专题1.4基本不等式及其应用九大题型（原卷版）_11.4-2_2026-11-04

      
      
专题1.4 基本不等式及其应用【九大题型】

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2021 U[X
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2023 U I X
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12 K
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n
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x
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a
b
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m
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Ê 1·2023·ËÌÍη²ÏÐÑҜ?:
𝑎,𝑏,𝑐ÓÔ𝑎< 𝑏< 𝑐Ž𝑎𝑏𝑐<0ZÕÖ× !»³l“ØC\
      
      
·    Ò
A–𝑎𝑐< 𝑏𝑐
B–𝑎𝑏< 𝑎𝑐
C–
𝑏
𝑐+
𝑐
𝑏> 2
D–
𝑏
𝑎+
𝑎
𝑏> 2
r" 1-1·2023·ÙÚÛÜ·³²Òœ?2𝑚= 3𝑛= 6ZÕ mZn «ÝÓÔC»\·    Ò
A–𝑚+ 𝑛> 4
B–𝑚𝑛> 4
C–𝑚2 + 𝑛2 < 8
D–(𝑚−1)2 + (𝑛−1)2 > 2
r" 1-2·2024·Þßàá·³²Òœ?𝑎> 0,𝑏> 0ZÕ“𝑎+ 𝑏> 2”\“𝑎2 + 𝑏2 > 2”C·   Ò
A–âK ^FŠ‹
B–^F âKŠ‹
C–âFŠ‹
D–ã âKä ^FŠ‹
r" 1-3·2023·åæ·´²Ò
çC蘹"¥é5¸–7ê¾è˜ë\³¸¹"–쥞êÃ
©ê¾ZS!í&îµî¾ △𝐴𝐵𝐶TZE O ¯ïð AB CTEZE D ¯ïð AB ªñ™òEC³ˆóEZ
ô𝐴𝐷= 𝑎Z𝐵𝐷= 𝑏Zõê¾Ýè˜C !"¯·    Җ
A–
𝑎+𝑏
2 ≥
𝑎𝑏(𝑎> 0,𝑏> 0)
B–
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏≤
𝑎𝑏(𝑎> 0,𝑏> 0)
C–
𝑎+𝑏
2 ≤
𝑎2+𝑏2
2
(𝑎> 0,𝑏> 0)
D–𝑎2 + 𝑏2 ≥2 𝑎𝑏(𝑎> 0,𝑏> 0)
 2  &'()*+
Ê 2·2023·ÙÚö÷·²ÏÐÑҜ?ø
𝑓(𝑥) = 3−𝑥−
2
𝑥ZÕu𝑥< 0Z𝑓(𝑥)¥·    Ò
A–*s+3 + 2 2
B–*v+3 + 2 2
C–*s+3−2 2
D–*v+3−2 2
r" 2-1·2023·ùúßû·³²Òœ?𝑥> 0ZÕ𝑥−4 +
4
𝑥C*v+¯·    Ò
A–ü2
B–0
C–1
D–2 2
r" 2-2·22-23 µÖ·ýþ·ÿĀāĂÒ 3 + 1
𝑥2 (1 + 4𝑥2)C*v+¯·    Ò
A–9 3
B–7 + 4 2
C–8 3
D–7 + 4 3
r" 2-3·23-24 ´Ö·Þß㥷ÿĀāĂÒø
𝑦= 3−
4
𝑥−𝑥·𝑥> 0ÒC*s+¯·    Ò
      
      
A–−1
B–1
C–−5
D–5
 3  ,-()*+
Ê 3·2023·ÞþąĆ·²ÏÐÑҜ?𝑎> 2ZÕ2𝑎+
8
𝑎−2C*v+\·    Ò
A–6
B–8
C–10
D–12
r" 3-1·2024·åæ·³²Òœ?𝑚> 2𝑛> 0ZÕ 
𝑚
𝑚−2𝑛+
𝑚
𝑛C*v+¯·    Ò
A–3 + 2 2
B–3−2 2
C–2 + 3 2
D–3 2−2
r" 3-2·2023·ćÚ÷·²ÏÐÑÒĈ−5 < 𝑥< −1ZÕø
𝑓(𝑥) = 𝑥2+2𝑥+2
2𝑥+2 ¥·    Ò
A–*v+ 1
B–*s+ 1
C–*v+−1
D–*s+−1
r" 3-3·23-24 µÖ·ćÚ·ĉĊҜ?𝑎> 0,𝑏> 0ZÕ𝑎+ 2𝑏+
4
𝑎+2𝑏+1C*v+¯·    Ò
A–6
B–5
C–4
D–3
 4  .
/0()*+
Ê 4·2024·ýċÚÅ·´²Òô𝑥> 0Z𝑦> 0Z
1
𝑥+2𝑦= 2ZÕ𝑥+
1
𝑦C*v+¯·ČČÒ
A–
3
2
B–2 2
C–
3
2 +
2
D–3
r" 4-1·2024·čĎýďĐđ·´²Òœ?“:
 xZy ÓÔ
1
𝑥+
2
𝑦= 1ZÕ2𝑥𝑦−3𝑥C*v+¯·     Ò
A–8
B–9
C–10
D–11
r" 4-2·2024·Ēßēý·³²Òœ?𝑎𝑏> 0Z𝑎2 +𝑎𝑏+ 2𝑏2 = 1ZÕ𝑎2 +2𝑏2C*v+¯·    Ò
A–8−2 2
7
B–2 2
3
C–
3
4
D–7−2 2
8
r" 4-3·2023·ĒßĒĆ·²ÏÐÑҜ?“:
 xZy ÓÔ2𝑥+ 𝑦= 𝑥𝑦ZÕ2𝑥𝑦−2𝑥−𝑦C*v+¯
·    Ò
A–2
B–4
C–8
D–9
 5  12()*+
Ê 5·2024·ĔþþË·µ²Òœ?𝑥> 0,𝑦> 0Z𝑥𝑦+ 2𝑥−𝑦= 10ZÕ𝑥+ 𝑦C*v+¯      
–
r" 5-1·2023·ªĕĖl·³²Òœ?:
 aDb ÓÔ𝑎𝑏= −6ZÕ𝑎2 + 𝑏2C*v+¯      
–
r" 5-2·2024·VWćß·³²ÒĈ𝑎> 0,𝑏> 0,𝑎𝑏= 2ZÕ𝑎+4𝑏+2𝑏3
𝑏2+1
C*v+¯      
–
r" 5-3·2024·¶ėĘ÷·²ÏÐÑҜ?“:
𝑥Z𝑦Z𝑧ÓÔ𝑥2 +𝑥𝑦+ 𝑦𝑧+ 𝑥𝑧+ 𝑥+ 𝑧= 6ZÕ3𝑥+ 2𝑦+ 𝑧
C*v+\      
.
      
      
 6  34)*+
Ê 6·23-24 ³ª·ÙÚęĚ·ěĜҜ?𝑥> 0ZÕ𝑥2−𝑥+4
𝑥
C*v+¯·    Ò
A–5
B–3
C–−5
D–−5½ 3
r" 6-1·23-24 ³ª·åæsĝ·ěĜҜ? xZy ¯“:
ZŽ𝑥+ 𝑦= 1ZÕ
𝑥+6𝑦+3
𝑥𝑦
C*v+¯·    Ò
A–24
B–25
C–6 + 4 2
D–6 2−3
r" 6-2·23-24 ´ª·ËÌĞË·ÿĀāĂÒô𝑎+ 𝑏= 1,𝑏> 0ZÕ
1
|𝑎| +
9|𝑎|
𝑏C*v+\·    Ò
A–7
B–6
C–5
D–4
r" 6-3·23-24 µª·ğýĠġ·ěĜҜ? x ¯“:
Zy ¯Ģģ:
ZŽ𝑥+ 2𝑦= 2ZÕ𝑥2+1
𝑥
+
2𝑦2
𝑦+1
C*v+¯·    Ò
A–
3
4
B–
9
4
C–
3
2
D–
9
2
 7  546 !")*+
Ê 7·2023·ćÚ·²ÏÐÑҜ?“:
𝑎Z𝑏ZÓÔ𝑎+ 𝑏≥
9
2𝑎+
2
𝑏ZÕ𝑎+ 𝑏C*v+¯·    Ò
A–5
B–
5
2
C–5 2
D–5 2
2
r" 7-1·2023·Ĥĥ·²ÏÐÑҜ?𝑎¯ĢĦ:
Z𝑏Z𝑐q¯“:
ZÕ 𝑎2𝑏+𝑎2𝑐
4𝑎4+𝑏2+𝑐2C*s+¯·    Ò
A–
1
2
B– 2
4
C– 2
2
D– 3
4
r" 7-2·2024·Ĥĥ·²ÏÐÑҜ?𝑎> 0Z𝑏> 0Z𝑐> 1Z𝑎+ 2𝑏= 2ZÕ 1
𝑎+ 2
𝑏𝑐+
2
𝑐−1C*v+¯
·    Ò
A–
9
2
B–2
C–6
D–
21
2
r" 7-3·23-24 µÖ·ğý·ĉĊҜ? aDbDcDd q¯“:
ZŽ
1
𝑎+
2
𝑏= 𝑐2 + 𝑑2 = 2ZÕ𝑎+
𝑏
𝑐𝑑
C*v+¯·    Ò
A–3
B–2 2
C–3+ 2
2
D–3+2 2
2
 8  7 !"89:;<
Ê 8·23-24 ´Ö·ùúħÞ·ěTÒĨĩ¯MĪīĩĬĭZIĮįݳˆžêéCı… ¯
750m2CIJ¾ijĩ.êTĴĵÈK\Ķp¯ 1m CvķZTº𝐴Z𝐵Z𝐶µˆIJ¾ĸĹÀ¸ĺĻļDĽľĿDŀ
      
      
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(2)u𝑥C+¯5ŇZňÝ6Ņij¸ĺCı… *sʼn
r" 8-1·23-24 ³ª·åæŊ÷·ěĜÒŋŌō\Ŏ¬ŋŏŐő¯ŒDœŋŔ•¯ŕĀZ6ŋŌ
ŖaŗŘDōÅDřŚś1ŜŝCވĬşŠšŢ™ţlC¦pĬĭÖZ¬ŤŇŋŌŖťŦCōŧó.
ŨũŪūŬŖËĤ€@C¨#ŭª1ŜŮ)CůŰZŋŌōűŲţ²äSkųŴs.ĨŋŌōŵŶŷ
ŸŴsţ²Z9lS 2024 UŹ# 2025 UŹ‡4źŻż 4 Žž2ZſÐÑZ]UŹŻżC𝑥Žž2SY𝑚
·1 ≤𝑚≤8ZŽ𝑚∈𝑁*ÒUŘŗC7ƀ·ƁƂ
Žž2Ò𝐺(𝑚) =
𝑚𝑥,𝑚∈𝑁*,1 ≤𝑚≤4
4−16−𝑚𝑥
2 ,𝑚∈𝑁*,5 ≤𝑚≤8
 
ZƃƄ 4
Žž2Żża 2024 UĉŠCY𝑛UŘŗC7ƀƅy¯𝑓𝑛(𝑥).
(1)ij𝑓4(2)=𝑓5(2)Csv}
(2))‡4ŻżS 2027 UŘŗC7ƀƅyC*s+.
r" 8-2·23-24 ³ª·ćÚĉƆ·ěĜҞêZ³ƇƈƉŖCƊƋ·ĴĵÈKÒ¯IJ¾Z… ¯ 32Z
šCƌDƍ‡ðƎ¥Ķ¯ 2 CƏƐZªDևðƎ¥Ķ¯ 1 CƏƐ.ƃƑƒC… ¯ SZƊƋIJ¾CÛ
yĶKƓ¯ xZy.
      
      
(1) xZy —© S;
(2)žƒƔƑƒCƕƖZňÝ6ƑƒC… *v? Ɨ)*v… .
r" 8-3·23-24 ³ª·¶ė‰·ěĜҞêéZ³ŠƘ&Cćō𝑙·ƙƚćCĶp҇ƛŞ¥³ˆ
Ɯĸ𝐴,𝐵·ƙƚƜĸCsvÒZ𝐴ƜĸƝƞ𝑙ª*bCE𝐴0CƝƞ\2km,𝐵ƜĸƝƞ𝑙ª*bCE𝐵0CƝƞ\1
kmZŽ𝐴0𝐵0 = 4km.E𝑃\ŭĀ𝐴0𝐵0ª³EZô𝐴0𝑃= 𝑎km.
ìţĮMžÖµƟŐQ
ŐQ 1
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ŐQ 2
À&îµî¾𝐴𝐴0𝑃ƨƩĤÈįݯ… ƪŇ1km2C¼ĩZŽ]„¹ƫƬơƢ¯ 1 +
9
2𝑎2
ƣ2}
ŐQ 3
À&îµî¾𝐵𝐵0𝑃ƨƩĤÈįݯ… ƪŇ0.25km2CƭƨĩZŽ]„¹ƫƬơƢ¯ 1 ƣ2.
ƃƄµƟŐQCıơƢ¯𝑊ƣ2.
(1)):
𝑎Cz+{|}
(2)<E𝑃SƒŢZ𝑊*vZƗ)­õ*v+.
      
      
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Ê 9·23-24 µª·ýċÚÅ·ÿĀāĂҜ?𝛥𝐴𝐵𝐶_'™ƁƂƮZŽ(1 + tan𝐴)(1 + tan𝐵) = 2Z
·1Ò)î𝐶
·2Ò) △𝐴𝐵𝐶… C*s+–
r" 9-1·23-24 µª·ÞßƯư·ěĜÒƱƲƳ”•ƴ\Ƶĥƶ/
ƷƸ,šScƒTCƹƺiþ
¹ƻ 1000 5U,SƱƲƳ”•ƴT,À̅¯&îµî¾,ŽƛƼƽ&™Ě…CµƼƾƿ¯ǀǁ(qian du);÷ǂ
Ŏ̅¯IJ¾,³ƛƼƽ&™Ě…C¶Ƽǃ,DŽDž(bie nao)Ŏ¶ˆ…q¯&îµî¾C¶…‚.žêSǀǁ
𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1T,𝐴𝐵⊥𝐴𝐶.
(1))è:¶Ƽǃ𝐵−𝐴1𝐴𝐶𝐶1¯÷ǂ;
(2)Ĉ𝐶1𝐶= 𝐵𝐶= 2,uDŽDž𝐶1−𝐴𝐵𝐶‚ *s,)dž´…î𝐶−𝐴1𝐵−𝐶1CLJLj+.
r" 9-2·2024·Ēßljĕ·³²Òœ?𝐴D𝐵D𝐶\𝛥𝐴𝐵𝐶C_îZ𝑎D𝑏D𝑐KƓ\$gðÛZNJÄ𝑚=
(𝑎+ 𝑏,𝑐)Z𝑛= (sin𝐵−sin𝐴,sin𝐶−sin𝐵)ZŽ𝑚⊥𝑛.
      
      
·1Ò)î𝐴Csv}
·2ÒĈ𝑎= 2Z)𝛥𝐴𝐵𝐶… C*s+.
r" 9-3·2024·čĎýsNj·³²Òœ?njƮ𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)ZPE 1, 3
2 ŽƞǍn¯
1
2Z𝐴,𝐵\njƮ
ªǎǏǐ ¯ĦC‡EZĈ
→
𝐴𝐹= 𝜆
→
𝐹𝐵(𝜆∈𝑅)Ž|
→
𝐴𝐹| ≠|
→
𝐹𝐵|Z$T𝐹¯njƮCƌǑE–
·1Ò)njƮC¹Q}
·2Ò)ŭĀ𝐴𝐵Cƽ&„KŭS𝑦ǒªCǓƝCz+{|–
³DƁ
1–·2023·Ĥĥ·µ²Òœ?𝑎> 0Z𝑏> 0ZŽ𝑎+ 𝑏= 1ZÕÖ× !" “ØC\·    Ò
A–𝑎𝑏≤
1
4
B–𝑎2 + 𝑏2 ≥
1
2
C–
1
𝑎+
1
𝑏+1 > 2
D– 𝑎+
𝑏≤1
2–·2024·ǔǕlþ·³²Ò𝑥2 +
7
𝑥2 +
7C*v+¯·    Ò
A–2 7
B–3 7
C–4 7
D–5 7
3–·2024·åæǖǗư·³²Òœ?𝑎> 0Z𝑏> 0Z𝑎+ 𝑏= 2ZÕ·    Ò
A–0 < 𝑎≤1
B–0 < 𝑎𝑏≤1
C–𝑎2 + 𝑏2 > 2
D–1 < 𝑏< 2
4–·2024·ğýĖġ·´²ÒĈ“
𝑥,𝑦ÓÔ𝑥2−2𝑥𝑦+ 2 = 0ZÕ𝑥+ 𝑦C*v+\·    Ò
A– 6
B– 6
2
C–2 2
D–2
5–·2024·¶ė‰·²ÏÐÑÒĈ𝑎,𝑏\“:
ZŽ
1
3𝑎+𝑏+
1
2𝑎+4𝑏= 1ZÕ𝑎+ 𝑏C*v+¯·    Ò
      
      
A–
4
5
B–
2
3
C–1
D–2
6–·2024·ĔþþË·²ÏÐÑÒÖ×ǘ(ǙǚC\·    Ò
A–Ĉ“:
𝑎,𝑏ÓÔ𝑎+ 𝑏= 1ZÕ
1
𝑎+
1
𝑏¥*v+ 4
B–Ĉ“:
𝑎,𝑏ÓÔ𝑎+ 2𝑏= 1ZÕ2𝑎+ 4𝑏≥2 2
C–𝑦=
𝑥2 + 3 +
1
𝑥2+3C*v+¯4 3
3
D–Ĉ𝑎> 𝑏> 1ZÕ𝑎𝑏+ 1 < 𝑎+ 𝑏
7–·2024·čĎýďĐđ·³²Òœ?ĨǛŖběƢǜǝǞjsZǟôY³ǠyY´ǠCõǛŖCƁƢKƓ
¯ m 2y n 2(𝑚≠𝑛)ZǡD[‡ŪǢǣõǛŖC¹" ~Zǡ]ǠǢǣ 100 2CõǛŖZ[]ǠǢǣ 20
‹õǛŖZĈǡD[‡4Ǣǣ„qƁƢKƓ¯𝑎1,𝑎2ZÕ·    Ò
A–𝑎1 = 𝑎2
B–𝑎1 < 𝑎2
C–𝑎1 > 𝑎2
D–𝑎1,𝑎2CsvǤ(Øl
8–·2024·¶ė‰·µ²Òôø
𝑓(𝑥) = 𝑥3−𝑥Z“:
𝑎,𝑏ÓÔ𝑓(𝑎) +𝑓(𝑏) = −2𝑏ZĈ𝑎2 +𝜆𝑏2 ≤1ZÕ:
𝜆C*s+¯·    Ò
A–2 + 2 2
B–4
C–2 +
2
D–2 2
´D5
9–·2023·Ĥĥ·²ÏÐÑҜ?:
𝑥,𝑦ZÖ×ǥǦ“ØC\·    Ò
A–Ĉ𝑥+ 𝑦= 3Z𝑥𝑦> 0ZÕ 𝑥2
𝑥+1 +
𝑦2+1
𝑦
≥3
B–Ĉ𝑥> 0Z𝑥𝑦= 1ZÕ
1
2𝑥+
1
2𝑦+
8
𝑥+𝑦C*v+¯ 4
C–Ĉ𝑥≠0Ž𝑥≠−1ZÕ
𝑦
𝑥<
𝑦+1
𝑥+1
D–Ĉ𝑥2−𝑦2 = 1ZÕ2𝑥2 +𝑥𝑦C*v+¯1 +
3
2
10–·2023·ŒNjÜǧǨ·²ÏÐÑÒĨƁƂ¯MǩǪǫŐǬǭŐǮZ9l¨ǫŐǯǰZDZǫŐK‡4DzŐ
żZìÏlMµ¸DzŐż¹dzZǡ
Y³4DzǴ𝑎%ZY´4DzǴ𝑏%}
[
Y³4DzǴ
𝑎+𝑏
2 %ZY´4DzǴ
𝑎+𝑏
2 %}
ǵ
Y³4DzǴ 𝑎𝑏%ZY´4DzǴ 𝑎𝑏%.
$T𝑎> 𝑏> 0Zv˜ǶǫŐǷǸijªǹµ¸¹dzǺśžÖǥǦZ$T“ØC¥·    Ò
A–¹dzǡy¹dz[ŐżDzǺ³ǻ5
B–Ǽ¹dz[ŐżDzǺi¹dzǵ5
C–Ǽ¹dz[ŐżDzǺi¹dzǡ5
D–Ǽ¹dzǵŐżDzǺi¹dzǡ5
      
      
11–·2024·Ĥĥ·²ÏÐÑҜ?𝑎> 0Z𝑏> 0Ž
1
𝑎+
4
𝑏= 2ZÕÖ×ǘ(“ØC\·    Ò
A–𝑎𝑏¥*v+ 4
B–𝑎+ 𝑏¥*v+
9
2
C–2𝑎𝑏+ 𝑎¥*v+2 5
D– 16𝑎2 + 𝑏2C*v+¯4 2
µDǽƏ
12–·2024·Ĥĥ·²ÏÐÑҜ?𝑥> 1Z𝑦> 0ZŽ𝑥+
2
𝑦= 2ZÕ
1
𝑥−1 +𝑦C*v+\      
–
13–·2024·ªĕǾǿ·´²ÒĨǛŖC‰𝐶=ŘÄ𝑞ƅºÓÔ»"𝐶= 𝐶(𝑞)ZlȀ„q‰𝐶= 𝐶(𝑞)Z$
T𝐶=
𝐶(𝑞)
𝑞Zǟô𝐶(𝑞) =
1
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