文档文本内容
2019-2020 学年山东省济南市历城区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12 个小题，每小题4 分，共48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．）
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14159265
B．
C．
D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列各点，其中在第二象限内的点是（ ）
A．（1，2）
B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2）
D．（﹣1，﹣2）
4．如图，已知直线AB∥CD，∠C＝125°，∠A＝45°，那么∠E 的大小为（ ）
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
5．某车间20 名工人每天加工零件数如表所示：
每天加工零
件数
4
5
6
7
8
人数
3
6
5
4
2
这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（ ）
A．5，5
B．5，6
C．6，6
D．6，5
6．下列计算正确的是（ ）
A．
+
＝
B．3+2
＝5
C．2
×3
＝18
D．
÷
＝
7．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x 轴对称，则m+n 的值（ ）
A．3
B．﹣14
C．7
D．﹣8
8．关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过（﹣2，1）
B．y 随x 的增大而增大
C．图象经过第一、二、三象限
D．当x＞
时，y＜0
9．已知直线y＝2x 与y＝﹣x+b 的交点的坐标为（1，a），则方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，△ABC 的面积为9cm2，BP 平分∠ABC，AP⊥BP 于P，连接PC，则△PBC 的面积为（ ）
A．3cm2
B．4cm2
C．4.5cm2
D．5cm2
11．如图，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 在直线y＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ）
A．（0，0）
B．
C．
D．
12．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、
正方形EFGH、正方形MNPQ 的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12
B．15
C．20
D．30
二、填空题（每小题4 分，一共24 分）
13．16 的平方根是 ．
14．一组数据2、3、﹣1、0、1 的方差是 ．
15．把点A（a，3）向上平移三个单位正好在直线y＝﹣x+1 上，则a 的值是 ．
16．如图，把Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB 上，连接
BB′，则∠BB′C′＝ 度．
17．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．已知CD＝
2，则AB 的长度等于 ．
18．如图，已知A1（1，0）、A2（1，1）、A3（﹣1，1）、A4（﹣1，﹣1）、A5（2，﹣1）、…．则点A2019的坐标为
．
三、解答题（共计78 分）
19．（10 分）计算
（1）
﹣
+
﹣
（2）
﹣4
20．（10 分）解下列二元一次方程组
（1）
（2）
21．（10 分）（1）如图1，在△AEC 和△DFB 中，点A、B、C、D 在同一条直线上，AE＝DF，AE∥DF，∠E
＝∠F，求证：EC＝BF．
（2）如图2，在△ABC 中，∠CAB＝55°，将△ABC 在平面内绕点A 逆时针旋转到△AB′C′的位置，
使CC′∥AB，求旋转角的度数．
22．（6 分）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6 元/辆，小型汽车的停车费为4 元/辆．现
在停车场有50 辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230 元，问中、小型汽车各有多少辆？
23．（7 分）如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答
下列问题：
（1）将△ABC 以x 轴为对称轴，画出对称后的△A1B1C1；
（2）将△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并请你直接写出A1A2的长度
．
24．（8 分）某培训中心有钳工20 名，车工30 名，现将这50 名技工派往A，B 两地工作，两地技工的月
工资如下：
钳工（元/月）
车工（元/月）
A 地
1800
1400
B 地
1600
1500
（1）若派往A 地x 名钳工，余下的技工全部派往B 地，写出这50 名技工的月工资总额y（元）与x 之
间的函数表达式，并写出x 的取值范围；
（2）若派往A 地x 名车工，余下的技工全部派往B 地，写出这50 名技工的月工资总额y（元）与x 之
间的函数表达式，并写出x 的取值范围；
（3）如何派遣这50 名技工，可使他们的工资总额最高？直接写出结果．
25．（8 分）甲乙两人同时登山，甲乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图
所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是 米/分钟，乙在A 地提速时距地面的高度b 为 米．
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3 倍，请直接写出甲和乙提速后y 和x 之间的函数关系
式．
（3）登山多长时间时，乙追上了甲，此时乙距A 地的高度为多少米？
26．（8 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D，E．
求证：DE＝EC．（用三种方法证明）
27．（11 分）已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB 绕点O 顺时针旋转
60°，如题图1，连接BC．
（1）求线段BC 的长；
（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP 的长度；
（3）如图2，点M 是线段OC 的中点，点N 是线段OB 上的动点（不与点O 重合），求△CMN 周长的
最小值．
2019-2020 学年山东省济南市历城区八年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 个小题，每小题4 分，共48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．）
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14159265
B．
C．
D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数
是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即
可判定选择项．
【解答】解：A、3.1415926 是有限小数是有理数，选项错误．
B、
＝6，是整数，是有理数，选项错误；
C、
是无理数，选项正确；
D、
是分数，是有理数，选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不尽的
数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
3．下列各点，其中在第二象限内的点是（ ）
A．（1，2）
B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2）
D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据各个象限点的坐标特征判断．
【解答】解：A、（1，2）在第一象限
B、（1，﹣2）在第四 象限
C、（﹣1，2）在第二象限
D、（﹣1，﹣2）在第三象限
故选：C．
【点评】本题考查的是点的坐标，掌握各个象限点的坐标特征是解题的关键．
4．如图，已知直线AB∥CD，∠C＝125°，∠A＝45°，那么∠E 的大小为（ ）
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠EFA＝55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E
的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝125°，
∴∠EFB＝125°，
∴∠EFA＝180﹣125＝55°，
∵∠A＝45°，
∴∠E＝180°﹣∠A﹣∠EFA＝180°﹣45°﹣55°＝80°．
故选：B．
【点评】本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和定理．
5．某车间20 名工人每天加工零件数如表所示：
每天加工零
件数
4
5
6
7
8
人数
3
6
5
4
2
这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（ ）
A．5，5
B．5，6
C．6，6
D．6，5
【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：由表知数据5 出现次数最多，所以众数为5；
因为共有20 个数据，
所以中位数为第10、11 个数据的平均数，即中位数为
＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这
组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则
处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
6．下列计算正确的是（ ）
A．
+
＝
B．3+2
＝5
C．2
×3
＝18
D．
÷
＝
【分析】根据二次根式的加减法对A、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；根据二
次根式的除法法则对D 进行判断．
【解答】解：A、
与
不能合并，所以A 选项错误；
B、3 与2
不能合并，所以B 选项错误；
C、原式＝6×3＝18，所以C 选项正确；
D、原式＝
＝
＝
，所以D 选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除
运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式
的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x 轴对称，则m+n 的值（ ）
A．3
B．﹣14
C．7
D．﹣8
【分析】根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n 的值，再计算
m+n 即可．
【解答】解：由题意，得
m+2＝﹣4，n+5＝﹣3，
解得m＝﹣6，n＝﹣8．
m+n＝﹣14．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x
轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过（﹣2，1）
B．y 随x 的增大而增大
C．图象经过第一、二、三象限
D．当x＞
时，y＜0
【分析】根据一次函数的性质，依次分析选项可得答案．
【解答】解：根据一次函数的性质，依次分析可得，
A、x＝﹣2 时，y＝﹣2×﹣2+1＝5，故图象必经过（﹣2，5），故错误，
B、k＜0，则y 随x 的增大而减小，故错误，
C、k＝﹣2＜0，b＝1＞0，则图象经过第一、二、四象限，故错误，
D、当x＞
时，y＜0，正确；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的性质，注意一次函数解析式的系数与图象的联系．
9．已知直线y＝2x 与y＝﹣x+b 的交点的坐标为（1，a），则方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】方程组的解是一次函数的交点坐标即可．
【解答】解：∵直线y＝2x 经过（1，a）
∴a＝2，
∴交点坐标为（1，2），
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
∴方程组的解
，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是厉害一次函数的交
点坐标．
10．如图，△ABC 的面积为9cm2，BP 平分∠ABC，AP⊥BP 于P，连接PC，则△PBC 的面积为（ ）
A．3cm2
B．4cm2
C．4.5cm2
D．5cm2
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝
S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝
S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延长AP 交BC 于E，
∵BP 平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP 和△EBP 中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝
S△ABC＝
×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的
面积相等．
11．如图，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 在直线y＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ）
A．（0，0）
B．
C．
D．
【分析】先过点A 作AB′⊥OB，垂足为点B′，由于点B 在直线y＝x 上运动，所以△AOB′是等腰
直角三角形，由勾股定理求出OB′的长即可得出点B′的坐标．
【解答】解：先过点A 作AB′⊥OB，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当点B 与点B′重合时AB
最短，
∵点B 在直线y＝x 上运动，
∴∠AOB′＝45°，
∵AB′⊥OB，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
过B′作B′C⊥x 轴，垂足为C，
∴△B′CO 为等腰直角三角形，
∵点A 的坐标为（﹣1，0），
∴OC＝CB′＝
OA＝
×1＝
，
∴B′坐标为（﹣
，﹣
），
即当B 与点B′重合时AB 最短，点B 的坐标为（﹣
，﹣
），
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质、垂线段最短和等腰直角三角形的性质，找到表示B′点坐标
的等腰直角三角形是解题的关键．
12．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、
正方形EFGH、正方形MNPQ 的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12
B．15
C．20
D．30
【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，依据S1+S2+S3＝60，可得
4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，进而得出S2的值．
【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
因为S1+S2+S3＝60，
所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，
即3S2＝60，
解得S2＝20．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个
全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整
理得到勾股定理．
二、填空题（每小题4 分，一共24 分）
13．16 的平方根是
±4
．
【分析】根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x 就是a 的平方根，
由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16 的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；
负数没有平方根．
14．一组数据2、3、﹣1、0、1 的方差是
2
．
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式即可得出答案．
【解答】解：这组数据的平均数：＝（2+1﹣1+0+3）÷5＝1，
方差：S2＝
[（x1﹣）2+[（x2﹣）2+…+[（xn﹣）2]
＝
[（2﹣1）2+（1﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（3﹣1）2]
＝
（1+4+0+1+4）
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了方差：一般地，设n 个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝
[（x1﹣）
2+[（x2﹣）2+…+[（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．把点A（a，3）向上平移三个单位正好在直线y＝﹣x+1 上，则a 的值是 ﹣
5
．
【分析】点A 向上平移三个单位后的坐标为（a，6），然后将其代入直线方程y＝﹣x+1 即可求得a 的
值．
【解答】解：根据题意知，点（a，6）在直线y＝﹣x+1 上，
∴6＝﹣a+1，
解得a＝﹣5；
故答案是：﹣5．
【点评】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．点A（a，3）向上
平移三个单位后的横坐标不变，纵坐标伸长3 个单位．
16．如图，把Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB 上，连接
BB′，则∠BB′C′＝
20
度．
【分析】根据旋转的性质可得AB＝AB′，∠BAB′＝40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出
∠ABB′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝40°，
在△ABB′中，∠ABB′＝
（180°﹣∠BAB′）＝
（180°﹣40°）＝70°，
∵∠AC′B′＝∠C＝90°，
∴B′C′⊥AB，
∴∠BB′C′＝90°﹣∠ABB′＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋
转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键．
17．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．已知CD＝
2，则AB 的长度等于
4+2
．
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝2，
∴DB＝
DE＝2
，
∴BC＝2+2
，
∴AB＝
BC＝4+2
，
故答案为：4+2
．
【点评】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质，如果直角三角形的两
条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
18．如图，已知A1（1，0）、A2（1，1）、A3（﹣1，1）、A4（﹣1，﹣1）、A5（2，﹣1）、…．则点A2019的坐标为
（﹣
505
，
505
）
．
【分析】观察图形，由第二象限点的坐标的变化可得出“点A4n﹣1的坐标为（﹣n，n）（n 为正整
数）”，再结合2019＝4×505﹣1，即可求出点A2019的坐标．
【解答】解：观察图形，可知：点A3的坐标为（﹣1，1），点A7的坐标为（﹣2，2），点A11的坐标为（﹣
3，3），…，
∴点A4n﹣1的坐标为（﹣n，n）（n 为正整数）．
又∵2019＝4×505﹣1，
∴点A2019的坐标为（﹣505，505）．
故答案为：（﹣505，505）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化，找出变化规律“点A4n﹣1的坐标为
（﹣n，n）（n 为正整数）”是解题的关键．
三、解答题（共计78 分）
19．（10 分）计算
（1）
﹣
+
﹣
（2）
﹣4
【分析】（1）直接化简二次根式以及立方根进而计算即可；
（2）直接化简二次根式进而计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2
﹣
+
﹣3
＝
﹣3；
（2）原式＝
﹣4
＝10
﹣4
＝6
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．（10 分）解下列二元一次方程组
（1）
（2）
【分析】（1）利用加减消元法解答即可；
（2）利用代入消元法解答即可．
【解答】解：（1）
，
①+②得：3x＝3，
解得：x＝1
把x＝1 代入②得：y＝4，
所以方程组的解为：
（2）
，
由①变形为：x＝6+3y③，
把③代入②得：y＝﹣1，
把y＝﹣1 代入③得：x＝3，
所以方程组的解为：
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消
元法．
21．（10 分）（1）如图1，在△AEC 和△DFB 中，点A、B、C、D 在同一条直线上，AE＝DF，AE∥DF，∠E
＝∠F，求证：EC＝BF．
（2）如图2，在△ABC 中，∠CAB＝55°，将△ABC 在平面内绕点A 逆时针旋转到△AB′C′的位置，
使CC′∥AB，求旋转角的度数．
【分析】（1）根据“ASA”可证△AEC≌△DFB，可得EC＝BF；
（2）由平行线的性质和旋转的性质可求∠CAB＝∠C'CA＝∠CC'A＝55°，由三角形内角和定理可求
旋转角的度数．
【解答】（1）证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△AEC 和△DFB 中，
，
∴△AEC≌△DFB（ASA）
∴EC＝BF
（2）∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝55°，
∵△ABC 绕点A 旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×55°＝70°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝70°．
所以旋转角为70°
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理等
知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
22．（6 分）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6 元/辆，小型汽车的停车费为4 元/辆．现
在停车场有50 辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230 元，问中、小型汽车各有多少辆？
【分析】本题有两个定量：车辆总数，停车费总数．可根据这两个定量得到两个等量关系：中型汽车
的辆数+小型汽车的辆数＝50；中型汽车的停车费+小型汽车的停车费＝230．依等量关系列方程组，
再求解．
【解答】解：设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆．
根据题意，得
，
解这个方程组，得
．
答：中型汽车有15 辆，小型汽车有35 辆．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用．找到两个定量，车辆总数，停车费总数，并根据定量得到
两个等量关系是解题关键．
23．（7 分）如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答
下列问题：
（1）将△ABC 以x 轴为对称轴，画出对称后的△A1B1C1；
（2）将△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并请你直接写出A1A2的长度
．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可画出对称后的△A1B1C1；
（2）依据旋转变换，即可画出旋转后的△A2B2C2，并依据勾股定理求得A1A2的长度．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求的三角形；
（2）如图，△A2B2C2为所求的三角形；
由勾股定理可得，A1A2＝
＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了利用轴对称变换和旋转变换作图以及勾股定理的运用，解答本题的关键是掌握
旋转的性质及轴对称的性质．
24．（8 分）某培训中心有钳工20 名，车工30 名，现将这50 名技工派往A，B 两地工作，两地技工的月
工资如下：
钳工（元/月）
车工（元/月）
A 地
1800
1400
B 地
1600
1500
（1）若派往A 地x 名钳工，余下的技工全部派往B 地，写出这50 名技工的月工资总额y（元）与x 之
间的函数表达式，并写出x 的取值范围；
（2）若派往A 地x 名车工，余下的技工全部派往B 地，写出这50 名技工的月工资总额y（元）与x 之
间的函数表达式，并写出x 的取值范围；
（3）如何派遣这50 名技工，可使他们的工资总额最高？直接写出结果．
【分析】（1）根据题意和表格可以写出这50 名技工的月工资总额y（元）与x 之间的函数表达式，并
写出x 的取值范围；
（2）根据题意和表格可以写出这50 名技工的月工资总额y（元）与x 之间的函数表达式，并写出x
的取值范围；
（3）根据题意和表格中的数据可以得到如何派遣这50 名技工，可使他们的工资总额最高．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝1800x+1600（20﹣x）+1500×30＝200x+77000，
即这50 名技工的月工资总额y（元）与x 之间的函数表达式是y＝200x+77000（0≤x≤20）；
（2）由题意可得，
y＝1400x+1600×20+1500（30﹣x）＝﹣100x+77000，
即这50 名技工的月工资总额y（元）与x 之间的函数表达式是y＝﹣100x+77000（0≤x≤30）；
（3）钳工全部派往A 地，车工全部派往B 地可使他们的工资总额最高，
理由：由表格可知，
钳工全部派往A 地，车工全部派往B 地可使他们的工资总额最高，
1800×20+1500×30＝81000，
即钳工全部派往A 地，车工全部派往B 地可使他们的工资总额最高，最高是81000 元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用函
数的思想解答．
25．（8 分）甲乙两人同时登山，甲乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图
所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是
10
米/分钟，乙在A 地提速时距地面的高度b 为
30
米．
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3 倍，请直接写出甲和乙提速后y 和x 之间的函数关系
式．
（3）登山多长时间时，乙追上了甲，此时乙距A 地的高度为多少米？
【分析】（1）路程除以速度，计算出甲登上的速度，乙在0＜t＜2 时，是正比例函数，速度为15 米/分
钟，代入2 计算出A 的高度；
（2）用待定系数法确定两个函数的解析式；
（3）追上时，两个函数有共同的x、y，即可列方程组，亦可列一次方程求解．
【解答】解：（1）甲登山300﹣100＝200（米），
用了20 分钟，所以甲登山的速度为：
＝10（米/分钟）；
乙从O 到A 的关系式为：y＝15x，
当x＝2 时，y＝30 米
故答案为：10，30
（2）甲的关系式：设甲的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意，得
解得
，
∴y＝10x+100；
设乙提速后的函数关系式为：y＝mx+n，
由于m＝30，且图象经过（2.30）
所以30＝2×30+n
解得：n＝﹣30
所以乙提速后的关系式：y＝30x﹣30．
（3）（法一）由题意得：10x+100＝30x﹣30
解得：x＝6.5
把x＝6.5 代入y＝10x+100＝165，
相遇时乙距A 地的高度为：165﹣30＝135（米）
答：登山6.5 分钟，乙追上了甲，此时乙距A 地的高度为135 米．
法2：由题意，可得
，
解得
相遇时乙距A 地的高度为：165﹣30＝135（米）
答：登山6.5 分钟乙追上了甲，此时乙距A 地的高度为135 米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法确定函数解析式，是解决本题的关键．本题的
第三问易把相遇时乙距A 地的高度当成相遇时乙距出发地的高度而出错．
26．（8 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D，E．
求证：DE＝EC．（用三种方法证明）
【分析】方法一：如图1，连接BE，根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质即可得到结论；
方法二：如图2，连接CD，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；
方法三：如图3，延长DE 交BC 的延长线于F，根据直角三角形的性质得到∠B＝60°，BC＝
AB，
根据线段垂直平分线的性质得到BD＝AD＝
AB，∠BDF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到
结论．
【解答】证明：方法一：如图1，连接BE，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴BE＝AE，∠ABE＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠CBE＝∠DBE＝30°，
∵DE⊥AB，CE⊥BC，
∴CE＝DE；
方法二：如图2，连接CD，
∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵点D 是AB 的中点，
∴CD＝BD＝
AB，
∴△BDC 是等边三角形，
∴∠BCD＝∠BDC＝60°，
∵∠BDE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴DE＝CE；
方法三：如图3，延长DE 交BC 的延长线于F，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，BC＝
AB，
∵DE 垂直平分AB，
∴BD＝AD＝
AB，∠BDF＝90°，
∴∠F＝30°，
∴BD＝
BF，
∴CF＝BD＝AD，
在△ADE 与△FCE 中
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴DE＝CE．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，
直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．（11 分）已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB 绕点O 顺时针旋转
60°，如题图1，连接BC．
（1）求线段BC 的长；
（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP 的长度；
（3）如图2，点M 是线段OC 的中点，点N 是线段OB 上的动点（不与点O 重合），求△CMN 周长的
最小值．
【分析】（1）只要证明△OBC 是等边三角形即可；
（2）求出△AOC 的面积，利用三角形的面积公式计算即可；
（3）如图2，连接BM，AM，根据等边三角形的性质得到BM⊥OC，根据全等三角形的性质得到BM
＝AB，AO＝OM，得到AM 被BD 垂直平分，即M 关于直线BO 的对称点为A，连接AC，则C△CMN＝
AC+MC，于是得到结论．
【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC 是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4；
（2）如图1 中，
∵OB＝4，∠ABO＝30°，
∴OA＝
OB＝2，AB＝
OA＝2
，
∴S△AOC＝
•OA•AB＝
×2×2
＝2
，
∵△BOC 是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，
∴AC＝
＝2
，
∴OP＝
＝
＝
；
（3）如图2，连接BM，AM，
∵M 为OC 中点，△OBC 为等边三角形，
∴BM⊥OC，
在Rt△AOB 中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝60°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠BOA＝∠BOM，
∵∠BAO＝∠BMO＝90°，BO＝BO，
∴△BAO≌△BMO（ASA），
∴BM＝AB，AO＝OM，
∴B，O 在AM 的中垂线上，
∴AM 被BD 垂直平分，
即M 关于直线BO 的对称点为A，
连接AC，则C△CMN＝AC+MC，
∵M 是OC 的中点，
∴MC＝
OC＝2，
∴C△CMN的最小值为2
+2．
【点评】本题考查几何变换综合题、30 度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形
的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
