证明：
平面
；
8
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(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
所成角的余弦值.
【例题精析7】
（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，三棱台
，
，
，平面
平面
，
，
，
与
相交于点
，
，且
∥平面
．
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
利用空间向量求线面角的解题步骤
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【对点精练5】
如图，在四面体
中，
.
(1)若
到平面
的距离为3，求三棱锥
的高；
(2)求
与平面
所成角的大小.
【对点精练6】
（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知四棱锥
中，侧面
为等边三角形，底面
为直角梯形，
，
，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【对点精练7】
（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
.
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(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
【对点精练8】
如图，正方体
中，
分别为棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【对点精练9】
（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）如图所示，在直四棱柱ABCD-
中，底面ABCD 为
菱形，
，
，E 为线段
上一点.
(1)求证：
；
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(2)若平面
与平面ABCD 的夹角的余弦值为
，求直线BE 与平面
所成角的正弦值.
题型三平面与平面的夹角
【例题精析8】
（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥
中，
平面
，
．
(1)求证：
平面PAB；
(2)求二面角
的大小．
【例题精析9】
（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中，
与
均是等边三角形，直线
平面
，直线
平面
，
.
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(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【例题精析10】
（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
【例题精析11】
（2007·四川·高考真题）如图，平面
平面
，
，直线AM
与直线PC 所成的角为
，又
．
(1)求证：
；
(2)求二面角
的大小；
(3)求多面体
的体积．
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利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤
【对点精练10】
（四川·高考真题）如图，
是直角梯形，
，
，
，
，
又
，
，
，直线
与直线
所成的角为
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的大小；
(3)求三棱锥
的体积．
【对点精练11】
（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱
中，
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，D 为
的中点，E 为
的中点，F 为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【对点精练12】
（2022·全国·统考高考真题）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【对点精练13】
（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2 的正方体
中，E 为棱BC 的中
点，F 为棱CD 的中点．
（I）求证：
平面
；
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（II）求直线
与平面
所成角的正弦值．
（III）求二面角
的正弦值．
【对点精练14】
（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥
中，底面
是正方形，若
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
、分
三
层训练：课堂知识巩固
1．（2023•北京）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，
展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体
，四边形
和
是全等的等腰梯形，
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和
是全等的等腰三角形．若
，
，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的
面与底面夹角的正切值均为
．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为
A．
B．
C．
D．
2．（2023•乙卷）已知
为等腰直角三角形，
为斜边，
为等边三角形，若二面角
为
，则直线
与平面
所成角的正切值为
A．
B．
C．
D．
3．（2022•甲卷）在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成的角均为
，
则
A．
B．
与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
4．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱
，
，
，
分别是棱
，
上的点．记
与
所成的角为
，
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角为
，则
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A．
B．
C．
D．
5．（多选）（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为
，底面圆心为
，
为底面直径，
，
，点
在底面圆周上，且二面角
为
，则
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
6．（2023•乙卷）已知点
，
，
，
均在半径为2 的球面上，
是边长为3 的等边三角形，
平面
，则
．
7．（2023•北京）如图，四面体
中，
，
，
平面
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
8．（2023•上海）已知直四棱柱
，
，
，
，
，
．
（1）证明：直线
平面
；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角
的大小．
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9．（2023•甲卷）如图，在三棱柱
中，
平面
，
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）设
，
，求四棱锥
的高．
10．（2023•天津）在三棱台
中，若
平面
，
，
，
，
，
分别为
，
中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求平面
与平面
所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点
到平面
的距离．
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11．（2023•甲卷）在三棱柱
中，
，
底面
，
，
到平面
的距离为1．
（1）求证：
；
（2）若直线
与
距离为2，求
与平面
所成角的正弦值．
12．（2023•乙卷）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
，
，
，
的中点分别为
，
，
，点
在
上，
．
（1）证明：
平面
；
（2）证明：平面
平面
；
（3）求二面角
的正弦值．
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13．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱
中，
，
．点
，
，
，
分别在棱
，
，
，
上，
，
，
．
（1）证明：
；
（2）点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
14．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥
中，
，
，
，
为
中点．
（1）证明
；
（2）点
满足
，求二面角
的正弦值．
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15．（2023•上海）已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
为
中点，过点
分别作平行于平面
的直线交
、
于点
，
．
（1）求直线
与平面
所成角的大小；
（2）求直线
到平面
的距离．
16．（2022•浙江）如图，已知
和
都是直角梯形，
，
，
，
，
，
，二面角
的平面角为
．设
，
分别为
，
的中点．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
17．（2022•甲卷）在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
．
（1）证明：
；
（2）求
与平面
所成的角的正弦值．
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18．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱
的体积为4，△
的面积为
．
（1）求
到平面
的距离；
（2）设
为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的正弦值．
19．（2022•乙卷）如图，四面体
中，
，
，
，
为
的中点．
（1）证明：平面
平面
；
（2）设
，
，点
在
上，当
的面积最小时，求
与平面
所成的角
的正弦值．
20．（2022•新高考Ⅱ）如图，
是三棱锥
的高，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值．
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21．（2022•天津）直三棱柱
中，
，
，
，
为
中点，
为
中点，
为
中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
的正弦值；
（3）求平面
与平面
夹角的余弦值．
22．（2022•上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为
、
，
为圆柱的母线，底面半径长为
1．
（1）若
，
为
的中点，求直线
与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过
的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．
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23．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥
中，底面
是正方形，若
，
，
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值．
24．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中点．
（1）证明：
；
（2）若
是边长为1 的等边三角形，点
在棱
上，
，且二面角
的大小为
，求三棱锥
的体积．
25．（2021•乙卷）如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
，
为
中
点，且
．
（1）求
；
（2）求二面角
的正弦值．
25
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26．（2021•北京）如图，在正方体
，
为
的中点，
交平面
交于点
．
（Ⅰ）求证：
为
的中点；
（Ⅱ）若点
是棱
上一点，且二面角
的余弦值为
，求
的值．
27．（2021•浙江）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点，
，
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
28．（2021•天津）如图，在棱长为2 的正方体
中，
，
分别为棱
，
的中点．
26
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（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（3）求二面角
的正弦值．
27
