47.递推公式求通项的十种类型
一．等差数列与等比数列
类型1.等差数列相邻两项递推形式
为常数，
）或者相
d
d
a
a
n
n
，（
1
N
n
n
且
2
邻三项递推形式
.这种递推形式下，直接用等差数列的通
)
2
(
2
1
1
N
n
n
a
a
a
n
n
n
且
项公式即可解决！
例1.已知数列
的前
项和为
，满足
，
，则
（ ）
na
n
n
S
1
1
a
1
1
n
n
S
S
na
A．
B．
C．
D．
2
1
n
n
2
1
n +
1
2n
解析∵
，
－
=1，∴
是以1 为首项，以1 为公差的等差数列，
1
1
a
1
n
S
n
S
n
S
∴
，即
，∴
（
1
(
1) 1
1
(
1) 1
n
S
S
n
n
n
2
n
S
n
2
2
1
1
2
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
）.当
时，
也适合上式，
.故选A.
2
n
1
n
1
1
a
2
1
na
n
类型2.等比数列相邻两项递推
或
.
)
2
,0
,0
(
1
N
n
n
a
q
qa
a
n
n
n
且
且
q
a
a
n
n
1
或者相邻三项递推
.
)
2
(
2
1
1
n
N
n
a
a
a
n
n
n
且
特别地，在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即
N
n
m
a
a
a
n
m
m
n
,
,
，我们可以对其赋值得到一个等比数列.
例2．数列
中，
，对任意
有
，若
{
}
na
1
1
2
a
,
N
m n
m n
m
n
a
a a
1
9
1
1
1
k
k
k
a
a
a
15
5
2
2
，则
（ ）
k
A．
B．
C．
D．
2
3
4
5
解析由任意
都有
，所以令
，则
，且
，所以
是
,
m n
N
m n
m
n
a
a a
1
m
1
1
n
n
a
a a
1
1
2
a
{
}
na
一个等比数列，且公比为
，则
1
2
1
9
10
15
5
1
9
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
a
a
a
所以
，故选D.
5
k
二．隔项成等差（等比）数列
1.在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即
，它可以得到两个子
B
An
a
a
n
n
1
数列分别是公差为
的等差数列.
k
若
,则当
时,
,两式相减得
1
,
0
n
n
a
a
An
B A
2
n…
1
(
1)
n
n
a
a
A n
B
,即数列
与数列
均是公差为
的等差数列.
1
1
n
n
a
a
A
2
1
n
a
2n
a
A
2.在等比数列中，有一类比较特殊的递推类型，即
，它可以得到两个子数
n
n
n
q
p
a
a
1
列分别是公差为
的等比数列.
q
若
,则
,两式相除得
,即数列
与数
1
,
0,
0
n
n
n
a a
pq
p
q
1
1
2
n
n
n
a
a
pq
2
n
n
a
q
a
2
1
n
a
列
均是公比为
的等比数列.
2n
a
q
例3．已知数列
的前n 项和为
，且
，
，则数列
na
n
S
1
2
a
1
4
2
n
n
a
a
n
n
N
1
n
S
的前2021 项的和为( )
A．
B．
C．
D．
2021
2022
2020
2021
2019
2020
1010
1011
解析∵
，
，∴
，解得
．
1
2
a
1
4
2
n
n
a
a
n
n
N
2
1
6
a
a
2
4
a
，∴
，两式相减，得
，
数列
的奇数项与
1
4
2
n
n
a
a
n
2
1
4
6
n
n
a
a
n
2
4
n
n
a
a
{
}
na
偶数项均为公差为4 的等差数列，
当
为偶数时，
．
n
2
(
1)
4
2
2
n
n
a
a
n
当
为奇数时，
为偶数，∴根据上式和(*)知
，数列
的通项公式
n
1
n
1
4
2
2
n
n
a
n
a
n
{
}
na
是
，易知
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
2
na
n
{
}
na
故
，
，设
的前n 项和为
，
2
2
1
2
n
n n
S
n n
1
1
1
1
1
1
n
S
n n
n
n
1
n
S
nT
则
．故选A．
2021
1
1
1
1
1
1
2021
1
1
2
2
3
2021
2022
2022
2022
T
例4．数列
中，
．求
的通项公式；
na
1
1
2,
2
1,
N
n
n
a
a
a
n
n
na
解析（1）由
①
②，②-①
，
1
2
1
n
n
a
a
n
2
1
2
3
n
n
a
a
n
2
2
n
n
a
a
∴
的奇数项与偶数项各自成等差数列，由
，∴
，
na
1
1
2
2
3
a
a
a
2
1
a
∴
，∴
，n 为奇数，
，∴
，n
2
1
1
2(
1)
2
n
a
a
n
n
1
na
n
2
1
2(
1)
2
1
n
a
n
n
1
na
n
为偶数．∴
.
*
*
1,
2
1,
N
1,
2 ,
N
n
n
n
k
k
a
n
n
k k
例5．已知数列
满足
且
，
．求通项
；
na
2
2,
2
,
n
n
n
a
n
a
a n
为奇数
为偶数
1
1
a
2
2
a
na
解析当
为奇数时，由
知数列
是公差为2 的等差数列，
n
2
2
n
n
a
a
2
1
k
a
，∴
，
为奇数；当
为偶数时，由
知数列
2
1
1
1
2
2
1
k
a
a
k
k
na
n
n
n
2
2
n
n
a
a
2k
a
是公比为2 的等比数列，
，∴
，
为偶数∴
.
1
2
2
2
k
k
k
a
a q
2
2
n
na
n
2
,
2 ,
n
n
n n
a
n
为奇数
为偶数
三.
累加型
)
(
1
n
f
a
a
n
n
2
1
(1),
a
a
f
3
2
(2),
a
a
f
4
3
(3),
a
a
f
1
(
1)
n
n
a
a
f n
累加
所以
,
1
(1)
(2)
(
1),
na
a
f
f
f n
1
(1)
(2)
(
1)
na
a
f
f
f n
当
时也成立.下面,我们通过实例展示
1
n
例6．若数列
满足
，
．求
的通项公式.
na
1
1
a
1
2
n
n
a
a
n
na
解析：因为
，
，所以
1
2
n
n
a
a
n
1
1
a
1
1
2
2
1
1
2(
1)
2(
2)
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
，故
.
2
2
2
2 (
1) 1
1
2
n
n
n
n
2
1
na
n
n
例7．已知数列
满足
，
，则下列正确的是（ ）
na
1
1
a
1
1
n
n
n
n
a
a
na a
A．
B．
C．
D．
7
1
22
a
8
1
37
a
9
1
36
a
10
1
92
a =
解析：∵
，等式两边同除以
，∴
，
1
1
n
n
n
n
a
a
na a
1
n
n
a a
1
1
1
n
n
n
a
a
可得到
，
，…，
，利用累加法，可得到
2
1
1
1
1
a
a
3
2
1
1
2
a
a
1
1
1
1
n
n
n
a
a
，即
，
1
1
2
3
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
+
n
n
n
a
a
a
a
a
a
1
1
2
1
1
n
n
n
a
a
又∵
，所以
.
1
1
a
1
1
1
2
n
n
n
a
，∴
，故A 正确；
，∴
，故B 错
7
7 1 7
1
22
1
2
a
10
1
22
a
8
8 1 8
1
29
1
2
a
8
1
29
a
误；
，∴
，故C 错误，
，∴
，故D 错
9
9 1 9
1
37
1
2
a
12
1
37
a
10
10 1 10
1
46
2
1
a
10
1
46
a
误.故选A
例9．设数列
满足
，
，则数列
的通项公式为（ ）．
na
1
1
a
*
1
1
2
n
n
n
a
a
n
N
na
A．
B．
*
2
2 1
2
n
n
a
n
N
*
2 1
1
2
n
n
a
n
N
C．
D．
*
1
1
1
2
n
n
a
n
N
*
1
2
2
n
n
a
n
N
解析：
，所以当
时，
，
，
，
1
1
2
n
n
n
a
a
2
n
1
1
1
2
n
n
n
a
a
1
2
2
1
2
n
n
n
a
a
L
，
2
1
1
1
2
a
a
将上式累加得
，
，即
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
n
n
a
a
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
n
n
a
1
1
1
2
n
，又
时，
也适合，
．故选B．
1
1
2
2
n
na
(
2)
n
1
n
1
1
a
1
1
2
2
n
n
a
1
2 1
2n
例10. 已知数列
满足
，
，则
{
}
na
1
0
a
1
2
n
n
a
a
n
2018
a
A．
B．
C．
D．
2018 2019
2017
2018
2016
2017
2018 2018
解析
数列
满足
，
，
，
，
na
1
0
a
1
2
n
n
a
a
n
1
2
n
n
a
a
n
1
2
1
n
n
a
a
n
，
，……
，
1
2
2
2
n
n
a
a
n
2
3
2
3
n
n
a
a
n
2
1
2
a
a
累加得
，
1
1
2 1
2
3 ...
1
2
1
2
n
n n
a
a
n
n n
又
，
，
.故选B.
1
0
a
1
na
n n
2018
2018 2017
a
四.
(
)累乘型.
)
(
1
n
f
a
a
n
n
2
n
N
n
且
已知
的形式,当
时,变形得到
,则由累乘法可得：
1
( )
n
n
b
f n b
0
nb
1
( )
n
n
b
f n
b
3
2
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
1
(
1) (
2)
(2) (1) ,
f n
f n
f
f
b
例11．数列
及其前n 项和为
满足
，当
时，
，则
na
n
S
1
1
a
2
n
1
1
1
n
n
n
a
a
n
（ ）
1
2
3
2023
1
1
1
1
a
a
a
a
A．
B．
C．
D．
2021
1011
4044
2023
2023
1012
4048
2025
解析当
时，
，即
，所以
2
n
1
1
1
n
n
n
a
a
n
1
1
1
n
n
a
n
a
n
3
1
2
4
1
2
3
2
1
3
4
5
1
,
,
,
,
,
1
2
3
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
a
n
n
a
a
a
a
n
a
n
累乘得
，又
，所以
1
1
3
4
5
1
1
2
3
2
1
2
n
n n
a
n
n
a
n
n
1
1
a
1
2
n
n n
a
所以
1
2
1
1
2
1
1
na
n n
n
n
则
1
2
3
2023
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
3
3
4
2023
2024
a
a
a
a
.故选C.
1
4046
2023
2 1
2024
2024
1012
例12．数列
及其前n 项和为
满足
，当
时，
，则
na
n
S
1
1
a
2
n
1
1
1
n
n
n
a
a
n
（ ）
1
2
3
2023
1
1
1
1
a
a
a
a
A．
B．
C．
D．
2021
1011
4044
2023
2023
1012
4048
2025
解析：当
时，
，即
2
n
1
1
1
n
n
n
a
a
n
1
1
1
n
n
a
n
a
n
所以
3
1
2
4
1
2
3
2
1
3
4
5
1
,
,
,
,
,
1
2
3
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
a
n
n
a
a
a
a
n
a
n
累乘得
，又
，所以
，所以
1
1
3
4
5
1
1
2
3
2
1
2
n
n n
a
n
n
a
n
n
1
1
a
1
2
n
n n
a
1
2
1
1
2
1
1
na
n n
n
n
则
1
2
3
2023
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
3
3
4
2023
2024
a
a
a
a
.故选C.
1
4046
2023
2 1
2024
2024
1012
五.
型（待定系数法）
d
ca
a
n
n
1
一般形式
为常数，
，可以构造一个等比数列，只要
1
( ,
n
n
a
ca
d c d
0,
1,
0)
c
c
d
在每一项同加上一个常数即可，且常数
，
，令
，
1
d
x
c
1
(
)
n
n
a
x
c a
x
n
n
b
a
x
则
为等比数列，求出
，再还原到
，
.
nb
nb
na
1
)
1
(
1
1
c
d
c
c
d
a
a
n
n
例13．在数列
中，
，
．求
的通项公式.
na
1
2
a
*
1
4
3
2,
N
n
n
a
a
n
n
na
解析依题意，数列
中，
，
，所以
na
1
2
a
*
1
4
3
2,
N
n
n
a
a
n
n
，所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
1
*
N
1
4
1
2,
n
n
a
a
n
n
1
na
1
1
1
a
4
例14.(2014 年新课标全国1 卷)已知数列
满足
，证明
是
na
1
3
,1
1
1
n
n
a
a
a
2
1
n
a
等比数列，并求
的通项公式.
na
解析显性构造
，
，
.
1
3
,1
1
1
n
n
a
a
a
)
2
1
(
3
2
1
1
n
n
a
a
)1
3
(
2
1
n
n
a
例15．已知数列
中，
，
，则数列
的通项公式为（ ）
na
1
1
a
1
2
1
n
n
a
a
na
A．
B．
C．
D．
na
n
1
na
n
2n
na
2
1
n
na
解析：
，
又
，
，所以数列
是首项为
1
2
1
n
n
a
a
1
1
2(
1),
n
n
a
a
1
1
a
1
1
2
a
1
na
2，公比为2 的等比数列，所以
，
故选D.
1
1
2
2n
na
2
1.
n
na
六.
型
n
n
n
b
m
qa
a
1
例16．已知数列
的首项
，且满足
．求数列
的通项公式；
na
1=6
a
1
1
4
2n
n
n
a
a
na
解析∵
，∴
，∴
，又∵
，故
1
1
4
2n
n
n
a
a
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
a
a
1
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
a
a
1
1
2
2
a
1
2
n
n
a
是以2 为首项，2 为公比的等比数列．
，则
．
1
1
2 2
2
2
n
n
n
n
a
4
2
n
n
na
七.
型.
)1
)(
(
1
p
n
f
pa
a
n
n
方法1.数学归纳法.
方法2.
，令
，则
，用累
1
1
1
1
)
(
)
(
n
n
n
n
n
n
n
p
n
f
p
a
p
a
n
f
pa
a
n
n
n
p
a
b
1
1
)
(
n
n
n
p
n
f
b
b
加法即可解决！（公众号凌晨讲数学）
例17.(2020 年新课标全国3 卷)设数列
满足
，
.
na
3
1
a
n
a
a
n
n
4
3
1
（1）计算
，
，猜想
的通项公式并加以证明；
2
a
3a
na
（2）求数列
的前n 项和
.
n
na
2
n
S
解析方法1 归纳法.
（1）
猜想
得
，
2
3
5,
7,
a
a
2
1,
na
n
1
(2
3)
3[
(2
1)]
n
n
a
n
a
n
，……
.因为
，所以
1
(2
1)
3[
(2
1)]
n
n
a
n
a
n
2
1
5
3(
3)
a
a
1
3
a
2
1.
na
n
方法2 构造法.
由
可得
，累加可得
.
n
a
a
n
n
4
3
1
1
1
1
3
4
3
3
n
n
n
n
n
n
a
a
1
2
3
1
2
3
n
a
n
a
n
n
n
n
（2）由（1）得
，所以
2
(2
1)2
n
n
na
n
.①
2
3
3
2
5
2
7
2
(2
1)
2n
n
S
n
.②
2
3
4
1
2
3
2
5
2
7
2
(2
1)
2n
n
S
n
得
，
①
②
2
3
1
3
2
2
2
2
2
2
2
(2
1)
2
n
n
n
S
n
1
(2
1)2
2.
n
n
S
n
类型8.
型
)
0
(
1
q
p
q
pa
ta
a
n
n
n
例8．已知数列
满足
，
，求数列
的通项公式.
na
1
1
a
*
1
,
N
1
n
n
n
a
a
n
a
na
因为
，所以
，即
，又
，所以
，所以
*
1
,
N
1
n
n
n
a
a
n
a
1
1
1
1
n
n
a
a
1
1
1
1
n
n
a
a
+
-
=
1
1
a
1
1
1
a =
数列
为首项为1，公差为1 的等差数列，所以
，故
，所以
1
na
1
1
1
1
n
n
n
a
1
na
n
数列
的通项公式为
.
na
1
na
n
例19.在数列
中，已知
，
，
，则
等于（ ）
na
1
2
a
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
(
2)
n
na
A．
B．
C．
D．
2
1
n
2
n
3
n
3
1
n
解析：
，
，所以
是以
为首项，公差为
的等
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，
1
1
1
1
2
n
n
a
a
1
1
1
2
a
1
na
1
2
1
2
差数列，
，
故选:B
1
1
2
n
n
a
2
na
n
九.已知
与
关系，求
.（公众号凌晨讲数学）
n
S
na
na
解题步骤
第1 步当
代入
求出
；
1
n
n
S
1a
第2 步当
，由
写出
；
2
n
n
S
1
n
S
第3 步
（
）；
1
n
n
n
S
S
a
2
n
第4 步将
代入
中进行验证，如果通过通项求出的
跟实际的
相等，则
为整个
1
n
na
1a
1a
na
数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，
.)
2
(
)1
(
1
n
a
n
a
a
n
n
在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消
留
，第二个角度，消
留
n
S
n
a
n
a
，
n
S
第三个角度，级数形式的前n 项和，下面我们具体分析.
例13．已知数列
的前
项和为
，
，
.证明数列
是等差数
na
n
n
S
1
1
2
a
1
1
2
n
n
n
S
S
a
1
n
S
列.
证明∵
，∴
，易知
，∴
，
1
1
2
n
n
n
S
S
a
1
1
2
n
n
n
n
S
S
S
S
0
n
S
1
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
∴数列
是公差为2 的等差数列.
1
n
S
例14．设数列
的前
项和为
，且满足
，
.求
.
na
n
n
S
1=2
a
*
1
2
3
N
n
n
n
a
S
n
n
S
解析因为
,所以
，
*
1
2
3
N
n
n
n
a
S
n
1
1
2
3
3
,
3n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
则
，
，即
为首项为
，公差为
的等差数列，
1
1
1
1
1
1
,
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
1
1
2
3
3
S
{
}
3
n
n
S
2
3
1
3
则
，故
.
2
1
1
(
1)
(
1)
3
3
3
3
n
n
S
n
n
1
(
1) 3
n
n
n
S
例15．已知数列
满足
．求数列
的通项公
na
1
2
3
1
2
3
2
5
2
5
2
5
2
5
3
n
n
n
a
a
a
a
…
na
式.
解析
，①当
时，
．当
时，
1
2
3
1
2
3
2
5
2
5
2
5
2
5
3
n
n
n
a
a
a
a
…
1
n
1
4
a
2
n
，②由①-②，得
，
1
2
3
1
1
2
3
1
1
2
5
2
5
2
5
2
5
3
n
n
n
a
a
a
a
…
3
5
2
2
n
n
a
n
因为
符合上式，所以
．
1
4
a
3
5
2
n
n
a
例16.（2022 新高考1 卷）记
为数列
的前
项和，已知
，
是公差为
的
n
S
{
}
na
n
1
1
a
{
}
n
n
S
a
1
3
等差数列．求
得通项公式.
{
}
na
解析
，所以
，所以
是首项为，公差为
的等差数列，所以
1
1
1
S
a
1
1
1
S
a
{
}
n
n
S
a
1
1
3
，所以
．当
时，
1
2
1
(
1) 3
3
n
n
S
n
n
a
2
3
n
n
n
S
a
2
n…
1
1
2
1
3
3
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
，
所以
，即
（
）；累积法可得
（
），又
1
(
1)
(
1)
n
n
n
a
n
a
1
1
1
n
n
a
n
a
n
2
n…
(
1)
2
n
n n
a
2
n…
满足该式，所以
得通项公式为
．
1
1
a
{
}
na
(
1)
2
n
n n
a
例17．已知数列
的前
项和为
，则
（ ）
na
n
1
1
1
,
2
,
2
n
n
n
n
S
a
S
a
n
S
A．
B．
C．
D．
1 2n
n
1
1 2n
n
1
2n
n
2n
n
解析：因为
，则
，于是得
，
1
1
2n
n
n
a
S
1
1
2n
n
n
n
S
S
S
1
1
1
2
2
n
n
n
n
S
S
因此数列
是公差为1 的等差数列，首项
，则
，所以
.
2
n
n
S
1
1
1
2
S
1
1
1
2
n
n
S
n
2n
nS
n
故选D
例18.已知数列
中，
，则
等于
na
*
1
2
3
2
1
N
n
n
a
a
a
a
n
2
2
2
2
1
2
3
n
a
a
a
a
（ ）
A．
B．
C．
D．
1 4
1
3
n
1 2
1
3
n
4
1
n
2
2
1
n
【详解】当
时，
，当
时，因为
，
1
n
1
1
2
1
1
a
2
n
1
2
3
2
1
n
n
a
a
a
a
所以
，两式相减得
，
1
1
2
3
1
2
1
n
n
a
a
a
a
1
2
2
n
na
n
经验证
时，
，符合
，
1
n
1
1
a
1
2
2
n
na
n
所以
，所以
，所以数列
是首项为，公比为
的等比数列，
1
2n
na
2
1
4n
na
2
na
1
4
所以
.故选A.
2
2
2
2
1
2
3
1
1 4
4
1
1 4
3
n
n
n
a
a
a
a
九．已知前
项积求
.
n
na
例19．已知数列
满足
．若对任意
，
（
na
2
1
2
3
2n
n
a a a
a
*
nN
3
1
2
1
1
1
log
4
m
n
a
a
a
且
）恒成立，则m 的取值范围为（ ）
0
m
1
m
A．
B．
C．
D．
1,2
1 ,1
2
2,
1 ,1
2,
2
解析：当
时，由
，得
，
2
n
2
1
2
3
2n
n
a a a
a
2
1
1
2
3
1
2
n
n
a a a
a
两式相除得
，
也适合，所以
2
2
2
1
(
1)
2
2
2
n
n
n
n
a
1
n
1
2
1
1
1
n
a
a
a
，因为对任意
，
3
5
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2 n
1
1
1
2
4
1
1
4
n
2
1
2
1
3
4
3
n
*
nN
（
且
）恒成立，所以
，
3
1
2
1
1
1
log
4
m
n
a
a
a
0
m
1
m
3
2
2
log
4
log 2
3
3
m
m
所以
，当
时，由
，得
，则
，
log 2
1
log
m
m m
0
1
m
log 2
log
m
m m
2
m
m
当
时，由
，得
，则
，综上，
故选A
1
m
log 2
log
m
m m
2
m
1
2
m
1
2
m
例20.记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
n
S
na
nb
n
S
2
1
2
n
n
S
b
（1）证明数列
是等差数列;
nb
（2）求
的通项公式．
na
解析由已知
得
,且
，
,取
,由
得
,
2
1
2
n
n
S
b
2
2
1
n
n
n
b
S
b
0
nb
1
2
nb
1
n
1
1
S
b
1
3
2
b
由于
为数列
的前n 项积，所以
,
nb
n
S
1
2
1
2
2
2
2
2
1 2
1
2
1
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
所以
，所以
,由于
，所以
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1 2
1
2
1
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
1
1
1
2
2
1
n
n
n
n
b
b
b
b
1
0
nb
，即
,其中
，所以数列
是以
为首项，以
1
2
1
2
1
n
n
b
b
1
1
2
n
n
b
b
*
n
N
nb
1
3
2
b
为公差等差数列.
1
2
d
（2）由（1）可得，数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，
nb
1
3
2
b
1
2
d
,
,当n=1 时，
,
3
1
1
1
2
2
2
n
n
b
n
2
2
2
1
1
n
n
n
b
n
S
b
n
1
1
3
2
a
S
当n≥2 时,
,显然对于n=1 不成立,
1
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
a
S
S
n
n
n n
∴
.
3 ,
1
2
1
,
2
1
n
n
a
n
n n
十.特征方程法（强基层次）
型.（选学）
n
n
n
ba
aa
a
1
2
求解方程
，根据方程根的情况，可分为
0
2
b
a
（1）若特征方程有两个相等的根，则
n
n
x
b
An
a
0
)
(
（2）若特征方程有两个不等的根，则
n
n
n
Bx
Ax
a
2
1
例21．已知数列
满足
，
，
.求数列
的通项公式；
na
1
2
a
2
8
a
2
1
4
3
n
n
n
a
a
a
na
解析
，变形为
，
，∴数列
是等比
2
1
4
3
n
n
n
a
a
a
2
1
1
3
n
n
n
n
a
a
a
a
2
1
6
a
a
1
n
n
a
a
数列，首项为6，公比为3.∴
，变形为
，
1
1
6 3
2 3
n
n
n
n
a
a
1
1
3
3
n
n
n
n
a
a
，∴
，∴
1
3
1
a
3
1
n
na
3
1
n
na
例19.已知数列{
}
na
满足
*
1
2
2
1
1,
2,4
4
(
)
n
n
n
a
a
a
a
a n
N
，求数列{
}
na
的通项
na
．
解析其特征方程为
2
4
4
1
x
x
，解得
1
2
1
2
x
x
，令
1
2
1
2
n
na
c
nc
，
由
1
1
2
2
1
2
1
(
)
1
2
1
(
2
)
2
4
a
c
c
a
c
c
，得
1
2
4
6
c
c
，
1
3
2
2
n
n
n
a
．
例22.已知数列{
}
na
满足
1
1
1
2
2,
(
2)
2
1
n
n
n
a
a
a
n
a
，求数列{
}
na
的通项
na ．
解析其特征方程为
2
2
1
x
x
x
，化简得
2
2
2
0
x
，解得
1
2
1,
1
x
x
，令
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
c
a
a
由
1
2,
a
得
2
4
5
a
，可得
1
3
c
，数列
1
1
n
n
a
a
是以
1
1
1
1
1
3
a
a
为首
项，以
1
3
为公比的等比数列，
1
1
1
1
1
3
3
n
n
n
a
a
，
