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2026 年高考数学一轮复习
专题9：利用导数研究函数的单调性
知识点一 函数的单调性的概念
在某个区间
内，如果
，那么函数
在这个区间内单调递增；
如果
，那么函数
在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内
（
）是函数
在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数
在
上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有
（
）且
在
上的任何子区间内都不恒为零．
知识点二 导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数
f x 的定义域；
（2）求
f
x
（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式
0
f
x
，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式
0
f
x
，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
一、已知函数的单调性求参数
（1）函数
f x 在区间D 上单调增（单减）
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上恒成立；
（2）函数
f x 在区间D 上存在单调增（单减）区间
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上能成立；
（3）已知函数
f x 在区间D 内单调
)
(x
f
不存在变号零点
（4）已知函数
f x 在区间D 内不单调
)
(x
f
存在变号零点
(5)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)⇔(a，b)＝增区间⇔
)
(x
f
＞0 的解集是(a，b)；
函数y＝f(x)的减区间是(a，b)⇔(a，b)＝减区间⇔
)
(x
f
＜0 的解集是(a，b)；
不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若
在
上恒成立，则
；
②若
在
上恒成立，则
；
③若
在
上有解，则
；
④若
在
上有解，则
.
二、含参函数单调性讨论依据：
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
三、常见的导函数与原函数混合构造类型
关系式为“加”型构造：
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
[
( )]
( )
( )
xf x
xf
x
f x
（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
[
( )]
[
( )
( )]
x
x
e f x
e
f
x
f x
（4）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
'
1
1
'
[
( )]
( )
( )
[
( )
( )]
n
n
n
n
x f x
x f
x
nx
f x
x
xf
x
nf x
（注意x 的符号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
x
x
x
x
关系式为“减”型构造：
（6）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
2
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（7）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
2
( )
( )
( )
[
]
f x
xf
x
f x
x
x
（8）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
'
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
x
x
x
x
x
f x
f
x e
f x e
f
x
f x
e
e
e
（9）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
1
'
'
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
n
n
n
n
n
f x
x f
x
nx
f x
xf
x
nf x
x
x
x
（注意x 的符号）
（10）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
x
x
x
x
x
e
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
])
(
[
2
考点一 不含参函数的单调性
【例1】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】函数的定义域为
.
，则
.令
，解得
.故选：D
【变式1】已知函数
,则函数
的单调递减区间是 .
【答案】
【解析】函数定义域为
,由于函数
,
所以
,
得
,所以函数
的单调递减区间是
.
考点二 含参函数的单调性
【例2】已知函数
，
.讨论
的单调性.
【解析】因为
，故可得
，令
，可得
或
；
当
时，
，此时
在
上单调递增；当
时，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
当
时，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
单调递增，在
单调递减；
当
时，
在
和
单调递增，在
单调递减.
【变式2-1】已知函数
，若
，讨论
的单调性.
【解析】
，
，
，
且
，
①当
时，
，
或
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减；
②当
时，
，
或
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减；
③当
时，
，
时，
，
单调递减，
，
，
单调递增；
综上，当
时，
在
单调递减，在
单调递增；
当
时，
在
，
单调递增，在
单调递减；
当
时，
在
，
单调递增，在
单调递减.
【变式2-2】若函数
，
，讨论f (x)的单调性．
【解析】因为
，所以
，当
时，
，
令
，解得
，且
时，
，
时，
，
所以当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，令
，解得
或
，
又
，所以当
或
时，
，当
时，
，
所以当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，令
，解得
或
，
又
，所以当
或
时，
，当
时，
，
所以当
时，
在
，
上单调递减，在
上单调递增；
综上得：当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
，
上单调递减，在
上单调递增；
考点三 已知函数单调性求参
【例3】已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．e C．
D．
【答案】C【解析】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．故选：C．
【变式3-1】若函数
的单调递减区间为
，则实数k 的值为（ ）
A．1 B．
C．3 D．
【答案】A【解析】由
，由已知递减区间，则
得：
，故
，1 是
的两根，
，
，故选：A
【变式3-2】若函数
在区间
上不单调，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．m>1
【答案】B【解析】函数
的定义域为
，且
，
令
，得
，因为
在区间
上不单调，所以
，解得：
，故选：
B.
【变式3-3】若函数
存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】函数
的定义域为
，且其导数为
．
由
存在单调递减区间知
在
上有解，即
有解．因为函数
的定义域
为
，所以
．要使
有解，只需要
的最小值小于
，所以
，即
，
所以实数
的取值范围是
．故选:B．
考点四 原函数与导函数图象问题
【例4】设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】解法一：因为在
和
上
，在
和
上
，
所以函数
在
，
上单调递增，在
，
上单调递减，观察各选项知，只有D 符合
题意.解法二：由题图知，
在
的左侧大于、右侧小于，所以函数
在
处取得
极大值，观察各选项知，只有D 符合题意.故选：D.
【变式4】已知函数
的图象是下列四个图象之一，且其导函数
的图象如下图所示，则
该函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】由导函数图象知，
，
恒成立，即函数
在
上单调递增，
而函数
在
上单调递增，在
上单调递减，因此在
上，函数
的变化率逐渐增大，
即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD 不满足，在
上，函数
的变化率逐渐减小，即函数图象逐
渐由陡变缓，选项C 不满足，选项B 符合题意.故选：B.
考点五 构造函数比较大小
【例5】设
则a，b，c 之间的大小关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】
，构造函数
，得
，由
得
时
，知
在区间
上是增函数，于是
，
即
.故选：B．
【变式5】已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】令
，则
.因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，所以
在
上单调递减.
而
，
，所以在
上有
.所以
在
上单调递减.所以
，即
.故
.故
选：D.
考点六 构造函数解不等式
【例6】设函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x<0 时，
，
且
，则不等式f(x)g(x)>0 的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当x<0 时，
，所以F(x)在
上单调递增．又因为f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，
，所以F(x)是定义在R 上的奇函数，从而F(x)在
上单调
递增．而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0，当
时，f(x)g(x)>0 的解为
；当
时，f(x)g(x)>0 的解为
；
综上可知不等式f(x)g(x)>0 的解集为
.故选：A.
【变式6-1】已知
是定义在
上的偶函数且
，若
，则
的解集
为 .
【答案】
【解析】令
，则
，
由于
，所以
，故
在
上单调递减，又
是定义在
上的偶函数且
，故
，所以
，
等价于
，因此
，故
的解集为
，故答案为：
【变式6-2】已知奇函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，当
时，有
，则
的解集为 ．
【答案】
【解析】当
时，因为
，所以
，所以
，所以
在
上为增函数，因为
是定义在
上的奇函数，所以
，所以
，且
的定义域为
，关于原点对称，所以
也是定义在
上的奇函数，且
，又因为
在
上为增函数，所以
在
上为增函数，
由
，得
，所以
，因为
在
上为增函数，所以
，即
.
所以
的解集为
.故答案为：
1.函数y=f(x)的导函数
的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ D ）
2.已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】
，构造函数
1）
，则
，当
时，
在
上单调
递增，所以
，所以
.故选:D.
3.已知
是
上的奇函数，
是在
上无零点的偶函数，
，当
时，
，则使得
的解集是________
令
，则
，当
时，
，故
在
上单调递减，
又
是奇函数，
是偶函数，故
是奇函数，
在
上单调递减，又
，
可得
，故
在
上小于0，由
，得
或
，解得
或
.故答案为：
.
4.设函数
（a 为常数）．若f（x）为奇函数，则a=___-1_____；若f（x）是R 上的增函
数，则a 的取值范围是_____a≤0______．
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于
的恒等式，据此可得
的值，然后利用
可得a 的取值范围. 若函数
为奇函数，则
即
，即
对任意的
恒成立，
则
，得
.若函数
是R 上的增函数，则
在R 上恒成
立，即
在R 上恒成立，又
，则
，即实数
的取值范围是
.
5.已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)，a R.
∈
(1)当a＝1 时，求f(x)的单调性；
(2)讨论f(x)的单调性．
【解析】 (1)当a＝1 时，f(x)＝lnx－x＋1，f′(x)＝－1＝，令f′(x)＝0，得x＝1，列表如下：
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
增
极大值
减
f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)．
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝.若a≤0，则上式恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
若a>0，令f′(x)＝0，得x＝，列表如下：
x
(0，)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
增
极大值
减
综上：当a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
6.设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c 的值；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x.
①若g(x)在区间(2，3)上单调递增，求实数a 的取值范围；
②若g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减的区间，求实数a 的取值范围．
【解析】 (1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得：解得
(2)①∵g(x)在区间(2，3)上单调递增，∴g′(x)＝x2－ax＋2≥0 在(2，3)上恒成立，
转化到：a≤x＋在(2，3)上恒成立，令h(x)＝x＋，求得h′(x)＝1－＝≥0 在(2，3)上恒成立，
∴h(x)在(2，3)递增，h(x)>h(2)＝3，∴实数a 的取值范围为a≤3；
②由题意得g′(x)＝x2－ax＋2<0 在(－2，－1)上有解，∴a<x＋在(－2，－1)上有解，
又∵x＋＝－(－x－)≤－2，当且仅当－x＝－，即x＝－时取等号．∴实数a 的取值范围为(－∞，－2)．
