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6.3 利用递推公式求通项（精练）
1．（2023·全国·高三专题练习）数列
中，
，
（
为正整数），则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
所以
，故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列
满足
,
,则（ ）
A．
B．
C．数列
为递增数列
D．数列
为递减数列
【答案】BC
【解析】因为数列
满足，
，
，
则当
时，
，
，……，
，
所有的式子相乘得
，即
，当
时也符合通项，
故
，数列
为递增数列，故选：BC
3．（2023·高三课时练习）在数列
中，若
，
，则
的通项公式为______．
【答案】
1
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【解析】由题意知
，故
，
故
，
故答案为：
4．（2023 广东）已知数列
满足
．求数列
的通项公式 ；
【答案】
【解析】
数列
满足
，
，
，
且
，所以当n=1 时成立.所以
.
5．（2023·福建）已知正项数列
满足
.求
的通项公式
；
【答案】
【解析】由
可得：
，
因为
为正项数列，所以
，
所以
，则
，……，
，
将这
个式子相乘，则
，
又因为
，所以
6．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列
满足
，
．求
的通项公式
；
2
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【答案】
【解析】由
及
，得
，所以
，
当
时，有
．
当
时，
，符合上式，所以
．
7．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》
中，后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1 个小球，第二层有3 个，第三层有6 个，第四层有
10 个，则第30 层小球的个数为
【答案】465
【解析】设三角垛第
层小球的个数为
.
由题意可知，
，
，
，
，
所以，当
时，有
.
所以，
，
，
，
，
3
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，
两边同时相加可得，
，
所以，
.
当
时，
，满足题意.
所以，
.
所以，
.
8．（2023 春·广东佛山）已知
是数列
的前
项和，
，
，则
的通项公式为
【答案】
【解析】由
得
，
两式相减得:
,
即
，即
，即
，
.
所以
，
，
，…，
.
相乘得：
…
…
，
即
，因为
，所以
，
.
当
时，
，所以
.
9．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教伟烈亚力将
《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高
4
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斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一
个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3 除余2 且被7 除余2 的数按由小到大的顺
序排成一列，构成数列
，则
【答案】107
【解析】∵
能被3 除余2 且被7 除余2，∴
既是3 的倍数，又是7 的倍数，
即是21 的倍数，且
，∴
，即
，∴
．
10．（2023 春·黑龙江双鸭山·）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新
的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等
差数列．现有一高阶等差数列，其前7 项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100 项为
_______.
【答案】4951
【解析】设该高阶等差数列为
，由其前7 项分别为1，2，4，7，11，16，22，
得
，
，
，
，
，
，
所以
，
即
.
即该数列的第100 项为
.
故答案为：
.
11．（2023 春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列
的各项均不为零，且满足
，
（
，
），则
的通项公式
__________．
【答案】
5
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【解析】
，则
，
设
，
，则
，
，
而
也符合该式，故
，故
.
故答案为：
12．（2023·河南新乡·统考三模）已知数列
满足
，
，则
的最小值为__________．
【答案】6
【解析】由
得，
当
时，
，
，…，
，
将这
个式子累加得
，
则
，
时也适合，
所以
，当且仅当
时，等号成立.
故答案为：6.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知
，且
，则数列
的通项公式为
___________.
【答案】
【解析】等式两侧同除
，得
，
所以
，
6
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令
，所以
，
则
，
，
，……，
，
累加得：
，而
，故
，
即
，整理得
.
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）记数列
的前n 项和为
，已知
，
，则
______
【答案】
【解析】由已知可得，
.当
时，
，所以
；
当
时，有
，
，两式相减得，
，所以
.所以有
，
，
，
，
，
两边同时相乘可得，
，
整理可得，
.
当
时，
，满足该式，
，满足该式，故
.故答案为：
.
15．（2023·山东泰安·统考模拟预测）数列
的前
项和为
，满足
，且
，则
的通项公式是______．
【答案】
【解析】
，
，且
，
，
是以
为首项，
为公比的等比数列．
7
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，
．
时，
，
且
不满足上式，所以
．
故答案为：
.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
中，
且
，则数列
的通项
公式为_____________.
【答案】
【解析】∵
，等式两侧同除
，可得
，
令
，则
，
∴
，又
，
∴
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
∴
，即
，
∴
，即
.
故答案为：
.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
中，
，
，则数列
的通项公式为
_____________.
【答案】
【解析】因为
，
8
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设
，即
，
根据对应项系数相等则
，解得
，故
，
所以
是为首项，为公比的等比数列，
所以
，即
.
故答案为：
18．（2023·全国·高三对口高考）已知数列
的前n 项和为
，数列
满足
，
．则数列
的通项公式
________；数列
的通项公式
________．
【答案】
【解析】因为
①，所以有
，
②，
得
，即
，
所以数列
的通项公式为
；
由
可得
，
上述式子相加可得
，
经检验
满足
所以数列
的通项公式
故答案为：
；
19．（2023 春·河南平顶山）已知数列
的前n 项和为
，且满足
.则数列
的通项公式
9
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为________，
的最大值为________.
【答案】
/0.4
【解析】空①,由
可得
，
当
时，
，则
，
有
，有
，即
.
可得数列
成等比数列，有
，可得
.
空②,记
，有
，
可得
，当
时，
，
有
.
故答案为：
；
.
20．（2023·江苏）已知正项数列
满足
，
.求
的通项公式 ；
【答案】
【解析】对任意的
，因为
，
当
时，
，
因为
，故
.当
时，
符合
，
所以
，
.
10
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21．（2023 春·广东佛山·高二顺德市李兆基中学校考阶段练习）已知数列
的前
项和为
.求数列
的通项公式 ；
【答案】
【解析】因为
，显然
，所以
，
当
时，由累乘法得
，
则
，又
，所以
，
所以当
时，
，
时，
也符合，
所以
.
22．（2023 春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）设数列
的前
项和为
，且
.求
=
【答案】
【解析】由
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，
所以
，
整理得：
，①所以有
，②
①-②可得
，所以
为等差数列，
因为
，所以公差为
，所以
.
11
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23．（2023·全国·高三专题练习）已知
，求
的通项公式 ．
【答案】
．
【解析】
，
，则
，
则
，
，所以
是以2 为首项，2 为公比的等比数列．
于是
，
．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足：
求
.
【答案】
【解析】因为
所以两边同时加上
得：
，
所以
，
，
当
时，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
于是
25．（2023 春·江西南昌）已知数列
中，
，且
.
(1)求
，并证明
是等比数列；
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(2)求
的通项公式.
【答案】(1)
，证明见解析；(2)
【解析】（1）由
，
，
得
，
，
，
∴
，
是首项为1，公比为2 的等比数列；
（2）由（1）知
.
74．（2021 秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）数列
的前
项和为
，已知
.
(1)
时，写出
与
之间的递推关系；
(2)求
的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
①，
所以当
时，
②，
得：
，即
，
在①中：令
得
，也符合上式，
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所以
.
（2）因为
，则
，且
所以数列
是以4 为首项，
为公比的等比数列，
所以
，故
.
1．（2023·江苏镇江）（多选）已知数列
满足
，则下列结论正确的有（ ）
A．
为等比数列 B．
的通项公式为
C．
为递增数列 D．
的前n 项和
【答案】ABD
【解析】因为
，所以
+3，所以
，
又因为
，所以数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，故A 正确；
，即
，故B 正确；
因为
，
因为
，所以
，所以
，所以
为递减数列，故C 错误；
，则
，故D 正确.故选：ABD.
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2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
，则数列
的通
项公式为_____________.
【答案】
【解析】∵
，则
当
时，则
，解得
；
当
时，等式两侧同除
，可得
，
则
，
令
，则
，
，
利用叠加法可得：
，
，
，
叠加得
，即
，
所以
，
即
，可得
；
综上所述：
.
故答案为：
.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
的前n 项和为
，
，
，求
【答案】
【解析】因为
，
15
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所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
又因为
，所以
.
4．（2023 春·湖南岳阳·高二校联考阶段练习）若数列
的前
项和为
，且满足
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式．
【答案】(1)
，
；(2)
.
【解析】（1）由已知可得
．
故
，
.
（2）由题得
当
时,
，
上面两式相减得
整理得：
，于是当
时
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相减得
由（1），此关系式对于
也成立
所以
．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n 项和为
，
，
，求{an}的通项.
【答案】
【解析】∵
……①
∴
……②
②-①得：
……③
{
∵a}的特征函数为：
，
由
x=1.
设
，
……④
将④代入③得：
，
∴
，∵
，
∴
，
∴
.
6．（2023·安徽）已知数列
中，
，求
的通项公式 ．
【答案】
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【解析】
化为
，即
，
，可得
或
，（所得两组数值代入上式等价），
不妨令
，
，
所以
是以1 为首项，
为公比的等比数列，则
，
累加法可得：
，
又
符合上式，故
.
7．（2023·黑龙江）已知数列的递推公式
，且首项
，求数列
的通项公式．
【答案】
【解析】令
．先求出数列的不动点
，解得
．
将不动点
代入递推公式，得
，
整理得
，
，
∴
．
令
，则
，
．
∴数列
是以
为首项，以1 为公差的等差数列．
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∴
的通项公式为
．
将
代入，得
．
∴
．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
，
，求
=
【答案】
=
．
+
．
【解析】法1：已知
，所以
，
则
是首项为
，公比为3 的等比数列，
故
，则
，
得，
当n 为奇数时，
，
，
，
，
，
累加可得，
，
所以
，
当n 为偶数时，
，
综上，
；
法2：由特征根方程
得，
，
，
所以
，其中
，解得
，
，
.
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9．（2023·全国·高三专题练习）设数列
的前n 项和为Sn，满足
，且
成等差数列．
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
所以令
得：
，即：
①，
令
得：
，即：
②，
又因为
，
，
成等差数列，
所以
③，
由①②③得：
，
，
.
故
的值为1.
（2）因为
，
当
时，
，
两式作差可得：
，
所以
，
，
由（1）知，
，
20
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所以
，
即：
，
，
将
代入
得：
，符合，
综上，
.
故数列
的通项公式为
.
21
