文档文本内容
微专题拓展11 利用导数解决恒（能）成立问题
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 4
题型一：指对同构法............................................................................................................................4
题型二：直接法....................................................................................................................................5
题型三：分离参数法............................................................................................................................6
题型四：换元后参数分离....................................................................................................................8
题型五：主元变换法..........................................................................................................................10
题型六：端点效应..............................................................................................................................10
题型七：必要性探路..........................................................................................................................13
题型八：朗博同构..............................................................................................................................14
题型九：整数问题..............................................................................................................................15
题型十：共零点问题..........................................................................................................................17
题型十一：双参数模型......................................................................................................................17
题型十二：双重最值问题..................................................................................................................18
题型十三：求具体取值集合..............................................................................................................18
03 课后拓展精练............................................................................................................................22
在处理不等式恒成立或能成立问题时，以下是一些常用的解题策略：
1、完全参数分离法
方法描述：首先，将原不等式中的参数与变量进行完全分离，使得不等式转化为形如
（或
）的形式。
应用条件：当分离后的函数
结构相对简单，且易于求取其最值时，此方法尤为有效。
解题步骤：
（1）对原不等式进行变形，将参数与变量完全分离。
（2）求解函数
的最值。
（3）根据最值确定参数的取值范围。
2、 部分参数分离法
方法描述：将原不等式转化为形如
（或
）的形式，其中
是一个
既包含参数 a 又包含变量 x 的函数。
应用条件：当完全参数分离法难以实施或结果复杂时，可考虑此方法。
解题步骤：
（1）对原不等式进行变形，实现部分参数分离。
（2）通过绘制函数图像或分析临界状态（如切线、端点等），确定参数 a 的取值范围。
3、不分离参数法（隐零点、端点效应）
方法描述：在某些情况下，不直接分离参数，而是利用函数的隐零点或端点效应来求解不等式。
应用条件：当参数与变量之间的关系复杂，难以直接分离时，此方法可能更为适用。
解题步骤：
（1）分析函数的性质，如单调性、极值点等。
（2）利用隐零点或端点效应，结合不等式的条件，确定参数的取值范围。
4、 特殊方法（如同构法）
方法描述：针对某些具有特殊结构的不等式，可以采用同构等特殊方法进行求解。
应用条件：当不等式具有某种特定的结构或形式时，可考虑使用此方法。
解题步骤：
（1）识别不等式的特殊结构或形式。
（2）应用同构等特殊方法，将不等式转化为更易求解的形式。
（3）求解转化后的不等式，确定参数的取值范围。
综上所述，解决不等式恒成立或能成立问题时，应根据不等式的具体形式和特点，选择合适的解题策
略。
题型一：指对同构法
例1．已知函数
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的取值范围．
例2．（2026·高三·上海虹口·阶段检测）记
（
）．
(1)若
，解不等式：
；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
例3．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数
，若对任意
恒成立，则实数
a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．已知函数
.
(1)若
，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
题型二：直接法
例4．（2026·陕西渭南·三模）已知函数
．
(1)当
时，曲线
的一条切线方程为
，求实数
的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若对任意
，
恒成立，求实数
的最小值．
例5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围．
例6．已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若对定义域内任意的x 都有
恒成立，求a 的取值范围．
变式2．已知函数
.
(1)若关于
的方程
有且只有一个根，求
的值；
(2)若对于任意的
，
恒成立，求
的取值范围.
变式3．已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求a 的取值范围．
变式4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若
，
（i）求
的极值点；
（ii）证明：当
时，
；
(2)若
，
，求
的取值范围．
题型三：分离参数法
例7．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且
，求
的取值范围.
例8．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
例9．已知函数
，
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
变式5．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若
，求
的取值范围．
变式6．已知函数
在
处取得极小值．
(1)求
；
(2)若关于
的不等式
在
恒成立，求
的取值范围．
变式7．设函数
在
处取得极值.
(1)求a 的值，并求
的单调区间；
(2)若
，有
，求b 的取值范围.
变式8．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围；
题型四：换元后参数分离
例10．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求证：
；
(3)已知
，
，恒有
，求
的取值范围．
例11．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程.
(2)当
时，设
为函数
的导函数.
（i）讨论函数
的单调性；
（ii）令
，若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范
围.
例12．已知函数
．
(1)讨论函数
的极值点的个数；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
变式9．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数
的图象在
处的切线
过点
．
(1)求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
变式10．已知函数
（
）.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)令
，若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
题型五：主元变换法
例13．函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
存在唯一的极值点，求实数a 的取值范围；
(3)若存在
，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
例14．已知函数
（
），若对于任意的
，不等式
在
上
恒成立，则
的取值范围 ．
例15．已知不等式
对任意的
恒成立,求 的取
值范围.
题型六：端点效应
例16．已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围．
例17．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数
，其中
，
为
的导函数．
(1)若
，证明：
；
(2)若
时，
恒成立，求a 的取值范围．
例18．（2026·广西贵港·三模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围．
变式11．（2026·云南保山·二模）已知函数
.
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围．
变式12．已知函数
．
(1)证明：当
，
时，
；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
变式13．（2026·湖北·三模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围．
变式14．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若对任意
，都有
，求
的取值范围；
题型七：必要性探路
例19．已知函数
，其中
.
(1)若函数
在
处取得极大值0，求
的值；
(2)函数
.
（i）证明：曲线
图象上任意两个不同点处的切线均不重合；
（ii）当
时，若
恒成立，求实数a 的取值范围.
例20．已知函数
．当
时，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
例21．已知函数
.当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
题型八：朗博同构
例22．已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，对
恒有
，求实数
的取值范围．
(3)若
，
恒成立，求实数
的取值范围．
例23．已知函数
（
）．
(1)若
在
处取得极值，求
的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)设
，若
，
，
恒成立，求实数
的取值范围．
例24．（2025·广东·模拟预测）已知函数
．
（1）求
的极值；
（2）当
时，
，求实数
的取值范围．
变式15．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数
，
．
（1）若过点
作曲线
的切线有且仅有一条，求实数t 的值；
（2）若
恒成立，求a 的取值范围．
题型九：整数问题
例25．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)判断函数
的零点个数，并说明理由；
(3)若对任意的
，都有
成立，求整数k 的最大值．
例26．已知函数
，其中
．
(1)当
时，求
在
上的最小值；
(2)若
，求证：
；
(3)当
时，不等式
对任意的
恒成立，求整数
的最大值．
例27．已知函数
，
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)设
，证明：
与
的图象恰有一个公共点；
(3)当
时，
，求整数
的最大值．
变式16．已知函数
，
(1)求曲线
在点
处的切线方程
(2)当
时，列出极值表，求
的极值；
(3)当
时，
，求整数
的最大值．
变式17．已知函数
.
(1)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)当
时，求证：
；
(3)若对任意的
，都有
，求最大的整数
.
题型十：共零点问题
例28．若
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例29．（2026·高三·云南曲靖·阶段检测）已知
，若
恒成立，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．-2
例30．已知函数
，若
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式18．已知关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为________．
变式19．已知函数
，若对于任意的
，
恒成立，则实数
的值为
__________.
题型十一：双参数模型
例31．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知函数
对任意
成立，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
例32．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知函数
，若
恒成立，则ab 的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．e
例33．已知不等式
在
上恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式20．已知函数
的最小值为0，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式21．（2026·山东日照·三模）设
．
(1)设点P 在曲线
上，点Q 在直线
上，求
的最小值；
(2)若正实数a，b 满足：对于
，都有
，求
的最大值．
题型十二：双重最值问题
例34．已知函数
，
．
（1）求函数
在
上的单调区间；
（2）用
表示
，
中的最大值，
为
的导函数，设函数
，若
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
例35．（2026·福建南平·二模）已知函数
，
，其中
．
（1）讨论函数
的单调性，并求不等式
的解集；
（2）若
，证明：当
时，
；
（3）用
表示
，
中的最大值，设函数
，若
在
上恒成立，
求实数
的取值范围．
例36．已知函数
，
，其中
．
(1)求函数
的零点；
(2)当
时，求证：
，
；
(3)用
表示
、
的最大值，记
．问：是否存在实数
，使得对任意
，
恒成立？若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由．
变式22．（2026·河南·二模）已知函数
，
，其中
．
(1)求函数
的零点；
(2)
．
（ⅰ）用
表示m，n 的最大值，证明：
；
（ⅱ）是否存在实数a，使得
，
恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理
由．
题型十三：求具体取值集合
例37．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
，
．
(1)证明：
．
(2)讨论
的单调性．
(3)若
，求
的取值集合．
例38．（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）已知函数
.
(1)试判断
在区间
内零点的个数，并说明理由；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值集合.
例39．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数
，
.
(1)若存在正数
，使得
，求实数
的取值范围；
(2)设
在
处的切线方程为
.
①求
的解析式；
②当
时，
恒成立，求
的取值集合.
变式23．（2026·河北沧州·一模）已知函数
．
(1)讨论
的零点个数；
(2)当
时，证明：
；
(3)若
，求
的取值集合．
变式24．（2026·湖北襄阳·一模）已知函数
．
(1)若
恒成立，求a 的取值集合；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
1．（2026·湖北·二模）已知函数
，且
对
恒成立，则
的最大值为
__________.
2．已知
，
，且
恒成立，则
的最大值为________.
3．（2026·高三·湖南长沙·期中）已知函数
，设
表示
的最大值，记
.
(1)讨论
在
上的单调性；
(2)当
时，
，求
的取值范围.
4．（2026·高三·云南·阶段检测）已知函数
，
，其中
.
(1)证明：当
时，
；当
时，
；
(2)用
表示
中的最大值，记
.是否存在实数a，对任意的
，
恒成立.若存在，求出
，若不存在，请说明理由.
5．函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若
只有一个解，求
的值；
(3)在（2）的条件下，当
时，求使
成立的最大整数
.
6．已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若
恒成立，求
的取值集合；
(3)若
，证明：当
时，
.
7．已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
的图象在点
处的切线方程；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围．
8．已知函数
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，若
，使得
，求
的取值范围．
9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若对任意的
，
恒成立，求m 的取值范围．
10．已知
，
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围．
11．（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，判断
的单调性，并求出
的极值；
(3)若
，求
的最大值.
12．已知函数
．
(1)当
时，讨论
的图象与直线
的交点个数；
(2)对任意的
，
恒成立，求
的值.
13．已知函数
．
(1)若
的最大值为1，求
的值；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
14．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
在
上有且仅有2 个零点，求
的取值范围．
(3)对任意
，
恒成立，求
的取值范围．
15．设函数
．
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
在
上恒成立，求a 的取值范围；
16．设函数
．
(1)当
时，求证：
；
(2)如果
恒成立，求实数
的最小值．
17．（2026·重庆万州·三模）已知函数
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程;
(2)讨论
的单调性;
(3)若
，求正数a 的取值范围.
18．已知函数
．
(1)当
时
（ⅰ）求
在
处的切线方程
（ⅱ）求函数
的单调区间；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数a 的取值范围．
19．已知函数
．
(1)讨论
在其定义域上的单调性；
(2)当
时，若
，求实数
的取值范围．
20．已知函数
，
．
(1)求
的极值；
(2)若
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(3)当
时，若对任意的
，总存在
，使得
，求实数
的取值范围．
