圆锥曲线综合检测试卷(三)
考试时间：120 分钟 满分:150 分
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F1P 的中点，那么动
点M 的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
2.已知双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)
的离心率为
√6
2 ,则此双曲线的渐近线方程为( )
A.
B.y=±√2x C.
y=±√2
2 x
D.
y=±1
2 x
3.已知两点A(－2,0)，B(2,0)以及圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝r2(r>0)，若圆C 上存在点P，满足
PA·PB＝0，则r 的取值范围是( )
A．[3,6] B．[3,7] C．[4,6] D．[4,7]
4.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线l 与圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝16 相切，则p＝( )
A．6 B．8 C．3 D．4
5.在平面直角坐标系
中,若双曲线
的左焦点
到其一条
渐近线的距离为
,且
,则双曲线的离心率
( )
A.
B.
C.
D.
6.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 与双曲线－＝1 的一个焦点重合，直线y＝x－4 与抛物
线交于A，B 两点，则|AB|等于( )
A．28 B．32 C．20 D．40
7.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直
线bx－ay＋2ab＝0 相切，则C 的离心率为( )
A． B． C． D．
8.已知直线
与抛物线
相交于
两点,与抛物线的准线相交于
点,
为抛物线的焦点；若
,则抛物线的弦长
等于( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－，0)，点A 的坐标为(0,2)，点P 为双曲
线右支上的动点，且△APF 周长的最小值为8，则关于Γ 的结论正确的是( )
A.
B.
C.离心率
D.渐近线方程为
10.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足⃗MF 1⋅⃗MF 2=0 的点
总在椭圆内部，则椭圆离
心率
的取值可能是 ( )
A.
B.
C.
D.
11.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l 与抛物线C
交于点A、B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正
确的是( )
A．p＝4 B．DF＝FA C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 直线y=kx +1，当k 变化时，直线被椭圆
x2
4 + y2=1
截得的最大弦长等于
.
13.已知抛物线C：y2＝8x 的焦点为F，直线y＝(x－2)与C 交于A，B(A 在x 轴上方)两点，
若AF＝mFB，则实数m 的值为 .
14.已知双曲线
(
)的离心率为
,
分别为
的左、右焦点,则焦
点
到
的渐近线的距离为 ；若
在
的右支上,且
的周长为
,则
的面积是 .(第1 空填正确得2 分,第2 空填正确得3 分.)
四．解答题：本题共5 小题，15 题13 分，16、17 题各15 分，18、19 题各17 分，共77 分，解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点
F2关于直线y＝对称.(1)求该双曲线的两条渐近线方程；(2)若过P(2,1)点作一直线交该双
曲线于A，B 两点，并使P 为AB 的中点，求直线AB 的方程．
16.已知椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
的离心率为
1
2 ，且经过点
P(1，3
2
)
，两个焦点分别为
F1,F2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过
的直线与椭圆
相交于
两点，若
的
内切圆半径为
，求以
为圆心且与直线相切的圆的方程.
17.已知动点C 到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2 的距离小1，动点C 的轨迹为E.
(1)求曲线E 的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(km<0)与曲线E 相交于A，B 两个不同点，且
OA·OB＝5，证明：直线l 经过一个定点．
18.已知
分别是椭圆
的左、右顶点,过点
任作一条斜
率不为
直线交椭圆于
两点,若椭圆长轴长为
,且过点
.(1)求椭圆
的方
程；(2)记直线
的斜率分别为
,则
是否为定值,若是,求出该定值.若不是,
请说明理由.
19.已知抛物线
:
的焦点为
,直线
交抛物线
于
两
点,
是线段
的中点,过
作
轴的垂线交抛物线
于点
.(1)若直线
过焦点
,求
的值；(2)是否存在实数
,使
是以
为直角顶点的直角三角形?
若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
检测试卷(三)答案及详细解析
一、单选题：
1.B 如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：＋＝1(其中a>b>0)．连接MO，由三
角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a>|F1O|)，则M 的轨迹为以F1、O
为焦点的椭圆．故选B.
2.C 因为
，且
，所以此双曲线的渐
近线方程为
y=±√2
2 x
．故选C.
3.B 由PA·PB＝0,知PA⊥PB，即P 在以AB 为直径的圆D：x2＋y2＝4 上，由题意可知圆C
与圆D 相交或相切，∴|r－2|≤≤r＋2，解得3≤r≤7.故选B．
4.D 因为抛物线C：x2＝2py 的准线为y＝－，又准线l 与圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝16 相切，
所以＋2＝r＝4，则p＝4.故选D．
5.C 依题意,知双曲线的渐近线方程为
.由对称性得左焦点
到其一条渐近线
的距离
, 又
, 得
, 则
,故双曲线的离心率
．故选C.
6.B 双曲线－＝1 的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p＝8，故抛
物线方程为y2＝16x，易知直线y＝x－4 过抛物线的焦点．设A、B 两点坐标分别为(x1，
y1)，(x2，y2)．由可得x2－24x＋16＝0，由韦达定理得x1＋x2＝24．知|AB|＝x1＋x2＋p＝24＋
8＝32．故选B.
7.A 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0 与圆相
切，∴圆心到直线的距离d＝＝r＝a，解得a＝b，可得＝，∴e＝＝＝＝＝.故选A．
8.D 法1.依题意得抛物线的焦点
,知直线
经过
点.由
,
得
,则
,过
作
垂直准线于
,如图所示.由
抛物线的定义知
, 则在
中, 有
,得
.设直线的倾斜角为
,易得
或
,由过焦点
的抛物
线
的弦长公式知
.故选D.
法2.前同法1,因
或
,则的斜率
.设
,将
的方程
代入抛物线的方程
中化简得,
；由韦
达定理得
,
.由弦长公式
.
故选D.
法3.前同法2,由焦半径公式
.
故选D.
二、多选题
9.ACD 由题意知双曲线的右焦点F1(，0)，即c＝，且|OA|＝2,则|AF|＝＝3，又
点P 为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知|PF|－|PF1|＝2a,则|PF|＝|PF1|＋
2a，所以△APF 周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋|PF1|＋2a＝|AP|＋|PF1|＋3＋
2a
|AF1|＋3＋2a＝6＋2a(当且仅当点A,P,F1三点共线时取等号)，则△APF 周长的最小值
为6＋2a＝8,解得
,则
，离心率
；由
,得渐近
线方程为
；从而知选项ACD 均正确,选项B 错误.故选ACD.
10.AC 法1:不妨设椭圆方程为
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0),
且P(x , y)在椭圆上,F1(−c ,0)、F2(c ,0)
(其中c=√a2−b2)，则满足⃗MF 1⋅⃗MF 2=0的点
总在椭圆内部等价于0°≤∠F1PF 2<90° ，
则⃗PF 1⋅⃗PF 2>0 ，令
f ( x)＝⃗PF 1⋅⃗PF 2=x2−c2+ y2=c2 x2
a2 +b2−c2>0
对|x|≤a 恒成立，需
f ( x)min＝f (0)＝b2−c2>0⇒a2>2c2 ；即
e2< 1
2 , 且0<e<1
，得
0<e< √2
2 , 而
1
2 , 2
3 ∈(0, √2
2 )
，但
√2
2 , 3
4 ∉(0, √2
2 )
.故选AC.(法2：设
点在椭圆上，当点
为椭圆短轴端
点时，易证0≤∠F1PF 2≤∠F1BF 2，则条件等价于
∠F1BF 2∈(0, π
2 )
，故必有
tan
∠F1BF 2
2
= c
b <tan π
4 =1
，即
c<b⇒0<e< √2
2 .故选AC.)
11.ABC 如下图所示：分别过点A、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E、M.
抛物线C 的准线m 交x 轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l 的斜率为，其倾斜角为60°，
∵AE∥x 轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则
△AEF 为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，
∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A 选项正确；∵|AE|＝|EF|
＝2|PF|，又PF∥AE，∴F 为AD 的中点，则DF＝FA，B 选项正确；
∴∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，
C
选项正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D 选项错误，故选
ABC．
三、填空题
12.
4√3
3
因为直线恒过定点A(0,1)，且点A 也在椭圆上，可在椭圆上任取不同于A 的点
B(x , y)，且
.则
(当
且仅当
取等号)，即最大弦长等于
4√3
3
.故填
4√3
3
.
13. 3 由,消去y 得3x2－20x＋12＝0，于是得xA＝6，xB＝，又AF＝mFB且F(2,0)，∴2－6＝
m(－2)，∴m＝3，故填3．
14.
,
由题意
,得
,且
,解得
；又
,则
，则
,双曲线
的两条渐近线方程为
；故焦点
到
的渐近线
的距离为
(可直接利用双曲线性质的
二级结论:双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长
).
又
周长
,即
；由双曲线定义知
,解得
,故知
是以
为底边的等腰三角形,取
的中点为
,连结
,则由勾股定理得
,所以
.故两个空分别填
,
.
四、解答题
15.(1)
；(2)
.
解:(1)如图,由题意可知|OF1|＝|OF2|＝|OP|,结合三角形性质得
,即PF2⊥PF1；
设直线y＝为l,则l 是双曲线的一条渐近线,因为l 是线段PF2 的中垂
线，则PF2⊥l，于是
，从而＝
；设|PF2|
＝bt(t>0)，则|PF1|＝at，由勾股定理得t2(b2＋a2)＝t2c2＝4c2，
解得x＝2；又因2a＝|PF2|－|PF1|＝2(b－a)，∴2a＝b；则双曲线的两
条渐近线方程为
，即所求两渐近线方程为
.
(2)由(1)知b＝2a，则
；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程－＝1 中，分别得
，
，两式相减得
,且P(2,1)为AB 的中
点,则直线AB 的斜率kAB＝＝
＝8；故直线AB 的方程
为
，即
为所求方程.
16.(1)
x2
4 + y2
3 =1
；(2)所求圆的方程为( x−1)2+ y2=2.
解:(1)由
e= c
a=1
2 ，即a=2c ，所以a2=4 c2
，b2=a2−c2=3c2
，将点
P(1, 3
2 )
的
坐标代入椭圆方程得c2=1，故所求椭圆方程为
x2
4 + y2
3 =1
.
(2)设直线l 的方程为x=ty −1,代入椭圆方程得(4+3t2) y2−6ty −9=0，显然判别式大
于0 恒成立，设A( x1, y1),B( x2, y2)，ΔAF 2 B 的内切圆半径为r0，则有
y1+ y2=
6t
4+3t2
,
y1 y2= −9
4+3t2 ，
r0=3√2
7
,
于
是
有
；
又
因
为
SΔ AF 2 B=1
2|AB|r0+ 1
2|BF 2|r0+ 1
2|AF 2|r0=1
2 r0(|AB|+|BF 2|+|AF 2|)
=1
2 r0(|AF 1|+|BF 1|+|BF 2|+|AF 2|)=1
2 r0⋅4 a
,
所
以
12√t2+1
4+3t2 =12√2
7
,解得t2=1 ,因为所求圆与直线相切，所以半径
r=
2
√t2+1
=√2
，
故得所求圆的方程为( x−1)2+ y2=2.
17.(1)y2＝4x；(2)直线l 过定点(5,0).
解:(1)由题意可得动点C 到点F(1,0)的距离等于到直线x＝－1 的距离，∴曲线E 是以点
(1,0)为焦点，直线x＝－1 为准线的抛物线．设其方程为y2＝2px(p>0)，∴＝1，∴p＝2，
∴曲线E 的方程为y2＝4x.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝(2km－4)2－4m2k2＝16(1－km)>0.∵OA·OB＝5，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝5，∴m2＋4km－5k2＝0，∴m＝k 或m＝－
5k.∵km<0，则m＝k 舍去，∴m＝－5k，满足Δ＝16(1－km)>0，
∴直线l 的方程为y＝k(x－5)，∴直线l 必经过定点(5,0)．
18.(1)
；(2)
为定值.
解:(1)依题意得
,即
；将点
坐标代入椭圆方程中得
,解
得
,故椭圆
的方程为
.
(2)依题意,设
,又设直线
方程为
,将上式代入椭圆方程
中, 整理得
, 显然有
；由韦达定理得
.又
,于是
,即
为定值.
19.(1)
；(2)存在实数
.
解:(1)法1：如图,依题意直线与
轴的交点即为抛物线的焦点
,易知
,得抛物
线方程为
,其准线方程为
.设
,
，将
代入方程
中,整理得
,由韦达定理得
,
.由抛物线定义
,
,则
.
法2:设直线
的倾斜角为
,得
,且直线
过点
,
则直线
的参数方程为
( 为参数),代入
中,整理得:
,由参数的几何意义知,
.
(2)假设存在实数
满足条件.设
,
,将
代入方程
中,整理得
,则
.设
,因
轴,
得
,则
,即
.依题意知
,即
,且
,
化简得
,代入可得
,
且
,解得
.故存在唯一实数
满足题意.
