文档文本内容
平面解析几何单元检测卷
考试时间120 分钟，满分150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的
黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码
区”．
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡
皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的
对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无
效．
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求．
1.
过点
且与直线
平行的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】由两条直线平行求方程
【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程.
【详解】直线
的斜率为
，所求直线与其平行，故其斜率为
，
又直线过点
，则所求直线的方程为
，即
.
故选：C
2.
已知圆
与圆
交于
、
两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】两圆的公共弦长
【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得.
【详解】圆
，即
的圆心
，半径
；
圆
，即
的圆心
，半径
，
而
，
，则两圆相交，其公共弦所在方程为
，
点
到
的距离
，
所以
.
故选：A
3.
双曲线
的一个焦点为
，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线
【分析】由题意求出
，再由渐近线的定义即可得解.
【详解】依题意
，由
为双曲线的焦点得
，所以
，
故渐近线方程为
．
故选：C
4.
圆
：
与圆
：
的公切线条数为（ ）.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】 根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数.
【详解】圆
：
，圆心
，
，圆
：
，圆心
，半径
，
， 因为
，所以圆
与圆
相交，故公
切线的条数为2.
故选：C
5.
已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过
作直线
的垂线，与
的右支交于点
.若
的面积为
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积
问题
【分析】根据给定条件，结合三角形面积求出点
坐标，再由点
在双曲线上建立方程求
出离心率.
【详解】设
，显然点
在第一象限，
由
的面积为
，得
，解得
，
由直线
，得直线
方程为
，则
，
又
，则
，整理得
，
，
所以双曲线
的离心率为
.
故选：A
6.
若圆
上到直线
的距离为
的点有且仅有2 个，则半径的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参
数
【分析】先确定圆心到直线的距离
，再由题意得到
，进而求解即可．
【详解】由圆
，圆心为
，半径为，
则圆心
到直线
的距离为
，
因为圆上的点到直线的距离为
的点有且仅有2 个，所以
，
解得
，
即r 的取值范围是
．
故选：C．
7.
如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
为
上位于第一象
限内的一点，
中
的外角平分线与
轴交于点
，
关于的对称点为
，若
的离心率为，则
的面积与
的面积之比的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】设
，由外角平分线的性质可得到
，然后利用三角形的面积公
式把两三角形的面积用表示出来，求值域即可.
【详解】设
，由已知得
，
由外角平分线性质得
，
所以
，所以
，
设
，则
，
所以
的面积与
的面积之比为
，
因为
，所以
．
故选：C．
8.
已知椭圆方程为
，过点
的直线交椭圆于
、
两点，过
点
且平行于
轴的直线与线段
交于点
，点
关于点
的对称点为
，则直线
一
定过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的直线过定点问题、根据韦
达定理求参数
【分析】先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P 的一般方程，联立椭
圆方程，得到韦达定理，求得直线
的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判
断是否过定点.
【详解】因为
，所以
，
①假设过点
的直线过原点，则
，代入
，
可得
，代入方程
，可得
，由
得到
.求得FN 方程：
，过点
.
②分析知过点
的直线斜率一定存在，设
.
联立
得
，
可得
，
则
因为点
的横坐标与点
的横坐标相等为
，且点
与点
关于点
对称，所以点
的横
坐标也为
，
又
，则
，根据中点坐标公式计算得
，
直线
的斜率
，直线
的方程为
，
假设直线经过定点
，代入为
验证，
即验证
，
即验证
，
即验证
，
将韦达定理及得出的式子代入，得
恒成立.
所以直线
过点
.
故选：D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，选对但不全的得部分分，有选错的
得0 分．
9.
已知实数
满足
，下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为49
D．点
到直线
的距离的最大值为
【答案】BCD
【知识点】求点到直线的距离、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求
参数
【分析】设
，利用点到直线的距离公式求得
的范围判断A；设
，利用点
到直线的距离公式求得
的范围判断B；
表示圆
上的点
到
的距离的平方，求得
可求最大值判断C；求得点
到直线
的距离，进而可求点
到直线
的距离的最大值判断D.
【详解】方程
表示以
为圆心，半径
的圆，
对于A，设
，则
，因为点
在圆
上，
所以
，整理得
，解得
，
所以
的最小值为
，故A 错误；
对于B，设
，则
，因为点
在圆
上，
所以
，整理得
，解得
，
所以
的最小值为
，故B 正确；
对于C，
表示圆
上的点
到
的距离的平方，
设圆上的点
到
的距离
，
又
，所以
，即
，
所以
的最大值为49，故C 正确；
对于D，点
到直线
的距离
，
所以点
到直线
的距离的最大值为
，故D 正确.
故选：BCD.
10. 抛物线
的焦点为F，下列说法正确的是（ ）
A．过
的直线与抛物线交于
，
两点，
的最小值为4
B．点
到
的距离为3
C．点
在抛物线上，
，则
的坐标为
D．直线
与抛物线交于
，
两点，若
，则
【答案】AC
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的
几何性质、直线与抛物线交点相关问题
【分析】利用焦半径公式判断A，利用两点间记录公式判断B，利用抛物线的定义结合点
在抛物线上判断C，利用直线与抛物线的位置关系并结合题意判断D 即可.
【详解】对于A，如图，抛物线
的焦点为
，设
，
所以
，
当
轴时，
取最小值，此时
，
所以
的最小值为4，故A 正确；
对于B：因为
，所以
，故B 错误；
对于C：因为点
在抛物线上，所以点
与
的距离等于
到准线
的距离，
即
，解得
，得到
的横坐标为4，
则
，解得
，即
，故C 正确；
对于D：因为直线
与抛物线交于
，
两点，直线过
，
联立直线与抛物线方程得
，化简得
.
设
，则
，
因为
，所以
，
不存在
满足题意，故D 错误.
故选：AC.
11.
抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物
线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线
的一部分，
其方程为
，焦点为
，光线从点
出发，经抛物线反射，反射光线所在直
线为
，
，若
，则
所在直线的方程为
，
为抛物线
上
的动点.下列选项正确的是（ ）
A．抛物线
的方程为
B．若直线
过点
，且倾斜角为
，且
，则
的值为3
C．若直线
过点
，
，则
的面积为
D．若
，当
取得最大值时，
的值为
【答案】ABD
【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四
边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】根据点在抛物线上计算得出
判断A，应用焦半径公式计算判断B，联立方程组
得出韦达定理计算面积判断C，两点间距离公式结合焦半径公式计算应用基本不等式计算
判断D.
【详解】对于A，因为
，
所在直线的方程为
，所以
，
，
所以
，所以
，解得
或
，
因为
，所以
，即抛物线
的方程为
，故A 正确.
对于B，抛物线
的焦点坐标为
，直线
的倾斜角为
，所以直线
的方程为
.
设直线
与抛物线
的交点为
，
，
联立直线
与抛物线
的方程，消去
并整理，得
，解得
，
，
，
，
，所以
的值为3，故B 正确.
对于C，由题意不妨设
，
，如图所示，
，所以
，
.
设直线
的方程为
，
由
消去
得
.
所以
，所以
，
，所以
，故C 错误.
对于D，由题意，抛物线
的焦点坐标为
，准线方程为
，
设
，由
为抛物线上一点，可得
，
因为
，所以
，
所以
，
由基本不等式得
，当且仅当
，即
时，等号成立，
此时
取得最大值，所以
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 设点
、
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共
点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】直线关于直线对称问题、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】求出直线
关于
对称的直线
的方程，根据直线
与圆
有公共点，可得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】点
关于直线
的对称点为
，且点
在直线
上，
，所以直线
的方程为
，
即直线
的方程为
，
由题意可知，若直线
关于
对称的直线为直线
，
圆
的圆心为
，半径为
，
所以圆心到直线
的距离为
，
整理可得
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
13. 已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们关于原点对称的两个交点，
的
平分线交
于点M，且
，若椭圆的离心率为
，双曲线的离心率为
，则
的最小值为 .
【答案】1
【知识点】基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的
离心率或离心率的取值范围
【分析】设椭圆的长半轴长为
，双曲线的实半轴长为
，焦距为
，利用椭圆与双曲线
的性质、以及余弦定理，求得
，得到
，再应用“1”的代换及基本
不等式求目标式的最小值，即可得到答案.
【详解】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示，
设椭圆的长半轴长为
，双曲线的实半轴长为
，焦距为
，
设点
在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得
，
所以
，
因为
，所以
，
根据对称性知四边形
为平行四边形，所以
，
所以
为等边三角形，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
化简得
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
的最小值是1.
故答案为：1.
14. 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，经过
且倾斜角为
的直线
与椭圆交于
两点（其中点
在
轴上方）．将平面
沿x 轴向上折叠，使二面角
为直二面角，如图所示，折叠后
在新图形中对应点记为
，若
，则
.
【答案】
【知识点】空间向量模长的坐标表示、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦
达定理求参数
【分析】设折叠前
，表示折叠后点
的坐标，设出直线的方程，与
椭圆方程联立，利用韦达定理结合
建立关系，求出
，即得
的值.
【详解】折叠后仍以
轴为
轴，
轴原位置仍为
轴，折叠后
轴的正方向为
轴正方向，
建立空间直角坐标系，
折叠前设
，易得
，设直线
由
得
，
折叠后
化简得
，即
.
因
，则可得
，即
.
又
，则
，故
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. 已知直线
，该直线与圆
交于
两点，且
.
(1)求
的值；
(2)直线
，
（i）证明直线
过定点，并求出该定点
的坐标；
（ii）求过点
且与圆
相切的直线方程.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，
（ii）
或
【知识点】直线过定点问题、过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】（1）将圆化为标准方程，求圆心到直线的距离，结合弦长公式求半径，进而求出
的值.
（2）（i）将直线方程整理为含参数的形式，解方程组确定直线所过的定点坐标.
（ii）分切线斜率存在与不存在两种情况，利用“圆心到直线的距离等于半径”求解切线方
程.
【详解】（1）
的标准方程为
，故圆心为
，
，故
，
故
（2）（i）直线方程可化为
，
故
，
∴直线过定点
.
（ii）
，
由于
在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为
，满足题意，
当切线斜率存在时，设其方程为：
，
则
，解得
，
故方程为
，
综上所述切线方程为：
或
.
16. 已知双曲线
的虚轴长为
，且渐近线方程为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)设
为坐标原点，
为
的右焦点，过
的直线与
交于
两点.
（i）若点
均在
的右支上，且
的面积是
面积的
倍，求
；
（ii）证明：不存在直线，使得
.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长、求双曲线中三角形（四
边形）的面积问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程，结合虚轴长定义进行求解即可；
（2）（i）设出直线的方程与双曲线方程联立，根据面积关系得到
两点纵坐标的关系，
结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、双曲线弦长公式进行求解即可；
（ii）分斜率为
和斜率不为
两种情况，结合（1）中的结论进行求解证明即可.
【详解】（1）由题意得
的渐近线方程为
，
由
的渐近线方程为
得
，
又
，所以
，
所以
，
故双曲线
的方程为
；
（2）（i）由（1）可知
，
由题意得
直线的斜率存在且不为
，
设直线的方程为
，不妨设
，
联立
整理得
，
则
，即
，
①，
由
得
②，由①②得
，
故
；
（ii）当直线的斜率为
时
为
的两顶点，
此时
；
当直线的斜率不为
时，设直线的方程为
，
，
由（i）知
，
则
，
因为
，
所以
与
不垂直，即无论取何值，都有
成立，
综上，不存在直线，使得
.
17. 已知椭圆
的长轴长为4，焦距为
，过点
的直线与
交
于
，
两点，过点
，
作直线
的垂线，垂足分别为
，
（
，
两点不重合）．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线的倾斜角为45°，求
的中点坐标；
(3)记直线
，
的斜率分别为
，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】已知两点求斜率、根据a、b、c 求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系
求参数或范围、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据椭圆过点及
列方程组求解；
（2）设
，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点
的中点坐标；
（3）已知得到
，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再把韦达定理代入
化简结合不等式性质计算求解.
【详解】（1）由题得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设
，
因为直线的倾斜角为45°，所以
，
联立
，所以
，
所以
，
所以
，
，
所以
的中点坐标为
；
（3）设
，
，
由
，化简为
，
，则
，
，
又
，
因为
，所以
，即
，所以
.
所以
的取值范围为
.
18. 已知
是抛物线
的焦点，过焦点的最短弦长为
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过动点
作抛物线
的两条切线，切点为
，
，直线
与抛
物线交于
在第一象限）.
①求证：点
在定直线上；
②记
的面积分别为
，当
时，求点
的坐标.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线
中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）由抛物线的性质，得到
，求得
，即可得到抛物线
的标准方程；
（2）①设
，利用导数的几何意义，求得切线方程为
和
，得到直线
的方程为
，结合
，列出方程，即可求解；
②由①得到直线
，直线
，联立抛物线方程，利用韦达定理得到
间的关系，结合
，求得
，联立方程，即可求解.
【详解】（1）解：由抛物线的性质，可得抛物线中过焦点最短的弦长为通径，即
，
得到
，
故抛物线
的标准方程为
.
（2）解：①设
，由
，得到
，所以
，
则直线
，即
，同理可得，
，
又点
在切线上，所以
，
故直线
的方程为
，即
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，可得
，所以点
在定直线
上，
②设
由①有直线
，过点
，直线
，
联立方程组
，整理得
，所以
，
又由方程组
，整理得
，所以
，
因为
，
因为
在第一象限，所以
，
又因为
，且
，可得，得到
，
两式相乘可得
，
因为
，所以
，得到
，
所以
，解得
，
由
，解得
或
，
当
时，
；
当
时，
，
又因为
，所以
，所以
.
19. 已知椭圆
的短轴长为2，左、右焦点分别为
，过点
的直线l
与椭圆C 交于M，N 两点，其中M，N 分别在x 轴上方和下方，点P、Q 分别是
和
的中点，
、
分别是
和
的重心．
(1)若
，求椭圆C 的方程；
(2)在（1）的条件下，过点
并垂直于x 轴的直线交椭圆C 于点B，椭圆上不同的两点A，
D 满足
成等差数列，求弦AD 的中垂线的纵截距的取值范围；
(3)若
总成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】根据a、b、c 求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形
（四边形）的面积、根据韦达定理求参数
【分析】（1）由已知可知
，将
代入椭圆方程，即可求解；
（2）设
,
，
,
，
中点
,
，利用弦长公式，分别求出
，
，
再利用点差法整体代入，根据点
在椭圆内部，即可求解；
（3）根据重心性质及面积公式得
，再结合
，构造不等式组求得
，根据函数单调性可得
的范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即可．
【详解】（1）椭圆
短轴长为2，则有
，故椭圆
，
将
代入椭圆方程得
，解得
，
所以椭圆C 的方程为
；
（2）由题可得
，进而可得
，
.
设
中点
，由弦长公式
，
，
，
同理
，代入
可得
，
当AD 斜率存在时
两式作差可得
，
，∴
弦AD 的中垂线方程为
，
当
时，纵截距
，即AD 的中垂线的纵截距.
在椭圆内，
，得
，且
.
当AD 斜率不存在时，AD 的中垂线为
轴，在
轴上的截距为
．
综上所述
，即弦AD 的中垂线的纵截距的取值范围为
.
（3）点
分别为
的重心，设
，
设点
，
则根据重心性质及面积公式得
，
，
而
，
∴
，
,
，即
，
则
，令
，
任取
，有
，
时，
，
，
，
，即
；
时，
，
，
，
，即
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
可得
，即
，
设直线
，则联立椭圆方程得
，
消元化简得，
，
，
，
对任意的
恒成立，
即
，故实数
的取值范围为
.
