文档文本内容
第06 讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数.....................................................................................3
高频考点二：证明唯一零点问题................................................................................................................6
高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题..................................................................................8
高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题................................................................................11
高频考点五：构造函数研究函数零点问题...............................................................................................13
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................14
第一部分：基础知识
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数
，把使
的实数
叫做函数
的零点．
（2）三个等价关系
方程f ( x)=0 有实数根⇔函数y=f ( x)的图象与x 轴有交点的横坐标⇔函数y=f ( x)有零点．
2、函数零点的判定
如果函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
，这个
也就是
的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
·证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
2．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，
且
.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明
．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
典型例题
例题1．（24-25 高三下·山东临沂·阶段练习）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求函数
的零点个数.
例题2．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数
，直线
.
(1)若点
是函数
图象上的一点，求点
到直线距离的最小值；
(2)若
，讨论函数
的零点的个数.
例题3．（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
零点的个数．
精练高频考点
1．（24-25 高二下·广东广州·期中）函数
．
(1)求函数在
处的切线方程；
(2)求出方程
的解个数．
2．（24-25 高三下·广东惠州·阶段练习）已知函数
(1)当
时，求
的最大值与最小值；
(2)在答题卡指定位置画出
的大致图象，并讨论方程
的解的个数.
3．（24-25 高三下·广东东莞·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)在坐标系中画出函数
的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；
(3)讨论方程
的实数解的个数.
高频考点二：证明唯一零点问题
典型例题
例题1．（24-25 高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数
，
(1)当
时，求
的对称中心；
(2)证明：
有唯一零点
例题2．（2025·安徽淮北·二模）已知函数
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)求证：当
时，
有且仅有一个零点.
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)证明：函数
只有一个零点；
2．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的定义域；
(3)证明：方程
有唯一解.
3．（24-25 高三上·湖南·期中）已知函数
.
(1)证明：
；
(2)设函数
，证明：函数
有唯一的极值点.
高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题
典型例题
例题1．（24-25 高二下·陕西咸阳·期中）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
在
上有两个不同零点，求实数
的取值范围.
例题2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
在
处有极小值.
(1)求实数的值；
(2)若函数
有三个不同的零点，求实数
的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·江苏·阶段练习）已知函数
．
(1)若
，求
的极值点；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个零点，求实数
的取值范围．
2．（24-25 高三下·天津滨海新·阶段练习）已知函数
在
处取得极值.
(1)求实数
的值；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值.
(3)若方程
在
上有三个不同的实数根，求实数
的取值范围.
3．（24-25 高三下·河北衡水·阶段练习）已知函数
，若
在
处取得极值-6.
(1)求
的值；
(2)若
都为整数，当
时关于
的方程
有两个不同的解，求实数
的范围.
高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题
典型例题
例题1．（24-25 高二下·海南·期中）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若方程
恰有一个实数根，求实数a 的取值范围．
例题2．（2025·云南·三模）函数
在
处的切线垂直于y 轴．
(1)求实数a；
(2)若方程
有两根，求b 的取值范围．
精练高频考点
1．（2025·全国·模拟预测）已知函数
的导函数为
．
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
有三个不同的零点，求实数
的取值范围；
(3)已知
，若
在定义域内有三个不同的极值点
，且满足
，求实数
的取值范围．
2．（24-25 高二下·山西太原·期中）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)若函数
恰有两个零点，求实数
的取值范围.
3．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
，
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程.
(2)若关于
的方程
恰有两个不同的正实数根
，求
的取值范围.
高频考点五：构造函数研究函数零点问题
典型例题
例题1．（24-25 高二下·云南临沧·期中）若函数
存在零点，则的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高二下·北京东城·期中）已知
，
，则下列说法正确的有 ．
①
的值域为
； ②
时，
恒有极值点；
③
恒有零点； ④对于
，
恒成立．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
（
），若函数
在区间
内存在零点，求实数a 的取值范围
2．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
，讨论函数
零点的个数.
第四部分：典型易错题型
备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图，要灵活应用极限画图
1．（2025·湖北·二模）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，讨论方程
的根的个数.
2．（24-25 高三上·浙江杭州·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数
的极小值点和极小值；
(3)若方程
恰好有2 个解，则实数的范围.
3．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
，
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)讨论关于
方程
的解的个数.
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知
且
，函数
，若曲线
与直线
有
且仅有两个交点，求
的取值范围.
