第 06 讲 抛物线的最值范围
目 录
高考分析.........................................................................................................................................................2
学习目标.........................................................................................................................................................2
知识要点.........................................................................................................................................................2
解题策略.........................................................................................................................................................3
题型归纳.........................................................................................................................................................4
题型01：长度距离问题..................................................................................................................................4
题型02：距离和差.......................................................................................................................................15
题型03：抛物线中多元最值问题..................................................................................................................26
题型04：以抛物线为情景的点线最值问题....................................................................................................36
题型05：抛物线与圆交汇的最值问题...........................................................................................................50
题型06：抛物线中焦点弦最值问题...............................................................................................................54
题型07：抛物线中面积最值问题..................................................................................................................57
题型08：以抛物线为情景的斜率最值问题....................................................................................................90
题型09：以抛物线为情景的参数范围问题....................................................................................................94
题型10：抛物线与圆交汇的最值问题.........................................................................................................103
题型11：抛物线最值与向量交汇................................................................................................................106
题型13：其它最值.....................................................................................................................................111
巩固提升....................................................................................................................................................114
抛物线最值、范围是新高考圆锥曲线必考重难点，多出现在选择填空压轴、解答题第2问，分值4–12分。
常考：距离最值、面积最值、弦长/斜率/参数范围；命题以抛物线定义转化+代数函数求最值为主，结合韦达定理、二次
函数、基本不等式、判别式考查，侧重数形结合与运算能力。
易错点：忽略定义域、判别式、不会用定义简化运算。
1. 知识目标：掌握抛物线定义、焦半径、几何性质；熟练几何法、代数法、不等式法、导数法四类求最值方法。
2. 能力目标：能快速识别题型、选择最优解法；规范运算，处理含参范围与边界检验。3. 素养目标：提升数形结合、转化化归、逻辑推理、运算求解素养。
知识点一：抛物线取值范围问题
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的
任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点(x ,y )，常利用直线的点斜式方程y−y =k(x−x )或截距式y=kx+b来证明.
0 0 0 0
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包
含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋
g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直
线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直
线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
知识点二：与抛物线有关的最值问题
最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和
大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解
决.
求解直线与抛物线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；
②利用Δ>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③表示出所求三角形的面积，代入韦达定理的结论；
④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最
值（范围）
解题总策略：先几何，后代数；先转化，再求最值；必验边界
1. 几何优先策略（小题、距离类首选）
利用抛物线定义（到焦点距离=到准线距离） 进行距离转化，
①动点到定点+到焦点距离 → 转化为到准线距离
②最短距离：三点共线、垂直准线、两点之间线段最短
③适用：抛物线上点到定点、焦点、准线的距离最值，计算最快。2. 代数函数化策略（大题、面积/参数/范围通用）
① 设点/设直线，联立抛物线与直线方程
② 用韦达定理表示目标量（弦长、面积、斜率、坐标）
③ 整理为单变量函数（二次函数、对勾函数、分式函数）
④ 结合定义域、对称轴、判别式求值域/范围
3. 不等式最值策略
出现乘积、和式结构时，用基本不等式求面积、长度最值；
注意：一正二定三相等，检验等号能否取到。
4. 边界检验策略（得分关键）
求范围必须检验3个边界：
①直线与抛物线相交：
②斜率存在性：k≠0、分母不为0
③变量范围：抛物线上点的坐标范围、角度范围
一句话口诀（方便背诵）
距离先看定义转，面积联立函数算；
最值可用不等式，范围必查判别式。
题型01：长度距离问题
【典型例题1】在平面直角坐标系 中，已知定点 ，点 在抛物线 上运动，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不妨设点 ，其中 ，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得 的最小
值.
【详解】不妨设点 ，其中 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .故选：A.
【典型例题21】设抛物线 的准线为 ，定点 ，过准线 上任意一点 作抛物线的切线 ，
为切点，过原点O作 ，垂足为H．则线段MH长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为抛物线 的准线为 ，焦点为 ，
所以过点 作抛物线的切线 ，设切点 ，
所以 ，则 ，所以直线 的方程分别为 ； ，联
立可得 ，所以 ，即 ，
又因为点 在准线 上，则 ， ，
设直线 的方程为： 代入抛物线的方程可得： ，
所以 ，则 ，所以直线 过定点 ，又因为焦点 ， ，所以 点在以 为直径的圆
上，又因为 的中点为 ，所以 ，
所以 ，故选：C.
【典型例题3】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点M(m,2)到焦点的距离为3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则|AB|的最大值为多少？
【答案】(1)x2=4 y
(2)6
【分析】（1）方法1：由题分析设抛物线的标准式，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化成此点到准线的距离列式可得结果.
方法2：设出抛物线焦点在y轴上的一般式方程，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化成此点到准线的
距离列式可得结果.
（2）设出直线方程y=kx+n，联立直线方程与抛物线的方程，再联系已知可得 k与n的关系式，再由弦长公式得到弦
长关于k的函数，转化为求关于k的函数在固定区间上的最大值（方法1：应用基本不等式求最大值，方法2：换元法转
化为二次函数在固定区间上的最大值）.
【详解】（1）方法1：∵抛物线的焦点在y轴上且过点M(m,2)，点M的纵坐标为正数，
∴设抛物线的方程为x2=2py，(p>0)，
p p
∴焦点F(0, )，准线方程为y=− ，
2 2
p p
由抛物线的定义知，|MF|=2−(− )=2+ =3，解得：p=2
2 2
∴抛物线C的方程为x2=4 y.
方法2：∵抛物线的焦点在y轴上，
∴设抛物线的方程为x2=ay，(a≠0)，
a a
∴焦点F(0, )，准线方程为y=− ，
4 4
∴由抛物线的定义知，¿
∴抛物线C的方程为x2=4 y.
（2）设直线l方程为：y=kx+n，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
¿
则Δ=16k2+16n>0，x +x =4k，x x =−4n，
1 2 1 2
∴y + y =k(x +x )+2n=4k2+2n， ①
1 2 1 2
又∵AB中点的纵坐标为2，
∴y + y =4， ②
1 2
∴由①②得：n=2−2k2，
∴Δ=16k2+16n=16k2+16(2−2k2 )>0，解得：−❑√2<k<❑√2，
x x =−4n=−4(2−2k2 )=8k2−8，
1 2
∴|AB|=❑√1+k2|x −x |=❑√1+k2 ⋅❑√(x +x ) 2−4x x =❑√1+k2 ⋅❑√16k2+32−32k2
1 2 1 2 1 2
=❑√1+k2 ⋅❑√32−16k2=4❑√(1+k2 )(2−k2
)
方法1：∵−❑√2<k<❑√2，
1+k2+2−k2 2 9 ❑√2
∴(1+k2 )(2−k2 )≤( ) = ，当且仅当1+k2=2−k2即k=± 时去等号，
2 4 2
√9 ❑√2
∴|AB|≤4×❑ =6，当且仅当k=± 时去等号，
4 2
∴|AB|的最大值为6.
方法2：令t=k2，∵−❑√2<k<❑√2，∴0≤t<2，
则|AB|=4❑√(t+1)(2−t)=4❑√−t2+t+2，0≤t<2，
1
设h(t)=−t2+t+2，0≤t<2，则对称轴为t= ，
2
1 1
∴h(t)在[0, )上单增，在( ,2)上单减，
2 21 9 ❑√2
∴h(t) =h( )= ，此时k=± ，
max 2 4 2
√9 ❑√2
∴|AB|≤4×❑ =6，当且仅当k=± 时去等号，
4 2
∴|AB|的最大值为6.
【变式训练1-1】（多选）已知 为坐标原点， 为抛物线 上一点，直线 与 交于 两点，
过 作 的切线交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若点 为 ，且直线 与 倾斜角互补，则 或
C．点 在定直线 上
D．设 点为 ，则 的最小值为3
【变式训练1-2】在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点P满足：过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且
，则 的最小值为 ．
【变式训练1-3】已知抛物线 E： y2 2pxp0 ，过点 G1,0 作E的切线，切点分别为 P， Q ，且 PQ 2 .
(1)求E的方程；
A B E C AB C x O OC E D DA
(2)设 ， 为 上两点， 为线段 的中点（ 不在 轴上）， 为坐标原点，直线 交 于点 ，直线 与直线
OB M AO DB N
交于点 ，直线 与直线 交于点 .
OAOB
（ⅰ）设AB2，求 的最小值；
AB//MN
（ⅱ）求证： .
【变式训练1-4】已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作抛物线 的两条互相垂直的弦 ， ，设弦 ， 的中点分别为P，Q，求 的最小值．
【变式训练1-5】已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为2．(1)求p与m的值；
(2)过点 作直线 交y轴于点A，交C于E，F两点， 交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线
上，且 ，求 的最大值．
x2 y2 ❑√2
【变式训练1-6】已知椭圆C : + =1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为 ，抛物线C :y2=2px(p>0)的焦
1 a2 b2 2 2
点为椭圆C 的右焦点.
1
(1)求椭圆C 及抛物线C 的方程；
1 2
(2)如图，过M(−m,0)(m≥1)作直线l交抛物线C 于P，Q两点（P在Q的左侧），点Q关于x轴的对称点为Q ，求
2 1
证直线PQ 过定点N；并求当l的倾斜角为30°时，点M到直线PQ 距离d的取值范围.
1 1
【变式训练1-7】已知点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，准线l 与x轴的交点为K，点P是抛物线C上任一动
0
点.当点P的横坐标为8时，△PFK的面积为4❑√2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设A,B是抛物线C的准线上的两个不同点，点P的横坐标大于1，坐标原点O到△PAB的边PA,PB的距离都等于
1，求△PAB的周长的最小值.
【变式训练1-8】已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为2．(1)求p与m的值；
(2)过点 作直线 交y轴于点A，交C于E，F两点， 交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线
上，且 ，求 的最大值．
题型02：距离和差
【典型例题1】已知抛物线 的焦点为F，准线为l，且l过点 ，M在抛物线C上，若点
，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
先求出抛物线的方程，根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，即可求出结果．
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线为 且l过点 ， 抛物线的准线方程是 ，
则抛物线的方程为 ，因为 ， 点 在抛物线内，过点 作准线的垂线，垂足是 ，
在抛物线 上， 是抛物线的 焦点， ，当 三点共线时，（图中虚线位置），
取到最小值，即 最小值为 ，
【典型例题2】已知抛物线 的焦点为 ，若 ， 是抛物线上一动点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3【解析】根据题意,作图如下：
设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得: .
所以要使 取得最小值,只需 最小.
因为 (当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x0.
因为P(x0,1)为抛物线 上的点,则有 ，解得： .
当P为( ,1)时, 取得最小值2.故选：B．
【典型例题3】已知点 为抛物线 上一动点，点 为圆 ： 上一动点，点 为抛物
线的焦点，点 到 轴的距离为 .若 的最小值为3.则 （ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当 共线，且 在线段 上时， 最短，此时 有
最小值，列方程即可求解.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
则由抛物线的定义知点 到y轴的距离为 ，
则 ，
由图知，当 共线，且 在线段 上时， 最短，
此时 ，而 ，则 ，所以 .
故选：B
【典型例题4】（多选）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为 上的动点，则（ ）
A．满足 的点 恰有两个
B．满足 面积为 的点 恰有三个
C． 的最小值为3
D． 的最小值为
【答案】BCD
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线上的点到定点的距离及最值、抛
物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】对于选项A：依据线段垂直平分线上的性质得到 的点 在AF垂直平分线上，得到满足条件的 只
有一个.
对于选项B：由三角形面积公式 得出 .结合图形特点，判断 有三个这样的点.
对于选项C：根据三角形两边之和大于第三边， .算出 ，得到 最小值判断.
对于选项D：过 作 轴平行线，利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离， .算出 ，得到
最小值判断.
【详解】满足 的点 位于线段 的垂直平分线上，其直线方程为 ，与 仅有一个交点，故A错误；
设 到直线 的距离为 ， ，则 ，所以 在直线 或 轴上，这样的点 有三个，故B
正确；
如图1，点 在抛物线外， ，故 的最小值为 ，故C正确；
如图2，过 作 轴平行线，与准线交于点 ，与抛物线交于点 ，根据抛物线定义， ，此时 有最
小值 ，故D正确．
故选：BCD．
【典型例题5】已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线 的焦点为 ， 点 是抛物线上的一动点，
则 的最小值是 .
【答案】【解析】抛物线的准线方程为 ，过点 作 垂直准线于点 ，
显然，当 平行于 轴时， 取得最小值，此时 ，
此时 故答案为:
.
【变式训练2-1】已知点 ，点 在抛物线 上运动，点 在圆 上运动，则 的
最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2-2】已知抛物线C： 的焦点为F，过点 作直线l； 的垂线，垂足为
B，点P是抛物线C上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．14 D．
【变式训练2-3】已知点 ，抛物线 ： 的焦点为F，P是C上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．2
C． D．3
【变式训练2-4】设P为抛物线C： 上的动点， 关于P的对称点为B，记P到直线 的距离
分别 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】点 为抛物线 上任意一点，点 为圆 上任意一点， 为直线
的定点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式训练2-6】已知抛物线C： 的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于
， 两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线C的准线l的方程为
B． 的最小值为4
C．若 ，点Q为抛物线C上的动点，则 的最小值为6D． 的最小值
【变式训练2-7】（多选题）已知抛物线 焦点为 ，点 ，点 在抛物线上，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的最小值为3 B． 的最大值为7
C． 的最小值为-2 D． 的最大值为3
【变式训练2-8】（多选）已知抛物线C： 的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相
交于 ， 两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线C的准线l的方程为
B． 的最小值为4
C．若 ，点Q为抛物线C上的动点，则 的最小值为6
D． 的最小值
【变式训练2-9】已知抛物线C： 的焦点为F， ，过点M作直线 的垂线，垂
足为Q，点P是抛物线C上的动点，则 的最小值为 ．
【变式训练2-10】已知点 是圆 上一点，抛物线 的准线与 轴交于点 是抛物线在
第一象限上一点，且 ，则 的最小值为 ．
【变式训练2-11】已知点 ，动点 在函数 的图像上，动点 在以 为圆心半径为2的圆
上，则 的最小值为 .
【变式训练2-12】已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且垂直于 轴的直线交抛物线于 两点，
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ， 是抛物线 上两动点，以 为直径的圆经过点 ，点 ， ， 三点都不重合，求 的
最小值
题型03：抛物线中多元最值问题
【典型例题1】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图示：设AB的中点为M,分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N，
设 ，则 ，MN为梯形ACDB的中位线，则 ，由AF⊥BF．可得
，故 ，因为 当且仅当a=b时取等号，故
，
【典型例题2】直线 与抛物线： 交于 ， 两点， 为坐标原点，直线 ， 的斜率之积为-1，以线段
的中点为圆心， 为半径的圆与直线 交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．36
【解析】
设直线 ，联立 则该直线与 交点坐标 ，
直线 ， 的斜率之积为-1，
所以直线 ，则该直线与 交点坐标 ，
线段 的中点 ，令 ，则
最小值为16，当 或 时取得最小值.
在 和 中，由余弦定理可得：，两式相加可得：
其最小值为36，当 或 时取得最小值.故选：D
【典型例题3】 ， 是抛物线 上的两个动点， 为坐标原点，当 时， 的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．64
【解析】设直线 的方程为 ， ， ， 直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，，则 ，
由 ，解得 ，即 ，则 ，
，当且仅当 时取等号，
的最小值为8．故选：C．
【变式训练3-1】已知直线l与焦点为F的抛物线 相交于M，N两点，且 ，线段
的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式训练3-2】已知在平面直角坐标系 中， ， ，动点 满足 ，点 为抛物线
上一动点且 在抛物线准线上的投影为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】已知过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于M、N两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【变式训练3-4】（多选题）已知抛物线 焦点为 ，点 ，点 在抛物线上，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的最小值为3 B． 的最大值为7C． 的最小值为-2 D． 的最大值为3
【变式训练3-5】（多选）已知点 在抛物线C： 上，过P作圆 的两条切
线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为 ，若F为C的焦点， 为C上的动点，N是C的准线与坐标轴
的交点，则（ ）
A． B．
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【变式训练3-6】已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，且点 的坐标为 ，则
的最大值是 .
【变式训练3-7】 设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线
MD垂直于x轴时， ．
（1）求C的方程；
（2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，
求直线AB的方程．
【变式训练3-8】已知抛物线C： ，F为抛物线C的焦点， 是抛物线C上点，且 ；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点 作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求 的最大值.
【变式训练3-9】如图，已知点 是焦点为F的抛物线 上一点，A，B是抛物线C上异于P的
两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为 .
(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求 的最大值.
【变式训练3-10】平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E上任意一点到点
F2,0
的距离比到直线 的距离大1．
(1)求曲线E的方程；(2)过点 F2,0 作两条互相垂直的直线 l 1、 l 2，直线 l 1与曲线 E交于A、B两点，直线 l 2与曲线 E交于 C 、D两点，求
AB2 CD2
的最小值．
题型04：以抛物线为情景的点线最值问题
【典型例题1】抛物线 上一点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设直线 与 相切，联立 与 得： ，
由 ，得： ，则直线 为 ，
故 与 之间的距离即为 上一点 到直线 距离的最小值，
由两平行线间距离公式得： .故选：A
【典型例题21】抛物线 上一点到直线 的距离最短，则该点的坐标是__________.
【答案】
【分析】设抛物线上 任意一点的坐标为 ，利用二次函数的配方法可求出该抛物线上一点到直线
的最小值及其对应的 值，进而求出所求点的坐标.
【详解】设抛物线上 任意一点 的坐标为 ，则点 到直线 的距离为
，当 时， 取得最小值 ，此时点 的坐标为 .
【典型例题3】已知 是抛物线 上的一个动点，则点 到直线 和 的距离之和的
最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．6【解析】由 消去 得 ，
因为 ，所以方程 无解，即直线 与抛物线无交点；
过点 作 于点 ， 于点 ，记抛物线 的焦点为 ，连接 ，
因为 点 到直线 的距离为 , 为抛物线 的准线，根据抛物的定义可得，
，则 到直线 和 的距离之和为 ，
若 ， ， 三点不共线，则有 ，
当 ， ， 三点共线，且 位于 之间时， ，则 ，
又 ，所以 ，即所求距离和的最小值为 .
故选： .
【典型例题4】过抛物线 ： 的准线上任意一点 作抛物线的切线 ， ，切点分别为 ， ，则 点
到准线的距离与 点到准线的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ， ，则直线 ， 的方程分别为 ， ，
联立解得 ， .又直线 ， 的方程分别可表示为 ， ，将 点
坐标代入两方程，得 所以直线 的方程为 ，即 ，所以 点到准线的距离与 点到准线的距离之和为
【典型例题5】已知 是抛物线 的焦点，过 上点 的切线交 轴于点 ，过点 的直线
与 交于 两点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)比较 与 的大小，并说明理由；
(3)过点 的直线与 交于 两点， ， ， 的延长线分别交 于 两点，求点 到直线 距离
的最大值.
【答案】(1)
(2) ，理由见解析；
(3)
【难度】0.4
【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求
参数
【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线方程即可；
（2）对抛物线 求导，求出过点 的切线方程 ，从而得 ，可得 ，设直线 的
方程为 ，求出 的表达式，即可比较大小；
（3）设直线 ，直线 的方程，分别与抛物线联立方程组求出韦达定理的表达式，求得 ， ，从而可得直线
的方程，得出过定点 要使点 到直线 距离的最大，则只需 ，从而求出最大值.
【详解】（1）已知点 在抛物线 上，
将点 的坐标代入抛物线方程可得：
，即 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ；
（2）抛物线 ，则 ，
当 时，切线斜率 ，
由点斜式可得过点 的切线方程为 ，即 ；令 ，可得 ，所以 ；
由 ，可得 ，
所以 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，解得： ， ，
由韦达定理得 ，
根据抛物线的焦半径公式， ，
因为 ，所以 ，同理 ，
则 ，
所以 ；
（3）由题意知直线 的斜率必存在，故设直线 ， ，
联立 ，解得 ，
由韦达定理得 ，
设直线 方程为 ，
代入 ，有 ，
由 ， ，
所以 ，同理可得 ；所以直线 的斜率 ，
由直线的点斜式可得直线 ： ，
结合 ，化简得 ，
所以直线 过定点 ，
要使点 到直线 距离的最大，则只需 ，
从而最大值为 .
【变式训练4-1】已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点P到直线 和直线 的距离之
和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式训练4-2】抛物线 上的一动点M到直线 距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，则 的中点 到 的准线
的距离的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式训练4-4】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线 ，动点M在C上运动，记点M到直
线l与l′的距离分别为d ，d ，O为坐标原点，则当d +d 最小时，cos∠MFO＝（ ）
1 2 1 2
A． B． C． D．
【变式训练4-5】已知抛物线 与直线 ，点 为抛物线 上一动点，则当点 到直线 的距离最
小时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．【变式训练4-6】已知双曲线 的右焦点到其中一条渐近线的距离等于1，抛物线 的
焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线 和 的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-7】已知过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于 两点， 是 的中
点，点 是 上一点，若点 的纵坐标为1，直线 ，则 到 的准线的距离与 到 的距离之和的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-8】已知 且 ，若定义 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式训练4-9】已知P为抛物线 上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线 的距离
之和的最小值为___________.
【变式训练4-10】已知点P在抛物线 上，P到 的距离是 ，P到 的距离是
，则 的最小值为 .
【变式训练4-11】已知抛物线 ，P为C上一点， ， ，当 最小时，点P到坐标原点的距
离为________
【变式训练4-12】已知 是抛物线 上一点，则 的最小值为 ．
【变式训练4-13】设抛物线 上一点 到直线 的距离为 ，到直线 的距离为 ，
则 的最小值为 .
【变式训练4-14】已知O为坐标原点，A，B为抛物线 上异于点O的两个动点，且 ．若
点O到直线AB的距离的最大值为8，则p的值为 ．
【变式训练4-15】过抛物线 的焦点 作斜率分别为 的两条不同的直线 ,且 与
相交于点 ,与 相交于点 .分别以 为直径的圆 ,圆 为圆心)的公共弦记为 ,则点
到直线 的距离的最小值为 .
【变式训练4-16】已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d ，到直线m：2x﹣
1
y+3＝0的距离为d ，则d +d 的最小值是_______
2 1 2【变式训练4-17】设 为抛物线 上任意一点，若 的最小值为 ，则 的值为 ．
【变式训练4-18】在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 ，已知动点 到点 的距离等于点 到直
线 的距离，设点 的轨迹为 .
(1)过点 且斜率为2的直线与曲线 交于两个不同的点 、 ，求线段 的长；
(2)求曲线 上的点到直线 的最短距离.
题型05：抛物线与圆交汇的最值问题
【典型例题1】过抛物线 上一点P作圆 的切线，切点为 ，则当四边形 的面积最
小时，P点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心 的距离，对函数求导得出最小值，即四边形 的面
积最小值，进而可得此时的P点的坐标．
【详解】由题意可设 ，当四边形 的面积最小时，点P到圆心 的距离最小，即
，可令 ，则
，则 时， ，此时取得最小值，四边形 的面积
为 ，所以 .
【变式训练5-1】已知点 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式训练5-2】已知点 是抛物线 上一动点，点 在圆 上运动，则 与 两点间最短距离为
.【变式训练5-3】已知抛物线 ，圆 ，P为E上一点，Q为C上一点，则 的最小值为
_________
【变式训练 5-4】如图，已知抛物线 y2 8 2x 的焦点为 F ，直线 l 过点 F 且依次交抛物线及圆
2
x2 2 y2 2 A,B,C,D AB 4 CD
于 四点，则 的最小值为（ ）
3 2 5 2 13 2 18 2
A. B. C. D.
【变式训练5-5】已知P为抛物线 上一个动点，Q为圆 上一个动点，那么点P到点Q的
距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________.
【变式训练5-6】已知点 ，动点 满足以 为直径的圆与 轴相切，过点 作直线
的垂线，垂足为 ，则 的最小值为________．
题型06：抛物线中焦点弦最值问题
【典型例题】已知抛物线C： 的焦点为F，过点F分别作两条直线 ， ，直线l 与抛物线C交于A、B两点，直
1
线l 与抛物线C交于D、E两点，若 与 的斜率的平方和为1，则 的最小值为（ ）
2
A．16 B．20 C．24 D．32
【答案】C
【详解】抛物线C： 的焦点 ，设直线l1： ，直线l2： ，由题意可知，则 ，联立
整理得： ，设 ， ，则 ，设， ，同理可得： ，由抛物线的性质可得： ，
，∴ ，
当且仅当 时，上式“＝”成立．∴ 的最小值24.
【变式训练6-1】（多选）已知抛物线C： 的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相
交于 ， 两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线C的准线l的方程为
B． 的最小值为4
C．若 ，点Q为抛物线C上的动点，则 的最小值为6
D． 的最小值
【变式训练6-2】（多选）已知过抛物线 焦点 的直线 与抛物线 相交于 两点，则下列结论正确
的是（ ）
A． B．以 为直径的圆与直线 相切
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【变式训练6-3】已知抛物线 的焦点为 ，直线 过 且依次交抛物线和圆 于 ， ，
， 四个点，设 ， ，则 _____； 的最小值为_______．
题型07：抛物线中面积最值问题
【典型例题1】已知F是抛物线C： 的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，O为坐标原点，若 ，
，垂足为M，则 面积的最大值为（ ）A．6 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】由题意知直线OA的斜率存在且不为0，设直线OA的方程为 ，与抛物线方程联立，得 ，
因为 ，所以直线OB的方程为 ，与抛物线方程联立，得 ，当 时，易知 轴，
不符合题意；当 时， ，所以直线AB的方程为 ，所
以直线AB过定点 ，因为 ，所以点M的轨迹是以OD为直径的圆（不包含点O，D），所以点M到x轴
距离的最大值为3，此时 的面积最大，又 ，则 面积的最大值为 .
【典型例题2】设点 为抛物线 上的动点，F是抛物线的焦点，过点P作圆 的切线 ，
分别交抛物线C于点 ，当 时，求 面积的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，因为 在抛物线 上，故设 ，设过 的圆 的切线方程为 ，
则 ，得 ， 是此方程的两根，则 ，
，设 ，因为直线 与抛物线交于点 ，
由 ，得 ， ，所以 ，同理 ，
直线 方程是 ，即 ，则 ，点 到 的距离为 ，又 ， ，
所以 ＝
，令 ，
则 ， ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，所以 ，即 时， 取得最小值 ．
【典型例题3】在平面直角坐标系 中，点 为直线 上的动点，过 作 的垂线，该垂线与线段
的垂直平分线交于点 ，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 交于 两点，直线 与直线 分别交于 两点，线段 的中点为 .
（i）求 的最大值；
（ii）求四边形 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）
【难度】0.4
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）连接 ，则 ，根据抛物线的定义求出轨迹方程；
（2）（i）设直线 的方程为 ， ， ，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，即可得到
轴， 轴，则 ，取线段 的中点为 ，则直线 为线段 的垂直平分线，则
，利用锐角三角函数求 的最大值即可；（ii）依题意可得
，结合（i）计算可得.
【详解】（1）连接 ，则 ，
则根据抛物线的定义，点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线．
则点 的轨迹的方程为 ．（2）（i）依题意直线 的斜率不为 ，设直线 的方程为 ， ， ， ，
联立 ，整理得 ，则 ，
所以 ， ，
设 ，则 ，则 ，
直线 的方程为 ，
同理：直线 的方程为 ，
令 得， ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以 轴， 轴，所以 ，
取线段 的中点为 ，则直线 为线段 的垂直平分线，
所以 ， ，
所以 ，
所以求 最大，即 最大，
因为
，
所以当 时， 取得最大值 ，此时 取最大值 ，
即 的最大值为 ；（ii）因为 ，所以四边形 的面积 ，
又 ，
所以
，
所以当 时 ，此时四边形 的面积 取得最小值 .
【典型例题4】已知抛物线 ，点 是抛物线 的焦点．
(1)求点 的坐标及点 到准线 的距离；
(2)过点 作相互垂直的两条直线 ， 交抛物线 于点 、 ， 交抛物线 于点 、 ，求证： 为
定值，并求出该定值；
(3)过点 且斜率为 的直线交抛物线 于 两点，设点 不在直线 上且 为 的内角平分线，求
面积的最大值.
【答案】(1)坐标为 ，距离为
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）由抛物线的标准方程的定义即可得到焦点 坐标和点 到准线 的距离；
（2）设 的方程为 ， 与 相交于 ，联立直线与抛物线方程，可得 ，又
，得到 关于 的等式，同理可得 ，取倒数相加可求得其为定值；
（3）由已知可得直线 的方程，与抛物线方程联立即可得 点坐标，则可求得 ，再利用角平分线的性质得，由此可求得点 的轨迹为一个挖去了两个点的圆，且圆心在直线 上，进而得到 面积的最大值.
【详解】（1）由已知可得 ，即 ，
所以点 的坐标为 ，点 到准线 的距离为 ；
（2）由已知可知直线 的斜率均存在且不等于 并过点 ，
设 的方程为 ，则 的斜率为 ，设 与 相交于 ，
由 得 ，则 ， ，
，同理可得 ，
所以 ；
（3）由已知可得直线 的方程为 ，
由 ，解得 ， ，
不妨令 ，
则 ， ，在 中， ，
在 中， ，
由 及 得
设点 ，于是 ，
整理得 ，
所以点 在以点 为圆心， 为半径的圆上（除去与直线 的两个交点），
因为圆心 在直线 上，则点 到直线 距离的最大值为 ，
所以 面积的最大值为 .
【变式训练7-1】在平面直角坐标系 中，已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上且位
于 轴的两侧， ，则（ ）
A． B．直线 过点
C． 的面积最小值是 D． 与 面积之和的最小值是
F(1,0),F (1,0) F (0,1) 2 2
【变式训练7-2】（多选）曲线C是平面内与三个定点 1 2 和 3 的距离的和等于 的点的轨迹，
P为C上一点，则（ ）
2
PF
A．曲线C关于y轴对称 B．存在点P，使得 3 2
FPF FPF 150
C． 1 2面积的最大值大于1 D．存在点P，使得 1 2
【变式训练7-3】（多选）已知抛物线C： 的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．直线 与C相切C．若 ，则 的最小值为4
D．若 ，则 的周长的最小值为11
【变式训练7-4】抛物线 上一动点为 ，焦点 ，以 为直径的圆设为圆 ，当圆 面积取最小时，圆
的方程是______.
【变式训练7-5】已知抛物线 ，点 为抛物线 上任意一点，过点 向圆 作切线，切
点分别为 ，则四边形 面积的最小值为__________.
【变式训练7-6】如图所示，已知抛物线 ： ，过点 的直线 与抛物线 有两个交点，若抛物线 上存
在不同的两点 ， 关于直线 对称，记 的中点为 .
(1)求点 的轨迹方程；(2)求 的最大值.
【变式训练7-7】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点 ，P是圆M：（x+1）2+y2＝1上一点，PA，PB都是C的切
线．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)求△PAB的面积得最大值．
【变式训练7-8】已知抛物线 的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．
(1)求抛物线N的方程；
(2)点 和点 为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC
面积的最大值．
【变式训练7-9】已知抛物线C： 的焦点为F，直线l： 与y轴、抛物线C相交于P，A， 自下而上 ，记△ 、△ 的面积分别为 、 ．
(1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围；
(2)求 的取值范围．
【变式训练7-10】如图所示，已知抛物线 ： ，过点 的直线 与抛物线 有两个交点，若抛物线 上
存在不同的两点 ， 关于直线 对称，记 的中点为 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)求 的最大值.
【变式训练7-11】如图，已知椭圆 和抛物线 ，斜率为正的直线 与 轴及椭圆 依次交于
、 、 三点，且线段 的中点 在抛物线 上．
(1)求点 的纵坐标的取值范围；
(2)设 是抛物线 上一点，且位于椭圆 的左上方，求点 的横坐标的取值范围，使得 的面积存在最大值．
F E: y2 2px(p0) C(4,0) |CF |3|OF | O
【变式训练7-12】已知 为抛物线 的焦点，点 满足 ，其中 为坐标原点，过F 的直线交E于A.B两点，点A在第一象限，过点A作直线AB的垂线，交x 轴正半轴于点M ，直线BC交直线AM
于点 N ．记 ACF, BCF, CMN 的面积分别为 S 1 ,S 2 ,S 3．
(1)求E的准线方程；
1 1
1
(2)证明：|AF| |BF| ；
S S S
(3)求 1 2 3的最小值及此时点A的坐标．
【变式训练7-13】如图，已知椭圆 和抛物线 ，斜率为正的直线 与 轴及椭圆 依次交于
、 、 三点，且线段 的中点 在抛物线 上．
(1)求点 的纵坐标的取值范围；
(2)设 是抛物线 上一点，且位于椭圆 的左上方，求点 的横坐标的取值范围，使得 的面积存在最大值．
【变式训练7-14】已知抛物线 ，点 是抛物线 的焦点．
(1)求点 的坐标及点 到准线 的距离；
(2)过点 作相互垂直的两条直线 ， 交抛物线 于点 、 ， 交抛物线 于点 、 ，求证： 为
定值，并求出该定值；
(3)过点 且斜率为 的直线交抛物线 于 两点，设点 不在直线 上且 为 的内角平分线，求
面积的最大值.
x2 y2
【变式训练7-15】已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的实轴长为2．点(❑√7,−1)是抛物线E:x2=2py的准线
a2 b2
与C的一个交点．
(1)求双曲线C和抛物线E的方程；
(2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求△PAB面积的取值范围．【变式训练7-16】已知抛物线C:y2=2px(p>0)，圆E:(x−4) 2+ y2=12与抛物线C有且只有两个公共点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设O为坐标原点，过圆心E的直线与圆E交于点A,B，直线OA,OB分别交抛物线C于点P,Q（点P,Q不与点O重
S
合）.记△OAB的面积为S ，△OPQ的面积为S ，求 1的最大值.
1 2 S
2
【变式训练 7-17】过坐标原点O作圆C:(x+2) 2+ y2=3的两条切线，设切点为P,Q，直线PQ恰为抛物
E:y2=2px,(p>0)的准线.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)设点T是圆C上的动点，抛物线E上四点A,B,M,N满足：⃗TA=2⃗TM,⃗TB=2⃗TN，设AB中点为D.
（i）求直线TD的斜率；
（ii）设△TAB面积为S，求S的最大值.
【变式训练7-18】已知抛物线C:y2=2px，点A(1,2)在C上，A关于动点T(t,0)(t<3)的对称点记为M，过M的
直线l与C交于P(x ,y )，Q(x ,y )，M为P，Q的中点．
1 1 2 2
(1)当直线l过坐标原点O时，求△APQ外接圆的标准方程；
(2)求△APQ面积的最大值．
F1,0
【变式训练7-19】已知平面上的动点P到点 的距离与到直线 l:x1 的距离相等，点P的轨迹为曲线 E .
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点F 的直线交E于 A,B 两点，过点
M1,0
的直线 MA与E的另一个交点为 C ，点A在 M 与 C 之间.
（i）证明：线段BC垂直于x轴；
（ii）记 FBC 的面积为 S 1 , MFC 的面积为 S 2，求 5S 2 S 1的取值范围.
【变式训练7-20】设 为坐标原点，抛物线 与 的焦点分别为 为线段 的
中点．点 在 上 在第一象限），点 在 上， ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设直线 的方程为 ，求直线 的斜率；
(3)若直线 与 的斜率之积为 ，求四边形 面积的最小值．
F(1,0) P PF y P C
【变式训练7-21】已知点 ， 为平面内一动点，以 为直径的圆与 轴相切，点 的轨迹记为 .
(1)求C的标准方程.
(2)过点F 的直线 l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M ，过点B且垂直于l的直线交x轴于点
N .当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.
【变式训练7-22】过 作直线交抛物线 于 两点，已知 ，抛物线在 点处
的切线为 ，过点 作平行于 的直线 ，设直线 与抛物线另一交点为 ，线段 的中点为 .
(1)求直线 的斜率；(2)设直线 的方向向量为 ，计算 的值；
(3)求 面积 的最小值.
【变式训练7-23】在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点 的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为
C.
(1)求C的方程；
(2)设 为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若 的重心G在x
轴上.
（ⅰ）求证：直线AB过定点；
（ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设 的面积为 ， 的面积为 ，则 的取值范围.
题型08：以抛物线为情景的斜率最值问题
【典型例题1】已知抛物线 的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足 ，则OB的斜率的最大
值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设点 ， ，表示出 ，考虑 的正负情况，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】
由题意： ， ，设点 ， ，A在抛物线上，故 ，
， ，由 得 ，即 ，
，当 时， ；当 时，，当且仅当 即 时，等号成立，
【典型例题2】已知抛物线 的焦点为F，抛物线上一点 到F的距离为3，
(1)求抛物线C的方程和点A的坐标；
(2)设过点 且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若 ， 求斜率k的取值
范围．
【答案】(1) ， (2)
【分析】
（1）根据题意求出p，得抛物线方程，代入点即可得解；
（2）设直线 ，联立抛物线方程得出根与系数的关系，得出 的范围，
再根据 ，求取值范围即可.
【解析】
(1)由题意知 ，得 ，所以抛物线C的方程为 ．
将点 代入 ，得 ，所以点A的坐标为 ．
(2)直线 与抛物线 联立，消去y得 ，
，解得 或 ．设 ，则有
，则 ，即 ，又 ．
所以 ，则
因为 ，设 ，则 ，
因为 ，则 ，所以
因为 或 ，所以k的取值范围是 。
【变式训练8-1】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且
，则直线OM的斜率的最大值为（ ）A．1 B． C． D．
【变式训练8-2】已知 是抛物线 上三个动点，且 的重心为抛物线的焦点 ，若 ， 两点均在
轴上方，则 的斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练8-3】已知O为坐标原点，已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2，点P在C上，点Q
满足 ，则直线OQ斜率的最大值是 ．
【变式训练8-4】已知抛物线 的焦点为 上任意一点 到 的距离与到点 的距离之和
的最小值为3．
（1）求抛物线 的标准方程．
（2）已知过点 且互相垂直的直线 与 分别交于点 与点 ，线段 与 的中点分别为 ．若直线
的斜率分别为 ，求 的取值范围．
题型09：以抛物线为情景的参数范围问题
【典型例题1】已知抛物线C的方程为 ，过点 和点 的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当 时，直线 ，与抛物线 有交点，所以 ，
设直线 的方程为 ，
联立直线与抛物线方程，得 ，消元整理，得 ，
由于直线与抛物线无公共点，即方程 无解，故有 ，解得 或 .
故选：A
【典型例题2】设O为坐标原点，P是以F 为焦点的抛物线 y2 2px(p 0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，
且| PM | 2|MF | ,则直线OM 斜率的最大值为（ ）
3 2 2
A. B. C.
3 3 2 D.1y
P
M
O F x
【答案】C
y2
p
F( ,0) （ 0 ,y )
【解析】由题意可知： 2 设 P 点坐标为 2p 0 ， M 点坐标为（x,y).则k OM 的最大值，不妨设y 0 0.
y2 p
（x 0 ,y y )2 x,y
| PM | 2|MF |,则PM 2MF ，可得 2p 0 2 ，
p y2
x 0 y
0
3 6p y 3 2 2 2
即
y
，k
OM
x
p y2
y 2p
2 2
2
,当且仅当 等号成立.
y 0 0 0
3 3 6p p y y2 2p2
0 0
2
则直线OM 斜率的最大值
2
。
【典型例题3】如图，已知点 在半圆 ： 上一点，过点P作抛物线C： 的两
条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记 的面积为 ， 的面积为 ．
(1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程：
(2)若存在点P，使得 ，求p的取值范围．
【答案】(1) ；准线方程为直线 (2)
【分析】
(1)根据抛物线的焦点坐标即可以求p和其准线方程；
(2)设 ， ，表示出过A和B的切线方程，求出M和N点坐标，根据P在两直线上求出P点坐标，进而
再求出T点坐标，表示出 ， ，进而可以得到 ，从而可求 ，由此求出P的轨迹方程，问题转化为问题转化为P的轨迹与半圆 ： 有交点，据此即可求出答案.
【解析】(1) ， ．准线方程为直线 ．
(2)设 ， ，过点A的切线方程 ： ，于是 ；
过点 的切线方程 ： ，于是 ；点 在两条切线上，所以 ，
可得点P坐标为 ．且 ： ，于是 ．
， ，
而 ，所以 ．于是点 ，点P的轨迹方程为 ，
问题转化为抛物线 与半圆 ： 有交点．
记 ，则 ，又因为 ，解得： ．
【变式训练9-1】已知抛物线 ，直线 ，且在 上恰有两个点到 的距离为 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-2】已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点，则实数p的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-3】已知 ， ，O为坐标原点，若在抛物线 上存在点N，使得 ，则
的取值范围是___________.
【变式训练9-4】已知点 在抛物线 上，点 在 的准线上，线段 的中点均在抛物线 上，设
直线 与 轴交于点 ，则 的最小值为____________．
【变式训练9-5】已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，点 在抛物线 上，记
.当 取最大值时，直线 的方程为 .【变式训练9-6】已知动直线l过抛物线 的焦点F，且与抛物线C交于 两点，且点M在x轴上方，O
为坐标原点，线段 的中点为G.
(1)若直线 的斜率为 求直线l的方程;
(2)设点 ，若 恒为锐角，求 的取值范围.
【变式训练9-7】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点M是抛物线的准线x=−2上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且MF⊥AB,AF⊥MB，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
3
【变式训练9-8】已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且|OP|=|PF|=
.
2
(1)抛物线E的标准方程；
(2)如图所示，过点M(t,0)和点N(2t,0)(2≤t≤6)分别作两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和
点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为k 和k ，且k +k −k k =0.
1 2 1 2 1 2
（i）试求实数k的值；
（ii）若存在实数λ，使得S =λS ，试求实数λ的取值范围.
梯形ABCD △OAB
【变式训练9-9】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(2,m)(m>0)在抛物线C上，且满足|MF|=3．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点G(0,a)(a>0)的两直线l ,l 的倾斜角互补，直线l 与抛物线C交于A，B两点，直线l 与抛物线C交于P．Q
1 2 1 2
两点，△FAB与△FPQ的面积相等，求实数a的取值范围．
【变式训练9-10】已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x ,2)，抛物线C的焦点F在以OP为直径的圆上（O为
0
坐标原点）.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点P引圆M:(x−3) 2+ y2=r2 (1<r≤❑√3)的两条切线PA、PB，切线PA、PB与抛物线C的另一交点分别为A、
B，线段AB中点的横坐标记为t，求实数t的取值范围.【变式训练9-11】已知点 在抛物线 ： 上
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 与抛物线 交于 ， 两点， ，且 （其中 为坐标原点），求
的最小值
题型10：抛物线与圆交汇的最值问题
【典型例题1】过抛物线 上一点P作圆 的切线，切点为 ，则当四边形 的面积最
小时，P点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心 的距离，对函数求导得出最小值，即四边形 的面
积最小值，进而可得此时的P点的坐标．
【详解】由题意可设 ，当四边形 的面积最小时，点P到圆心 的距离最小，即
，可令 ，则
，则 时， ，此时取得最小值，四边形 的面积
为 ，所以 .
【变式训练 10-1】如图，已知抛物线 y2 8 2x 的焦点为 F ，直线 l 过点 F 且依次交抛物线及圆
2
x2 2 y2 2 A,B,C,D AB 4 CD
于 四点，则 的最小值为（ ）3 2 5 2 13 2 18 2
A. B. C. D.
【变式训练10-2】已知P为抛物线 上一个动点，Q为圆 上一个动点，那么点P到点Q
的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________.
【变式训练10-3】已知点 ，动点 满足以 为直径的圆与 轴相切，过点 作直线
的垂线，垂足为 ，则 的最小值为________．
题型11：抛物线最值与向量交汇
【典型例题1】已知抛物线 的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足 ，则OB的斜率的最大
值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点 ， ，表示出 ，考虑 的正负情况，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意： ， ，设点 ， ，A在抛物线上，故 ，
， ，由 得 ，即 ，
，当 时， ；当 时，
，当且仅当 即 时，等号成立，
【变式训练11-1】已知抛物线 ： ，圆 ： ，在抛物线 上任取一点 ，向圆 作两条切线
和 ，切点分别为 ， ，则 的取值范围是 ．
【变式训练11-2】已知抛物线的方程为 ，圆C： ，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则 的最小值是______.
【变式训练11-3】已知抛物线 的焦点为 ，直线 分别与 轴交于点 ，与抛物线 交于点
，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)如图，设点 都在抛物线 上，若 是以 为斜边的等腰直角三角形，求 的最小值.
题型12：抛物线中焦点弦最值问题
【典型例题】已知抛物线C： 的焦点为F，过点F分别作两条直线 ， ，直线l 与抛物线C交于A、B两点，直
1
线l 与抛物线C交于D、E两点，若 与 的斜率的平方和为1，则 的最小值为（ ）
2
A．16 B．20 C．24 D．32
【答案】C
【详解】抛物线C： 的焦点 ，设直线l1： ，直线l2： ，由题意可知，则 ，联立
整理得： ，设 ， ，则 ，设
， ，同理可得： ，由抛物线的性质可得： ，
，∴ ，
当且仅当 时，上式“＝”成立．∴ 的最小值24.
【变式训练12-1】（多选）已知抛物线C： 的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于 ， 两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线C的准线l的方程为
B． 的最小值为4
C．若 ，点Q为抛物线C上的动点，则 的最小值为6
D． 的最小值
【变式训练12-2】（多选）已知过抛物线 焦点 的直线 与抛物线 相交于 两点，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．以 为直径的圆与直线 相切
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【变式训练12-3】已知抛物线 的焦点为 ，直线 过 且依次交抛物线和圆 于 ， ，
， 四个点，设 ， ，则 _____； 的最小值为_______．
题型13：其它最值
【典型例题】已知 为抛物线 上的一点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相切的性质可得 ，利用二倍角公式可得 ，利用两点距离，结合二
次函数的性质可得 的最小值求解.
【详解】设圆心为 ，由题意作图如图，由 与圆相切，则 ，且 ，
故 .
设 ，则 ，可得
故当 取最小值，且最小值为 ，
所以 的最小值为 ，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用 和 将问题转化成求 的最小值.
【变式训练13-1】设 ，点 是抛物线 上的动点，点 到抛物线 的准
线的距离最小值为2.
(1)求 的最小值；
(2)求 的取值范围；
(3)证明： .
1．在平面直角坐标系xOy中，有一条抛物线 ，其焦点为F，在 上任取一点P，满足 .当△POF的面
积取得最大值时，相应的点P的坐标为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
2. 直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 , 两点，若线段 的长分别为 ，则 的最
小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．73.已知点 ,曲线 ,直线 )与曲线 交于 , 两点,
若 周长的最小值为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
4．已知P为抛物线 上一动点，F为E的焦点，点Q为圆 上一动点，若
的最小值为3，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5.已知 为抛物线 上一点， 为该抛物线焦点，若 点坐标为 ，则 最小值为（ ）
A. B. C. D.
6．已知抛物线 的焦点为F，P为C上一点，点 ， ，设 取最小值和最大值
时对应的点分别为 ， ，且 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线 ，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距
离分别为d ，d ，O为坐标原点，则当d +d 最小时，cos∠MFO＝（ ）
1 2 1 2
A． B． C． D．
8．已知F 为抛物线 C: y2 4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l 1, l 2,直线 l 1与 C 交于 A,B 两点,直线 l 2与 C 交
D,E AB DE
于 两点,则 的是小值为 ( )
A． 16 B．14 C．12 D． 10
9. 已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，则 的最小值为（
）
A．4 B．8 C．9 D．12
10.已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为 ，直线 、 与抛物线 分别交于 、 和 、两点，其中直线 过点 ， ， .若 ，则当 取到最大值时， （
）
A． B． C． D．
11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准
线的距离为d，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知P为抛物线 上一动点，F为E的焦点，点Q为圆 上一动点，若
的最小值为3，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
13．已知抛物线 的焦点为F，P为C上一点，点 ， ，设 取最小值和最大值
时对应的点分别为 ， ，且 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
14．已知抛物线C： 的焦点为F，过点F分别作两条直线 ， ，直线l 与抛物线C交于A、B两点，直线l 与抛物
1 2
线C交于D、E两点，若 与 的斜率的平方和为1，则 的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
15．已知过 的直线与抛物线 交于 ， 两点， 为弦 的中点， 为坐标原点，直线 与
抛物线的另一个交点为 ，则两点 、 纵坐标的比值范围是（ ）
A． B．
C． D．16．（多选题）若抛物线 y2＝2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则（ ）
A．
B．准线方程为
C．当 时 的面积为
D．已知直线l ：4x－3y＋6＝0和直线l ：x＝－1，则点 到直线l 和直线l 的距离之和的最小值是
1 2 1 2
17．（多选题）设抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．当 轴时， 取最小值
C．若 ，则 的最小值为
D．以线段 为直径的圆与 轴相切
18．（多选题）已知抛物线 与圆 的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧 上不同于A，B
的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．点P纵坐标的取值范围是
C．点N到圆心C距离的最小值为1
D．若l不经过原点，则 周长的取值范围是
19．（多选题）已知抛物线 的焦点为 ，若 为抛物线 上一点，直线 的斜率为 ，
且以 为圆心的圆与 的准线相切于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线 的准线方程为
B．直线 与抛物线 相交所得的弦长为15
C． 外接圆的半径为4
D．若抛物线 上两点之间的距离为8，则该线段的中点到 轴距离的最小值为120．（多选题）抛物线 的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点 下列
结论正确的是（ ）
A．|PM| +|PF|的最小值为3
B．抛物线C上的动点到点 的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于 对称
D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2
21. （多选题）已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上两个相异的动点，则（ ）
A. 抛物线 的准线方程为
B. 设点 ，则 的最小值为
C. 若 三点共线，则 的最小值为
D. 若 ， 的中点 在 的准线上的投影为 ，则
22．（多选题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C： 的焦点为 ，过点 的直线 交 于不同的 ， 两点，则
下列说法正确的是（ ）
A．若点 ，则 的最小值是4 B．
C．若 ，则直线 的斜率为 D． 的最小值是9
23．抛物线 上的一动点M到直线 距离的最小值是______.
24．已知 为抛物线 的焦点，点 ， 为抛物线上任意一点， 的最小值为3，则抛物
线方程为____________，若线段 的垂直平分线交抛物线于 两点，则四边形 的面积为__________.
25．如图，直线 与抛物线 交于 两点，线段 的垂直平分线与直线 交于 点，当 为抛物
线上位于线段 下方（含 ）的动点时，则 面积的最大值为______.26．已知P为抛物线 上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线 的距离之和的最小值
为___________.
27．已知P为抛物线 上一个动点，Q为圆 上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到
抛物线的准线距离之和的最小值是________.
28．已知抛物线的方程为 ，圆C： ，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足 ，则
的最小值是______.
29．已知 ， ，O为坐标原点，若在抛物线 上存在点N，使得 ，则 的取值范围
是___________.
30．已知点 在抛物线 上，点 在 的准线上，线段 的中点均在抛物线 上，设直线 与 轴
交于点 ，则 的最小值为____________．
31．在平面直角坐标系xOy中， 为抛物线 上的一个动点.若点 到直线 的距离大于c恒成立，
则实数c的取值范围为________.
32．已知直线l :x－y－5=0和直线l :y=－4，抛物线x2=16y上一动点P到直线l 和直线l 的距离之和的最小值是
1 2 1 2
______
33．已知抛物线 与直线 相交于 两点，线段 中点 的横坐标为5，且抛物线
的焦点到直线 的距离为 .
(1)求 ， 的值；(2)已知点 为抛物线 上一动点，点 为 轴上一点，求线段 长最小值.
34．已知抛物线 的焦点为 ，直线 分别与 轴交于点 ，与抛物线 交于点 ，且
.
(1)求抛物线 的方程；
(2)如图，设点 都在抛物线 上，若 是以 为斜边的等腰直角三角形，求 的最小值.
35．已知点 在曲线 上.
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过原点的直线 与（1）中的曲线 交于 、 两点，求 的最大值与最小值.
36．已知 是抛物线 上一点， 是 轴上的点，以 为圆心且过点 的圆与 轴分别交于点
、 ，且当圆 与 轴相切时， 到抛物线焦点的距离为 ．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设线段 、 长度分别为 、 ，求 的取值范围．
37．如图，已知点 是焦点为F的抛物线 上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线
PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为 .(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求 的最大值.
38．如图，已知椭圆 ，曲线 与 轴的交点为 ，过坐标原点 的直线 与相交于 、 ，
直线 、 分别与 交于点 、 .
(1)证明：以 为直径的圆经过点 ；
(2)记 、 的面积分别为 、 ，若 ，求 的取值范围.
39．如图，已知点 在半圆 ： 上一点，过点P作抛物线C： 的两条切线，切
点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记 的面积为 ， 的面积为 ．(1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程：
(2)若存在点P，使得 ，求p的取值范围．
40.如图，抛物线 上有三个不同的点 （其中点 的第一象限），
抛物线的焦点 在 上， 与 轴交于点 ，且当 点纵坐标为 时， ，
（1）求抛物线方程；
（2）求 面积最小时，点 的坐标.
41．已知抛物线 与直线 相交于 两点，线段 中点 的横坐标为5，且抛物线
的焦点到直线 的距离为 .
(1)求 ， 的值；
(2)已知点 为抛物线 上一动点，点 为 轴上一点，求线段 长最小值.
42．已知抛物线 的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．
(1)求抛物线N的方程；
(2)点 和点 为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC
面积的最大值．
43．已知点 在曲线 上.
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过原点的直线 与（1）中的曲线 交于 、 两点，求 的最大值与最小值.
