文档文本内容
第 02 讲 两条直线的位置关系
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................2
第二部分：高考真题回顾........................................................................................6
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................7
高频考点一：两条直线的位置关系（判断两直线的位置关系）.....................7
高频考点二：两条直线的位置关系（由两直线的位置关系求参数）..............9
高频考点三：两条直线的位置关系（由两直线的位置关系求直线方程）..........12
高频考点四：与距离有关的问题.....................................................................14
高频考点五：对称问题（点关于直线对称）..................................................17
高频考点六：对称问题（直线关于直线对称）..............................................19
高频考点七：直线系方程的应用（平行、垂直直线系方程）.......................21
高频考点八：直线系方程的应用（过两直线交点的直线系方程）................23
第四部分：新定义题.............................................................................................26第一部分：基础知识
知识点一：两条直线平行与垂直的判断
1、两条直线平行
对于两条不重合的直线 ， ，其斜率分别为 ， ，有 .
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1) 成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
② 与 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时， 与 的倾斜角都是 ，则 .
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或 ， 斜率都不存在.
2、两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果它们的斜率之积等
于 ，那么它们互相垂直，即 .对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1) 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② 且 .
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
知识点二：直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
直线 ： （ ）和 ： （ ）的公共点的坐标
与方程组 的解一一对应.
与 相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与 平行 方程组无解；
与 重合 方程组有无数个解.
知识点三：距离公式
1、两点之间的距离公式：
平面上任意两点 ， 间的距离公式为
特别地，原点 与任一点 的距离 .
2、点到直线的距离公式
平面上任意一点 到直线 ： 的距离 .3、两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线 ： （ ）和 ： （
）间的距离 .
知识点四：对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点 关于点 的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点 关于直线 ： 的对称点
①设 中点为 利用中点坐标公式得 ，将 代入直线 ：
中；②
整理得：
3、直线关于点对称问题(求 关于点 的对称直线 ，则 ）
方法一：在直线 上找一点 ，求点 关于点 对称的点 ，根据 ，再由点斜式求解；
方法二：由 ，设出 的直线方程，由点 到两直线的距离相等 求参数.
方法三：在直线 任意一点 ，求该点关于点 对称的点 ，则该点 在
直线 上.
4、直线关于直线对称问题
4.1直线 ： （ ）和 ： （ ）相交,求 关于
直线 的对称直线
①求出 与 的交点
②在 上任意取一点 (非 点），求出 关于直线 的对称点
③根据 ， 两点求出直线4.2直线 ： （ ）和 ： （ ）平行,求 关于
直线 的对称直线
①
②在直线 上任取一点 ，求点 关于直线 的对称点 ，利用点斜式求直线 .
第二部分：高考真题回顾
1．（2003·全国·高考真题）已知长方形的四个顶点 、 、 、 ，一质点从 的
中点 沿与 的夹角 的方向射到 上的点 后，依次反射到 、 和 上的点 、 和 （入
射角等于反射角）．若 与 重合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求直线交点坐标、光线反射问题(2)——直线关于直线对称
【分析】取点 、 ，则 、 、 三点共线， 、 、 三点共线，求出直线 、 的
方程，联立这两条直线的方程，可得出点 的坐标，进而可求得 的值.
【详解】如下图所示：
由题意可知点 ，取点 、 ，则 、 、 三点共线， 、 、 三点共线，
且直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
所以，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
因为点 在直线 上，所以， ，解得 .
故选：C.
2．（2003·全国·高考真题）直线 关于x轴对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线关于直线对称问题
【分析】设点，求出对称点，得出关系.
【详解】设 为直线 关于x轴对称的直线方程上任意一点，则
关于x轴对称的点 在直线 上，
即有， 满足直线 方程，
即， 化简得， .
故选：C.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：两条直线的位置关系（判断两直线的位置关系）
典型例题
例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 ，则直线 与 的位置关
系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】B
【知识点】由斜率判断两条直线平行
【分析】根据直线 的斜率来进行判断.【详解】 ，
由图可知 不共线，所以 ．
故选：B
例题2．（22-23高一上·甘肃武威·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线 与 的位置
关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直
【答案】A
【知识点】由斜率判断两条直线平行
【分析】由两直线的位置关系进行判断．
【详解】两直线的斜率都是2，但在 轴上的截距分别为：3，-5，
故两直线平行，
故选：A
练透核心考点
1．（23-24高二下·全国·课后作业）过点 和点 的直线与直线 的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】D
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】根据坐标可知直线 斜率不存在，得出直线 的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】由题意点 和点 ，
所以直线 斜率不存在，且直线 的方程为 ，
所以直线 与直线 垂直.
故选：D.
2．（23-24高二·江苏·假期作业）直线 与 ( 不同时为0)的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与 的值有关
【答案】B
【知识点】由斜率判断两条直线垂直、由一般式方程判断直线的垂直【分析】分 与 都不为零和 与 中有一个为零讨论即可.
【详解】 与 不能同时为0，
①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为 ，
故两条直线垂直；
②当 与 中有一个为零时，
若 时，则两直线分别为 与 ，两直线垂直，
若 时，则两直线分别为 与 ，两直线垂直，
故两条直线垂直．
故选：B
高频考点二：两条直线的位置关系（由两直线的位置关系求参数）
典型例题
例题1．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线 ，直线 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值.
【答案】(1)
(2) 或 .
【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
整理得
解得 或 .
当 时， 重合；
当 时， ，符合题意.
故 .
（2）因为 ，所以
解得 或 .
例题2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知直线 与直线
．(1)当m为何值时， 与 相交；
(2)当m为何值时， 与 平行，并求 与 的距离；
(3)当m为何值时， 与 垂直．
【答案】(1) 且
(2) ，
(3) 或
【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、由直线交点的个数求参数、求平行线间的距离
【分析】（1）利用两直线相交的充要条件 ，运算得解；
（2）利用两直线平行的充要条件 及两平行线间距离公式，运算得解；
（3）利用两直线垂直的充要条件 ，运算得解.
【详解】（1）由直线 与 相交，则 ，解得 且 .
（2）由直线 与 平行，则 ，解得 ，
所以此时直线 ， ，
所以 与 的距离为 .
（3）由直线 与 垂直，则 ，解得 或 .
练透核心考点
1．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直线 ，直线 ．
(1)当 时，求两直线的交点坐标；
(2)当 时，求两直线间的距离．
【答案】(1) 、
(2)
【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、求直线交点坐标、求平行线间的距离
【分析】（1）根据直线垂直求得 ，进而求得交点坐标.
（2）根据直线平行求得 ，进而求得两直线间的距离.
【详解】（1）若 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，
即 ，所以交点为 .
当 时， ，
即 ，
由 解得 ，所以交点为 .
综上所述，交点为 、 .
（2）若 ，所以 ，
，解得 或 .
当 时， ，
两直线间的距离为 .
当 时， ，
即 ，两直线重合，不符合题意.
综上所述，两直线间的距离为 .
2．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）已知直线 ，试求 为何值时，
(1) ；
(2) .
【答案】(1)3
1
(2)
2
【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数
【分析】（1）根据两直线平行或重合的条件求出m值，再检验即可；
（2）根据直线垂直的条件直接列式计算即可得解.
【详解】（1）当直线 ， 平行或重合时，有 ，解得 或 ，
当 时， ， ，此时两直线平行，符合题意，
当 时， ， 的方程均为 ，此时两直线重合，不合题意，综上， .
（2）因为 ，所以有 ，解得 ，
所以 的值为 .
高频考点三：两条直线的位置关系（由两直线的位置关系求直线方程）
典型例题
例题1．（23-24高二上·上海·阶段练习）若点 既是 的中点，又是直线
与 的交点，则线段 的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由直线的交点坐标求参数、由两条直线垂直求方程
【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将 代入化简可求出直线 的斜率，从
而可求出线段 的垂直平分线的方程.
【详解】直线 与直线 的方程相减可得， ，
把点 代入可得 ，
所以 ，
所以线段 的垂直平分线的方程是 ，即 ，
故选：C
例题2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线 与直线 的交点为 ．
(1)求过点 且与直线 垂直的直线方程；
(2)求过点 且与直线 平行的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程
【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可.
（2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可.【详解】（1）联立方程 与 ，解得 ， ，故 ，
而 的斜率为 ，故所求直线斜率为 ，
则所求直线方程为 ，化简得 .
（2）易知 的斜率为 ，故所求直线斜率为 ，
则所求直线方程为 ，化简得 .
例题3．（23-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量 ， ．若 ，求实数 ，
的值．
（2）直线 经过点 ，且与直线 垂直，求直线的 方程．
（3）求过两条直线 和 的交点，且与 平行的直线方程．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【知识点】由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程、空间向量平行的坐标表示
【分析】（1）根据向量平行列方程，从而求得 .
（2）根据直线垂直求得直线 的斜率，进而求得直线 的方程.
（3）先求得直线 和 的交点，然后利用待定系数法求得正确答案.
【详解】（1）由于 ，所以 ，解得 .
（2）直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 .
（3）由 解得 ，
设所求直线方程为 ，代入 得 ，
故所求直线方程为 .
练透核心考点
1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求经过两直线 ： 和 ： 的交点P，且与
直线 ： 垂直的直线l的方程．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程【分析】先联立直线 的方程，求出点 坐标.设 的方程为 ，代入点 坐标，求出 ，即
可得出答案.
【详解】联立直线 的方程 可得， ，
所以点 坐标为 .
由已知可设直线 的方程为 ，
代入点 坐标，可得 ，
所以， ，
直线 的方程为 .
故选：A.
2．（23-24高二上·广东江门·期末）过点 与 平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由两条直线平行求方程、直线的一般式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析
【分析】根据直线与 平行设出直线方程，根据过点 即可求解.
【详解】设直线方程为 ，因为直线过点 ，
所以 ，所以直线方程为 .
故选C.
3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知直线 ： ，直线 在y轴上的截距为－3，且 .
(1)求直线 的方程.
(2)直线 过 与 的交点，且 与直线 平行，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程
【分析】（1）通过两直线垂直求出直线 的斜率，然后代入斜截式方程求解即可；
（2）联立 与 的方程求出交点坐标，再根据题意设出直线 的方程，将点的坐标代入直接求解即可.
【详解】（1）因为直线 ： 的斜率为 ，且 ，所以直线 的斜率为2，
又直线 在y轴上的截距为－3，所以由斜截式知直线 的方程为 ；（2）联立方程 ，得交点坐标为 ，
因为 与直线 平行，故设直线 ： ，
因为直线 过点 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
高频考点四：与距离有关的问题
典型例题
例题1．（24-25高一上·四川内江·开学考试）代数式 的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】用两点间的距离公式求函数最值
【分析】易知 表示点 到点 与点 的距离之和，画出图形，数形结
合即可得解.
【详解】 表示点 到点 与点 的距离之和，
如图所示，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
则 ，
即当点 为 与 轴交点时，代数式 取得最小值13.
故选：D.
例题2．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知 ， ，动点P在直线 上.则
的最小值为 .
【答案】
【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点
【分析】借助线段和的几何意义求解即可.
【详解】设 关于直线 对称对称点坐标为 ，则 ，解得 ，即 ，
，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）点P在直线 上运动， ，则 的
最大值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】求点关于直线的对称点
【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可.
【详解】设 关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即
故 ,
,
当且仅当， 三点共线时，等号成立.故选：A
2．（24-25高二上·全国·课后作业）若点 在直线 上，则 的最小值为
．
【答案】 /
【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离
【分析】设 ，从而得 的最小值为|MN)的最小值，结合点到直线距离公式
求出|MN)的最小值即可得解.
【详解】设 ，则 ，
因为|MN)的最小值为点 到直线 的距离，即 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
高频考点五：对称问题（点关于直线对称）
典型例题
例题1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点 关于直线 对称的点 的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求点关于直线的对称点
【分析】设 ，根据 中点在对称直线上及 与对称直线垂直列方程求解.
【详解】设 ，则 ，解得 ， .
故选：B
例题2．（23-24高二上·山东泰安·期末）点 关于直线 的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【知识点】求点关于直线的对称点
【分析】求出垂直于直线 且过点 的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.
【详解】由题意，
在直线 中，斜率为 ，
垂直于直线 且过点 的直线方程为 ，即 ，
设两直线交点为 ，
由 ，解得： ，
∴ ,
∴点 关于直线 的对称点的坐标为 ，
即 ，
故选：C.
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点 关于直线 对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求点关于直线的对称点
【分析】设所求对称点的坐标为 ，根据垂直平分列方程组求解即可.
【详解】设所求对称点的坐标为 ，
则 ，解得 ，
故点 关于直线 对称的点的坐标为 .
故选：D.2．（23-24高二上·四川眉山·期中）点 关于 的对称点为
【答案】
【知识点】求点关于直线的对称点
【分析】设出对称点坐标，由垂直关系和中点坐标解方程组即可求得结果.
【详解】设对称点坐标为 ，
根据题意可得 ，解得 ；
所以对称点坐标为 .
故答案为：
高频考点六：对称问题（直线关于直线对称）
典型例题
例题1．（23-24高三上·广东·期末）直线 关于直线 对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题
【分析】作出图象，找出一个对称点和直线 与直线 的交点，即可求出对称直线的方程.
【详解】由题意，
在直线 中，作出图象如下图所示，
由图可知，点 关于直线 对称的点为B(0,3),
直线 与直线 的交点为 ,∴关于直线 对称的直线方程 为： ，即 ，
∴关于直线 对称的直线方程是： .
故选：B.
例题2．（23-24高二上·天津·期中）试求直线 关于直线 对称的直线l的方
程．
【答案】 .
【知识点】直线关于直线对称问题
【分析】求出直线 的交点坐标，再在直线 取点 ，并求出该点关于直线 对称点坐标即可求解作
答.
【详解】由 ，解得 ，即直线 交于点 ，显然点 在直线 上，
在直线 上取点 ，设该点关于直线 对称点 ，则 ，解得 ，
点 在直线 上，因此直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
练透核心考点
1．（2024高三下·全国·专题练习）直线l ：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l 的方程为（
1 2
）
A．x－3y＋14＝0 B．x＋y－2＝0 C．x＋2y－6＝0 D．2x－y+8＝0
【答案】C
【知识点】直线关于直线对称问题【分析】先解方程组求直线l 与直线l的交点，然后在直线l 上取一点，列方程求其关于直线l的对称点，
1 1
利用两点式可得直线方程.
【详解】解方程组 得直线l 与直线l的交点 .
1
在直线l 上取一点B(2，0)，设点B关于直线l的对称点为C(x，y)，
1
则 解得 ，即C(－2，4).
又直线l 过 和C(－2，4)两点，
2
故由两点式得直线l 的方程为 ，
2
即x＋2y－6＝0.
故选：C.
【点睛】本题考查直线关于直线对称的直线方程的求解，关键是点关于线对称点的求解，是基础题.
2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知直线 ， ，则 关于 对称的直线方程为
.
【答案】
【知识点】直线关于直线对称问题
【分析】先求得直线 与 的交点坐标，再在直线 上任取一点 ，写出其关于直线l的对称点，由这
两点的坐标，以及直线的点斜式，即可得解．
【详解】联立 ，解得 ，
∴直线 与 的交点坐标为 ，
在直线 上任取一点 ，其关于直线 的对称点为 ，
由点 和点 ，可得 ，即 ．
故答案为： ．
高频考点七：直线系方程的应用（平行、垂直直线系方程）
典型例题例题1．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知两直线 和 的交点为 ．
(1)直线 过点 且与直线 平行，求直线 的一般式方程；
【答案】(1) ．
【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标、求圆的一般方程、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】（1）联立求出 ，根据平行关系，设出直线 为 ，代入点 ，得到
，求出答案；
【详解】（1）直线 与直线 平行，故设直线 为 ，
联立方程组 ，解得 ．
直线 和 的交点 ．
又直线 过点 ，则 ，解得 ，
即直线 的方程为 ．
例题2．（23-24高二下·上海·期中）（1）求过点 且与直线 平行的直线 的方程；
（2）求与直线 垂直，且与两坐标轴围成的 面积为 的直线方程.
【答案】（1） ；（2）
【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程
【分析】（1）设直线 的方程为 ，代入 求出 ，得到答案；
（2）设与直线 垂直的直线，表达出与两坐标轴的交点坐标，表达出三角形面积，得到方
程，求出答案.
【详解】（1）设直线 的方程为 ，
将 代入得， ，解得 ，
故直线 的方程为 ；
（2）与直线 垂直的直线设为 ，
中，令 得 ，令 得 ，
故 ，所以 ，
解得 ，
故直线方程为 .
练透核心考点1．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线 ，直线 与直线 垂直，且直线 ， 的交点的横坐
标与纵坐标相等．
(1)求直线 的方程；
【答案】(1)
【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标
【分析】（1）先求出直线 ， 的交点坐标，再设直线 为 ，将交点坐标代入求出 ，从而
可求出直线 的方程；
【详解】（1）由题意设直线 ， 的交点坐标为 ，则 ，得 ，
所以直线 ， 的交点坐标为 ，
由题意设直线 为 ，则 ，得 ，
所以直线 的方程为 ；
2．（2023高二上·江苏·专题练习）已知点 和直线 ，求过点A且与直线l垂直的直线
的方程.
【答案】
【知识点】由两条直线垂直求方程
【分析】根据直线的垂直可设直线 的方程，结合点在直线上，求出参数，即得答案.
【详解】由题意设所求直线 的方程为 ，
因为 经过点 ，所以 ，解得 ，
故 的方程为 .
高频考点八：直线系方程的应用（过两直线交点的直线系方程）
典型例题
例题1．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知定点 和直线
，则点 到直线 的离 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】求点到直线的距离、直线交点系方程及应用
【分析】直线 ，可化为： ，令 可得直线 经过定点 ,可得点 到直线 的
距离 的最大值为 .
【详解】直线 ，
可化为： ，令 解得：
因为直线 经过定点 ,
所以点 到直线 的距离 的最大值为
故选：D
例题2．（23-24高三上·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线 恒过定点P，则点P关于直
线 的对称点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求点关于直线的对称点、直线交点系方程及应用
【分析】
首先化简直线方程，求出定点 的坐标，再代入点关于直线对称的点的计算公式，即可求解.
【详解】由直线 化为 ，
令 ，解得 ，于是此直线恒过点 ．
设点P关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，∴ ．
故答案为：
例题3．（23-24高一下·全国·课后作业）求经过直线 与 的交点，且过点
的直线方程.
【答案】
【知识点】求直线交点坐标、直线交点系方程及应用、直线两点式方程及辨析
【分析】联立方程可求交点，结合条件即求；或设直线交点系方程，利用条件即求.
【详解】解法一：联立直线方程，解方程组 得 ，
由两点式得所求直线的方程为 ，即 .
解法二：易知直线 不符合所求方程，设所求直线方程为
，
将点 的坐标代入，得 ，
解得 ，
故所求直线方程为 ，整理得 .
练透核心考点
1．（23-24高二上·上海·期末）已知直线 ， ，
，三条直线围成 ，则当 面积取得最大时 的值为 .
【答案】1
【知识点】直线交点系方程及应用、直线围成图形的面积问题、基本不等式求和的最小值、求点到直线的
距离
【分析】首先判断直线 和 的定点，判断 的形状，再求直线 与直线 的交点，利用点到直线的距
离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值.
【详解】直线 ，即 ，恒过定点 ，
直线 ，即 ，也恒过定点 ，
所以直线 与 相交于定点 ，
由 ，解得 ，可知直线 与直线 相交于点 ，
又因为直线 与直线 相互垂直，所以 是 为直角的直角三角形，
因为点 到 的距离 ，
点 到 ,的距离 ，
所以 的面积 ，
时， 的面积不可能取到最大值；
时， ，当且仅当 时，等号成立．
因此，当 时， 的面积 有最大值 ．
故答案为：12．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线 和 的交点且过
原点的直线方程为 ．
【答案】
【知识点】直线交点系方程及应用
【分析】根据直线相交设所求直线为 ，结合直线过原点求参
数，即可得方程.
【详解】令所求直线为 ，
又直线过原点，则 ，
所以所求直线为 .
故答案为：
3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线l经过原点，且经过直线 与直线 的交
点，求直线l的方程．
【答案】
【知识点】直线交点系方程及应用
【分析】经过直线 与直线 的交点的直线可设为：
，把 代入求出 ，即可得到直线方程.
【详解】经过直线 与直线 的交点的直线可设为：
把 代入，得： ，解得： ，
所以，所求的直线方程为： .
第四部分：新定义题
1．（23-24高一·全国·课后作业）设在二维平面上有两个点 ， ，它们之间的距离有一个
新的定义为 ，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离．在初中时我
们学过的两点之间的距离公式是 ，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距
离）或直线距离．
(1)已知A，B两个点的坐标为 ， ，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么x的取值范围
是多少？
(2)已知A，B两个点的坐标为 ， ，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么a的取值范围是多少？
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】距离新定义、几何意义证明绝对值不等式、绝对值三角不等式
【分析】（1）根据题意结合绝对值不等式的解法运算求解；（2）根据题意结合 可得
，运算求解即可.
【详解】（1）因为 ， ，故 ．
由曼哈顿距离不大于3可得 ，即 ，则 ，解得 ，
故x的取值范围是 .
（2）因为 ， ，故 ．
由题意可得： 恒成立，
∵ ，当且仅当 时等号成立，
即 的最小值为 ，
∴ ，则 或 ，解得 或 ，
故a的取值范围是 或 .
