82.焦点三角形的内切圆与应用
一．基本原理
1.椭圆中，假设焦点
的内切圆半径为
，则
.
2
1F
PF
r
r
c
a
S
)
(
2.（★高频考点）双曲线中，焦点三角形的内心
的轨迹方程为
.
I
)
0
,
(
y
b
y
b
a
x
证明：设内切圆与
的切点分别为
，则由切线长定理可得
1
2
1
2
,
,
PF PF F F
,
,
M N T
,因为
，
1
1
2
2
,
,
PM
PN
F M
FT
F N
F T
1
2
1
2
1
2
2
PF
PF
F M
F M
F N
F T
a
，所以
，所以点
的坐标为
，所以点
的横坐标为
1
2
1
2
2
F F
FT
F T
c
2
F T
c
a
T
( ,0)
a
I
定值a.
3.设焦点在
轴的椭圆中，
的内切圆圆心为
，且与
相切于点
，
x
1
2
PF F
I
1
2
PF F
, ,
A B M
设点
的坐标为
，点
的坐标为
.则有如下性质:
P
0
0
,
x
y
I
,
I
I
x
y
（1）
.
PA
PB
a
c
（2）
，其中
为椭圆的离心率.
0
0,
1
I
I
ey
x
ex
y
e
c
e
a
（3）设直线
的斜率分别为
,则
.
1
2
,
IF IF
1
2
,
k k
1
2
1
1
e
k k
e
（证明见下面例题1）
4.注意到内心是三角形角平分线的交点，我们也可以利用向量关系来刻画内心：
（2）三角形三条角平分线的交点.内心为
O
0
OC
AB
OB
CA
OA
BC
（2）内心性质.
是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
O
，
则P 点的轨迹一定通过
的内心
)
(
AC
AC
AB
AB
OA
OP
,0
ABC
证明：因为
是向量
的单位向量设
与
方向上的单位向量分别为
，
AB
AB
AB
AB
AC
2
1
e
e 和
又
，则原式可化为
，由菱形的基本性质知AP 平分
AP
OA
OP
)
(
2
1
e
e
AP
，那么在
中，AP 平分
，则知一定过内心.
BAC
ABC
BAC
二．典例分析
例1．已知
，
分别是椭圆
：
的左、右焦点，
为第一象限内椭圆
上一
1F
2
F
C
2
2
1
5
4
x
y
P
C
点，
的内心为点
，则直线
与
的斜率之积为（ ）
1
2
PF F
△
I
1
IF
2
IF
A．
B．
C．
D．
5
5
5
8
5
3
4
5
3
2
解析：设
，
，则
，易知
，
0
0
0
0
,
0,
0
P x
y
x
y
1
1
1
1
,
0,
0
I x y
x
y
2
2
0
0
1
5
4
x
y
1
1,0
F
故
，
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
4
1
2
1
4
2
5
5
5
5
5
5
5
x
x
x
x
PF
x
y
x
x
x
则由椭圆的定义可得
．设A，
，
分别为
的内切圆与边
，
0
2
5
5
x
PF
B
M
1
2
PF F
△
1
PF
，
的切点，则
，根据内切圆的性质知
，
，
2
PF
1
2
F F
1,0
M x
PA
PB
1
1
AF
MF
，
2
2
BF
MF
因此
，得
，解
1
2
1
2
1
2
PF
PF
AF
BF
MF
MF
0
0
1
1
5
5
1
1
5
5
x
x
x
x
得
．在
中，
，解得
，因此
0
1
5
x
x
1
2
PF F
△
0
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
y F F
PF
PF
F F
y
0
1
5
1
y
y
，故
0
0
,
5
5
1
x
y
I
.故选：D．
1
2
0
0
2
2
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
5
20
4
5
3
5
1
5
1
2
5
1
5
5
1
5
1
1
5
5
IF
IF
y
y
y
x
k
k
x
x
x
x
例2.（多选题）已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，过
且倾斜角为
的
1F
2
F
2
2
1
3
y
x
2
F
直线与双曲线的右支交于
、
两点，记
的内切圆
的半径为
，
的内切
A
B
1
2
AF F
△
1
O
1r
1
2
BF F
△
圆
的半径为
，圆
的面积为
，圆
的面积为
，则（ ）
2
O
2r
1
O
1S
2
O
2
S
A．
的取值范围是
B．直线
与
轴垂直
π 5π
,
6
6
1
2
O O
x
C．若
，则
D．
的取值范围是
1
2
2
r
r
6
AB
1
2
S
S
10π
2π, 3
解析：对于A 选项，在双曲线
中，
，
，
，
2
2
1
3
y
x
1
a
3
b
2
2
2
c
a
b
所以，
、
，若直线
轴，此时
与双曲线
的右支
1
2,0
F
2 2,0
F
AB
x
:
2
AB x
2
2
1
3
y
x
交于两点，此时
；当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，设点
π
2
AB
AB
2
y
k x
、
，联立
可得
，
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
2
2
3
3
2
x
y
y
k x
2
2
2
2
3
4
4
3
0
k
x
k x
k
由题意可得
，解得
或
，
2
4
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
3
0
Δ
16
4 3
3
4
0
4
0
3
4
3
0
3
k
k
k
k
k
x
x
k
k
x x
k
3
k
3
k
因为
，此时
，综上所述，
的取值范围是
，A 错；
0
π
π π
π 2π
,
,
3 2
2
3
π 2π
,
3
3
对于B 选项，设圆
分别切
、
、
于点
、
、
，设点
，由切线长定
1
O
1
AF
2
AF
1
2
F F
M
N
T
,0
T t
理可得
，
，
，所以，
1
1
F M
FT
2
2
F N
F T
AM
AN
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2a
AF
AF
AM
F M
AN
F N
F M
F N
FT
F T
，可得
，即点
，故点
为双曲线的右顶点，同理可知，圆
2
2
2
t
t
t
1
t
1,0
T
T
切
与点
，且
轴，
轴，故
轴，B 对；
2
O
1
2
F F
T
1
OT
x
2
O T
x
1
2
O O
x
对于C 选项，连接
、
，则
1
2
O F
2
2
O F
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
π
2
2
O F O
O F T
O F T
AF F
BF F
，即
，因为
，所以，
1
2
2
2
O F
O F
1
2
2
2
1
2
1
2
π
2
TO F
TO F
TO F
O F T
，
2
2
1
2
TO F
O F T
所以，
，且
，所以，
，则
，又因为
2
2
1
2
tan
tan
TO F
O F T
2
1
TF
c
a
1
2
1
1
r
r
1 2
1
rr
，所以，
，此时，
、
关于
轴对称，所以，
为等腰直角三
1
2
2
r
r
1
2
1
r
r
1
O
2
O
x
1
2
OTF
△
角形，则
，故
，即
轴，此时，直线
的方程为
1
2
π
4
O F T
2
1
1
2
π
2
2
AF F
O F T
AB
x
AB
，联立
，可得
，故
，C 对；
2
x
2
2
2
1
3
x
y
x
2
3
x
y
6
AB
对于D 选项，
，所以，
，故
，
π 2π
,
3
3
2
π 2π
,
3
3
AF T
1
2
π π
,
6 3
O F T
则
，则
，因为函数
在
1
2
1
2
1
2
3
tan
tan
, 3
3
r
F T
O F T
O F T
2
1
1 ,3
3
r
1
y
x
x
1 ,1
3
上为减函数，在
上为增函数，由C 选项可知，
，则
，所以，
1,3
1 2
1
rr
2
1
1
r
r
，D 对.故选：BCD.
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
10π
π
π
2π, 3
S
S
r
r
r
r
例3．（多选题）已知双曲线
的左右焦点分别为
，左顶点为
，点
是
2
2
:
1
3
y
C x
1
2
,
F F
1A
P
的右支上一点，则（ ）
C
A．
的最小值为8
2
2
1
2
PF
PF
B．若直线
与
交于另一点
，则
的最小值为6
2
PF
C
Q
PQ
C．
为定值
2
1
2
|
|
PF
PF
OP
D．若
为
的内心，则
为定值
I
1
2
PA F
△
1
2
IF
IF
解析：对A，
得
，所以
，
2
2
1
3
y
x
1,
3,
2
a
b
c
1
2
1
2
2
2,
2
4
PF
PF
a
F F
c
所以
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
8
PF
PF
PF
PF
PF
PF
PF
PF
F F
当
为双曲线右支与
轴交点时，取等号，即
的最小值为8，故A 正确；
P
x
2
2
1
2
PF
PF
对B，若直线经过
，当直线的斜率为0 时，直线的方程为
，
l
2
F
l
l
0
y
与双曲线
的两个交点为
，此时
，故B 错误；
C
1,0 ,
1,0
Q
P
2
PQ
对C，因为
，
1
2
2
1
1
2
2
,
PO
PF
PF F F
PF
PF
所以
，
，
2
2
2
1
2
1
2
4
2
PO
PF
PF
PF PF
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
F F
PF
PF
PF PF
两式相加得，
，
2
2
2
1
2
4
16
2
PO
PF
PF
2
1
2
1
2
1
2
2
4
8
4
PF
PF
PF PF
PF PF
所以
，故C 正确；
2
1
2
|
|
2
PF PF
PO
对D，设
为
的内心，
2
0
0
( , ), ( 1,0),
(2,0),
,
,
I x y A
F
P x
y
I
1
2
PA F
△
，
2
1
1
2
1
2
0
PF
IA
PA
IF
A F
IP
，
2
2
0
0
0
0
0
2
1 ( 1
,
)
1
(2
,
)
3
,
0
x
x
y
x
y
x
y
x
x y
y
，
2
2
0
0
0
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
0
1
2
1
2
2
1
3
2
2
1
x
x
y
x
x
x
y
y
y
x
x
y
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
2
1
4
1
4
1
1
3
3
2
2
1
x
x
x
y
x
x
y
y
y
x
x
x
y
，
在双曲线
上，
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
2
0
0
0
1
4
1
4
1
1
1
2
2
1
x
y
x
x
x
y
x
x
y
I
2
2
1
3
y
x
,为定值，D 正确，故选：ACD．
1
2
2
IF
IF
例4．（★考频压轴考题）已知
分别为双曲线
的左右焦点，过
1
2
,
F F
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
2
F
且斜率为
的直线与双曲线的右支交于
两点，记
的内切圆半径为
(
0)
k k
,
A B
1
2
AF F
△
的内切圆半径为
．若
，则
_______.
1
1
2
,
r
BF F
A
2r
1
2
3
2
r
r
k
解析：如图，记
的内切圆圆心为
，内切圆在边
上的切点分别为
1
2
AF F
△
C
1
2
1
2
AF
AF
F F
、
、
，易知
两点横坐标相等，
，
M
N
E
、、
C
E
、
1
1
2
2
,
,
AM
AN
F M
F E
F N
F E
由
，即
，得
，即
1
2
2
AF
AF
a
1
2
2
AM
F M
AN
F N
a
1
2
2
F M
F N
a
，记
点的横坐标为
，则
，则
，得
．
1
2
2
F E
F E
a
C
0x
0,0
E x
0
0
2
x
c
c
x
a
0x
a
记
的内切圆圆心为
，同理得内心
的横坐标也为
，则
轴，设直线
的
1
2
BF F
△
D
D
a
CD
x
AB
倾斜角为
，则
，在
中，
2
2
π
,
2
2
2
OF D
CF O
2
CEF
△
，同理，在
中，
，所以
1
2
2
π
tan
tan 2
2
r
O
F E
CF
2
DEF
△
2
2
2
tan
tan 2
O
F
D
E
F
r
，即
，所以
．故答案为：
.
1
2
π
tan
3
2
2
tan 2
r
r
tan
6
2
3
2
2tan 2
tan
2 6
1
tan 2
k
2 6
例5．（上题迁移到椭圆中）已知椭圆
：
的左、右焦点分别是
，
C
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
1F
，斜率为
的直线经过左焦点
且交C 于A，B 两点（点A 在第一象限），设
的
2
F
1
2
l
1F
1
2
AF F
△
内切圆半径为
，
的内切圆半径为
，若
，则椭圆的离心率
__________.
1r
1
2
BF F
△
2r
1
2
2
r
r
e
解析：如图所示，由椭圆定义可得
，
，设
的面积为
1
2
2
AF
AF
a
1
2
2
BF
BF
a
1
2
AF F
△
，
的面积为
，因为
，所以
1S
1
2
BF F
△
2
S
1
2
2
r
r
，即
，设直线
，则
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
A
A
B
B
a
c r
c
y
S
r
y
S
r
y
a
c r
c
y
2
A
B
y
y
:
2
l x
y
c
联立椭圆方程与直线，可得
，由韦达定
l
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
(
4
)
4
0
x
y
c
a
b
y
b cy
b
b x
a y
a b
理得：
，
，又
，即
2
2
2
4
4
A
B
b c
y
y
a
b
4
2
2
4
A
B
b
y
y
a
b
2
2
A
B
A
B
A
B
B
A
y
y
y
y
y
y
y
y
2
2
2
2
4
2
2
4
4
1
1
2
2
2
2
4
b c
a
b
b
a
b
化简可得
，即
，即
时，有
2
2
2
2
2
2
2
16
1
32
4
4
2
c
c
a
a
c
a
b
2
2
36
5
c
a
2
2
36
5
c
a
.故答案为：
2
5
5
36
6
e
e
5
6
三．习题演练
1．设
，
为椭圆
：
的两个焦点，
为
上一点且在第一象限，
1F
2
F
C
2
2
1
25
16
x
y
0
0
,
P x
y
C
为
的内心，且
内切圆半径为1，则（ ）
1
1
,
I x y
1
2
F PF
△
1
2
F PF
△
A．
B．
C．
D．
5
IP
0
5 5
3
x
1
2
x
1
2
1
4
IF
IF
k
k
【详解】如下图所示，设切点为
，
，
，
A
B
C
对于A，由椭圆的方程
知：
，由椭圆的定义可得：
2
2
1
25
16
x
y
5,
4,
3
a
b
c
，易知
，所以
，所以
1
2
2
10
PF
PF
a
1
2
1
2
6
AF
BF
F F
2
PA
PB
，故A 正确；
1
4
5
IP
对于BCD，
，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 2
2
2
2
F PF
F PI
IPF
F IF
S
S
S
S
PF
PF
F F
r
a
c
r
A
A
A
A
又因为
，解得：
，
1
2
0
1
1
6
10
6
1
2
2
F PF
S
y
A
0
8
3
y
又因为
为
上一点且在第一象限，所以
，解得：
，故B 正
0
0
,
P x
y
C
2
2
0
0
1
25
16
x
y
0
5 5
3
x
确；
从而
，所以
，
1
0
5
5
c
PF
a
x
a
1
1
3
5
AF
PF
PA
所以
，而
，所以
，故C 错误；
1
1
3
5
AF
CF
1
3
OF
5,1
I
从而
，故D 正确.故选:ABD．
1
2
1
1
1
4
5
3
5
3
IF
IF
k
k
2．已知双曲线
，
的左右焦点记为
，
，直线过
且与该双曲线的
2
2
2
2
1
x
y
a
b
,
0
a b
1F
2
F
l
2
F
一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得
的内切圆半径恰为
，则此双
l
1
2
PF F
△
3
b
曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
5
3
3
11
2
【详解】令双曲线
的半焦距为c，则
，由对称性不妨令与平行
2
2
2
2
1
x
y
a
b
1
2
(
,0),
( ,0)
F
c
F c
l
的渐近线为
，直线方程为：
，即
，令
的内切圆
b
y
x
a
l
(
)
b
y
x
c
a
0
bx
ay
bc
1
2
PF F
△
与
三边相切的切点分别为A，B，C，令点
，如图，
O
1
2
PF F
△
0
(
,0)
A x
由切线长定理及双曲线定义得：
1
2
1
2
|
|
|
| |
|
|
| (|
|
|
|)
PF
PF
PC
CF
PB
BF
，
1
2
0
0
0
2
2
AF
AF
x
c
c
x
x
a
即
，而
轴，圆
半径为
，则有
，点
到直线的距离：
0x
a
AO
x
O
3
b
( ,
)
3
b
O a
O
l
，整理得
，即
，而
，解得
，
2
2
|
(
)
|
3
3
b
ab
a
bc
b
a
b
| 4
3 |
a
c
c
4
3e
e
1
e
2
e
所以双曲线的离心率为2.故选：A
3．已知椭圆
的左、右焦点分别是
，斜率为的直线经过左焦
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
1
2
,
F F
1
点
且交
于
两点（点
在第一象限），设△
的内切圆半径为
的内切圆
1F
C
,
A B
A
1
2
AF F
1
1
2
,
r
BF F
A
半径为
，若
，则椭圆的离心率的值为（ ）
2r
1
2
2
r
r
A．
B．
C．
D．
1
3
1
2
3
3
2
3
【详解】如图所示，由椭圆定义可得
，
，设△
的面积
1
2
2
AF
AF
a
1
2
2
BF
BF
a
1
2
AF F
为
，
的面积为
，因为
，所以
1S
1
2
BF F
△
2
S
1
2
2
r
r
，即
①，
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
A
A
B
B
a
c r
c y
S
r
y
S
r
y
a
c r
c
y
2
A
B
y
y
设直线
，则联立椭圆方程与直线，可得
:l x
y
c
2
2
2
2
2
2
x
y
c
b x
a y
a b
，所以
②，
③，联立
2
2
2
2
4
(
)
2
0
a
b
y
b cy
b
2
2
2
2
A
B
b c
y
y
a
b
4
2
2
A
B
b
y
y
a
b
①②③得，
，整理得
，所以
．
2
2
4
2
2
2
2
2
( 2
)
2
(
)
b c
b
a
b
a
b
2
2
2
9
a
c
2
3
e
故选：D
4．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，过右焦点
的直线交该双曲线的
2
2
2
2
1
x
y
a
b
1F
2
F
2
F
l
右支于
，
两点(
点位于第一象限)，
的内切圆半径为
，
的内切圆
M
N
M
1
2
MF F
△
1R
1
2
NF F
△
半径为
，且满足
，则直线的斜率为_________
2
R
1
2
4
R
R
l
【详解】设圆
与
的三边的切点分别为
，
，
，如图
1
O
1
2
MF F
△
A
B
C
令
，
，
，根据双曲线的定义可得
MA
MC
m
1
1
AF
BF
n
2
2
BF
CF
t
可得
，由此可知，在
中，
轴于
，同理
2 ,
2 ,
m
n
m
t
a
n
t
c
n
a
c
1
2
F F M
△
1
O B
x
B
轴于
，∴
轴.过圆心
作
的垂线，垂足为
.易知直线的倾斜角
与
2
O B
x
B
1
2
O O
x
2
O
1
CO
D
l
大小相等.不妨设
，
，则
，
，所以根据勾股定理，
2
1
O O D
1
4
R
2
1
R
2
1
5
O O
1
3
O D
，所以
.故答案为：
2
4
O D
4
tan
3
4
3
5．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，过右焦点
且倾斜角为
直线l 与
2
2
1
4
2
x
y
1F
2
F
2
F
4
该双曲线交于M，N 两点（点M 位于第一象限），
的内切圆半径为
，
的
1
2
MF F
△
1R
1
2
NF F
△
内切圆半径为
，则
为_________.
2
R
1
2
R
R
【详解】设
的内切圆为圆
，与三边的切点分别为
，如图所示，
1
2
MF F
△
1
O
, ,
A B C
设
，
，
，设
的内切圆为圆
，
MA
MC
m
1
1
AF
BF
n
2
2
BF
CF
t
1
2
NF F
△
2
O
由双曲线的定义可得
，得
，由此可知，在
中，
(
)
(
)
2
2
m
n
m
t
a
n
t
c
n
a
c
1
2
MF F
△
1
O B
轴于点
，同理可得
轴于点
，所以
轴，过圆心
作
的垂线，垂足
x
B
2
O B
x
B
1
2
O O
x
2
O
1
CO
为
，因为
，所以
，
D
2
1
2
2
2
180 ,
180
O O D
BF C
BF C
CF x
2
2
1
O O D
CF x
4
∴
，即
，∴
，即
1
2
1
2
O O
O D
1
2
1
2
2
R
R
R
R
1
2
2
1
2
1
R
R
1
2
2 2
3
R
R
故答案为：
.
3
2 2
6．已知椭圆
的左右焦点
，
分别是双曲线
的左
2
2
1
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
1F
2
F
2
2
2 :
1
9
y
C
x
右顶点，且椭圆
的上顶点到双曲线
的渐近线的距离为
．
1
C
2
C
10
10
(1)求椭圆
的方程；
1
C
(2)设P 是第一象限内
上的一点，
、
的延长线分别交
于点
、
，设
、
分
1
C
1
PF
2
PF
1
C
1
Q
2
Q
1r
2r
别为
、
的内切圆半径，求
的最大值．
1
2
PFQ
△
2
1
PF Q
△
1
2
r
r
【详解】（1）椭圆的左右焦点分别为
，
，而双曲线
的顶点分
1
,0
F
c
2
,0
F
c
2
2
2 :
1
9
y
C
x
别为
，
，所以
．又椭圆上顶点为
，而双曲线
的一条渐
1,0
1,0
1
c
0,b
2
2
2 :
1
9
y
C
x
近线为
，则有
，解得：
．故
，所以椭圆
的方程为
3
y
x
10
10
10
b
1
b
2
2
2
1
1
2
a
1
C
．
2
2
1
2
x
y
（2）设
，
，
，直线
的方程为：
，
1
1
1
,
Q
x y
2
2
2
,
Q
x
y
0
0
,
P x
y
1F P
0
0
1
1
y
y
x
x
将其代入椭圆
的方程可得
，整理可得
1
C
2
2
2
0
2
0
1
1
2
1
y
x
x
x
，则
，得
，
2
2
2
0
0
0
0
2
3
4
3
4
0
x
x
y x
x
x
2
0
0
0
1
0
3
4
2
3
x
x
x x
x
0
1
0
3
4
2
3
x
x
x
，故
．当
时，直线
的方
0
0
0
1
0
0
0
3
4
1
1
2
3
2
3
y
x
y
y
x
x
x
0
0
1
0
0
3
4 ,
2
3
2
3
x
y
Q
x
x
0
1
x
2
F P
程为：
，将其代入椭圆方程并整理可得
0
0
1
1
y
y
x
x
，同理，可得
，因为
2
2
2
0
0
0
0
2
3
4
3
4
0
x
x
y x
x
x
0
0
2
0
0
3
4 ,
2
3 2
3
x
y
Q
x
x
，
，所以
1
2
1
1
4 2
2
PF Q
S
r
△
2
1
2
1
4 2
2
PF Q
S
r
△
1
2
2
1
1 2
2
1 2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
PF Q
PF Q
F F Q
F F Q
y
y
S
S
S
S
r
r
△
△
△
△
，
0
0
0
0
1
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 2
2
2 2
2 2
1
18
4
2
3
2
3
18
3
2 2
18
2
y
y
x y
y
y
x
y
x
x
x
y
x
y
y
x
y
x
当且仅当
，
时，等号成立，若
轴时，易知
，
0
3 5
5
x
0
10
10
y
2
PF
x
2
1, 2
P
1
2
10
y
，
，此时
，综上，
的最大值为
.
2
2
2
y
1
2
1
2
2
4 2
1
4
10
5
2 2
y
y
r
r
1
2
r
r
1
3
7．如图，椭圆
的左右焦点分别为
，设
是第一象限内椭圆C 上
2
2
:
1
2
x
C
y
1
2
F
F
、
0
0
,
P x
y
的一点，
的延长线分别交椭圆C 于点
．
1
2
PF
PF
、
1
1
1
2
2
2
,
,
、
Q
x y
Q
x
y
(1)若
轴，求
的值；
2
PF
x
2
PF
(2)若
，求
的面积及点P 的坐标；
1
2
60
F PF
1
2
F PF
△
(3)求
的最大值．
1
2
y
y
【详解】（1）由椭圆
，得
，则
，所以
2
2
:
1
2
x
C
y
2
2
2,
1
a
b
2,
1,
1
a
b
c
，
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
当
时，
，得
，所以
1
x
2
1
1
2
y
2
2
y
2
2
2
PF
（2）设
，则
，所以
，
1
2
,
PF
m PF
n
1
2
2
2 2
PF
PF
m
n
a
2
2
2
8
m
mn
n
在
中，
，由余弦定理得
,
1
2
F PF
△
1
2
60
F PF
2
2
2
1
2
(2 )
2
cos
c
m
n
mn
F PF
即
，所以解得
，所以
的面积为
2
2
4
m
n
mn
4
3
mn
1
2
F PF
△
，所以
，得
，所以
，解
1
2
1
1
4
3
3
sin
2
2
3
2
3
mn
F PF
1
3
2
2
3
P
c y
3
3
P
y
2
1
1
2
3
P
x
得
或
（舍去），所以点P 的坐标为
2 3
3
P
x
2 3
3
P
x
2 3
3
,
3
3
（3）设点
的坐标为
（
），则直线
的方程为
，
P
0
0
(
,
)
x
y
0
0
0,
0
x
y
1
PF
0
0
(
1)
1
y
y
x
x
将其代入椭圆方程中可得
，整理得
2
2
2
0
2
0
1
1
2
1
y
x
x
x
2
2
2
0
0
0
0
(2
3)
4
3
4
0
x
x
y x
x
x
，
所以
，得
，所以
2
0
0
0
1
0
3
4
2
3
x
x
x x
x
0
1
0
3
4
2
3
x
x
x
，同理可求得
，
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
3
4
(
1)
(
1)
1
1
2
3
2
3
y
y
x
y
y
x
x
x
x
x
0
2
0
2
3
y
y
x
所以
0
0
1
2
0
0
2
3
2
3
y
y
y
y
x
x
0
0
0
0
2
0
(2
3)
(2
3)
4
9
y
x
y
x
x
0
0
2
0
4
4
9
x y
x
，当且仅当
0
0
2
2
2
0
0
0
4
4
9
2
x y
x
x
y
0
0
2
2
0
0
8
18
x y
x
y
0
0
0
0
0
0
0
0
8
8
2 2
18
3
18
2
x
y
x
y
y
x
y
x
0
0
0
0
18
x
y
y
x
，即
时取等号，所以
的最大值为
0
0
3 5
10
,
5
10
x
y
1
2
y
y
