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专题01 用导数研究含参函数的单调性
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说
在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,单调性在研
究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.
函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的热
点难点.
（一）研究函数单调性应注意的几个细节问题：
1.单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则,单调区间只能用区间表示,不能
用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.
2.若在
定义域的某个子区间上恒有
（或
）,则称
在该区间上单调递增（或单
调递减）,不说
在该区间上是增函数（或减函数）,只有在整个定义域内单调递增（或单调递减）,才说
该函数是增函数（或减函数）
（二）连续可导函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程
的根,所以
求解含参函数的单调性问题,一般要根据
的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型、二
次型还是其他类型
1.若导函数是一次型,分类步骤是：
①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②若有根,求出
导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；
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③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；
2. 若导函数是二次型,分类步骤是：
①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；
③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间上的单
调性.
3.若导函数是三角函数类型,需要借助三角函数的单调性及有界性进行讨论
下面我们根据
的根的情况总结出12 类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.
类型一：
定义域不是
,
可化为单根型一次方程
思路：根据根是否在定义域内进行分类.
【例1】讨论
的单调性.
分析：
,
根的情况转化为
根的情况,
根据
是否在定义域
内进行分类.
答案：
(1)
,
在
上单调递增；
(2)
,
在
上单调递增,在
上单调递减.
类型二：
定义域不是
,
可化为单根型类一次方程
思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类.
【例2】讨论
的单调性.
分析：
,
根的情况转化为
在
上根的情况..
步骤一：讨论
(无实根)；
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步骤二：讨论
,由
得
(不在定义域内)；
步骤三：讨论
,根据
是否在定义域内再分
.
答案：
(1)
,
在
上单调；
(2)
,
在
上单调递减；
(3)
(i)
,
,
在
上单调递增；
(ii)
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
类型三：
定义域为
,
可化为单根型类二次（或高次）方程
思路：根据
的系数符号进行分类.
【例3】讨论
的单调性.
分析：
,因为
,
根的情况转化为
根的情况,
步骤一：讨论
；
步骤二：讨论
,注意此时
；
步骤三：讨论
,注意不等式两边除以
,不等式要改变方向.
答案：
(1)
时
在
上单调递增,在
上单调递减；
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(2)
时
在
上单调递减；
(3)
时
在
上单调递减,在
上单调递增.
类型四：
定义域不是
,
可化为单根型二次方程
思路：根据方程的根是否在定义域内进行分类.
【例4】讨论
的单调性.
分析：
,因为
,
根的情况转化为
在
上根
的情况.
步骤一：讨论
(
无实根)；
步骤二：讨论
,由
得
；
答案：
(1)
,
在
上递增；
(2)
,
,
,
在
上递增；
,
,
在
上递减.
类型五：
定义域为
,
可化为双根型二次方程
思路：根据根的大小进行分类.
【例5】讨论
的单调性.
分析：
,
根的情况转化为
的根的情况,根据
与
的大小进行讨论.
步骤一：讨论
；
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步骤二：讨论
,注意此时
；
步骤三：讨论
.
答案：
(1)
在
上单调递增,在
上单调递减；
(2)
,
在
上递增；
(3)
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
类型六：
定义域不是
,
可化为双根型二次方程
思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类.
【例6】讨论
的单调性
分析：
,
根的情况转化为
在
上根的
情况.
步骤一：讨论
(根不在定义域内).
步骤二：讨论
(根据
的大小再分
)
答案：
(1)
,
在
上单调递增；
(2)
在
上单调递增,在
上单调递减；
(3)
,
在
上单调递增；
(4)
,
在
上单调递增,在
上单调递减.
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类型七：
定义域是
,
可化为双根型类二次方程
思路：根据根的个数及根的大小进行分类
【例7】讨论
的单调性
分析：
,
根的情况转化为
根的情况.
步骤一：讨论
(
无实根)；
步骤二：讨论
,此时
；
步骤三：讨论
(根据
的大小再分
)
答案：
(1)
,
在
上单调递增,在
上单调递减；
(2)
在
上单调递增,在
上单调递增；
(3)
在
上单调递增,在
上单调递减；
(4)
,
在
上单调递增；
(5)
,
在
上单调递增,在
上单调递减.
提醒：对于类二次方程,不要忽略对
项的系数为零的讨论.
类型八：
定义域不是
,
可化为双根型类二次方程
思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类
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【例8】讨论
的单调性
分析：
,
根的情况转化为
根的情况.
步骤一：讨论
(有1 个根).
步骤二：讨论
(
不在定义域内)
步骤三：讨论
(
均在定义域内,根据
的大小再分
)
答案：
(1)
,
在
上单调递增,在
上单调递减；(步骤一二合并)
(2)
在
上单调递增,在
上单调递减；
(3)
,
在
上单调递增；
(4)
,
在
上单调递增,在
上单调递减.
类型九：
先化为指数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程
【例9】讨论
的单调性.
分析：
,
根的情况转化为
根的情况.
步骤一：讨论
(有1 个根).
步骤二：讨论
,
的拟合函数为
(根据
的大小再分
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)
答案：
(1)
,
在
上单调递增,在
上单调递减；
(2)
在
上单调递增,在
上单调递减；
(3)
,
在
上单调递增；
(4)
,
在
上单调递增,在
上单调递减.
类型十：
先化为对数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程
【例10】讨论
的单调性.
分析：
的拟合函数为
(根据
与0,1 大小分类)
步骤一：讨论
(
).
步骤二：讨论
, (再分
)
答案：
(1)
,
在
上单调递减,在
上单调递增；
(2)
在
上单调递增,在
上单调递减；
(3)
,
在
上单调递增；
(4)
,
在
上单调递增,在
上单调递减.
类型十一：导函数为三角函数类型
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【例11】判断
在
上的单调性.
分析：借助弦函数的有界性确定
的符号.
步骤一：
,
步骤二：令
,
,
步骤三：利用弦函数有界性得
,
步骤四：
为增函数,
．
答案：
在
上单调递增.
类型十二：通过二次求导研究函数单调性
求函数
的递增（递减）区间,通常转化为解不等式
（或
）,但有时该不等式不能直
接求解,需要二次求导研究
的单调性或符号.
【例12】判断函数
的单调性
分析：
步骤一：
；
步骤二：
,
；
步骤三：
在
上单调递增,在
上单调递减,
；
步骤四：由
,得
.
答案：所
在
上单调递减.
【例1】（2024 届山东省烟台招远市高考三模）已知函数
.
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(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时,若方程
有三个不等的实根,求实数
的取值范围.
【解析】（1）
.
当
时,由
可知,
在
上单调递增；
当
时,对
有
,对
有
,
所以
在
上单调递增,在
上单调递减.
综上,当
时,
在
上单调递增；
当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
（2）当
时,
,故原方程可化为
.
而
,所以原方程又等价于
.
由于
和
不能同时为零,故原方程又等价于
.
即
.
设
,则
,从而对
有
,对
有
.
故
在
上递增,在
上递减,这就得到
,且不等号两边相等当且仅当
.
然后考虑关于
的方程
：
①若
,由于当
时有
,而
在
上递增,故方程
至多有一个解；
而
,
,所以方程
恰有一个解；
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②若
,由于
在
上递增,在
上递减,故方程
至多有两个解；
而由
有
,
再结合
,
,
,即知方程
恰有两个解,且这两个解分别属于
和
；
③若
,则
.
由于
,且不等号两边相等当且仅当
,故方程
恰有一解
.
④若
,则
,故方程
无解.
由刚刚讨论的
的解的数量情况可知,方程
存在三个不同的实根,当且仅
当关于的二次方程
有两个不同的根
,且
,
.
一方面,若关于的二次方程
有两个不同的根
,且
,
,则首先有
,且
.
故
,
,所以
.
而方程
的解是
,两解符号相反,故只能
,
.
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所以
,即
.
这就得到
,所以
,解得
.
故我们得到
；
另一方面,当
时,关于的二次方程
有两个不同的根
,
.
且有
,
,
.
综上,实数
的取值范围是
.
【例2】（2024 届黑龙江省百师联盟高三冲刺卷）已知函数
.
(1)若
,求
在
处的切线方程；
(2)者
,讨论函数
的单调性.
【解析】（1）
,则
,
,
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,
,
∴
在
处切线方程为
,
即
.
（2）函数
的定义域为
,
.
因为
,所以
,由
得
或
,
.
①当
时,
,
所以
或
,
,
则
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增；
②当
时,
,则
在
上单调递增；
③当
时,
,
所以
或
,
,
则
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增.
综上,当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增；
当
时,
在
上单调递增；
当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
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在
上单调递增.
【例3】（2024 届黑龙江省哈尔滨市三中高三下学期第五次模拟）已知函数
（
）.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时,求证：
.
【解析】（1）由题意可知,函数
的定义域为
,
导数
,
当
时,
,
；
当
时,
,
；
；
综上所述,当
时,函数
在区间
上单调递减；当
时,函数
在区间
上单调递减,在
区间
上单调递增.
（2）由（1）可知,当
时,
函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
所以函数
,
要证
,
需证
,
即需证
恒成立.
令
,
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则
,
所以函数
在区间
单调递减,
故
,
所以
恒成立,
所以当
时,
.
【例4】（2024 届河南省创新发展联盟5 月月考）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时,证明：
.
【解析】（1）函数
的定义域为
,
求导得
,
若
,则
,且当
时,
,当
时,
,
即函数
在
上递增,在
上递减；
若
,令
,解得
,
若
,即
,则
恒成立,当
时,
,当
时,
,
即函数
在
上递减,在
上递增；
若
,即
,则当
时,
,当
时,
,
即函数
在
上递增,在
上递减；
若
,即
,则
在
上恒成立,函数
在
上递增；
若
,即
,则当
时,
,当
时,
,
即函数
在
上递增,在
上递减,
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所以当
时,
的递增区间为
,递减区间为
；
当
时,
的递增区间为
和
,递减区间为
；
当
时,
的递增区间为
,无递减区间；
当
时,
的递增区间为
和
,递减区间为
；
当
时,
的递增区间为
,递减区间为
.
（2）要证
,需证
,
而
,即有
,
则只需证明
,即证
,即证
,
令
,则
,当
时,
,当
时,
,
即函数
在
上单调递减,在
上单调递增,则
,
令
,则
,当
时,
,当
时,
,
函数
在
上单调递增,在
上单调递减,则
,
从而
,即
成立.
【例5】（2023 届湖北省新高三摸底联考）已知
,函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)如果我们用
表示区间
的长度,试证明：对任意实数
,关于
的不等式
的解集的
区间长度小于
．
【解析】 (1)
,定义域为
,
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若
恒成立,所以
在
上单调递减；
若
,
当
时,
；当
时,
,
所以
在
上单调递减,在
上单调递增．
综上,
时,
在
上单调递减；
时,
在
上单调递减,在
上单调递增．
(2)令
,则
,因为
,
由（1）知,
在
上单调递减,在
上单调递增,
又
,所以
,
令
,
由
恒成立,
所以
在
上单调递增．
又
,所以
,即
．从而
,
所以
,即
．
因为
,所以
,
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所以存在唯一
,使得
,所以
的解集为
,
即
的解集为
,又
的区间长度为
,
原命题得证．
1．（2024 届北京市十一学校高三下学期三模）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
恒成立,求实数
的取值范围；
(3)求证：
．（
且
）
2．（2025 届河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时,
.
3．（2024 届山东省智慧上进高三下学期5 月大联考）已知函数
,其中
．
(1)当
时,判断
的单调性；
(2)若
存在两个极值点
．
（ⅰ）证明：
；
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（ⅱ）证明：
时,
．
4．（2024 届河南省名师联盟5 月高三考前押题卷）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)
,
,求
的取值范围.
5．（2024 届山东省日照市高三下学期三模）已知函数
,
,
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时,对
,
,求正整数
的最大值.
6．（2024 届四川省南充高中高三下学期月考）已知函数
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时,函数
与函数
有相同的最大值,求
的值.
7．（2024 届安徽省合肥市第六中学高三最后一卷）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
,
为函数
的两个零点,求证：
．
8．（2024 广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学高三下学期第五
次六校联考）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)当
时,求函数
在区间
上的最大值．
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9．（2024 届山东省临沂市兰山区等四县区高三第三次模拟）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线与直线
垂直,求
的值；
(2)讨论
的单调性．
10．（2024 届天津市和平区高三三模）已知函数
,
,
．
(1)若
,函数
存在斜率为3 的切线,求实数
的取值范围；
(2)若
,试讨论函数
的单调性；
(3)若
,设函数
的图象
与函数
的图象
交于两点
,过线段
的中点
作
轴的垂线分
别交
于点
,问是否存在点
,使
在
处的切线与
在
处的切线平行？若存在,求出点
的横
坐标；若不存在,请说明理由．
11．（2024 届山西省晋城调研）函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若
只有一个解,则当
时,求使
成立的最大整数k.
12．（2024 届北京市西城区北京师范大学附属实验中学高三下学期6 月热身练）已知函数
,其
中a 为常数且
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调区间；
(3)当
时,若过点
的切线l 分别与x 轴和y 轴于,A,B 两点,O 为坐标原点,记
的面
积为S,求S 的最小值.
13．（2024 届山西省吕梁市高三三模）已知函数
.
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(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的
,使
恒成立,则实数
的取值范围.
14．（2024 届江苏省苏州市高三下学期第三次模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时,证明：
．
15．（2024 届湖北省襄阳市第五中学高三第五次适应性测试）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时,
,数列
满足
,且
①比较
,
,1 的大小
②证明：
.
16．（2024 届湖南省岳阳市岳汨联考高三下学期5 月月考）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
在
上有零点,且
,求实数m 的取值范围．
