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2019 年湖南省邵阳市北塔区中考数学一模试卷
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．立方根是它本身的数只能是0 和1
B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
C．16 的平方根是4
D．﹣2 是4 的一个平方根
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．6x+9y+3＝3（2x+3y）
B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2
D．x2+4＝（x+2）2
3．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD 的值为（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．70°
4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4 次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5 次，那么硬币正
面朝上的概率为（ ）
A．1
B．
C．
D．
5．长江三峡工程电站的总装机容量用科学记数法表示为1.82×107千瓦，把它写成原数是（ ）
A．182000 千瓦
B．182000000 千瓦
C．18200000 千瓦
D．1820000 千瓦
6．在平面直角坐标系中，已知A（
，1），O（0，0），C（
，0）三点，AE 平分∠OAC，交OC 于E，则直
线AE 对应的函数表达式是（ ）
A．y＝x﹣
B．y＝
x﹣2
C．y＝
x﹣1
D．y＝x﹣2
7．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E 的度数为（ ）
A．28°
B．32°
C．42°
D．52°
8．某车间原计划13 小时生产一批零件，后来每小时多生产10 件，用了12 小时不但完成任务，而且还
多生产60 件，设原计划每小时生产x 个零件，则所列方程为（ ）
A．13x＝12（x+10）+60
B．12（x+10）＝13x+60
C．
D．
9．若数据x1，x2，…，xn的众数为a，方差为b，则数据x1+2，x2+2，…，xn+2 的众数，方差分别是（ ）
A．a，b
B．a，b+2
C．a+2，b
D．a+2，b+2
10．若正方形的边长为6，则其外接圆的半径为（ ）
A．3
B．3
C．6
D．6
二．填空题（共8 小题，满分24 分，每小题3 分）
11．﹣3 的绝对值的倒数的相反数是 ．
12．设a、b 是一元二次方程x2+2x﹣7＝0 的两个根，则a2+3a+b＝ ．
13．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB 的延长线于点F，则∠DFA＝ ．
14．如图，▱OABC 中顶点A 在x 轴负半轴上，B、C 在第二象限，对角线交于点D，若C、D 两点在反比
例函数
的图象上，且▱OABC 的面积等于12，则k 的值是 ．
15．某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结
果制成了如图扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 度．
16．一次函数y＝kx+b 的图象如图所示，则关于x 的方程kx+b＝0 的解为 ，当x 时，
kx+b＜0．
17．如果点（m，﹣2m）在双曲线
上，那么双曲线在 象限．
18．如图，已知在Rt△ABC 中，AB＝AC＝3
，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF
的中点P，连接PD、PE，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ 的中点Q，在△QHI
内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2014 个内接正方形的边长为 ．
三．解答题（共8 小题）
19．（1）计算：（
）﹣1+2（π﹣3.14）0﹣2sin60°﹣
+|1﹣3
|；
（2）解方程：
＝1﹣
．
20．如图，AB＝AC＝AD．
（1）如果AD∥BC，那么∠C 和∠D 有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）如果∠C＝2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论．
21．先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2018，y＝2019．
22．某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C 三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示
的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）该超市“元旦”期间共销售 个绿色鸡蛋，A 品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇
形圆心角是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500 个，请你估计这个
分店销售的B 种品牌的绿色鸡蛋的个数？
23．潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000 元购进了一批
凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000 元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进
数量的2 倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10 元．
（1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？
（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少
是多少元？
24．如图△ABC 中∠A＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D，E 为AC 边中点，求证：DE 是⊙O 的切线．
25．已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O，且与AB 交于E，与CD 交
于F．
求证：四边形AECF 是平行四边形．
26．已知AM 是⊙O 直径，弦BC⊥AM，垂足为点N，弦CD 交AM 于点E，连按AB 和BE．
（1）如图1，若CD⊥AB，垂足为点F，求证：∠BED＝2∠BAM；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，若∠ABE＝∠BDC，求证：AE＝2CN；
（3）如图3，AB＝CD，BE：CD＝4：7，AE＝11，求EM 的长．
2019 年湖南省邵阳市北塔区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．【分析】根据立方根和平方根的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、立方根是它本身的数有﹣1、0 和1，故错误，不符合题意；
B、负数有立方根但没有平方根，故错误，不符合题意；
C、16 的平方根是±4，故错误，不符合题意；
D、﹣2 是4 的一个平方根，正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了平方根和立方根的知识，解题的关键是了解有关的定义，难度不大．
2．【分析】根据因式分解的方法即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝3（2x+3y+1），故A 错误；
（C）x2﹣2xy﹣y2不是完全平方式，不能因式分解，故C 错误；
（D）x2+4 不能因式分解，故D 错误；
故选：B．
【点评】本题考查因式分解的方法，涉及提取公因式，完全平方公式，平方差公式，解题的关键会判
断多项式是否满足完全平方式以及平方差公式．
3．【分析】延长ED 交BC 于F，根据平行线的性质求出∠MFC＝∠B＝75°，求出∠FDC＝35°，根据三
角形外角性质得出∠C＝∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可．
【解答】解：延长ED 交BC 于F，如图所示：
∵AB∥DE，∠ABC＝75°，
∴∠MFC＝∠B＝75°，
∵∠CDE＝145°，
∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°，
∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC 的度数，
注意：两直线平行，同位角相等．
4．【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是
，
故选：B．
【点评】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．
5．【分析】把数据1.82×107写成原数，就是把1.82 的小数点向右移动7 位．
【解答】解：把数据1.82×107中1.82 的小数点向右移动7 位就可以得到，为18 200 000．故选C．
【点评】用科学记数法a×10n表示的数还原成原数时，n 是几，小数点就向后移几位．
6．【分析】先求E 点坐标，再求直线解析式．
【解答】解：∵A（
，1），O（0，0），C（
，0），
∴OA＝2，AC＝1，OC＝
．∠AOC＝∠OAE＝∠EAC＝30°．
∴2EC＝AE，CE＝
，OE＝
﹣
＝
，即点E（
，0）．
设直线AE 对应的函数表达式是y＝kx+b，
把点E、A 的坐标代入解得，k＝
，b＝﹣2，
即y＝
x﹣2．
故选：B．
【点评】主要考查了待定系数法求函数解析式和点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要
把点的坐标有机的和图形结合起来求解．
7．【分析】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．
【解答】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，
∴∠B＝42°，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E．
∴∠E＝42°．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的性质的运用，全等三角形的对应角相等，是基础知识要熟练掌握．
8．【分析】首先理解题意，找出题中存在的等量关系：实际12 小时生产的零件数＝原计划13 小时生
产的零件数+60，根据此等式列方程即可．
【解答】解：设原计划每小时生产x 个零件，则实际每小时生产（x+10）个零件．
根据等量关系列方程得：12（x+10）＝13x+60．
故选：B．
【点评】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．
9．【分析】根据数据x1，x2，…，xn的众数为a，方差为b，可知数据x1+2，x2+2，…，xn+2 与原来数据相比
都增加2，则众数相应的加2，平均数都加2，则方差不变．
【解答】解：∵数据x1，x2，…，xn的众数为a，方差为b，
∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2 的众数为a+2，这组数据的方差是b，
故选：C．
【点评】本题考查方差和众数，解答本题的关键是明确题意，利用众数和方差的定义解答．
10．【分析】作OE⊥AD 于E，连接OD，在Rt△ADE 中，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
【解答】解：作OE⊥AD 于E，连接OD，则AE＝DE＝3，OE＝3．
在Rt△ADE 中，OD＝
＝3
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决
问题．
二．填空题（共8 小题，满分24 分，每小题3 分）
11．【分析】根据绝对值、倒数、相反数，即可解答．
【解答】解：﹣3 的绝对值是3，3 的倒数是
，
的相反数是﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查了绝对值、倒数、相反数，解决本题的关键是熟记绝对值、倒数、相反数．
12．【分析】根据根与系数的关系可知a+b＝﹣2，又知a 是方程的根，所以可得a2+2a﹣7＝0，最后可
将a2+3a+b 变成a2+2a+a+b，最终可得答案．
【解答】解：∵设a、b 是一元二次方程x2+2x﹣7＝0 的两个根，
∴a+b＝﹣2，
∵a 是原方程的根，
∴a2+2a﹣7＝0，即a2+2a＝7，
∴a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝7﹣2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把a2+3a+b 转化为a2+2a+a+b 的形式，结
合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
13．【分析】首先求得正五边形内角∠C 的度数，然后根据CD＝CB 求得∠CDB 的度数，然后利用平行
线的性质求得∠DFA 的度数即可．
【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5＝72°，
∴∠C＝180°﹣72°＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA＝∠CDB＝36°．
故答案为：36°．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．
14．【分析】根据平行四边形的性质的性质及反比例函数k 的几何意义，判断出OE＝EF，再由△AOC
的面积，可得关于k 的方程，解出即可．
【解答】解：如图所示：
∵▱OABC 的面积等于12，
∴△AOC 的面积为6，
∵点D 是线段AC 的中点，CE∥DF，
∴DF 是△ACE 的中位线，
∴CE＝2DF，AF＝EF，
又∵S△OCE＝S△ODF＝
，
∴OF＝2OE，S△ADF＝
，S△ACE＝|k|，
∴S△ACE+S△OCE＝S△AOC＝6，即
＝6，
又∵k＜0（反比例函数在第二象限），
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及反比例函数k 的几何意义，涉及的知识点较多，注意理清
解题思路，分步求解．
15．【分析】根据圆心角＝360°×百分比计算即可；
【解答】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角＝360°×（1﹣10%﹣30%﹣20%﹣15%）＝90°，
故答案为90．
【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．
16．【分析】于x 的方程kx+b＝0 的解其实就是求当函数值为0 时，x 的值，kx+b＜0 就是求函数值小于
0 时，x 的取值范围．
【解答】解：从图象上可知则关于x 的方程kx+b＝0 的解为的解是x＝﹣3，当x＜﹣3 时，kx+b＜0．
故答案为：x＝﹣3，x＜﹣3．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，关
键是知道通过图象怎么求方程的解和不等式的取值范围．
17．【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即
xy＝k 可得k＝﹣2m2＜0，根据反比例函数的性质可得答案．
【解答】解：∵点（m，﹣2m）在双曲线
（k≠0）上，
∴m•（﹣2m）＝k，
解得：k＝﹣2m2，
∵﹣2m2＜0，
∴双曲线在第二、四象限．
故答案为：第二、四．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，以及反比例函数的性质，关键是掌握
图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
18．【分析】首先根据勾股定理得出BC 的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE 的长，再利用
锐角三角函数的关系得出
，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC 中，AB＝AC＝
，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝
，
∵在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG；
∴EF＝EC＝DG＝BD，
∴DE＝
BC
∴DE＝2，
∵取GF 的中点P，连接PD、PE，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ 的中点Q，
在△QHI 内作第三个内接正方形…依次进行下去，
∴
，
∴EI＝
KI＝
HI，
∵DH＝EI，
∴HI＝
DE＝
，
则第n 个内接正方形的边长为：2×
，
∴则第2014 个内接正方形的边长为2×
＝2×
＝
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形
边长的变化规律是解题关键．
三．解答题（共8 小题）
19．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质，以及绝
对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【解答】解：（1）原式＝2016+2﹣
﹣2
+3
﹣1＝2017；
（2）去分母得：3＝2x+2﹣2，
解得：x＝1.5，
经检验x＝1.5 是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，涉及的知识有：零指数幂、负整数指数幂，特殊
角的三角函数值，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）∠C＝2∠D．由于AD∥BC，利用平行线性质可得∠D＝∠DBC，又AB＝AD，可得∠D
＝∠ABD，易求
∠ABC＝2∠D，又AB＝AC，可知∠ABC＝∠C，等量代换可得∠C＝2∠D；
（2）AD∥BC．由于AB＝AC，可得∠ABC＝∠C＝2∠D，而AB＝AD，那么有∠ABD＝∠D，从而有
∠DBC＝∠D，
那么易证AD∥BC．
【解答】解：（1）∠C＝2∠D，
证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
又∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠ABC＝2∠D，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2∠D；
（2）AD∥BC，（6 分）
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2∠D，
又∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D，
∴∠DBC＝∠D，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查了平行线的性质、判定、等腰三角形的性质．
21．【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 与y 的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy
＝x2﹣2xy+y2，
＝（x﹣y）2，
当x＝2018，y＝2019 时，
原式＝（2018﹣2019）2＝（﹣1）2＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和
运算法则．
22．【分析】（1）用C 品牌的数量除以所占的百分比，计算机求出鸡蛋的总量，再用A 品牌的百分比乘
以360°计算即可求出圆心角的度数；
（2）求出B 品牌鸡蛋的数量，然后条形补全统计图即可；
（3）用B 品牌所占的百分比乘以1500，计算即可得解．
【解答】解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%＝2400 个，
A 品牌所占的圆心角：
×360°＝60°；
故答案为：2400，60；
（2）B 品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200＝800 个，
补全统计图如图；
（3）分店销售的B 种品牌的绿色鸡蛋为：
×1500＝500 个．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．
23．【分析】（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x 千克茶叶，则第二次购进2x 千克茶叶，根据单价＝总
价÷数量结合第二次购进茶叶每千克比第一次购进的贵10 元，即可得出关于x 的分式方程，解之
并检验后即可得出结论；
（2）设每千克茶叶售价y 元，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于y 的一元一次不等式，解
之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x 千克茶叶，则第二次购进2x 千克茶叶，
根据题意得：
﹣
＝10，
解得：x＝200，
经检验，x＝200 是原方程的根，且符合题意，
∴2x+x＝2×200+200＝600．
答：凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶600 千克．
（2）设每千克茶叶售价y 元，
根据题意得：600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%，
解得：y≥200．
答：每千克茶叶的售价至少是200 元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据数量之间的关系，找出关于y 的一元一次不等式．
24．【分析】要想证DE 是⊙O 的切线，只要连接OD，AD，求证∠ODE＝90°即可．
【解答】证明：连接AD、DO；
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵E 是AC 的中点，
∴DE＝AE（直角三角形中斜边中线等于斜边一半），
∴∠EAD＝∠EDA．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝∠EAD+∠DAO＝∠CAB＝90°．
∴OD⊥DE．
DE 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点
（即为半径），再证垂直即可．
25．【分析】求证四边形AECF 是平行四边形．只要求证OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平
行四边形即可求证．依据△AOE≌△COF 即可证明OA＝OC．
【解答】证明：∵平行四边形ABCD 中AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
又∵OA＝OC，∠COF＝∠AOE，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF 是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，正确求证OE＝OF 是证明的关键．
26．【分析】（1）根据垂径定理可得BN＝CN，根据垂直平分线的性质可得EB＝EC，从而可得∠BED＝
2∠BCD，只需证明∠BAM＝∠BCD 即可；
（2）连接AC，如图2，易得BC＝2CN，要证AE＝2CN，只需证AE＝BC，只需证△ABE≌△CDB，只
需证BE＝BD 即可；
（3）过点O 作OP⊥AB 于P，作OH⊥BE 于H，作OQ⊥CD 于Q，连接OC，如图3，由AB＝CD 可推
出OP＝OQ，易证∠BEA＝∠CEA，根据角平分线的性质可得OH＝OQ，即可得到OP＝OH，则有
＝
＝
＝
，从而可得
＝
＝
．由AE＝11 可求出AO、EO，就可求出AM、
EM．
【解答】解：（1）∵BC⊥AM，CD⊥AB，
∴∠ENC＝∠EFA＝90°．
∵∠AEF＝∠CEN，
∴∠BAM＝∠BCD．
∵AM 是⊙O 直径，弦BC⊥AM，
∴BN＝CN，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠BCD，
∴∠BED＝2∠BCD＝2∠BAM；
（2）连接AC，如图2，
∵AM 是⊙O 直径，弦BC⊥AM，
∴
＝
，
∴∠BAM＝∠CAM，
∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BAM＝∠BED，
∴BD＝BE．
在△ABE 和△CDB 中，
，
∴△ABE≌△CDB，
∴AE＝CB．
∵BN＝CN，
∴AE＝CB＝2CN；
（3）过点O 作OP⊥AB 于P，作OH⊥BE 于H，作OQ⊥CD 于Q，连接OC，如图3，
则有AP＝BP＝
AB，CQ＝DQ＝
CD．
∵AB＝CD，
∴AP＝CQ，
∴OP＝
＝
＝OQ．
∵AM 垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠BEA＝∠CEA．
∵OH⊥BE，OQ⊥CD，
∴OH＝OQ，
∴OP＝OQ＝OH，
∴
＝
＝
＝
＝
．
又∵
＝
，
∴
＝
．
设AO＝7k，则EO＝4k，
∴AE＝AO+EO＝11k＝11，
∴k＝1，
∴AO＝7，EO＝4，
∴AM＝2AO＝14，
∴EM＝AM﹣AE＝14﹣11＝3．
【点评】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂直
平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、等高（或同高）三角形的面积比等
于底的比等知识，证到BD＝BE 是解决第（2）小题的关键，证到OP＝OH 是解决第（3）小题的关键．
