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【第30 讲：余弦定理和正弦定理】
【新高考课程标准要求】
一、知识理解与掌握
正弦定理：要求学生必须牢固掌握正弦定理的基本形式，即
（其中
为三
角形外接圆半径）。这意味着学生不仅要记住该公式，更要深入理解其内涵，知晓公式中各边
、
、
与对应角
、
、
正弦值之间的比例关系。例如，在
年新高考某卷的一道题目中，给出了三角形
的两角及一边，要求学生运用正弦定理求出另一边的长度。这就考查了学生对正弦定理基本形式的直接应
用能力，只有准确理解公式，才能迅速建立等式进行求解。
余弦定理：学生需熟练掌握余弦定理的三种表达形式，即
、
、
，以及其变形公式
、
、
。在
年某高考模拟题中，已知三角形三边长度，要求判
断三角形的形状，这就需要学生利用余弦定理的变形公式求出各角的余弦值，进而根据余弦值的正负来确
定角的大小，从而判断三角形的形状。这体现了对余弦定理理解和运用的较高要求。
二、定理应用能力
解决三角形度量问题：课程标准明确要求学生能够运用正弦定理和余弦定理解决简单的三角形度量问题，
包括求三角形的边、角、面积等。如在
年新高考全国卷的一道解答题中，给出了三角形的一些边和
角的条件，要求学生先通过正弦定理求出某个角的正弦值，再结合三角形内角和以及已知条件，利用余弦
定理求出其他边的长度，最后计算三角形的面积。这道题综合考查了学生运用正弦定理和余弦定理解决三
角形度量问题的能力，需要学生具备清晰的解题思路和较强的运算能力。
实现边角互化：学生要能够灵活运用正弦定理和余弦定理实现三角形边角关系的相互转化。在众多高考
真题和模拟题中，常常会出现一些条件既包含边又包含角的等式，此时就需要学生根据具体情况，利用正
弦定理将边化为角，或利用余弦定理将角化为边，从而简化等式，找到解题的突破口。例如，在
年
某省的高考模拟题中，已知等式
，学生需要通过正弦定理将边
、
、
转化
为
、
、
，然后利用三角函数的和角公式进行化简求解。
三、综合问题解决
与实际问题结合：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问
题。这要求学生具备将实际问题抽象为数学模型的能力。比如在
年的一道高考真题中，以测量建筑
物高度为背景，给出了在不同位置测量的角度和距离等条件，学生需要构建三角形模型，运用正弦定理或
余弦定理求解建筑物的高度。这类题目考查学生将数学知识应用于实际生活的能力，体现了数学的实用性。
与其他知识综合：正弦定理和余弦定理常与三角函数的其他知识（如三角函数的性质、诱导公式、两角
和与差的公式等）、平面向量等知识综合考查。在
年的一道高考模拟题中，将向量的数量积与余弦
定理相结合，已知向量
，再结合余弦定理给出的边的关系，要求学生求解三角形的相
关问题。这就要求学生具备综合运用多方面知识的能力，能够打通不同知识板块之间的联系，灵活解题。
【知识梳理】
一、正弦定理
1. 定理内容：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即
（其中
为三角形外接圆半径）。
2. 证明方法：
外接圆法：在
中，设外接圆为
。连接
并延长交
于
，连接
。因
是直径，
故
；由同弧所对圆周角相等，得
。在
中，
，即
，
故
。同理可证
，
。
3. 常见结论：
边化角：
，
，
。
（2024 年新高考某卷中，曾通过此结论将边与角的混合等式转化为纯角的等式，简化求解）
角化边：
，
，
。
（高考模拟题中，常利用此结论从角的关系推导边的关系）
比例关系：
。
（判断三角形边与角的比例关系时高频使用）
4. 微点提醒：
已知两边及其中一边的对角解三角形时，需判断解的个数：
如已知
、
、
，由
，若
则无解；若
则一解；若
，需结合“大边对大角”进一步判断。
用正弦定理求角时，注意角的范围（
），正弦函数在此区间非一一对应，需结合已知
条件确定唯一角。
二、余弦定理
1. 定理内容：任意三角形中，一边的平方等于另外两边平方和减去这两边与夹角余弦积的两倍，即
变形公式（求角）：
2. 证明方法：
向量法：在
中，
，两边取模的平方：
即
，同理可证其他两式。
3. 常见结论：
三角形形状判断：
若
，则
（直角三角形）；
若
，则
（
为锐角）；
若
，则
（
为钝角）。
（2025 年某高考模拟题中，曾通过此结论判断三边已知的三角形形状）
三边与一角的变形：
。
（求三角形周长或边长范围时，常结合此式化简）
4. 微点提醒：
用余弦定理时，务必注意“角与边的对应关系”（如
对应边
），避免代错数据。
余弦值的正负直接对应角的类型（
为锐角，
为直角，
为钝角），需准确
关联。
三、三角形面积公式
1. 核心公式及推导
基础公式：
（
为任意一边，
为
对应的高）。
推导：两个全等三角形可拼成平行四边形，平行四边形面积为
，故三角形面积为其一半。
（2023 年新高考全国卷中，曾直接考查此公式的应用）
与正弦定理结合：
推导：以
为底，高
，代入基础公式得
，同理推导其他两式。
（2024 年某省模拟题中，曾通过此公式求面积后，结合周长条件解题）
与外接圆半径结合：
（
为外接圆半径）。
推导：由
、
、
，代入
，化简得此式。
（2025 年模拟题中，曾已知
和三边，用此公式求面积）
海伦公式：
（其中
为半周长）
推导：由
和
，结合余弦定理化简得。
（2022 年高考真题中，曾用此公式求三边已知的三角形面积）
2. 常见结论：
等腰三角形（
）：
（
为顶角），或
（
为底边）。
直角三角形（
）：
（因
），且外接圆半径
，代入
可验证
此式。
3. 微点提醒：
用
时，角
必须是边
与
的夹角，避免边角对应错误。
海伦公式需先算半周长
，且需满足“三边关系”（
、
、
均为正），否则三角形不
存在。
已知面积求角时，注意多解（如
时，
或
），需结合其他条件确定唯一解。
四、常用二级结论（高频考点衍生）
1. 边角关系进阶结论
大边对大角的量化：
（由正弦定理推导）。
（2024 年新高考I 卷第11 题，用此结论快速排除错误选项）
内角和与三角函数：
，
，
（因
）。
（2025 年模拟题中，已知
，直接得
）
特殊角三角形边比：
：
；
：
；
等边三角形：
。
（2023 年新高考II 卷第15 题，用此边比快速求直角三角形边长）
2. 与面积相关的二级结论
面积与内切圆半径：
（
为半周长，
为内切圆半径）。
推导：将三角形分割为3 个以内切圆圆心为顶点的小三角形，面积和为
。
（2022 年高考全国甲卷第17 题，结合海伦公式与此结论求内切圆半径）
面积的不等关系：
（当且仅当
且
时取等号）。
推导：由
，结合基本不等式
得。
（2025 年模拟题中，已知
，用此结论求面积最大值为2）
3. 与正余弦定理结合的综合结论
余弦定理与向量数量积：
。
（2024 年新高考I 卷第19 题，已知
，
，直接得
）
正余弦定理与数列：
若
成等差数列，则
；
若
成等比数列，则
。
（2025 年模拟题中，已知
成等比且
，用此结论求
）
4. 解三角形的易错二级结论
解的个数补充判断：当
为锐角时，
则一解；
时，
两解，
一解，
无解。
（2023 年江苏模拟题，已知
，
，
，因
，故两解）
角的余弦值范围：锐角三角形中所有角的余弦值均为正，钝角三角形中仅一个角的余弦值为负（余弦
值范围
）。
（2024 年新高考II 卷第16 题，用此结论判断三角形为锐角三角形）
【课前自测—真题体验】
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由余弦定理
直接计算求解即可.
【详解】由题意得
，
又
，所以
.
故选：A
2．（2023·北京·高考真题）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为
，
所以由正弦定理得
，即
，
则
，故
，
又
，所以
.
故选：B.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理得
，再利用余弦定理有
，由正弦定理得到
的值，最后代入计算即可.
【详解】因为
，则由正弦定理得
.
由余弦定理可得:
，
即:
，根据正弦定理得
，
所以
，
因为
为三角形内角，则
，则
.
故选：C.
二、多选题
4．（2025·全国一卷·高考真题）已知
的面积为
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对
由二倍角公式先可推知A 选项正确，方法一分情况比较
和
的
大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利
用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用
算出
取值，最后利用三角形面积求
出三边长，即可判断每个选项.
【详解】
，由二倍角公式，
，
整理可得，
，A 选项正确；
由诱导公式，
，
展开可得
，
即
，
下证
.
方法一：分类讨论
若
，则
可知等式成立；
若
，即
，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，
，同理
，
又
，于是
，
与条件不符，则
不成立；
若
，类似可推导出
，则
不成立.
综上讨论可知，
，即
.
方法二：边角转化
时，由
，则
，
于是
，
由正弦定理，
，
由余弦定理可知，
，则
，
若
，则
，注意到
，则
，
于是
（两者同负会有两个钝角，不成立），于是
，
结合
，而
都是锐角，则
，
于是
，这和
相矛盾，
故
不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由
，结合正弦定理可得，
，由射影定理可得
，于
是
，
则
，可同方法一种讨论的角度，推出
，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知
同时为
或者异号，即
，展开可得，
，
即
，结合和差化积，
，由上述分析，
，则
，则
，则
，即
，于是
，可
知
.
由
，由
，则
，即
，
则
，同理
，由上述推导，
，则
，
不妨设
，则
，即
，
由两角和差的正弦公式可知
，C 选项正确
由两角和的正切公式可得，
，
设
，则
，
由
，则
，则
，
于是
，B 选项正确，由勾股定理可知，
，D 选项错误.
故选：ABC
三、解答题
5．（2022·全国乙卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出
，从而可求得
，即可得解.
【详解】（1）证明：因为
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
；
（2）解：因为
，
由（1）得
，
由余弦定理可得
，
则
，
所以
，
故
，
所以
，
所以
的周长为
.
6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，
方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知
即可求解，方法四：根
据半角公式和两角差的正切公式化简后求解.
（2）由（1）知，
，
，再利用正弦定理以及二倍角公式将
化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）方法一：直接法
可得
，
则
，即
，
注意到
，于是
，
展开可得
，则
，
又
，
.
方法二：二倍角公式处理+直接法
因为
，
即
，
而
，所以
；
方法三：导数同构法
根据
可知，
，
设
，
，
则
在
上单调递减，
，
故
，结合
，解得
.
方法四：恒等变换化简
，
结合正切函数的单调性，
，则
，
结合
，解得
.
（2）由（1）知，
，所以
，
而
，
所以
，即有
，所以
所以由正弦定理得
．
当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求
,再由正弦定理求出
，根据等面积法
求解即可.
【详解】（1）
，
，即
，
又
，
，
，
，
即
，所以
，
.
（2）由（1）知，
，
由
，
由正弦定理，
，可得
，
，
.
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出
，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积
公式求出
，作出
边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出
即可求解作答；方法2，利用向量
运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出
即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，解得
，则
，
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，有
，则
，
，过
作
于
，于是
，
，
所以
.
（2）方法1：在
与
中，由余弦定理得
，
整理得
，而
，则
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，则
，又
，
于是
，即
，解得
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出
，最后结合已知
得
的值即
可；
（2）首先求出
，然后由正弦定理可将
均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程
求解.
【详解】（1）由余弦定理有
，对比已知
，
可得
，
因为
，所以
，
从而
，
又因为
，即
，
注意到
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
，
，从而
，
，
而
，
由正弦定理有
，
从而
，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为
，
由已知
的面积为
，可得
，
所以
.
10．（2024·北京·高考真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)
；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC 面积均为
.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得
，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出
，再代
入式子得
，再利用两角和的正弦公式即可求出
，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先
得到
，再利用正弦定理得到
，再利用两角和的正弦公式即可求出
，最后利用三角形
面积公式即可；
【详解】（1）由题意得
，因为
为钝角，
则
，则
，则
，解得
，
因为
为钝角，则
.
（2）选择①
，则
，因为
，则
为锐角，则
，
此时
，不合题意，舍弃；
选择②
，因为
为三角形内角，则
，
则代入
得
，解得
，
,
则
.
选择③
，则有
，解得
，
则由正弦定理得
，即
，解得
，
因为
为三角形内角，则
，
则
，
则
【考点一：利用正余弦定理三角形】
【例题】1．（2025·江苏连云港·模拟预测）在
中，点
在边
上，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在
中，利用余弦定理求得
，从而得
，进而在
中，可解
；
（2）设
，
，（
），借助直角三角形可
，则利用正弦定
理求得
，再用余弦定理求出
，即可得解.
【详解】（1）在
中，
，
由余弦定理，
，
知识讲解与常考题型
题型分类
得
，
所以
．
所以在
中，
．
（2）设
，
，（
），在
中，
由正弦定理得
，又因为
，
代入上式有：
，得
．
由余弦定理得
，
综上，
．
2．（2025·全国·二模）记
的内角
的对边分别为
，
.
(1)求A；
(2)延长
至
，使
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过对已知等式进行化简，然后利用余弦定理求出角A.
（2）利用正弦定理列出等式，进而求出
的值.
【详解】（1）由
得，
所以根据余弦定理得
，
，则
.
（2）如图：
因为
，所以
，则
是正三角形，所以
，
在
中，根据正弦定理
，由题意
，
得
，所以
.
【针对训练】【多选题】3．（2025·甘肃金昌·三模）在
中，
，
，M 为BC 的中点，
，则下列说法正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．C 为钝角
【答案】AC
【分析】设
，应用余弦定理及
得
，且
，求得
，进而依次判断各项的正误.
【详解】在
和
中，设
，则
，
，
又因为
，可得
，化简为
①，
在
中，
②，
由①②，可得
，因此
，
，
在
中，
，又
，所以C 为锐角.
故选：AC
【多选题】4．（2025·湖北·模拟预测）锐角三角形
中，角
所对的边分别是
，已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
【答案】AD
【分析】根据正弦定理、余弦定理结合三角形内角和定理和三角形的面积公式逐项判断即可.
【详解】因为
且
为锐角三角形，所以
.
根据三角形的内角和定理，得：
，故A 正确.
由余弦定理：
得：
.
整理得
，又
，所以
，故B 错误；
根据正弦定理：
，故C 错误；
因为
，故D 正确.
故选：AD
【多选题】5．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，且
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
的面积为
【答案】ABC
【分析】由正弦定理及
计算可得
，结合题意
由辅助角公式化简计算得
可判断AB，结合AB 选项结果计算得
可判断C，由正弦定理及三角形面积公式计算得
可判断D.
【详解】因为
，由正弦定理可得
，
因为
，
所以
，
即
，因为
，
所以
，所以
，即
，
又
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
因为
，所以
，
则
，解得
，故选项AB 正确；
因为
，
所以
，故选项C 正确；
若
，则由正弦定理，可得
，
所以
，故选项D 错误．
故选：ABC
【解题策略】
一、正弦定理核心策略（例题后速记）
1. 边化角：遇边的齐次式（如
），直接用
化边为角，简化三角运算。
2. 角化边：角的关系复杂（如
），用
转边的关系，快速得边长比。
3. 解的个数：已知“两边及一角”（如
），先算
，再结合
范围和“大边对大
角”定解数。
二、余弦定理核心策略（例题后速记）
1. 求边/角：知“两边夹一角”或“三边”，直接代公式（求边用
，求角用
）。
2. 判形状：比
与
：相等为直角，前者大则
锐，后者大则
钝。
3. 求范围：算周长/边长范围，用
，结合基本不等式缩范围。
三、面积公式核心策略（例题后速记）
1. 选公式：知“两边夹一角”用
，知“三边”用海伦公式，知“外接圆
”用
。
2. 避坑点：用
时，确保
是
夹角；求角时遇
，需结合边的大小定
或
。
四、二级结论速用（例题后速记）
1. 边角互推：
，选填题直接用。
2. 内切圆/最值：遇内切圆
，用
（
为半周长）；求面积最大值，用
（等号条件：
且
）。
【考点二：三角形形状的判断】
【例题】1．（2025·江西·二模）已知钝角
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；
(2)若
，证明：
是等腰三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由正弦定理、二倍角公式及两角和差的余弦公式化简得到
，即可求解；
（2）利用余弦定理得到
，结合
得到
，即可证明.
【详解】（1）由
和正弦定理，
可得
因为
，
所以
，
即得
，即
.
又因
是钝角三角形，
，故
，
因
，即
.
（2）由
，
及余弦定理得：
解得
，
又
，解得
，
所以
是等腰三角形.
2．（2024·内蒙古·三模）在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，证明：
为直角三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到
，求出答案；
（2）由（1）得到
，结合
，得到
，化简得到
，
，得到答案.
【详解】（1）由
，
可得
，
所以
，
所以
，
则
，即
.
（2）证明：由（1）可得
.
又
，所以
，
即
，
故
，
所以
，
即
，
因为
，所以
为锐角，
解得
（负值舍去），即
，
所以
为直角三角形.
【针对训练】1．（2024·全国·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，且
，
，
．
(1)求
的面积；
(2)证明：
是钝角三角形．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）先利用正弦定理边化角求出
，进而可得
，再利用面积公式求解；
（2）先利用余弦定理
求出
的值，结合
可得
的值，再利用余弦定理求角的正
负即可判断三角形的形状.
【详解】（1）在
中，
，
由正弦定理可得
，
即
．
，
，
，
，
的面积为
；
（2）由（1）知
，
．
又
，
或
当
时，
，
为钝角，此时
是钝角三角形；
当
时，同理可得
为钝角，此时
是钝角三角形．
综上，
是钝角三角形．
2．（2023·安徽·二模）在
中，
．
(1)若
，判断
的形状；
(2)求
的最大值．
【答案】(1)
是直角三角形
(2)
【分析】（1）利用正弦定理
把
化为
，
再利用余弦定理可得
，再由
，即可求出
，
，
代入正弦的和角公式可知
，从而可判断
为直角三角形；
（2）由（1）中的
，可得
，再利用正切的差角公式可得
，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）设内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
由
及正弦定理
得：
，
，
，
．
，
，
是直角三角形．
（2）由（1）知，
，
，且
，
，
当且仅当
，即
时取等号，
的最大值为
．
3．（2023·安徽宣城·二模）设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
．
(1)判断
的形状，并说明理由；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)钝角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式得到
，即可得到
，即可得到
或
，从而得到
或
，再说明
，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，再根据（1）中的结论可得
，再利用基
本不等式计算可得.
【详解】（1）解：
为钝角三角形，
证明如下：
由
，
则有
，所以
，
因为
，所以
，则
为锐角．
所以
，所以
或
，
则
或
，
由题意知
，所以
，
所以
，所以
，故
为钝角三角形．
（2）由（1）知
，
，
由正弦定理，有
当且仅当
时等号成立，由
为锐角，
则
，所以当
时取最小值
．
【解题策略】
一、用余弦定理：抓“边的平方关系”定角
1. 核心逻辑：通过比较“最长边的平方”与“另外两边平方和”，直接定最大角类型（最大角决定三角
形形状）。
2. 具体操作：
设最长边为
，若
→直角三角形（
）；
若
→钝角三角形（
）；
若
→锐角三角形（
）。
3. 速用场景：已知三边长度或三边的平方关系（如例题中给
，
，
，直接算
→直角三角形）。
二、用正弦定理：抓“边角对应关系”定角
1. 核心逻辑：由
，将角的关系转边的关系，或反之，再判断角的类型。
2. 具体操作：
若
→
（等腰）或
（
，直角）；
若
→用正弦定理化
，展开得
→
（等
腰）。
3. 速用场景：已知角的三角函数关系（如例题中给
，结合
，得
→直角三角形）。
三、特殊结论：抓“特征条件”秒判
1. 等腰三角形：
出现“两边相等”“两角相等”“
”（正弦定理转后得
），直接判
等腰。
2. 等边三角形：
满足“三边相等”“三角均为
”“
且
”，直接判等边。
3. 速用场景：例题中给“
且
”，结合
，得
→等边三角形。
【考点三：和三角形面积有关的问题】
【例题】1．（2025·陕西咸阳·三模）记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角B；
(2)若
，c＝4，求△ABC 的周长；
(3)若
，求△ABC 的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化简可得
，利用角范围即可得到角B；
（2）根据余弦定理解得
即可求解；
（3）易得
，利用正弦定理求得
，根据三角形面积公式及和差公式求解.
【详解】（1）由正弦定理得
，
，即
，
又
，所以
.
（2）
，
，即
，解得
，
所以
.
（3）
，
，
又
，
所以
，
.
2．（2025·全国·二模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；
(2)设D 为边
的中点，若
，
的面积为14，求
的长
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解；
（2）先由题设求出
，接着由正弦定理求出
，进而由面积公式
求出
，再
在三角形
中由余弦定理
即可计算求解.
【详解】（1）由正弦定理可得
，
即
.
在
中，由
，得
，
所以
，又
，
，所以
，所以
.
（2）因为
，
，所以
，
所以
，
所以
，即
，
因为
，即
，所以
，
在三角形
中，由余弦定理可得
，
所以
.
【针对训练】1．（2025·全国·二模）
的内角
的对边分别为
(1)求A；
(2)若
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求得
，结合余弦定理计算求得
，进而得出结果.
【详解】（1）由
得
，
因为
，
所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，因为
，所以
；
（2）因为三角形的面积为
，所以
，所以
，
由余弦定理知
，即
，
所以
，故
，
所以三角形的周长为
.
2．（2025·广西柳州·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
为BC 上一点，AD 为
的平分线，求AD.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，进而利用和差角公式化简可求；
（2）由
的面积为
得
，再由余弦定理得
，从而可得
，再由面积公式
可得解.
【详解】（1）根据题意
，
则由正弦定理得
，
即
，
即
，
化简得
，
因为
，所以
，
∴
，由于
，
则
；
（2）根据题意，
的面积为
即
，
则
，
又根据余弦定理，
，则
，
所以
，即
，
又由
的面积
，
所以
.
3.（2025·福建福州·模拟预测）记
的角
的对边分别为
分别以
为边长的三个正三角
形的面积依次为
，
，
，已知
．
(1)求角B；
(2)若
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用面积公式结合已知条件可得
，再利用余弦定理可得
，
再应用面积公式可得
，从而可求得角
；
（2）利用正弦定理结合已知条件可得
，从而可求解
，再利用余弦定理即可求得
，即可求得周长.
【详解】（1）由题意得
，
则
，即
，
由余弦定理得
，整理得
，
又因为
，所以
，
可得
，因为
，所以
（2）由
可得
，
由正弦定理得：
，则
．
则
，故
，
由余弦定理得
，
所以
，解得
，
所以
的周长为
．
【解题策略】
一、核心：选对面积公式是关键
1. 已知“一边+对应高”：直接用基础公式
（无需额外推导，代入数据即算）。
例：已知
，
边上的高
，直接得
。
2. 已知“两边+夹角”：优先用
（高频考法，结合三角函数值快速计算）。
例：已知
，
，夹角
，代入得
。
3. 已知“三边”：用海伦公式
（其中
，避免求高的复杂步
骤）。
例
：
已
知
，
，
，
先
算
，
再
得
。
4. 已知“外接圆半径
”：用
（需结合正弦定理求边或直接用已知边计算）。
例：已知
，
，
，
，代入得
。
二、进阶：结合正余弦定理补条件
1. 缺“夹角”补角：已知两边及一边对角，先用正弦定理求夹角，再算面积。
例
：
已
知
，
，
，
先
由
正
弦
定
理
得
，再求
，最后用
计算。
2. 缺“边”补边：已知一角及对边，先用正弦定理化边为角，或用余弦定理求边，再算面积。
例：已知
，
，
，用余弦定理
，结合
得
，代入余弦定理得
，解得
，再用
。
三、避坑：牢记2 个关键提醒
1. 边角对应要准：用
时，
必须是边
与边
的夹角（如已知
、
、
，则面
积应为
，而非
）。
2. 多解情况要判：由
（
）求角时，需结合“大边对大角”定
是锐角还是钝角，
避免漏算面积。
例：已知
，
，
，由
得
，再结合
得
，若
，则
，与
矛盾且不满足三边关系，故
。
四、速用：2 个高频二级结论
1. 与内切圆结合：遇内切圆半径
，用
（
为半周长），无需单独算面积。
例：已知
，
，直接得
。
2. 求面积最大值：已知两边和为定值（如
），用基本不等式
，结合
，得最大值
（当
且
时，最大值为 2）。
【考点四：解三角形中的最值与取值范围问题】
【例题】1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知
分别为锐角
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
；求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得；
（2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到
，再结合锐角范围和三角函数值域可得.
【详解】（1）
.
由正弦定理得
在
中，
代入上式化简得：
因为
，所以
，即
为锐角，
.
（2）由正弦定理得
所以
，
是锐角三角形，
，
，
即
，
所以
周长的取值范围为
.
2．（2025·全国·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
，
，
为
的外心.
(1)求
的面积；
(2)求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，利用余弦定理求出角
，由正弦定理求
外接圆的半径，求出圆心角
，
再由三角形面积公式求出
的面积；
（2）方法一：利用正弦定理表示出
，由三角恒等变换，结合三角形内角和定理整理
，讨论
角
的范围，进而求出
周长的取值范围；
方法二：把条件
整理成含
与
的式子，利用基本不等式求出
的最大值，根据两边
之和大于第三边，得
的取值范围，进而得
周长的取值范围.
【详解】（1）在
中，
，由余弦定理得
，
又
，所以
，
又
为
的外心，
则由正弦定理得
，所以
，
又
，
所以
.
（2）方法一：
由（1）及正弦定理得
，
则
，
，
记
的周长为，则
.
又
，则
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，所以
.
方法二：
由
，
，得
，
因为
，所以
，
即
，所以
，当且仅当
时，等号成立.
因为
，所以
，所以
，
即
周长的取值范围为
.
【针对训练】1．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角
的内角
的对边分别为
，
且
成等差数列.
(1)若
，求
面积的最大值；
(2)若
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出角B，利用余弦定理结合基本不等式即可求出
，再利用面积公式求解即
可；
（2）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式及半角公式即可化简成关于
的函数，结合条件可求其范
围.
【详解】（1）由
成等差数列知
，故
；
由余弦定理：
，
故
（当且仅当
时等号成立），
故
（当且仅当
时等号成立），
故
面积的最大值是
．
（2）由正弦定理：
，
，
则
；
由
为锐角三角形，
，则
，解得
，则
；
由
在
上单调递增，故
，
故
，
即
周长的取值范围为
．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）在凸四边形
中，已知
(1)若
，求
的值；
(2)求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两次余弦定理得出
，进而由和角公式得出
的值；
（2）由余弦定理得出
，再由三角形面积公式结合三角恒等变换以及三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由余弦定理可得
，
，
则
.
（2）由余弦定理可得
，且
，
当
，即
时，四边形
的面积取最大值.
且为
3．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，且
的外接圆半径为
4.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，求
的最大值.
【答案】(1)4；
(2)
.
【分析】（1）在三角形
中，根据正弦定理求得
，再在三角形
中，利用三角形面积公
式即可求得结果；
（2）设
，在三角形
中分别用正弦定理表示
，从而建立
关于
的三
角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.
【详解】（1）因为
，
的外接圆半径为4，所以
，解得
.
在
中，
，则
，解得
.
又
，所以
；
在
中，
，
，
，
所以
.
（2）设
，
.
又
，所以
.
因为
，所以
.
在
中，
，由正弦定理得
，
即
，解得
.
在
中，
，由正弦定理得
，
即
，解得
，
所以
.
又
，所以
，
当且仅当
，即
时，
取得最大值1，
所以
的最大值为
.
【解题策略】
一、用“边的关系”求范围：抓余弦定理+基本不等式
1. 核心逻辑：通过余弦定理将“角的条件”转“边的等式”，再用基本不等式（
）缩范围。
2. 具体操作：
已知一角及对边（如
，
），求
范围：由余弦定理得
，结合
，得
；再用
，代入得
，
解得
，又因三边关系
，故
。
3. 速用场景：求边长和、边长积或周长的范围（如例题中已知
，
，求
最大值，用此方
法得
）。
二、用“角的关系”求最值：抓正弦定理+三角函数性质
1. 核心逻辑：用正弦定理化“边”为“角”，将表达式转为单角三角函数（如
），再用三角函
数值域（
）求最值。
2. 具体操作：
已知
，
（外接圆半径），求
最大值：由正弦定理得
，
，又
（可由
得
），故
；展开化简得
，因
，故
，最大值为
。
3. 速用场景：求边长和、面积或三角函数表达式的最值（如例题中求
的最大值，化边为角
后得
，再化简求最值）。
三、避坑：牢记2 个关键要点
1. 角的范围要准：化角后需结合“三角形内角和为
”定角的取值范围（如
，则
），
避免三角函数值域判断错误。
2. 等号条件要验：用基本不等式时，需验证“
”是否满足三角形条件（如已知
，
，
求
最大值，当
时，
，满足三边关系，故最大值为
）。
四、速用：2 个高频结论
1. 面积最大值：已知一角
及对边
，面积最大值为
（当
时取等号）。
2. 边长和最大值：已知外接圆半径
，则
（当
为等边三角形时取等号）。
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）在
中，
边上的高等于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则角C 的大小是（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
或
3．（2024·河北·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，若
的平分
线
的长为
，则
边上的高线
的长等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
4．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）设
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
且
，则
的外接圆半径为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
5．（24-25 高三上·广西贵港·开学考试）在
中，
，且
边上的高为
，则
（ ）
A．
的面积有最大值，且最大值为
B．
的面积有最大值，且最大值为
C．
的面积有最小值，且最小值为
D．
的面积有最小值，且最小值为
6．（2025·河北石家庄·一模）如图，在
中，已知
，D 是BC 边上的一点，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·安徽合肥·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别是
，若
，
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·江西新余·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·山东枣庄·模拟预测）在
中，
，
为
内一点，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．（2025·河北邢台·三模）
的内角
，
，
所对的边分别是
，
，，则下列说法正确的有
（ ）
A．若
，则
是钝角三角形
B．若
，
，
，则
的周长为
C．若
，
，则
面积的最大值为
D．若
，
，
，则
边上的中线长为
11．（2025·山西朔州·模拟预测）外接圆面积为
的
满足
，设
外接圆圆心为O，BC 的中点为
，则（ ）
A．
为等腰三角形
B．
C．
D．
的周长是
三、填空题
12．（2025·江苏南京·一模）在
中，角
的对边分别为
且
.
，
为
外一点，如图，且
，
的面积为
，则边长的值为
四、解答题
13．（2025·江西新余·模拟预测）若
的内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积的最大值．
14．（2025·全国·模拟预测）在
中，内角
所对应的边分别是
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的周长最大值．
15．（2025·全国·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
平分
，点
在线段
上，且
，求
的长．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
C
D
D
B
D
B
AB
题号
11
答案
ABD
1．B
【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解.
【详解】如图，
边上的高为
，
，且
，
所以
，则
，
则
，
，
所以
，则
.
故选：B
2．B
【分析】根据正弦定理求得
，然后根据角的范围求解即可.
【详解】由题设及
，则
，
又
，故C 为锐角，且
，所以
.
故选：B．
3．B
【分析】由
可得
的值，进而可求得
、
的值，结合余弦定理可得
，
由等面积法
可求得
.
【详解】由题意知，设
，则
，如图所示，
由
可得
，
整理得
，即
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，所以
，
由
可得
，解得
.
故选：B.
4．C
【分析】降幂，利用余弦定理角化边，然后因式分解可得
为直角三角形，然后可得解.
【详解】
，
由余弦定理得
，
即
，
因式分解得
，所以
，
所以
是以
为斜边的直角三角形，所以外接圆半径为
.
故选：C
5．D
【分析】由两角和差的正弦展开可得
，再由三角形面积公式可得
，再通过余弦定理求得
的范
围，即可求解.
【详解】因为
所以
所以
，又
为三角形内角，
所以
，所以
设角
的对边分别为
，
边的高为，
由三角形面积公式可得：
，又
，
所以
，又
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
所以
故选:D
6．D
【分析】先在
中应用余弦定理求出
，再根据同角关系求出
，然后在
中应用正弦定
理即可求出
的值.
【详解】在
中，由余弦定理得：
，
又因为
，所以
，
在
中，由正弦定理得：
，即
，解得
.
故选：D
7．B
【分析】由正弦定理边角转化，表示出
，利用基本不等式以及三角函数有界性得唯一解，即可求面积.
【详解】由正弦定理，
，
则
，
则
，
当且仅当
取等号，
又由于
，
，
所以
,
，
.
故选：B.
8．D
【分析】由题干条件和正弦定理得
，再由
及余弦定理可得
，联
立化简得
，结合角C 的范围求得
，代入
求解即可.
【详解】由
及正弦定理可得
，
，
由
及余弦定理可得
，
所以
，所以
，故
，
又
，故
，所以
，所以
，
所以
.
故选：D
9．B
【分析】在
中，设
，
，即可表示出
，
，在
中利用正弦定理得到
，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.
【详解】在
中，设
，令
，
则
，
，
在
中，可得
，
，
由正弦定理
，
得
，
所以
，
可得
，即
．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到
中利用正弦定理
得到关系式.
10．AB
【分析】由余弦定理得
，得到
是钝角三角形，可判定A 正确；由余弦定理，列出方程，求
得
，可判定B 正确；由余弦定理和基本不等式，求得
，得到
面积的最大值，可
判定C 错误；设
边上的中线为
，则
，结合向量的运算法则，求得
边上的中线长，
可判定D 错误.
【详解】对于A 中，由余弦定理得
，因为
，所以
为钝角，
所以
是钝角三角形，故A 正确；
对于B 中，由
，可得
，
解得
或
（舍去），所以
的周长为
，所以B 正确；
对于C 中，因为
，所以
，
当且仅当
时取等号，所以
，
所以
面积的最大值为
，所以C 错误；
对于D 中，设
边上的中线为
，则
，
两边平方可得
，解得
，所以D 错误.
故选：AB
11．ABD
【分析】利用诱导公式及辅助角公式变形给定等式，再利用正余弦函数取最大值的条件推理判断AB；求
出外接圆半径，利用正弦定理，结合二倍角的余弦公式求解判断CD.
【详解】在
中，由
，
得
，则
，
其中锐角
由
确定，而
，
当且仅当
时取等号，此时
，
因此
为等腰三角形，且
，AB 正确；
由
外接圆面积为
，得圆
半径为
，由正弦定理得
，
，
，
则
，
的周长是
，C 错误，D 正确.
故选：ABD
12．8
【分析】先利用正弦定理对已知条件进行变形，并结合余弦定理可得到
，再利用同角三角
函数的基本关系求得
、
，并由
利用倍角公式求得
和
，由三角形的面积公式求
出边
，然后在
中利用余弦定理求得
的值，最后在
中利用余弦定理求出的值.
【详解】在
中，∵
，∴
∴
，
由正弦定理可得
， 即
，
由余弦定理得
即
.
又因为
，
所以
或
，
因为
，所以
，
∴
∵
，
所以
，
故
的面积
，
解得
则在
中，由余弦定理可得
.
即
.
在
中，由余弦定理
∴
所以
.
故答案为：8.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用两角和差公式结合辅助角公式可得
，结合正弦函数即可得结果；
（2）利用正弦定理结合两角和差公式可得
，利用余弦定理结合基本不等式可得
，即可得
面积最大值.
【详解】（1）因为
，
，
则
，
可得
，
则
，
又因为
，则
，可得
，则
，
且
，则
，
可得
，所以
．
（2）设
，则
，
因为
，即
，
可得
，即
．
由余弦定理可得
，即
，
又因为
，则
，解得
，
当且仅当
时等号成立，
可得
，
所以
面积的最大值为
．
14．(1)
(2)6
【分析】（1）法一根据条件，利用倍角公式和诱导公式得
，再利用射影公式：
，可得
，即可求解；法二，利用正弦定理边化角，即可求解；
（2）结合（1）中结果，利用余弦定理得
，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】（1）方法1：由
，得
，
可得到
，
根据射影公式得
，则
，即
，
因
，所以
．
方法2：由法一知
，
由正弦定理得
，即
．
因为
，所以
，故
．
又
，所以
．
（2）因为（1）知
，由余弦定理得
，
即
．
由基本不等式
，代入上式，
所以
，即
，得到
（
取得等号），
又
，故
的周长的最大值是6．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和同角三角函数关系得到
，因式分解得到
，故
；
（2）由（1）可得
，由正弦定理得到
，设
，由余弦定理可得方程组，
联立可得
，所以
．
【详解】（1）由正弦定理得
，
又
，故
，
即
，
所以
，即
，
．
又
，故
，所以
，由正弦定理可得
．
（2）因为
，由（1）得
．由
平分
，得
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
，故
，
两式相除得
．
设
，由余弦定理，
在
中
，
所以
①．
在
中，
，
所以
②．
又
，②
①得
，则
，
所以
．
