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《探索三角形全等的条件》典型例题
例1 分析下列结论：
（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等
（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等
（3）判定两个三角形全等，至少需要一对对边应相等
（4）三个角对应相等的两个三角形全等
（5）三条边对应相等的两个三角形全等
其中，正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
例2 如图，在
与
中，如果
，那么
与
全等吗？如果全等，请指出根据．
例3 如图，A、F、C、D 在同一直线上，
，问
和
能全等吗？如果全等
请指出根据．
例4 如下图，
，那么
≌
吗？
例5 如图，AC 是
的角平分线，且
，试说明
．
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B
A
C
D
E
F
1
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例6 如图，
那么，
吗？
例7 已知：如图，
是BC 中点，E 是AD 上任意一点，连接EB、EC
求证：
例8 如图，
，那么，
吗？
例9 如图，
和BD 交于点O，且
，那么，
吗？
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参考答案
例1 分析：（1）有两角和一边对应相等，只有两种情况：两角和夹边对应相
等、两角和其中一角的对边对应相等，可以根据ASA、AAS 判定全等，故（1）正确．
（2）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形未必全等，如下图：故
（2）错误．
在
与
中
但显然
与
不全等．
（3）观察四个判定三角形全等的条件（包括后面将要学习的HL），每一个都
至少要求一对边对应相等，故（3）正确．
（4）三个角对应相等的两个三角形未必全等，如下图所示的两个三角形：
根据“SSS”，（5）正确．
解：选C．
例2 分析：在
与
中，由于
，
，根据三边
对应相等，两个三角形全等，可知
≌
．
解：
≌
，根据
，即
．
说明：判断两个三角形是否全等，应找其全等应满足的条件．
例3 分析：在
和
中，由
，可知
；由
，可知
；而由
可知
，
所以根据
，可得
≌
．
解：
≌
．
根据：因为
，所以
，
又因为
，所以
，
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因为
，所以
所以根据
得，
≌
．
说明：这个题也可以根据
来判断，请读者自行试一试．
例4 分析：判定两个三角形全等，需要三个条件，已知两个条件：一对边对
应相等，一对角对应相等，需要结合图形，寻找第三个条件，一般地，可以从以下
几个方面考虑：①公共边 ②公共角 ③对顶角 ④直角．本题中有公共边，可
以利用SAS 来证明三角形全等，注意三个条件的罗列顺序，第一个是边相等，第
二个是角相等，第三个是边相等．
解：在
和
中
∴
≌
（SAS）
例5 分析：要说明
，只需说明
≌
，而
，所以
≌
．
解：在
和
中，
因为
，且AC 平分
，即
．
所以
≌
，根据是
，所以
．
说明：在两个三角形中，来判断两个三角形的两条边相等，经常用判断这两个
三角形全等的办法来判断，但需注意要判断相等的线段必须是这两个三角形的对
应边．
例6 分析：如果
≌
，那么
．通过在图形中表示已知条件
可知，在
和
中有两对边对应相等，虽然还已知
，但是
和
不是这两个三角形的内角，不能直接利用“SAS”来证明全等，如
果能证明
，就可以用“SAS”证明
≌
了．利用等式的性
质，易证
．
解：
（已知）
∴
（等式的性质）
即
在
和
中
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∴
≌
（SAS）
∴
（全等三角形的对应边相等）
例7 分析：本题比较复杂，可以用“综合—分析法”来证明，分析过程如下
（1）结合已知、求证观察图形，图中共有三组基本图形（哪三组？）．
（2）看未知，需证
，只需证
≌
，或证
≌
．
（3）看已知，
是BC 中点，可得，
，不要忽略图形中隐含的已
知条件AE、DE、AD 是三对全等三角形的公共边．
（4）找需知，只需证得
或
，即可得到上述两个三
角形全等（恰当选择SAS 来判定）
（5）再看已知，三组对应边对应相等，可以利用SSS 来证明
≌
，就
得到
或
证明：
是BC 中点 ∴
在
和
中
∴
≌
（SSS）
∴
（全等三角形的对应角相等）
在
和
中
∴
≌
（SAS）
∴
（全等三角形的对应边相等）
例8 分析：本图比较复杂，很难找到证明哪两个三角形全等，故可以采用分
解法，将图形分解成
和
然后用相同的符号标示已知的相等条件，显然
它们全等．
解：在
和
中
∴
≌
（SAS）
∴
（全等三角形的对应边相等）
例9 分析：假如
≌
，那么
，但是，已知的两组线段不是
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这两个三角形的边，为充分利用条件，可以添加辅助线：连接AD，这样易证
．
解：连结AD
在
和
中
∴
≌
（SSS）
∴
（全等三角形的对应角相等）
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